Nhìn quy luật có điều kiện
Bài học biến cột nhà, trục máy, cao độ công trình, đo thẳng đứng và cảm biến thành mô hình có thể kiểm chứng.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Nhận biết, chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng bằng tiêu chuẩn hai đường cắt nhau; khai thác hình chiếu và các tính chất liên quan.
Vuông góc một đường chưa đủ; phải khóa hai phương độc lập của mặt phẳng
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Lập luận và đo lường
Biết gọi dữ kiện, kiểm điều kiện, chọn công cụ và diễn giải kết quả.
Nối đúng nền
Kích hoạt bài 22, quan hệ thuộc và song song trong không gian rồi chuẩn bị cho Bài 24. Phép chiếu vuông góc và góc đường–mặt.
Ví dụ – phản ví dụ – tự kiểm
Mỗi quy tắc có trường hợp đúng, trường hợp thiếu điều kiện và phép kiểm độc lập.
- Áp dụng tiêu chuẩn đường vuông góc mặt.
- Dựng hình chiếu vuông góc của điểm.
- Dùng tính chất đường vuông góc mặt.
- Chứng minh trong hình chóp, lăng trụ, hình hộp.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Bài 22, quan hệ thuộc và song song trong không gian.
- Viết điều kiện hoặc quan hệ hình học trước khi tính.
- Ước lượng dấu, miền, góc, khoảng cách hoặc thể tích.
- Kiểm bằng thay nghiệm, đồ thị, vectơ, tọa độ hoặc đơn vị.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Định nghĩa và chân vuông góc
Hiểu đơn giản: Đường đứng đúng nghĩa vuông góc mọi phương qua chân trong mặt.
d⊥(P) tại H ⇒ d⊥a với mọi a⊂(P), H∈a.
Ví dụ: Oz⊥(Oxy).
Hình nên dùng: Cột và mặt sàn.
Mô phỏng: Nghiêng cột quanh chân.
Mẹo nhớ: Chân phải nằm trong mặt.
Sai lầm: Dùng đường trong mặt không qua chân để nói hai đường cắt vuông góc.
Ghi chú: Có thể nói góc giữa chúng là 90° qua đường song song.
Tiêu chuẩn hai đường cắt
Hiểu đơn giản: Hai hướng cắt nhau đại diện toàn bộ mặt phẳng.
a,b⊂(P), a∩b≠∅, d⊥a, d⊥b ⇒ d⊥(P).
Ví dụ: SA⊥AB và SA⊥AD ⇒ SA⊥(ABCD).
Hình nên dùng: Hai mũi tên vuông góc trong đáy.
Mô phỏng: Thay góc giữa a,b.
Mẹo nhớ: Hai đường phải cắt nhau.
Sai lầm: Chọn hai đường song song.
Ghi chú: Đây là tiêu chuẩn dùng nhiều nhất trong chứng minh.
Tính chất và pháp tuyến
Hiểu đơn giản: Mọi đường vuông góc cùng một mặt có cùng phương.
d⊥(P) ⇔ vectơ chỉ phương d cùng phương pháp tuyến n(P).
Ví dụ: d hướng (1,2,3), n(P)=(2,4,6).
Hình nên dùng: Các pháp tuyến song song.
Mô phỏng: Dịch pháp tuyến qua điểm.
Mẹo nhớ: Đường vuông góc mặt ↔ pháp tuyến.
Sai lầm: Cho chỉ phương vuông góc pháp tuyến.
Ghi chú: Dùng tọa độ để tự kiểm lời giải hình học.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB GÓC ĐƯỜNG THẲNG – MẶT PHẲNG
Đo bằng vectơ chỉ phương và pháp tuyến
Nhập vectơ chỉ phương u⃗ của đường thẳng và pháp tuyến n⃗ của mặt phẳng. Góc cần tìm thỏa sin α = |u⃗·n⃗|/(|u⃗||n⃗|).
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B23-NB-04
Đề bài: Qua điểm M cho trước, có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P)?
Phân tích: Dùng tính duy nhất của pháp tuyến qua một điểm.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Dùng tính duy nhất của pháp tuyến qua một điểm.
- Bước 2: Có duy nhất một đường thẳng.
- Bước 3: Kết luận Một đường duy nhất.
Vì sao: Mọi đường vuông góc (P) đều song song với nhau.
Cách khác: Dựng đường qua M song song một pháp tuyến của (P).
Tự kiểm: Chặn lỗi: Nhầm với vô số đường qua M cắt mặt phẳng.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B23-NB-14
Đề bài: Qua điểm M cho trước, có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P)?
Phân tích: Dùng tính duy nhất của pháp tuyến qua một điểm.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Dùng tính duy nhất của pháp tuyến qua một điểm.
- Bước 2: Có duy nhất một đường thẳng.
- Bước 3: Kết luận Một đường duy nhất.
Vì sao: Mọi đường vuông góc (P) đều song song với nhau.
Cách khác: Dựng đường qua M song song một pháp tuyến của (P).
Tự kiểm: Chặn lỗi: Nhầm với vô số đường qua M cắt mặt phẳng.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B23-TH-04
Đề bài: Cho SO ⟂ (ABCD) và O thuộc AC. Quan hệ giữa SO và AC là gì?
Phân tích: Đường vuông góc mặt phẳng vuông góc mọi đường trong mặt đi qua chân.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Đường vuông góc mặt phẳng vuông góc mọi đường trong mặt đi qua chân.
- Bước 2: SO ⟂ AC.
- Bước 3: Kết luận SO ⟂ AC.
Vì sao: AC nằm trong đáy và đi qua chân O.
Cách khác: Dùng định nghĩa đường vuông góc mặt phẳng.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho rằng SO vuông góc mọi đường trong đáy dù đường đó không đi qua O theo nghĩa giao nhau.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B23-TH-14
Đề bài: Cho SO ⟂ (ABCD) và O thuộc AC. Quan hệ giữa SO và AC là gì?
Phân tích: Đường vuông góc mặt phẳng vuông góc mọi đường trong mặt đi qua chân.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Đường vuông góc mặt phẳng vuông góc mọi đường trong mặt đi qua chân.
- Bước 2: SO ⟂ AC.
- Bước 3: Kết luận SO ⟂ AC.
Vì sao: AC nằm trong đáy và đi qua chân O.
Cách khác: Dùng định nghĩa đường vuông góc mặt phẳng.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho rằng SO vuông góc mọi đường trong đáy dù đường đó không đi qua O theo nghĩa giao nhau.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B23-VD-04
Đề bài: Để chứng minh d vuông góc mặt phẳng (P), chỉ cần chứng minh d vuông góc với mấy đường nào trong (P)?
Phân tích: Cần hai phương độc lập trong mặt phẳng.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Cần hai phương độc lập trong mặt phẳng.
- Bước 2: Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).
- Bước 3: Kết luận Hai đường cắt nhau.
Vì sao: Hai đường cắt nhau xác định toàn bộ phương của mặt phẳng.
Cách khác: Dùng tiêu chuẩn d⊥a, d⊥b, a∩b≠∅.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Chỉ chứng minh vuông góc một đường tùy ý.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B23-VD-14
Đề bài: Để chứng minh d vuông góc mặt phẳng (P), chỉ cần chứng minh d vuông góc với mấy đường nào trong (P)?
Phân tích: Cần hai phương độc lập trong mặt phẳng.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Cần hai phương độc lập trong mặt phẳng.
- Bước 2: Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).
- Bước 3: Kết luận Hai đường cắt nhau.
Vì sao: Hai đường cắt nhau xác định toàn bộ phương của mặt phẳng.
Cách khác: Dùng tiêu chuẩn d⊥a, d⊥b, a∩b≠∅.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Chỉ chứng minh vuông góc một đường tùy ý.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B23-VDC-04
Đề bài: Đường d có vectơ chỉ phương (1; 2; 2); mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến (2; 4; 4). Quan hệ d và (P)?
Phân tích: Đường vuông góc mặt phẳng khi vectơ chỉ phương cùng phương pháp tuyến.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Đường vuông góc mặt phẳng khi vectơ chỉ phương cùng phương pháp tuyến.
- Bước 2: d ⟂ (P).
- Bước 3: Kết luận d ⟂ (P).
Vì sao: Hai vectơ tỉ lệ với hệ số 2.
Cách khác: Pháp tuyến chính là một phương vuông góc mặt phẳng.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho rằng vectơ chỉ phương phải vuông góc pháp tuyến.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • B23-VDC-14
Đề bài: Đường d có vectơ chỉ phương (3; 2; 3); mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến (6; 4; 6). Quan hệ d và (P)?
Phân tích: Đường vuông góc mặt phẳng khi vectơ chỉ phương cùng phương pháp tuyến.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Đường vuông góc mặt phẳng khi vectơ chỉ phương cùng phương pháp tuyến.
- Bước 2: d ⟂ (P).
- Bước 3: Kết luận d ⟂ (P).
Vì sao: Hai vectơ tỉ lệ với hệ số 2.
Cách khác: Pháp tuyến chính là một phương vuông góc mặt phẳng.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho rằng vectơ chỉ phương phải vuông góc pháp tuyến.
09 • Thực tếVí dụ 9 • B23-TT-04
Đề bài: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng d thì quan hệ giữa chúng là gì?
Phân tích: d là phương pháp tuyến chung của hai mặt phẳng.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: d là phương pháp tuyến chung của hai mặt phẳng.
- Bước 2: Hai mặt phẳng song song.
- Bước 3: Kết luận Song song.
Vì sao: Các vectơ pháp tuyến cùng phương; hai mặt phẳng phân biệt nên song song.
Cách khác: Dùng tiêu chuẩn hai mặt phẳng song song qua pháp tuyến.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho rằng chúng có thể cắt nhau vì đều chứa các đường vuông góc d.
10 • Thực tếVí dụ 10 • B23-TT-14
Đề bài: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng d thì quan hệ giữa chúng là gì?
Phân tích: d là phương pháp tuyến chung của hai mặt phẳng.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: d là phương pháp tuyến chung của hai mặt phẳng.
- Bước 2: Hai mặt phẳng song song.
- Bước 3: Kết luận Song song.
Vì sao: Các vectơ pháp tuyến cùng phương; hai mặt phẳng phân biệt nên song song.
Cách khác: Dùng tiêu chuẩn hai mặt phẳng song song qua pháp tuyến.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho rằng chúng có thể cắt nhau vì đều chứa các đường vuông góc d.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Tình huống 1 dùng cột nhà, trục máy, cao độ công trình, đo thẳng đứng và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Trường học qua đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Tình huống 2 dùng cột nhà, trục máy, cao độ công trình, đo thẳng đứng và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Tình huống 3 dùng cột nhà, trục máy, cao độ công trình, đo thẳng đứng và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Tình huống 4 dùng cột nhà, trục máy, cao độ công trình, đo thẳng đứng và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Tình huống 5 dùng cột nhà, trục máy, cao độ công trình, đo thẳng đứng và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Tình huống 6 dùng cột nhà, trục máy, cao độ công trình, đo thẳng đứng và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Tình huống 7 dùng cột nhà, trục máy, cao độ công trình, đo thẳng đứng và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Tình huống 8 dùng cột nhà, trục máy, cao độ công trình, đo thẳng đứng và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Định nghĩa và chân vuông góc theo cách đơn giản?
Đường đứng đúng nghĩa vuông góc mọi phương qua chân trong mặt. Mốc chính xác: d⊥(P) tại H ⇒ d⊥a với mọi a⊂(P), H∈a. Ví dụ: Oz⊥(Oxy). Cách nhớ: Chân phải nằm trong mặt. Cần tránh: Dùng đường trong mặt không qua chân để nói hai đường cắt vuông góc.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Vuông góc một đường là đủ
Dùng đường trong mặt không qua chân để nói hai đường cắt vuông góc. Sửa bằng: Chân phải nằm trong mặt. Kiểm cuối: Có thể nói góc giữa chúng là 90° qua đường song song.
Hai đường trong mặt không cắt nhau
Chọn hai đường song song. Sửa bằng: Hai đường phải cắt nhau. Kiểm cuối: Đây là tiêu chuẩn dùng nhiều nhất trong chứng minh.
Chân chiếu không thuộc mặt
Cho chỉ phương vuông góc pháp tuyến. Sửa bằng: Đường vuông góc mặt ↔ pháp tuyến. Kiểm cuối: Dùng tọa độ để tự kiểm lời giải hình học.
Nhầm pháp tuyến với đường song song mặt
Dùng đường trong mặt không qua chân để nói hai đường cắt vuông góc. Sửa bằng: Chân phải nằm trong mặt. Kiểm cuối: Có thể nói góc giữa chúng là 90° qua đường song song.
Kết luận mọi đường trong mặt đều cắt d
Chọn hai đường song song. Sửa bằng: Hai đường phải cắt nhau. Kiểm cuối: Đây là tiêu chuẩn dùng nhiều nhất trong chứng minh.
Vuông góc một đường là đủ – biến thể 6
Cho chỉ phương vuông góc pháp tuyến. Sửa bằng: Đường vuông góc mặt ↔ pháp tuyến. Kiểm cuối: Dùng tọa độ để tự kiểm lời giải hình học.
Hai đường trong mặt không cắt nhau – biến thể 7
Dùng đường trong mặt không qua chân để nói hai đường cắt vuông góc. Sửa bằng: Chân phải nằm trong mặt. Kiểm cuối: Có thể nói góc giữa chúng là 90° qua đường song song.
Chân chiếu không thuộc mặt – biến thể 8
Chọn hai đường song song. Sửa bằng: Hai đường phải cắt nhau. Kiểm cuối: Đây là tiêu chuẩn dùng nhiều nhất trong chứng minh.
Nhầm pháp tuyến với đường song song mặt – biến thể 9
Cho chỉ phương vuông góc pháp tuyến. Sửa bằng: Đường vuông góc mặt ↔ pháp tuyến. Kiểm cuối: Dùng tọa độ để tự kiểm lời giải hình học.
Kết luận mọi đường trong mặt đều cắt d – biến thể 10
Dùng đường trong mặt không qua chân để nói hai đường cắt vuông góc. Sửa bằng: Chân phải nằm trong mặt. Kiểm cuối: Có thể nói góc giữa chúng là 90° qua đường song song.
Vuông góc một đường là đủ – biến thể 11
Chọn hai đường song song. Sửa bằng: Hai đường phải cắt nhau. Kiểm cuối: Đây là tiêu chuẩn dùng nhiều nhất trong chứng minh.
Hai đường trong mặt không cắt nhau – biến thể 12
Cho chỉ phương vuông góc pháp tuyến. Sửa bằng: Đường vuông góc mặt ↔ pháp tuyến. Kiểm cuối: Dùng tọa độ để tự kiểm lời giải hình học.
Chân chiếu không thuộc mặt – biến thể 13
Dùng đường trong mặt không qua chân để nói hai đường cắt vuông góc. Sửa bằng: Chân phải nằm trong mặt. Kiểm cuối: Có thể nói góc giữa chúng là 90° qua đường song song.
Nhầm pháp tuyến với đường song song mặt – biến thể 14
Chọn hai đường song song. Sửa bằng: Hai đường phải cắt nhau. Kiểm cuối: Đây là tiêu chuẩn dùng nhiều nhất trong chứng minh.
Kết luận mọi đường trong mặt đều cắt d – biến thể 15
Cho chỉ phương vuông góc pháp tuyến. Sửa bằng: Đường vuông góc mặt ↔ pháp tuyến. Kiểm cuối: Dùng tọa độ để tự kiểm lời giải hình học.
Vuông góc một đường là đủ – biến thể 16
Dùng đường trong mặt không qua chân để nói hai đường cắt vuông góc. Sửa bằng: Chân phải nằm trong mặt. Kiểm cuối: Có thể nói góc giữa chúng là 90° qua đường song song.
Hai đường trong mặt không cắt nhau – biến thể 17
Chọn hai đường song song. Sửa bằng: Hai đường phải cắt nhau. Kiểm cuối: Đây là tiêu chuẩn dùng nhiều nhất trong chứng minh.
Chân chiếu không thuộc mặt – biến thể 18
Cho chỉ phương vuông góc pháp tuyến. Sửa bằng: Đường vuông góc mặt ↔ pháp tuyến. Kiểm cuối: Dùng tọa độ để tự kiểm lời giải hình học.
Nhầm pháp tuyến với đường song song mặt – biến thể 19
Dùng đường trong mặt không qua chân để nói hai đường cắt vuông góc. Sửa bằng: Chân phải nằm trong mặt. Kiểm cuối: Có thể nói góc giữa chúng là 90° qua đường song song.
Kết luận mọi đường trong mặt đều cắt d – biến thể 20
Chọn hai đường song song. Sửa bằng: Hai đường phải cắt nhau. Kiểm cuối: Đây là tiêu chuẩn dùng nhiều nhất trong chứng minh.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Điều kiện ở lề trái
Viết miền xác định hoặc giả thiết hình học trước dòng biến đổi đầu tiên.
Chu trình 5–20–5
5 phút gọi nền, 20 phút học một nút, 5 phút tự nói lại không nhìn tài liệu.
Ví dụ – phản ví dụ
Mỗi định lí đi cùng một trường hợp đủ điều kiện và một trường hợp thiếu điều kiện.
Hai phép kiểm
Kiểm bằng biểu diễn thứ hai: thay nghiệm, đồ thị, vectơ, tọa độ hoặc đơn vị.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi điều đã làm, nguyên nhân sai và phép tự kiểm cho lần sau.
Ôn 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và kiểm cổng sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng1 2 3
Định nghĩa và chân vuông gócd⊥(P) tại H ⇒ d⊥a với mọi a⊂(P), H∈a. Chân phải nằm trong mặt.
Tiêu chuẩn hai đường cắta,b⊂(P), a∩b≠∅, d⊥a, d⊥b ⇒ d⊥(P). Hai đường phải cắt nhau.
Tính chất và pháp tuyếnd⊥(P) ⇔ vectơ chỉ phương d cùng phương pháp tuyến n(P). Đường vuông góc mặt ↔ pháp tuyến.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
B23-NB-01Hai vectơ u = (2; 3) và v = (3; −2) có vuông góc không?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 6 − 6 = 0 nên u ⟂ v.
Vì sao: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Sai ở đâu: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
B23-NB-02Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 3 và 4. Tính cạnh huyền.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng định lí Pythagore.
Lời giải: Cạnh huyền bằng √(3²+4²) = √25.
Vì sao: Độ dài đường chéo trong không gian cũng được xây từ Pythagore.
Sai ở đâu: Cộng trực tiếp hai cạnh.
Cách khác: Bình phương kết quả để tự kiểm.
B23-NB-03Trong tam giác ABC, MN ∥ BC và AM/AB = 4/9. Tính AN/AC.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng định lí Thalès.
Lời giải: AN/AC = AM/AB = 4/9.
Vì sao: Tỉ số hình phẳng là nền cho bài tỉ số thể tích.
Sai ở đâu: Đảo một tỉ số mà không đảo tỉ số tương ứng.
Cách khác: Dùng hai tam giác đồng dạng.
B23-NB-04Qua điểm M cho trước, có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P)?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng tính duy nhất của pháp tuyến qua một điểm.
Lời giải: Có duy nhất một đường thẳng.
Vì sao: Mọi đường vuông góc (P) đều song song với nhau.
Sai ở đâu: Nhầm với vô số đường qua M cắt mặt phẳng.
Cách khác: Dựng đường qua M song song một pháp tuyến của (P).
B23-NB-05Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng d thì quan hệ giữa chúng là gì?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: d là phương pháp tuyến chung của hai mặt phẳng.
Lời giải: Hai mặt phẳng song song.
Vì sao: Các vectơ pháp tuyến cùng phương; hai mặt phẳng phân biệt nên song song.
Sai ở đâu: Cho rằng chúng có thể cắt nhau vì đều chứa các đường vuông góc d.
Cách khác: Dùng tiêu chuẩn hai mặt phẳng song song qua pháp tuyến.
B23-NB-06Đường d có vectơ chỉ phương (2; 2; 1); mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến (4; 4; 2). Quan hệ d và (P)?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đường vuông góc mặt phẳng khi vectơ chỉ phương cùng phương pháp tuyến.
Lời giải: d ⟂ (P).
Vì sao: Hai vectơ tỉ lệ với hệ số 2.
Sai ở đâu: Cho rằng vectơ chỉ phương phải vuông góc pháp tuyến.
Cách khác: Pháp tuyến chính là một phương vuông góc mặt phẳng.
B23-NB-07Để chứng minh d vuông góc mặt phẳng (P), chỉ cần chứng minh d vuông góc với mấy đường nào trong (P)?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cần hai phương độc lập trong mặt phẳng.
Lời giải: Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).
Vì sao: Hai đường cắt nhau xác định toàn bộ phương của mặt phẳng.
Sai ở đâu: Chỉ chứng minh vuông góc một đường tùy ý.
Cách khác: Dùng tiêu chuẩn d⊥a, d⊥b, a∩b≠∅.
B23-NB-08Cho SO ⟂ (ABCD) và O thuộc AC. Quan hệ giữa SO và AC là gì?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đường vuông góc mặt phẳng vuông góc mọi đường trong mặt đi qua chân.
Lời giải: SO ⟂ AC.
Vì sao: AC nằm trong đáy và đi qua chân O.
Sai ở đâu: Cho rằng SO vuông góc mọi đường trong đáy dù đường đó không đi qua O theo nghĩa giao nhau.
Cách khác: Dùng định nghĩa đường vuông góc mặt phẳng.
B23-NB-09Qua điểm M cho trước, có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P)?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng tính duy nhất của pháp tuyến qua một điểm.
Lời giải: Có duy nhất một đường thẳng.
Vì sao: Mọi đường vuông góc (P) đều song song với nhau.
Sai ở đâu: Nhầm với vô số đường qua M cắt mặt phẳng.
Cách khác: Dựng đường qua M song song một pháp tuyến của (P).
B23-NB-10Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng d thì quan hệ giữa chúng là gì?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: d là phương pháp tuyến chung của hai mặt phẳng.
Lời giải: Hai mặt phẳng song song.
Vì sao: Các vectơ pháp tuyến cùng phương; hai mặt phẳng phân biệt nên song song.
Sai ở đâu: Cho rằng chúng có thể cắt nhau vì đều chứa các đường vuông góc d.
Cách khác: Dùng tiêu chuẩn hai mặt phẳng song song qua pháp tuyến.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
[B23-NB-01] Hai vectơ u = (2; 3) và v = (3; −2) có vuông góc không?
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Hai vectơ u = (2; 3) và v = (3; −2) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 6 − 6 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 2Đường d có vectơ chỉ phương (2; 2; 1); mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến (4; 4; 2). Quan hệ d và (P)?
Gợi ý: Đường vuông góc mặt phẳng khi vectơ chỉ phương cùng phương pháp tuyến.
Lời giải: d ⟂ (P).
Giải thích: Hai vectơ tỉ lệ với hệ số 2.
Lỗi cần tránh: Cho rằng vectơ chỉ phương phải vuông góc pháp tuyến.
Cách khác: Pháp tuyến chính là một phương vuông góc mặt phẳng.
TỰ LUẬN 3Đường d có vectơ chỉ phương (3; 2; 3); mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến (6; 4; 6). Quan hệ d và (P)?
Gợi ý: Đường vuông góc mặt phẳng khi vectơ chỉ phương cùng phương pháp tuyến.
Lời giải: d ⟂ (P).
Giải thích: Hai vectơ tỉ lệ với hệ số 2.
Lỗi cần tránh: Cho rằng vectơ chỉ phương phải vuông góc pháp tuyến.
Cách khác: Pháp tuyến chính là một phương vuông góc mặt phẳng.
TỰ LUẬN 4Đường d có vectơ chỉ phương (4; 2; 2); mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến (8; 4; 4). Quan hệ d và (P)?
Gợi ý: Đường vuông góc mặt phẳng khi vectơ chỉ phương cùng phương pháp tuyến.
Lời giải: d ⟂ (P).
Giải thích: Hai vectơ tỉ lệ với hệ số 2.
Lỗi cần tránh: Cho rằng vectơ chỉ phương phải vuông góc pháp tuyến.
Cách khác: Pháp tuyến chính là một phương vuông góc mặt phẳng.
TỰ LUẬN 5Hai vectơ u = (5; 6) và v = (6; −5) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 30 − 30 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 6Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng d thì quan hệ giữa chúng là gì?
Gợi ý: d là phương pháp tuyến chung của hai mặt phẳng.
Lời giải: Hai mặt phẳng song song.
Giải thích: Các vectơ pháp tuyến cùng phương; hai mặt phẳng phân biệt nên song song.
Lỗi cần tránh: Cho rằng chúng có thể cắt nhau vì đều chứa các đường vuông góc d.
Cách khác: Dùng tiêu chuẩn hai mặt phẳng song song qua pháp tuyến.
TỰ LUẬN 7Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng d thì quan hệ giữa chúng là gì?
Gợi ý: d là phương pháp tuyến chung của hai mặt phẳng.
Lời giải: Hai mặt phẳng song song.
Giải thích: Các vectơ pháp tuyến cùng phương; hai mặt phẳng phân biệt nên song song.
Lỗi cần tránh: Cho rằng chúng có thể cắt nhau vì đều chứa các đường vuông góc d.
Cách khác: Dùng tiêu chuẩn hai mặt phẳng song song qua pháp tuyến.
TỰ LUẬN 8Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng d thì quan hệ giữa chúng là gì?
Gợi ý: d là phương pháp tuyến chung của hai mặt phẳng.
Lời giải: Hai mặt phẳng song song.
Giải thích: Các vectơ pháp tuyến cùng phương; hai mặt phẳng phân biệt nên song song.
Lỗi cần tránh: Cho rằng chúng có thể cắt nhau vì đều chứa các đường vuông góc d.
Cách khác: Dùng tiêu chuẩn hai mặt phẳng song song qua pháp tuyến.
TỰ LUẬN 9Hai vectơ u = (3; 5) và v = (5; −3) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 15 − 15 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 10Qua điểm M cho trước, có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P)?
Gợi ý: Dùng tính duy nhất của pháp tuyến qua một điểm.
Lời giải: Có duy nhất một đường thẳng.
Giải thích: Mọi đường vuông góc (P) đều song song với nhau.
Lỗi cần tránh: Nhầm với vô số đường qua M cắt mặt phẳng.
Cách khác: Dựng đường qua M song song một pháp tuyến của (P).
TỰ LUẬN 11Qua điểm M cho trước, có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P)?
Gợi ý: Dùng tính duy nhất của pháp tuyến qua một điểm.
Lời giải: Có duy nhất một đường thẳng.
Giải thích: Mọi đường vuông góc (P) đều song song với nhau.
Lỗi cần tránh: Nhầm với vô số đường qua M cắt mặt phẳng.
Cách khác: Dựng đường qua M song song một pháp tuyến của (P).
TỰ LUẬN 12Qua điểm M cho trước, có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P)?
Gợi ý: Dùng tính duy nhất của pháp tuyến qua một điểm.
Lời giải: Có duy nhất một đường thẳng.
Giải thích: Mọi đường vuông góc (P) đều song song với nhau.
Lỗi cần tránh: Nhầm với vô số đường qua M cắt mặt phẳng.
Cách khác: Dựng đường qua M song song một pháp tuyến của (P).
TỰ LUẬN 13Hai vectơ u = (6; 4) và v = (4; −6) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 24 − 24 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 14Cho SO ⟂ (ABCD) và O thuộc AC. Quan hệ giữa SO và AC là gì?
Gợi ý: Đường vuông góc mặt phẳng vuông góc mọi đường trong mặt đi qua chân.
Lời giải: SO ⟂ AC.
Giải thích: AC nằm trong đáy và đi qua chân O.
Lỗi cần tránh: Cho rằng SO vuông góc mọi đường trong đáy dù đường đó không đi qua O theo nghĩa giao nhau.
Cách khác: Dùng định nghĩa đường vuông góc mặt phẳng.
TỰ LUẬN 15Cho SO ⟂ (ABCD) và O thuộc AC. Quan hệ giữa SO và AC là gì?
Gợi ý: Đường vuông góc mặt phẳng vuông góc mọi đường trong mặt đi qua chân.
Lời giải: SO ⟂ AC.
Giải thích: AC nằm trong đáy và đi qua chân O.
Lỗi cần tránh: Cho rằng SO vuông góc mọi đường trong đáy dù đường đó không đi qua O theo nghĩa giao nhau.
Cách khác: Dùng định nghĩa đường vuông góc mặt phẳng.
TỰ LUẬN 16Cho SO ⟂ (ABCD) và O thuộc AC. Quan hệ giữa SO và AC là gì?
Gợi ý: Đường vuông góc mặt phẳng vuông góc mọi đường trong mặt đi qua chân.
Lời giải: SO ⟂ AC.
Giải thích: AC nằm trong đáy và đi qua chân O.
Lỗi cần tránh: Cho rằng SO vuông góc mọi đường trong đáy dù đường đó không đi qua O theo nghĩa giao nhau.
Cách khác: Dùng định nghĩa đường vuông góc mặt phẳng.
TỰ LUẬN 17Hai vectơ u = (4; 3) và v = (3; −4) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 12 − 12 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 18Để chứng minh d vuông góc mặt phẳng (P), chỉ cần chứng minh d vuông góc với mấy đường nào trong (P)?
Gợi ý: Cần hai phương độc lập trong mặt phẳng.
Lời giải: Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).
Giải thích: Hai đường cắt nhau xác định toàn bộ phương của mặt phẳng.
Lỗi cần tránh: Chỉ chứng minh vuông góc một đường tùy ý.
Cách khác: Dùng tiêu chuẩn d⊥a, d⊥b, a∩b≠∅.
TỰ LUẬN 19Để chứng minh d vuông góc mặt phẳng (P), chỉ cần chứng minh d vuông góc với mấy đường nào trong (P)?
Gợi ý: Cần hai phương độc lập trong mặt phẳng.
Lời giải: Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).
Giải thích: Hai đường cắt nhau xác định toàn bộ phương của mặt phẳng.
Lỗi cần tránh: Chỉ chứng minh vuông góc một đường tùy ý.
Cách khác: Dùng tiêu chuẩn d⊥a, d⊥b, a∩b≠∅.
TỰ LUẬN 20Để chứng minh d vuông góc mặt phẳng (P), chỉ cần chứng minh d vuông góc với mấy đường nào trong (P)?
Gợi ý: Cần hai phương độc lập trong mặt phẳng.
Lời giải: Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).
Giải thích: Hai đường cắt nhau xác định toàn bộ phương của mặt phẳng.
Lỗi cần tránh: Chỉ chứng minh vuông góc một đường tùy ý.
Cách khác: Dùng tiêu chuẩn d⊥a, d⊥b, a∩b≠∅.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B23-NB-01, B23-NB-02, B23-NB-03, B23-NB-04, B23-NB-05, B23-NB-06, B23-NB-07, B23-NB-08, B23-NB-09, B23-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B23-NB-01: Có
- B23-NB-02: √25
- B23-NB-03: 4/9
- B23-NB-04: Một đường duy nhất
- B23-NB-05: Song song
- B23-NB-06: d ⟂ (P)
- B23-NB-07: Hai đường cắt nhau
- B23-NB-08: SO ⟂ AC
- B23-NB-09: Một đường duy nhất
- B23-NB-10: Song song
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 7
10 câu đại diện: B23-NB-11, B23-NB-12, B23-NB-13, B23-NB-14, B23-NB-15, B23-NB-16, B23-NB-17, B23-NB-18, B23-NB-19, B23-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B23-NB-11: d ⟂ (P)
- B23-NB-12: Hai đường cắt nhau
- B23-NB-13: SO ⟂ AC
- B23-NB-14: Một đường duy nhất
- B23-NB-15: Song song
- B23-NB-16: d ⟂ (P)
- B23-NB-17: Hai đường cắt nhau
- B23-NB-18: SO ⟂ AC
- B23-NB-19: Một đường duy nhất
- B23-NB-20: Song song
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B23-TH-01, B23-TH-02, B23-TH-03, B23-TH-04, B23-TH-05, B23-TH-06, B23-TH-07, B23-TH-08, B23-TH-09, B23-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B23-TH-01: Có
- B23-TH-02: √45
- B23-TH-03: 2/6
- B23-TH-04: SO ⟂ AC
- B23-TH-05: Một đường duy nhất
- B23-TH-06: Song song
- B23-TH-07: d ⟂ (P)
- B23-TH-08: Hai đường cắt nhau
- B23-TH-09: SO ⟂ AC
- B23-TH-10: Một đường duy nhất
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B23-TH-11, B23-TH-12, B23-TH-13, B23-TH-14, B23-TH-15, B23-TH-16, B23-TH-17, B23-TH-18, B23-TH-19, B23-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B23-TH-11: Song song
- B23-TH-12: d ⟂ (P)
- B23-TH-13: Hai đường cắt nhau
- B23-TH-14: SO ⟂ AC
- B23-TH-15: Một đường duy nhất
- B23-TH-16: Song song
- B23-TH-17: d ⟂ (P)
- B23-TH-18: Hai đường cắt nhau
- B23-TH-19: SO ⟂ AC
- B23-TH-20: Một đường duy nhất
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: B23-VD-01, B23-VD-02, B23-VD-03, B23-VD-04, B23-VD-05, B23-VD-06, B23-VD-07, B23-VD-08, B23-VD-09, B23-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B23-VD-01: Có
- B23-VD-02: √52
- B23-VD-03: 5/8
- B23-VD-04: Hai đường cắt nhau
- B23-VD-05: SO ⟂ AC
- B23-VD-06: Một đường duy nhất
- B23-VD-07: Song song
- B23-VD-08: d ⟂ (P)
- B23-VD-09: Hai đường cắt nhau
- B23-VD-10: SO ⟂ AC
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi phiên 35–50 phút, ưu tiên con giải thích điều kiện hơn làm thật nhiều câu.
- Hỏi con vì sao công thức dùng được và cách tự kiểm đáp số.
- Theo dõi ba lỗi lặp lại gần nhất cùng lịch ôn 1–7–30.
- Khuyến khích con vẽ mô hình, đọc đơn vị và ước lượng trước khi tính.
- Mở bài bằng phản ví dụ thiếu điều kiện để học sinh tự phát hiện.
- Chấm theo mốc điều kiện–công cụ–suy luận–kết luận, không chỉ đáp số.
- Kết hợp đại số, đồ thị, hình học tổng hợp và tọa độ để kiểm chéo.
- Đề nội bộ định hướng Hà Nội phải ghi rõ tính tham khảo.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.