Nhìn quy luật có điều kiện
Bài học biến cột nhà, trục máy, cao độ công trình, đo thẳng đứng và cảm biến thành mô hình có thể kiểm chứng.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- d⊥(P) khi d vuông góc mọi đường trong (P) qua chân.
- Tiêu chuẩn đủ: d vuông góc hai đường cắt nhau trong (P).
- Qua một điểm có duy nhất đường vuông góc mặt phẳng.
Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Nhận biết, chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng bằng tiêu chuẩn hai đường cắt nhau; khai thác hình chiếu và các tính chất liên quan.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Lập luận và đo lường
Biết gọi dữ kiện, kiểm điều kiện, chọn công cụ và diễn giải kết quả.
Nối đúng nền
Kích hoạt bài 22, quan hệ thuộc và song song trong không gian rồi chuẩn bị cho Bài 24. Phép chiếu vuông góc và góc đường–mặt.
Ví dụ – phản ví dụ – tự kiểm
Mỗi quy tắc có trường hợp đúng, trường hợp thiếu điều kiện và phép kiểm độc lập.
- Áp dụng tiêu chuẩn đường vuông góc mặt.
- Dựng hình chiếu vuông góc của điểm.
- Dùng tính chất đường vuông góc mặt.
- Chứng minh trong hình chóp, lăng trụ, hình hộp.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Bài 22, quan hệ thuộc và song song trong không gian.
- Viết điều kiện hoặc quan hệ hình học trước khi tính.
- Ước lượng dấu, miền, góc, khoảng cách hoặc thể tích.
- Kiểm bằng thay nghiệm, đồ thị, vectơ, tọa độ hoặc đơn vị.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Định nghĩa và chân vuông góc
Hiểu đơn giản: Đường đứng đúng nghĩa vuông góc mọi phương qua chân trong mặt.
d⊥(P) tại H ⇒ d⊥a với mọi a⊂(P), H∈a.
Ví dụ: Oz⊥(Oxy).
Hình nên dùng: Cột và mặt sàn.
Mô phỏng: Nghiêng cột quanh chân.
Mẹo nhớ: Chân phải nằm trong mặt.
Sai lầm: Dùng đường trong mặt không qua chân để nói hai đường cắt vuông góc.
Ghi chú: Có thể nói góc giữa chúng là 90° qua đường song song.
Tiêu chuẩn hai đường cắt
Hiểu đơn giản: Hai hướng cắt nhau đại diện toàn bộ mặt phẳng.
a,b⊂(P), a∩b≠∅, d⊥a, d⊥b ⇒ d⊥(P).
Ví dụ: SA⊥AB và SA⊥AD ⇒ SA⊥(ABCD).
Hình nên dùng: Hai mũi tên vuông góc trong đáy.
Mô phỏng: Thay góc giữa a,b.
Mẹo nhớ: Hai đường phải cắt nhau.
Sai lầm: Chọn hai đường song song.
Ghi chú: Đây là tiêu chuẩn dùng nhiều nhất trong chứng minh.
Tính chất và pháp tuyến
Hiểu đơn giản: Mọi đường vuông góc cùng một mặt có cùng phương.
d⊥(P) ⇔ vectơ chỉ phương d cùng phương pháp tuyến n(P).
Ví dụ: d hướng (1,2,3), n(P)=(2,4,6).
Hình nên dùng: Các pháp tuyến song song.
Mô phỏng: Dịch pháp tuyến qua điểm.
Mẹo nhớ: Đường vuông góc mặt ↔ pháp tuyến.
Sai lầm: Cho chỉ phương vuông góc pháp tuyến.
Ghi chú: Dùng tọa độ để tự kiểm lời giải hình học.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB GÓC ĐƯỜNG THẲNG – MẶT PHẲNG
Đo bằng vectơ chỉ phương và pháp tuyến
Nhập vectơ chỉ phương u⃗ của đường thẳng và pháp tuyến n⃗ của mặt phẳng. Góc cần tìm thỏa sin α = |u⃗·n⃗|/(|u⃗||n⃗|).
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B23-NB-04
Đề bài: Qua điểm M cho trước, có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P)?
Phân tích: Dùng tính duy nhất của pháp tuyến qua một điểm.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Dùng tính duy nhất của pháp tuyến qua một điểm.
- Bước 2: Có duy nhất một đường thẳng.
- Bước 3: Kết luận Một đường duy nhất.
Vì sao: Mọi đường vuông góc (P) đều song song với nhau.
Cách khác: Dựng đường qua M song song một pháp tuyến của (P).
Tự kiểm: Chặn lỗi: Nhầm với vô số đường qua M cắt mặt phẳng.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B23-NB-14
Đề bài: Qua điểm M cho trước, có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P)?
Phân tích: Dùng tính duy nhất của pháp tuyến qua một điểm.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Dùng tính duy nhất của pháp tuyến qua một điểm.
- Bước 2: Có duy nhất một đường thẳng.
- Bước 3: Kết luận Một đường duy nhất.
Vì sao: Mọi đường vuông góc (P) đều song song với nhau.
Cách khác: Dựng đường qua M song song một pháp tuyến của (P).
Tự kiểm: Chặn lỗi: Nhầm với vô số đường qua M cắt mặt phẳng.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B23-TH-04
Đề bài: Cho SO ⟂ (ABCD) và O thuộc AC. Quan hệ giữa SO và AC là gì?
Phân tích: Đường vuông góc mặt phẳng vuông góc mọi đường trong mặt đi qua chân.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Đường vuông góc mặt phẳng vuông góc mọi đường trong mặt đi qua chân.
- Bước 2: SO ⟂ AC.
- Bước 3: Kết luận SO ⟂ AC.
Vì sao: AC nằm trong đáy và đi qua chân O.
Cách khác: Dùng định nghĩa đường vuông góc mặt phẳng.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho rằng SO vuông góc mọi đường trong đáy dù đường đó không đi qua O theo nghĩa giao nhau.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B23-TH-14
Đề bài: Cho SO ⟂ (ABCD) và O thuộc AC. Quan hệ giữa SO và AC là gì?
Phân tích: Đường vuông góc mặt phẳng vuông góc mọi đường trong mặt đi qua chân.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Đường vuông góc mặt phẳng vuông góc mọi đường trong mặt đi qua chân.
- Bước 2: SO ⟂ AC.
- Bước 3: Kết luận SO ⟂ AC.
Vì sao: AC nằm trong đáy và đi qua chân O.
Cách khác: Dùng định nghĩa đường vuông góc mặt phẳng.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho rằng SO vuông góc mọi đường trong đáy dù đường đó không đi qua O theo nghĩa giao nhau.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B23-VD-04
Đề bài: Để chứng minh d vuông góc mặt phẳng (P), chỉ cần chứng minh d vuông góc với mấy đường nào trong (P)?
Phân tích: Cần hai phương độc lập trong mặt phẳng.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Cần hai phương độc lập trong mặt phẳng.
- Bước 2: Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).
- Bước 3: Kết luận Hai đường cắt nhau.
Vì sao: Hai đường cắt nhau xác định toàn bộ phương của mặt phẳng.
Cách khác: Dùng tiêu chuẩn d⊥a, d⊥b, a∩b≠∅.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Chỉ chứng minh vuông góc một đường tùy ý.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B23-VD-14
Đề bài: Để chứng minh d vuông góc mặt phẳng (P), chỉ cần chứng minh d vuông góc với mấy đường nào trong (P)?
Phân tích: Cần hai phương độc lập trong mặt phẳng.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Cần hai phương độc lập trong mặt phẳng.
- Bước 2: Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).
- Bước 3: Kết luận Hai đường cắt nhau.
Vì sao: Hai đường cắt nhau xác định toàn bộ phương của mặt phẳng.
Cách khác: Dùng tiêu chuẩn d⊥a, d⊥b, a∩b≠∅.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Chỉ chứng minh vuông góc một đường tùy ý.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B23-VDC-04
Đề bài: Đường d có vectơ chỉ phương (1; 2; 2); mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến (2; 4; 4). Quan hệ d và (P)?
Phân tích: Đường vuông góc mặt phẳng khi vectơ chỉ phương cùng phương pháp tuyến.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Đường vuông góc mặt phẳng khi vectơ chỉ phương cùng phương pháp tuyến.
- Bước 2: d ⟂ (P).
- Bước 3: Kết luận d ⟂ (P).
Vì sao: Hai vectơ tỉ lệ với hệ số 2.
Cách khác: Pháp tuyến chính là một phương vuông góc mặt phẳng.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho rằng vectơ chỉ phương phải vuông góc pháp tuyến.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • B23-VDC-14
Đề bài: Đường d có vectơ chỉ phương (3; 2; 3); mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến (6; 4; 6). Quan hệ d và (P)?
Phân tích: Đường vuông góc mặt phẳng khi vectơ chỉ phương cùng phương pháp tuyến.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Đường vuông góc mặt phẳng khi vectơ chỉ phương cùng phương pháp tuyến.
- Bước 2: d ⟂ (P).
- Bước 3: Kết luận d ⟂ (P).
Vì sao: Hai vectơ tỉ lệ với hệ số 2.
Cách khác: Pháp tuyến chính là một phương vuông góc mặt phẳng.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho rằng vectơ chỉ phương phải vuông góc pháp tuyến.
09 • Thực tếVí dụ 9 • B23-TT-04
Đề bài: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng d thì quan hệ giữa chúng là gì?
Phân tích: d là phương pháp tuyến chung của hai mặt phẳng.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: d là phương pháp tuyến chung của hai mặt phẳng.
- Bước 2: Hai mặt phẳng song song.
- Bước 3: Kết luận Song song.
Vì sao: Các vectơ pháp tuyến cùng phương; hai mặt phẳng phân biệt nên song song.
Cách khác: Dùng tiêu chuẩn hai mặt phẳng song song qua pháp tuyến.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho rằng chúng có thể cắt nhau vì đều chứa các đường vuông góc d.
10 • Thực tếVí dụ 10 • B23-TT-14
Đề bài: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng d thì quan hệ giữa chúng là gì?
Phân tích: d là phương pháp tuyến chung của hai mặt phẳng.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: d là phương pháp tuyến chung của hai mặt phẳng.
- Bước 2: Hai mặt phẳng song song.
- Bước 3: Kết luận Song song.
Vì sao: Các vectơ pháp tuyến cùng phương; hai mặt phẳng phân biệt nên song song.
Cách khác: Dùng tiêu chuẩn hai mặt phẳng song song qua pháp tuyến.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho rằng chúng có thể cắt nhau vì đều chứa các đường vuông góc d.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Tình huống 1 dùng cột nhà, trục máy, cao độ công trình, đo thẳng đứng và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Trường học qua đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Tình huống 2 dùng cột nhà, trục máy, cao độ công trình, đo thẳng đứng và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Tình huống 3 dùng cột nhà, trục máy, cao độ công trình, đo thẳng đứng và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Tình huống 4 dùng cột nhà, trục máy, cao độ công trình, đo thẳng đứng và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Tình huống 5 dùng cột nhà, trục máy, cao độ công trình, đo thẳng đứng và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Tình huống 6 dùng cột nhà, trục máy, cao độ công trình, đo thẳng đứng và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Tình huống 7 dùng cột nhà, trục máy, cao độ công trình, đo thẳng đứng và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Tình huống 8 dùng cột nhà, trục máy, cao độ công trình, đo thẳng đứng và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Định nghĩa và chân vuông góc theo cách đơn giản?
Đường đứng đúng nghĩa vuông góc mọi phương qua chân trong mặt. Mốc chính xác: d⊥(P) tại H ⇒ d⊥a với mọi a⊂(P), H∈a. Ví dụ: Oz⊥(Oxy). Cách nhớ: Chân phải nằm trong mặt. Cần tránh: Dùng đường trong mặt không qua chân để nói hai đường cắt vuông góc.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Vuông góc một đường là đủ
Dùng đường trong mặt không qua chân để nói hai đường cắt vuông góc. Sửa bằng: Chân phải nằm trong mặt. Kiểm cuối: Có thể nói góc giữa chúng là 90° qua đường song song.
Hai đường trong mặt không cắt nhau
Chọn hai đường song song. Sửa bằng: Hai đường phải cắt nhau. Kiểm cuối: Đây là tiêu chuẩn dùng nhiều nhất trong chứng minh.
Chân chiếu không thuộc mặt
Cho chỉ phương vuông góc pháp tuyến. Sửa bằng: Đường vuông góc mặt ↔ pháp tuyến. Kiểm cuối: Dùng tọa độ để tự kiểm lời giải hình học.
Nhầm pháp tuyến với đường song song mặt
Dùng đường trong mặt không qua chân để nói hai đường cắt vuông góc. Sửa bằng: Chân phải nằm trong mặt. Kiểm cuối: Có thể nói góc giữa chúng là 90° qua đường song song.
Kết luận mọi đường trong mặt đều cắt d
Chọn hai đường song song. Sửa bằng: Hai đường phải cắt nhau. Kiểm cuối: Đây là tiêu chuẩn dùng nhiều nhất trong chứng minh.
Vuông góc một đường là đủ – biến thể 6
Cho chỉ phương vuông góc pháp tuyến. Sửa bằng: Đường vuông góc mặt ↔ pháp tuyến. Kiểm cuối: Dùng tọa độ để tự kiểm lời giải hình học.
Hai đường trong mặt không cắt nhau – biến thể 7
Dùng đường trong mặt không qua chân để nói hai đường cắt vuông góc. Sửa bằng: Chân phải nằm trong mặt. Kiểm cuối: Có thể nói góc giữa chúng là 90° qua đường song song.
Chân chiếu không thuộc mặt – biến thể 8
Chọn hai đường song song. Sửa bằng: Hai đường phải cắt nhau. Kiểm cuối: Đây là tiêu chuẩn dùng nhiều nhất trong chứng minh.
Nhầm pháp tuyến với đường song song mặt – biến thể 9
Cho chỉ phương vuông góc pháp tuyến. Sửa bằng: Đường vuông góc mặt ↔ pháp tuyến. Kiểm cuối: Dùng tọa độ để tự kiểm lời giải hình học.
Kết luận mọi đường trong mặt đều cắt d – biến thể 10
Dùng đường trong mặt không qua chân để nói hai đường cắt vuông góc. Sửa bằng: Chân phải nằm trong mặt. Kiểm cuối: Có thể nói góc giữa chúng là 90° qua đường song song.
Vuông góc một đường là đủ – biến thể 11
Chọn hai đường song song. Sửa bằng: Hai đường phải cắt nhau. Kiểm cuối: Đây là tiêu chuẩn dùng nhiều nhất trong chứng minh.
Hai đường trong mặt không cắt nhau – biến thể 12
Cho chỉ phương vuông góc pháp tuyến. Sửa bằng: Đường vuông góc mặt ↔ pháp tuyến. Kiểm cuối: Dùng tọa độ để tự kiểm lời giải hình học.
Chân chiếu không thuộc mặt – biến thể 13
Dùng đường trong mặt không qua chân để nói hai đường cắt vuông góc. Sửa bằng: Chân phải nằm trong mặt. Kiểm cuối: Có thể nói góc giữa chúng là 90° qua đường song song.
Nhầm pháp tuyến với đường song song mặt – biến thể 14
Chọn hai đường song song. Sửa bằng: Hai đường phải cắt nhau. Kiểm cuối: Đây là tiêu chuẩn dùng nhiều nhất trong chứng minh.
Kết luận mọi đường trong mặt đều cắt d – biến thể 15
Cho chỉ phương vuông góc pháp tuyến. Sửa bằng: Đường vuông góc mặt ↔ pháp tuyến. Kiểm cuối: Dùng tọa độ để tự kiểm lời giải hình học.
Vuông góc một đường là đủ – biến thể 16
Dùng đường trong mặt không qua chân để nói hai đường cắt vuông góc. Sửa bằng: Chân phải nằm trong mặt. Kiểm cuối: Có thể nói góc giữa chúng là 90° qua đường song song.
Hai đường trong mặt không cắt nhau – biến thể 17
Chọn hai đường song song. Sửa bằng: Hai đường phải cắt nhau. Kiểm cuối: Đây là tiêu chuẩn dùng nhiều nhất trong chứng minh.
Chân chiếu không thuộc mặt – biến thể 18
Cho chỉ phương vuông góc pháp tuyến. Sửa bằng: Đường vuông góc mặt ↔ pháp tuyến. Kiểm cuối: Dùng tọa độ để tự kiểm lời giải hình học.
Nhầm pháp tuyến với đường song song mặt – biến thể 19
Dùng đường trong mặt không qua chân để nói hai đường cắt vuông góc. Sửa bằng: Chân phải nằm trong mặt. Kiểm cuối: Có thể nói góc giữa chúng là 90° qua đường song song.
Kết luận mọi đường trong mặt đều cắt d – biến thể 20
Chọn hai đường song song. Sửa bằng: Hai đường phải cắt nhau. Kiểm cuối: Đây là tiêu chuẩn dùng nhiều nhất trong chứng minh.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Điều kiện ở lề trái
Viết miền xác định hoặc giả thiết hình học trước dòng biến đổi đầu tiên.
Chu trình 5–20–5
5 phút gọi nền, 20 phút học một nút, 5 phút tự nói lại không nhìn tài liệu.
Ví dụ – phản ví dụ
Mỗi định lí đi cùng một trường hợp đủ điều kiện và một trường hợp thiếu điều kiện.
Hai phép kiểm
Kiểm bằng biểu diễn thứ hai: thay nghiệm, đồ thị, vectơ, tọa độ hoặc đơn vị.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi điều đã làm, nguyên nhân sai và phép tự kiểm cho lần sau.
Ôn 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và kiểm cổng sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng1 2 3
Định nghĩa và chân vuông gócd⊥(P) tại H ⇒ d⊥a với mọi a⊂(P), H∈a. Chân phải nằm trong mặt.
Tiêu chuẩn hai đường cắta,b⊂(P), a∩b≠∅, d⊥a, d⊥b ⇒ d⊥(P). Hai đường phải cắt nhau.
Tính chất và pháp tuyếnd⊥(P) ⇔ vectơ chỉ phương d cùng phương pháp tuyến n(P). Đường vuông góc mặt ↔ pháp tuyến.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
B23-NB-01Hai vectơ u = (2; 3) và v = (3; −2) có vuông góc không?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 6 − 6 = 0 nên u ⟂ v.
Vì sao: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Sai ở đâu: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
B23-NB-02Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 3 và 4. Tính cạnh huyền.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng định lí Pythagore.
Lời giải: Cạnh huyền bằng √(3²+4²) = √25.
Vì sao: Độ dài đường chéo trong không gian cũng được xây từ Pythagore.
Sai ở đâu: Cộng trực tiếp hai cạnh.
Cách khác: Bình phương kết quả để tự kiểm.
B23-NB-03Trong tam giác ABC, MN ∥ BC và AM/AB = 4/9. Tính AN/AC.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng định lí Thalès.
Lời giải: AN/AC = AM/AB = 4/9.
Vì sao: Tỉ số hình phẳng là nền cho bài tỉ số thể tích.
Sai ở đâu: Đảo một tỉ số mà không đảo tỉ số tương ứng.
Cách khác: Dùng hai tam giác đồng dạng.
B23-NB-04Qua điểm M cho trước, có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P)?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng tính duy nhất của pháp tuyến qua một điểm.
Lời giải: Có duy nhất một đường thẳng.
Vì sao: Mọi đường vuông góc (P) đều song song với nhau.
Sai ở đâu: Nhầm với vô số đường qua M cắt mặt phẳng.
Cách khác: Dựng đường qua M song song một pháp tuyến của (P).
B23-NB-05Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng d thì quan hệ giữa chúng là gì?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: d là phương pháp tuyến chung của hai mặt phẳng.
Lời giải: Hai mặt phẳng song song.
Vì sao: Các vectơ pháp tuyến cùng phương; hai mặt phẳng phân biệt nên song song.
Sai ở đâu: Cho rằng chúng có thể cắt nhau vì đều chứa các đường vuông góc d.
Cách khác: Dùng tiêu chuẩn hai mặt phẳng song song qua pháp tuyến.
B23-NB-06Đường d có vectơ chỉ phương (2; 2; 1); mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến (4; 4; 2). Quan hệ d và (P)?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đường vuông góc mặt phẳng khi vectơ chỉ phương cùng phương pháp tuyến.
Lời giải: d ⟂ (P).
Vì sao: Hai vectơ tỉ lệ với hệ số 2.
Sai ở đâu: Cho rằng vectơ chỉ phương phải vuông góc pháp tuyến.
Cách khác: Pháp tuyến chính là một phương vuông góc mặt phẳng.
B23-NB-07Để chứng minh d vuông góc mặt phẳng (P), chỉ cần chứng minh d vuông góc với mấy đường nào trong (P)?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cần hai phương độc lập trong mặt phẳng.
Lời giải: Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).
Vì sao: Hai đường cắt nhau xác định toàn bộ phương của mặt phẳng.
Sai ở đâu: Chỉ chứng minh vuông góc một đường tùy ý.
Cách khác: Dùng tiêu chuẩn d⊥a, d⊥b, a∩b≠∅.
B23-NB-08Cho SO ⟂ (ABCD) và O thuộc AC. Quan hệ giữa SO và AC là gì?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đường vuông góc mặt phẳng vuông góc mọi đường trong mặt đi qua chân.
Lời giải: SO ⟂ AC.
Vì sao: AC nằm trong đáy và đi qua chân O.
Sai ở đâu: Cho rằng SO vuông góc mọi đường trong đáy dù đường đó không đi qua O theo nghĩa giao nhau.
Cách khác: Dùng định nghĩa đường vuông góc mặt phẳng.
B23-NB-09Đường thẳng d đi qua O và vuông góc với hai đường a,b cắt nhau tại O, cùng nằm trong (P). Khi đó:
Mục tiêu: Thông hiểu — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đây là dấu hiệu nhận biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Lời giải: Đây là dấu hiệu nhận biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hai đường a,b phải cắt nhau; giả thiết đã bảo đảm điều kiện đó.
Vì sao: Đây là dấu hiệu nhận biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hai đường a,b phải cắt nhau; giả thiết đã bảo đảm điều kiện đó.
Sai ở đâu: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: geometry-line-plane-test-0-0
B23-NB-10Trong hình lập phương ABCD.A′B′C′D′, đường thẳng nào vuông góc với (ABCD)?
Mục tiêu: Thông hiểu — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Các cạnh bên của hình lập phương vuông góc với mặt đáy.
Lời giải: Các cạnh bên của hình lập phương vuông góc với mặt đáy. Do đó AA′⊥(ABCD).
Vì sao: Các cạnh bên của hình lập phương vuông góc với mặt đáy. Do đó AA′⊥(ABCD).
Sai ở đâu: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: geometry-cube-line-plane-2-0
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Đường thẳng d đi qua O và vuông góc với hai đường a,b cắt nhau tại O, cùng nằm trong (P). Khi đó:
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Hai vectơ u = (2; 3) và v = (3; −2) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 6 − 6 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 2Đường d có vectơ chỉ phương (2; 2; 1); mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến (4; 4; 2). Quan hệ d và (P)?
Gợi ý: Đường vuông góc mặt phẳng khi vectơ chỉ phương cùng phương pháp tuyến.
Lời giải: d ⟂ (P).
Giải thích: Hai vectơ tỉ lệ với hệ số 2.
Lỗi cần tránh: Cho rằng vectơ chỉ phương phải vuông góc pháp tuyến.
Cách khác: Pháp tuyến chính là một phương vuông góc mặt phẳng.
TỰ LUẬN 3Đường d có vectơ chỉ phương (3; 2; 3); mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến (6; 4; 6). Quan hệ d và (P)?
Gợi ý: Đường vuông góc mặt phẳng khi vectơ chỉ phương cùng phương pháp tuyến.
Lời giải: d ⟂ (P).
Giải thích: Hai vectơ tỉ lệ với hệ số 2.
Lỗi cần tránh: Cho rằng vectơ chỉ phương phải vuông góc pháp tuyến.
Cách khác: Pháp tuyến chính là một phương vuông góc mặt phẳng.
TỰ LUẬN 4Đường d có vectơ chỉ phương (4; 2; 2); mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến (8; 4; 4). Quan hệ d và (P)?
Gợi ý: Đường vuông góc mặt phẳng khi vectơ chỉ phương cùng phương pháp tuyến.
Lời giải: d ⟂ (P).
Giải thích: Hai vectơ tỉ lệ với hệ số 2.
Lỗi cần tránh: Cho rằng vectơ chỉ phương phải vuông góc pháp tuyến.
Cách khác: Pháp tuyến chính là một phương vuông góc mặt phẳng.
TỰ LUẬN 5Hai vectơ u = (5; 6) và v = (6; −5) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 30 − 30 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 6Trong hình lập phương ABCD.A′B′C′D′, cặp đường thẳng nào vuông góc? Hãy nêu đủ hai đường cắt nhau dùng để chứng minh vuông góc mặt phẳng.
Gợi ý: ABCD là hình vuông nên hai cạnh kề AB,BC vuông góc.
Lời giải: ABCD là hình vuông nên hai cạnh kề AB,BC vuông góc. Các cặp còn lại song song, không vuông góc.
Giải thích: ABCD là hình vuông nên hai cạnh kề AB,BC vuông góc. Các cặp còn lại song song, không vuông góc.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: geometry-cube-adjacent-0-3
TỰ LUẬN 7Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC), SA=3, AB=4. Gọi α là góc giữa SB và (ABC). Tính tan α. Hãy nêu đủ hai đường cắt nhau dùng để chứng minh vuông góc mặt phẳng.
Gợi ý: AB là hình chiếu của SB trên đáy nên α=∠SBA.
Lời giải: AB là hình chiếu của SB trên đáy nên α=∠SBA. Tam giác SAB vuông tại A, do đó tan α=SA/AB=3/4.
Giải thích: AB là hình chiếu của SB trên đáy nên α=∠SBA. Tam giác SAB vuông tại A, do đó tan α=SA/AB=3/4.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: short-geometry-angle-tan-1-3
TỰ LUẬN 8Góc giữa hai đường thẳng song song bằng: Hãy nêu đủ hai đường cắt nhau dùng để chứng minh vuông góc mặt phẳng.
Gợi ý: Hai đường thẳng song song có cùng phương.
Lời giải: Hai đường thẳng song song có cùng phương. Góc nhỏ nhất giữa hai phương trùng nhau bằng 0°.
Giải thích: Hai đường thẳng song song có cùng phương. Góc nhỏ nhất giữa hai phương trùng nhau bằng 0°.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: geometry-parallel-angle-4-3
TỰ LUẬN 9Hai vectơ u = (3; 5) và v = (5; −3) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 15 − 15 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 10Đường thẳng m vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng (P), tại giao điểm của a và b. Kết luận đúng là gì?
Gợi ý: Dấu hiệu đường thẳng vuông góc mặt phẳng yêu cầu đường thẳng vuông góc với hai đường cắt nhau trong mặt phẳng tại điểm chung.
Lời giải: Dấu hiệu đường thẳng vuông góc mặt phẳng yêu cầu đường thẳng vuông góc với hai đường cắt nhau trong mặt phẳng tại điểm chung. Các giả thiết đã đủ, nên m ⟂ (P).
Giải thích: Dấu hiệu đường thẳng vuông góc mặt phẳng yêu cầu đường thẳng vuông góc với hai đường cắt nhau trong mặt phẳng tại điểm chung. Các giả thiết đã đủ, nên m ⟂ (P).
Lỗi cần tránh: Chỉ kiểm tra đường thẳng vuông góc một đường trong mặt phẳng rồi kết luận.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 11Trong hình lập phương ABCD.A′B′C′D′, chiếu đường A′C vuông góc xuống đáy (ABCD) được đường nào?
Gợi ý: Đỉnh A′ chiếu xuống A; đỉnh C đã ở trên đáy.
Lời giải: Đỉnh A′ chiếu xuống A; đỉnh C đã ở trên đáy. Đường nối hai hình chiếu là AC.
Giải thích: Đỉnh A′ chiếu xuống A; đỉnh C đã ở trên đáy. Đường nối hai hình chiếu là AC.
Lỗi cần tránh: Chiếu đường thẳng mà không chiếu từng đầu mút.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 12Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 8 cm. Biết SA=SB=SC=SD=√48 cm. Chứng minh chân đường vuông góc từ S xuống đáy là tâm O của hình vuông rồi tính SO² (cm²).
Gợi ý: Gọi H là chân đường vuông góc
Lời giải: Gọi H là chân đường vuông góc. Từ SA=SB=SC=SD và định lí Pythagore, HA=HB=HC=HD. Trong mặt phẳng đáy, điểm cách đều các đỉnh là tâm O, nên H=O. OA²=8²/2=32; SO²=SA²−OA²=48−32=16.
Giải thích: Gọi H là chân đường vuông góc. Từ SA=SB=SC=SD và định lí Pythagore, HA=HB=HC=HD. Trong mặt phẳng đáy, điểm cách đều các đỉnh là tâm O, nên H=O. OA²=8²/2=32; SO²=SA²−OA²=48−32=16.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.
TỰ LUẬN 13Cho a>0, a≠1 và a^t+a^(−t)=3. Không giải riêng a,t, hãy tính a^(4t)+a^(−4t) và chứng minh kết quả chỉ phụ thuộc tổng đã cho.
Gợi ý: Đặt u=a^t>0, khi đó a^(−t)=1/u
Lời giải: Đặt u=a^t>0, khi đó a^(−t)=1/u. Bình phương u+1/u=3 được u²+u^(−2)=7. Bình phương lần nữa rồi trừ 2, có u⁴+u^(−4)=(7)²−2=47. Vì 3>2, dữ kiện có nghiệm u dương.
Giải thích: Đặt u=a^t>0, khi đó a^(−t)=1/u. Bình phương u+1/u=3 được u²+u^(−2)=7. Bình phương lần nữa rồi trừ 2, có u⁴+u^(−4)=(7)²−2=47. Vì 3>2, dữ kiện có nghiệm u dương.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.
TỰ LUẬN 14Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 20 cm. Biết SA=SB=SC=SD=√216 cm. Chứng minh chân đường vuông góc từ S xuống đáy là tâm O của hình vuông rồi tính SO² (cm²).
Gợi ý: Gọi H là chân đường vuông góc
Lời giải: Gọi H là chân đường vuông góc. Từ SA=SB=SC=SD và định lí Pythagore, HA=HB=HC=HD. Trong mặt phẳng đáy, điểm cách đều các đỉnh là tâm O, nên H=O. OA²=20²/2=200; SO²=SA²−OA²=216−200=16.
Giải thích: Gọi H là chân đường vuông góc. Từ SA=SB=SC=SD và định lí Pythagore, HA=HB=HC=HD. Trong mặt phẳng đáy, điểm cách đều các đỉnh là tâm O, nên H=O. OA²=20²/2=200; SO²=SA²−OA²=216−200=16.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.
TỰ LUẬN 15Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 30 cm. Biết SA=SB=SC=SD=√459 cm. Chứng minh chân đường vuông góc từ S xuống đáy là tâm O của hình vuông rồi tính SO² (cm²).
Gợi ý: Gọi H là chân đường vuông góc
Lời giải: Gọi H là chân đường vuông góc. Từ SA=SB=SC=SD và định lí Pythagore, HA=HB=HC=HD. Trong mặt phẳng đáy, điểm cách đều các đỉnh là tâm O, nên H=O. OA²=30²/2=450; SO²=SA²−OA²=459−450=9.
Giải thích: Gọi H là chân đường vuông góc. Từ SA=SB=SC=SD và định lí Pythagore, HA=HB=HC=HD. Trong mặt phẳng đáy, điểm cách đều các đỉnh là tâm O, nên H=O. OA²=30²/2=450; SO²=SA²−OA²=459−450=9.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.
TỰ LUẬN 16Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 40 cm. Biết SA=SB=SC=SD=√804 cm. Chứng minh chân đường vuông góc từ S xuống đáy là tâm O của hình vuông rồi tính SO² (cm²).
Gợi ý: Gọi H là chân đường vuông góc
Lời giải: Gọi H là chân đường vuông góc. Từ SA=SB=SC=SD và định lí Pythagore, HA=HB=HC=HD. Trong mặt phẳng đáy, điểm cách đều các đỉnh là tâm O, nên H=O. OA²=40²/2=800; SO²=SA²−OA²=804−800=4.
Giải thích: Gọi H là chân đường vuông góc. Từ SA=SB=SC=SD và định lí Pythagore, HA=HB=HC=HD. Trong mặt phẳng đáy, điểm cách đều các đỉnh là tâm O, nên H=O. OA²=40²/2=800; SO²=SA²−OA²=804−800=4.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.
TỰ LUẬN 17Hai vectơ u = (4; 3) và v = (3; −4) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 12 − 12 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 18Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 52 cm. Biết SA=SB=SC=SD=√1356 cm. Chứng minh chân đường vuông góc từ S xuống đáy là tâm O của hình vuông rồi tính SO² (cm²).
Gợi ý: Gọi H là chân đường vuông góc
Lời giải: Gọi H là chân đường vuông góc. Từ SA=SB=SC=SD và định lí Pythagore, HA=HB=HC=HD. Trong mặt phẳng đáy, điểm cách đều các đỉnh là tâm O, nên H=O. OA²=52²/2=1352; SO²=SA²−OA²=1356−1352=4.
Giải thích: Gọi H là chân đường vuông góc. Từ SA=SB=SC=SD và định lí Pythagore, HA=HB=HC=HD. Trong mặt phẳng đáy, điểm cách đều các đỉnh là tâm O, nên H=O. OA²=52²/2=1352; SO²=SA²−OA²=1356−1352=4.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.
TỰ LUẬN 19Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 62 cm. Biết SA=SB=SC=SD=√1971 cm. Chứng minh chân đường vuông góc từ S xuống đáy là tâm O của hình vuông rồi tính SO² (cm²).
Gợi ý: Gọi H là chân đường vuông góc
Lời giải: Gọi H là chân đường vuông góc. Từ SA=SB=SC=SD và định lí Pythagore, HA=HB=HC=HD. Trong mặt phẳng đáy, điểm cách đều các đỉnh là tâm O, nên H=O. OA²=62²/2=1922; SO²=SA²−OA²=1971−1922=49.
Giải thích: Gọi H là chân đường vuông góc. Từ SA=SB=SC=SD và định lí Pythagore, HA=HB=HC=HD. Trong mặt phẳng đáy, điểm cách đều các đỉnh là tâm O, nên H=O. OA²=62²/2=1922; SO²=SA²−OA²=1971−1922=49.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.
TỰ LUẬN 20Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 72 cm. Biết SA=SB=SC=SD=√2628 cm. Chứng minh chân đường vuông góc từ S xuống đáy là tâm O của hình vuông rồi tính SO² (cm²).
Gợi ý: Gọi H là chân đường vuông góc
Lời giải: Gọi H là chân đường vuông góc. Từ SA=SB=SC=SD và định lí Pythagore, HA=HB=HC=HD. Trong mặt phẳng đáy, điểm cách đều các đỉnh là tâm O, nên H=O. OA²=72²/2=2592; SO²=SA²−OA²=2628−2592=36.
Giải thích: Gọi H là chân đường vuông góc. Từ SA=SB=SC=SD và định lí Pythagore, HA=HB=HC=HD. Trong mặt phẳng đáy, điểm cách đều các đỉnh là tâm O, nên H=O. OA²=72²/2=2592; SO²=SA²−OA²=2628−2592=36.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B23-NB-01, B23-NB-02, B23-NB-03, B23-NB-04, B23-NB-05, B23-NB-06, B23-NB-07, B23-NB-08, B23-NB-09, B23-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B23-NB-01: Có
- B23-NB-02: √25
- B23-NB-03: 4/9
- B23-NB-04: Một đường duy nhất
- B23-NB-05: Song song
- B23-NB-06: d ⟂ (P)
- B23-NB-07: Hai đường cắt nhau
- B23-NB-08: SO ⟂ AC
- B23-NB-09: d ⟂ (P)
- B23-NB-10: AA′
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 7
10 câu đại diện: B23-NB-11, B23-NB-12, B23-NB-13, B23-NB-14, B23-NB-15, B23-NB-16, B23-NB-17, B23-NB-18, B23-NB-19, B23-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B23-NB-11: d ⟂ (P)
- B23-NB-12: SA ⟂ AB
- B23-NB-13: Hình chiếu vuông góc của d trên (P)
- B23-NB-14: d ⟂ (P)
- B23-NB-15: AA′
- B23-NB-16: d ⟂ (P)
- B23-NB-17: SA ⟂ AB
- B23-NB-18: Hình chiếu vuông góc của d trên (P)
- B23-NB-19: d ⟂ (P)
- B23-NB-20: AA′
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B23-TH-01, B23-TH-02, B23-TH-03, B23-TH-04, B23-TH-05, B23-TH-06, B23-TH-07, B23-TH-08, B23-TH-09, B23-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B23-TH-01: Có
- B23-TH-02: √45
- B23-TH-03: 2/6
- B23-TH-04: SA ⟂ AB
- B23-TH-05: Hình chiếu vuông góc của d trên (P)
- B23-TH-06: AB và BC
- B23-TH-07: d ⟂ (P)
- B23-TH-08: d ⟂ (P)
- B23-TH-09: 90
- B23-TH-10: AB
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B23-TH-11, B23-TH-12, B23-TH-13, B23-TH-14, B23-TH-15, B23-TH-16, B23-TH-17, B23-TH-18, B23-TH-19, B23-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B23-TH-11: 3/4
- B23-TH-12: d ⟂ (P)
- B23-TH-13: Góc bằng 90°
- B23-TH-14: AA′
- B23-TH-15: SA ⟂ AB
- B23-TH-16: 0°
- B23-TH-17: d ⟂ (P)
- B23-TH-18: Hình chiếu vuông góc của d trên (P)
- B23-TH-19: d ⟂ (P)
- B23-TH-20: AA′
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: B23-VD-01, B23-VD-02, B23-VD-03, B23-VD-04, B23-VD-05, B23-VD-06, B23-VD-07, B23-VD-08, B23-VD-09, B23-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B23-VD-01: Có
- B23-VD-02: √52
- B23-VD-03: 5/8
- B23-VD-04: SA ⟂ AB
- B23-VD-05: Hình chiếu vuông góc của d trên (P)
- B23-VD-06: m vuông góc với (P)
- B23-VD-07: d vuông góc với (P)
- B23-VD-08: d ⟂ (P)
- B23-VD-09: Δ vuông góc với (P)
- B23-VD-10: (ABC)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.