TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC

ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT

CHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT

Cần nhớ

Hình chiếu H của M lên (P) thỏa MH⊥(P).
Hình chiếu đường được xác định bởi ảnh của hai điểm.
Góc đường–mặt là góc giữa đường và hình chiếu.

BÀI 24 • CHƯƠNG 7 • DỰNG ĐÚNG HÌNH CHIẾU

Bài 24. Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Dựng hình chiếu vuông góc của điểm, đường; xác định và tính đúng góc giữa đường thẳng với mặt phẳng bằng tam giác vuông hoặc vectơ.

4 buổi × 60 phútDễ nhầm góc phụCần biết: Bài 22–23, phép chiếu song song và lượng giác tam giác vuôngTiếp theo: Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc

VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?

Đầu vào rõ, đích đến đo được

Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.

VÌ SAO HỌC?

Nhìn quy luật có điều kiện

Bài học biến độ dốc mái, đường dốc, tia sáng, quét 3D và thiết kế cầu thành mô hình có thể kiểm chứng.

HỌC ĐỂ LÀM GÌ?

Lập luận và đo lường

Biết gọi dữ kiện, kiểm điều kiện, chọn công cụ và diễn giải kết quả.

LIÊN THÔNG

Nối đúng nền

Kích hoạt bài 22–23, phép chiếu song song và lượng giác tam giác vuông rồi chuẩn bị cho Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc.

PHƯƠNG PHÁP

Ví dụ – phản ví dụ – tự kiểm

Mỗi quy tắc có trường hợp đúng, trường hợp thiếu điều kiện và phép kiểm độc lập.

MỤC TIÊU SAU BÀI

Dựng hình chiếu của điểm và đường.
Xác định đúng góc đường–mặt.
Dùng tam giác vuông tính góc.
Dùng vectơ chỉ phương–pháp tuyến kiểm kết quả.

KIẾN THỨC NỀN CẦN KÍCH HOẠT

15% bài tập gọi lại trực tiếp: Bài 22–23, phép chiếu song song và lượng giác tam giác vuông.
Viết điều kiện hoặc quan hệ hình học trước khi tính.
Ước lượng dấu, miền, góc, khoảng cách hoặc thể tích.
Kiểm bằng thay nghiệm, đồ thị, vectơ, tọa độ hoặc đơn vị.

KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau

Phép chiếu vuông góc

Hiểu đơn giản: Từ điểm đi theo phương vuông góc cho đến khi chạm mặt.

H∈(P), MH⊥(P); H là hình chiếu của M.

Ví dụ: M(x,y,z) chiếu lên Oxy thành (x,y,0).

Hình nên dùng: Đèn chiếu theo pháp tuyến.

Mô phỏng: Di chuyển M và chân H.

Mẹo nhớ: Giữ tọa độ trong mặt, bỏ thành phần pháp tuyến.

Sai lầm: Nhầm với hướng chiếu bất kì.

Ghi chú: Phép chiếu vuông góc là trường hợp đặc biệt của chiếu song song.

Góc giữa đường và mặt

Hiểu đơn giản: Đo độ nghiêng so với mặt nền.

Nếu d cắt (P) tại O và d′ là hình chiếu thì α=(d,d′).

Ví dụ: Cạnh nghiêng và bóng trên sàn.

Hình nên dùng: Tam giác đường nghiêng–hình chiếu–độ cao.

Mô phỏng: Kéo độ cao và độ dài chiếu.

Mẹo nhớ: Đường với hình chiếu, không phải với pháp tuyến.

Sai lầm: Lấy góc phụ.

Ghi chú: Nếu d⊥(P), α=90°; nếu d∥(P), α=0°.

Công thức vectơ

Hiểu đơn giản: Thành phần theo pháp tuyến tạo sin của góc đường–mặt.

sinα=|u·n|/(|u||n|).

Ví dụ: u=(3,0,4), n=(0,0,1) cho sinα=4/5.

Hình nên dùng: Phân rã vectơ thành ngang và đứng.

Mô phỏng: Đổi u,n.

Mẹo nhớ: Với pháp tuyến dùng sin; với hình chiếu dùng cos.

Sai lầm: Dùng cos với pháp tuyến rồi gọi là α.

Ghi chú: Trị tuyệt đối giữ góc không âm.

MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC

Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc

Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.

PHÒNG LAB GÓC ĐƯỜNG THẲNG – MẶT PHẲNG

Đo bằng vectơ chỉ phương và pháp tuyến

Nhập vectơ chỉ phương u⃗ của đường thẳng và pháp tuyến n⃗ của mặt phẳng. Góc cần tìm thỏa sin α = |u⃗·n⃗|/(|u⃗||n⃗|).

uₓuᵧuᶻnₓnᵧnᶻ

u⃗·n⃗ = 12; sin α ≈ 1.000000; α ≈ 90.00°; đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

10 VÍ DỤ TĂNG NẤC

Nghĩ trước khi giải

Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.

01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B24-NB-04

Đề bài: Nếu d ⟂ (P), góc giữa d và (P) bằng bao nhiêu?

Phân tích: Đường vuông góc mặt phẳng tạo góc lớn nhất.

Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.

Bước 1: Đường vuông góc mặt phẳng tạo góc lớn nhất.
Bước 2: 90°.
Bước 3: Kết luận 90°.

Vì sao: Hình chiếu của d lên (P) co thành một điểm; quy ước góc là 90°.

Cách khác: So d với pháp tuyến của (P).

Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho góc bằng 0° vì hình chiếu co lại.

02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B24-NB-14

Đề bài: Nếu d ⟂ (P), góc giữa d và (P) bằng bao nhiêu?

Phân tích: Đường vuông góc mặt phẳng tạo góc lớn nhất.

Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.

Bước 1: Đường vuông góc mặt phẳng tạo góc lớn nhất.
Bước 2: 90°.
Bước 3: Kết luận 90°.

Vì sao: Hình chiếu của d lên (P) co thành một điểm; quy ước góc là 90°.

Cách khác: So d với pháp tuyến của (P).

Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho góc bằng 0° vì hình chiếu co lại.

03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B24-TH-04

Đề bài: Đường d có vectơ chỉ phương (5; 0; 1), mặt phẳng (Oxy) có pháp tuyến (0;0;1). Viết sin góc giữa d và (Oxy).

Phân tích: Sin góc đường–mặt bằng trị tuyệt đối tích vô hướng với pháp tuyến chia tích độ dài.

Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.

Bước 1: Sin góc đường–mặt bằng trị tuyệt đối tích vô hướng với pháp tuyến chia tích độ dài.
Bước 2: sinα = 1/√26.
Bước 3: Kết luận 1/√26.

Vì sao: Góc đường–mặt bù với góc đường–pháp tuyến theo 90°.

Cách khác: Dựng tam giác gồm thành phần ngang a và đứng h.

Tự kiểm: Chặn lỗi: Dùng cos trực tiếp với pháp tuyến nhưng gọi đó là góc đường–mặt.

04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B24-TH-14

Đề bài: Đường d có vectơ chỉ phương (3; 0; 2), mặt phẳng (Oxy) có pháp tuyến (0;0;1). Viết sin góc giữa d và (Oxy).

Phân tích: Sin góc đường–mặt bằng trị tuyệt đối tích vô hướng với pháp tuyến chia tích độ dài.

Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.

Bước 1: Sin góc đường–mặt bằng trị tuyệt đối tích vô hướng với pháp tuyến chia tích độ dài.
Bước 2: sinα = 2/√13.
Bước 3: Kết luận 2/√13.

Vì sao: Góc đường–mặt bù với góc đường–pháp tuyến theo 90°.

Cách khác: Dựng tam giác gồm thành phần ngang a và đứng h.

Tự kiểm: Chặn lỗi: Dùng cos trực tiếp với pháp tuyến nhưng gọi đó là góc đường–mặt.

05 • Vận dụngVí dụ 5 • B24-VD-04

Đề bài: Một đoạn nghiêng dài 5 m có hình chiếu lên mặt phẳng dài 3 m và độ cao 4 m. Tính góc giữa đoạn và mặt phẳng.

Phân tích: Trong tam giác vuông, sin góc đường–mặt = độ cao/độ dài đoạn.

Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.

Bước 1: Trong tam giác vuông, sin góc đường–mặt = độ cao/độ dài đoạn.
Bước 2: sinα = 4/5 nên α ≈ 53,13°.
Bước 3: Kết luận ≈ 53,13°.

Vì sao: Góc cần tìm là góc giữa đoạn và hình chiếu của nó.

Cách khác: Dùng tanα=4/3.

Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy cosα=4/5 nên đổi vai hai cạnh.

06 • Vận dụngVí dụ 6 • B24-VD-14

Đề bài: Một đoạn nghiêng dài 5 m có hình chiếu lên mặt phẳng dài 3 m và độ cao 4 m. Tính góc giữa đoạn và mặt phẳng.

Phân tích: Trong tam giác vuông, sin góc đường–mặt = độ cao/độ dài đoạn.

Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.

Bước 1: Trong tam giác vuông, sin góc đường–mặt = độ cao/độ dài đoạn.
Bước 2: sinα = 4/5 nên α ≈ 53,13°.
Bước 3: Kết luận ≈ 53,13°.

Vì sao: Góc cần tìm là góc giữa đoạn và hình chiếu của nó.

Cách khác: Dùng tanα=4/3.

Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy cosα=4/5 nên đổi vai hai cạnh.

07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B24-VDC-04

Đề bài: Điểm M(3; 2; 1) có hình chiếu vuông góc lên (Oxy) là điểm nào?

Phân tích: Giữ x,y và đưa z về 0.

Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.

Bước 1: Giữ x,y và đưa z về 0.
Bước 2: H(3; 2; 0).
Bước 3: Kết luận H(3; 2; 0).

Vì sao: Đường MH song song trục Oz và vuông góc (Oxy).

Cách khác: Tìm giao của đường qua M theo pháp tuyến (0,0,1) với z=0.

Tự kiểm: Chặn lỗi: Đưa cả ba tọa độ về 0.

08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • B24-VDC-14

Đề bài: Điểm M(5; 2; 2) có hình chiếu vuông góc lên (Oxy) là điểm nào?

Phân tích: Giữ x,y và đưa z về 0.

Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.

Bước 1: Giữ x,y và đưa z về 0.
Bước 2: H(5; 2; 0).
Bước 3: Kết luận H(5; 2; 0).

Vì sao: Đường MH song song trục Oz và vuông góc (Oxy).

Cách khác: Tìm giao của đường qua M theo pháp tuyến (0,0,1) với z=0.

Tự kiểm: Chặn lỗi: Đưa cả ba tọa độ về 0.

09 • Thực tếVí dụ 9 • B24-TT-04

Đề bài: Nếu d ∥ (P), góc giữa d và (P) bằng bao nhiêu?

Phân tích: Một đường song song d nằm trong (P).

Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.

Bước 1: Một đường song song d nằm trong (P).
Bước 2: 0°.
Bước 3: Kết luận 0°.

Vì sao: Hướng của d đã nằm theo phương của mặt phẳng.

Cách khác: Dịch d vào trong mặt phẳng.

Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho góc bằng 90° vì d không cắt mặt.

10 • Thực tếVí dụ 10 • B24-TT-14

Đề bài: Nếu d ∥ (P), góc giữa d và (P) bằng bao nhiêu?

Phân tích: Một đường song song d nằm trong (P).

Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.

Bước 1: Một đường song song d nằm trong (P).
Bước 2: 0°.
Bước 3: Kết luận 0°.

Vì sao: Hướng của d đã nằm theo phương của mặt phẳng.

Cách khác: Dịch d vào trong mặt phẳng.

Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho góc bằng 90° vì d không cắt mặt.

ỨNG DỤNG THỰC TẾ

Toán đi qua tám bối cảnh

Gia đình

Gia đình qua phép chiếu vuông góc. góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Tình huống 1 dùng độ dốc mái, đường dốc, tia sáng, quét 3D và thiết kế cầu; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.

Trường học

Trường học qua phép chiếu vuông góc. góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Tình huống 2 dùng độ dốc mái, đường dốc, tia sáng, quét 3D và thiết kế cầu; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.

Đời sống

Đời sống qua phép chiếu vuông góc. góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Tình huống 3 dùng độ dốc mái, đường dốc, tia sáng, quét 3D và thiết kế cầu; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.

Khoa học

Khoa học qua phép chiếu vuông góc. góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Tình huống 4 dùng độ dốc mái, đường dốc, tia sáng, quét 3D và thiết kế cầu; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.

Kỹ thuật

Kỹ thuật qua phép chiếu vuông góc. góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Tình huống 5 dùng độ dốc mái, đường dốc, tia sáng, quét 3D và thiết kế cầu; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.

Sản xuất

Sản xuất qua phép chiếu vuông góc. góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Tình huống 6 dùng độ dốc mái, đường dốc, tia sáng, quét 3D và thiết kế cầu; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.

Thiên nhiên

Thiên nhiên qua phép chiếu vuông góc. góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Tình huống 7 dùng độ dốc mái, đường dốc, tia sáng, quét 3D và thiết kế cầu; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.

Nghề nghiệp

Nghề nghiệp qua phép chiếu vuông góc. góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Tình huống 8 dùng độ dốc mái, đường dốc, tia sáng, quét 3D và thiết kế cầu; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.

AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG

Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt

Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.

TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI

1. Em chưa hiểu Phép chiếu vuông góc theo cách đơn giản?

Từ điểm đi theo phương vuông góc cho đến khi chạm mặt. Mốc chính xác: H∈(P), MH⊥(P); H là hình chiếu của M. Ví dụ: M(x,y,z) chiếu lên Oxy thành (x,y,0). Cách nhớ: Giữ tọa độ trong mặt, bỏ thành phần pháp tuyến. Cần tránh: Nhầm với hướng chiếu bất kì.

Câu hỏi của em

20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP

Biết lỗi trước khi mất điểm

Lấy góc với pháp tuyến

Nhầm với hướng chiếu bất kì. Sửa bằng: Giữ tọa độ trong mặt, bỏ thành phần pháp tuyến. Kiểm cuối: Phép chiếu vuông góc là trường hợp đặc biệt của chiếu song song.

Dựng sai chân chiếu

Lấy góc phụ. Sửa bằng: Đường với hình chiếu, không phải với pháp tuyến. Kiểm cuối: Nếu d⊥(P), α=90°; nếu d∥(P), α=0°.

Dùng sin–cos sai cạnh

Dùng cos với pháp tuyến rồi gọi là α. Sửa bằng: Với pháp tuyến dùng sin; với hình chiếu dùng cos. Kiểm cuối: Trị tuyệt đối giữ góc không âm.

Góc đường song song mặt bằng 90°

Góc đường vuông góc mặt bằng 0°

Lấy góc phụ. Sửa bằng: Đường với hình chiếu, không phải với pháp tuyến. Kiểm cuối: Nếu d⊥(P), α=90°; nếu d∥(P), α=0°.

Lấy góc với pháp tuyến – biến thể 6

Dùng cos với pháp tuyến rồi gọi là α. Sửa bằng: Với pháp tuyến dùng sin; với hình chiếu dùng cos. Kiểm cuối: Trị tuyệt đối giữ góc không âm.

Dựng sai chân chiếu – biến thể 7

Dùng sin–cos sai cạnh – biến thể 8

Lấy góc phụ. Sửa bằng: Đường với hình chiếu, không phải với pháp tuyến. Kiểm cuối: Nếu d⊥(P), α=90°; nếu d∥(P), α=0°.

Góc đường song song mặt bằng 90° – biến thể 9

Dùng cos với pháp tuyến rồi gọi là α. Sửa bằng: Với pháp tuyến dùng sin; với hình chiếu dùng cos. Kiểm cuối: Trị tuyệt đối giữ góc không âm.

Góc đường vuông góc mặt bằng 0° – biến thể 10

Lấy góc với pháp tuyến – biến thể 11

Lấy góc phụ. Sửa bằng: Đường với hình chiếu, không phải với pháp tuyến. Kiểm cuối: Nếu d⊥(P), α=90°; nếu d∥(P), α=0°.

Dựng sai chân chiếu – biến thể 12

Dùng cos với pháp tuyến rồi gọi là α. Sửa bằng: Với pháp tuyến dùng sin; với hình chiếu dùng cos. Kiểm cuối: Trị tuyệt đối giữ góc không âm.

Dùng sin–cos sai cạnh – biến thể 13

Góc đường song song mặt bằng 90° – biến thể 14

Lấy góc phụ. Sửa bằng: Đường với hình chiếu, không phải với pháp tuyến. Kiểm cuối: Nếu d⊥(P), α=90°; nếu d∥(P), α=0°.

Góc đường vuông góc mặt bằng 0° – biến thể 15

Dùng cos với pháp tuyến rồi gọi là α. Sửa bằng: Với pháp tuyến dùng sin; với hình chiếu dùng cos. Kiểm cuối: Trị tuyệt đối giữ góc không âm.

Lấy góc với pháp tuyến – biến thể 16

Dựng sai chân chiếu – biến thể 17

Lấy góc phụ. Sửa bằng: Đường với hình chiếu, không phải với pháp tuyến. Kiểm cuối: Nếu d⊥(P), α=90°; nếu d∥(P), α=0°.

Dùng sin–cos sai cạnh – biến thể 18

Dùng cos với pháp tuyến rồi gọi là α. Sửa bằng: Với pháp tuyến dùng sin; với hình chiếu dùng cos. Kiểm cuối: Trị tuyệt đối giữ góc không âm.

Góc đường song song mặt bằng 90° – biến thể 19

Góc đường vuông góc mặt bằng 0° – biến thể 20

Lấy góc phụ. Sửa bằng: Đường với hình chiếu, không phải với pháp tuyến. Kiểm cuối: Nếu d⊥(P), α=90°; nếu d∥(P), α=0°.

CÁCH HỌC THÔNG MINH

Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất

Điều kiện ở lề trái

Viết miền xác định hoặc giả thiết hình học trước dòng biến đổi đầu tiên.

Chu trình 5–20–5

5 phút gọi nền, 20 phút học một nút, 5 phút tự nói lại không nhìn tài liệu.

Ví dụ – phản ví dụ

Mỗi định lí đi cùng một trường hợp đủ điều kiện và một trường hợp thiếu điều kiện.

Hai phép kiểm

Kiểm bằng biểu diễn thứ hai: thay nghiệm, đồ thị, vectơ, tọa độ hoặc đơn vị.

Sổ lỗi ba dòng

Ghi điều đã làm, nguyên nhân sai và phép tự kiểm cho lần sau.

Ôn 1–7–30

Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và kiểm cổng sau 30 ngày.

SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD

Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau

Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Phép chiếu vuông gócH∈(P), MH⊥(P); H là hình chiếu của M. Giữ tọa độ trong mặt, bỏ thành phần pháp tuyến.

Góc giữa đường và mặtNếu d cắt (P) tại O và d′ là hình chiếu thì α=(d,d′). Đường với hình chiếu, không phải với pháp tuyến.

Công thức vectơsinα=|u·n|/(|u||n|). Với pháp tuyến dùng sin; với hình chiếu dùng cos.

THẺ 1/20

100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI

Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ

100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.

Mức độChỉ xem 15 câu ôn nối100 câu phù hợp

B24-NB-01Hai vectơ u = (2; 3) và v = (3; −2) có vuông góc không?ÔN NỐI

Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.

Gợi ý: Tính tích vô hướng.

Lời giải: u·v = 6 − 6 = 0 nên u ⟂ v.

Vì sao: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.

Sai ở đâu: So độ dài hai vectơ.

Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).

B24-NB-02Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 3 và 4. Tính cạnh huyền.ÔN NỐI

Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.

Gợi ý: Dùng định lí Pythagore.

Lời giải: Cạnh huyền bằng √(3²+4²) = √25.

Vì sao: Độ dài đường chéo trong không gian cũng được xây từ Pythagore.

Sai ở đâu: Cộng trực tiếp hai cạnh.

Cách khác: Bình phương kết quả để tự kiểm.

B24-NB-03Trong tam giác ABC, MN ∥ BC và AM/AB = 4/9. Tính AN/AC.ÔN NỐI

Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.

Gợi ý: Dùng định lí Thalès.

Lời giải: AN/AC = AM/AB = 4/9.

Vì sao: Tỉ số hình phẳng là nền cho bài tỉ số thể tích.

Sai ở đâu: Đảo một tỉ số mà không đảo tỉ số tương ứng.

Cách khác: Dùng hai tam giác đồng dạng.

B24-NB-04Nếu d ⟂ (P), góc giữa d và (P) bằng bao nhiêu?

Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.

Gợi ý: Đường vuông góc mặt phẳng tạo góc lớn nhất.

Lời giải: 90°.

Vì sao: Hình chiếu của d lên (P) co thành một điểm; quy ước góc là 90°.

Sai ở đâu: Cho góc bằng 0° vì hình chiếu co lại.

Cách khác: So d với pháp tuyến của (P).

B24-NB-05Nếu d ∥ (P), góc giữa d và (P) bằng bao nhiêu?

Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.

Gợi ý: Một đường song song d nằm trong (P).

Lời giải: 0°.

Vì sao: Hướng của d đã nằm theo phương của mặt phẳng.

Sai ở đâu: Cho góc bằng 90° vì d không cắt mặt.

Cách khác: Dịch d vào trong mặt phẳng.

B24-NB-06Điểm M(4; 2; 3) có hình chiếu vuông góc lên (Oxy) là điểm nào?

Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.

Gợi ý: Giữ x,y và đưa z về 0.

Lời giải: H(4; 2; 0).

Vì sao: Đường MH song song trục Oz và vuông góc (Oxy).

Sai ở đâu: Đưa cả ba tọa độ về 0.

Cách khác: Tìm giao của đường qua M theo pháp tuyến (0,0,1) với z=0.

B24-NB-07Một đoạn nghiêng dài 5 m có hình chiếu lên mặt phẳng dài 3 m và độ cao 4 m. Tính góc giữa đoạn và mặt phẳng.

Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.

Gợi ý: Trong tam giác vuông, sin góc đường–mặt = độ cao/độ dài đoạn.

Lời giải: sinα = 4/5 nên α ≈ 53,13°.

Vì sao: Góc cần tìm là góc giữa đoạn và hình chiếu của nó.

Sai ở đâu: Lấy cosα=4/5 nên đổi vai hai cạnh.

Cách khác: Dùng tanα=4/3.

B24-NB-08Đường d có vectơ chỉ phương (6; 0; 2), mặt phẳng (Oxy) có pháp tuyến (0;0;1). Viết sin góc giữa d và (Oxy).

Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.

Gợi ý: Sin góc đường–mặt bằng trị tuyệt đối tích vô hướng với pháp tuyến chia tích độ dài.

Lời giải: sinα = 2/√40.

Vì sao: Góc đường–mặt bù với góc đường–pháp tuyến theo 90°.

Sai ở đâu: Dùng cos trực tiếp với pháp tuyến nhưng gọi đó là góc đường–mặt.

Cách khác: Dựng tam giác gồm thành phần ngang a và đứng h.

B24-NB-09Cho d⊥(P). Góc giữa d và (P) bằng bao nhiêu độ?

Mục tiêu: Thông hiểu — chọn đúng công cụ trước khi tính.

Gợi ý: Theo định nghĩa, đường thẳng vuông góc mặt phẳng tạo với mặt phẳng một góc vuông.

Lời giải: Theo định nghĩa, đường thẳng vuông góc mặt phẳng tạo với mặt phẳng một góc vuông. Vậy góc cần tìm bằng 90°.

Vì sao: Theo định nghĩa, đường thẳng vuông góc mặt phẳng tạo với mặt phẳng một góc vuông. Vậy góc cần tìm bằng 90°.

Sai ở đâu: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.

Cách khác: short-geometry-normal-angle-0-0

B24-NB-10Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC), SA=3 và AB=4. Tính SB.

Mục tiêu: Vận dụng — chọn đúng công cụ trước khi tính.

Gợi ý: Vì AB thuộc đáy và qua A nên SA⊥AB; tam giác SAB vuông tại A.

Lời giải: Vì AB thuộc đáy và qua A nên SA⊥AB; tam giác SAB vuông tại A. Theo định lý Pythagore, SB=√(3²+4²)=5.

Vì sao: Vì AB thuộc đáy và qua A nên SA⊥AB; tam giác SAB vuông tại A. Theo định lý Pythagore, SB=√(3²+4²)=5.

Sai ở đâu: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.

Cách khác: short-geometry-pythagoras-0-0

Trang 1/10

50 CÂU TỰ CHẤM

Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn

Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.

CÂU 1/50 • ĐÚNG 0

Cho d⊥(P). Góc giữa d và (P) bằng bao nhiêu độ?

20 BÀI TỰ LUẬN

Lập luận được chấm cùng kết quả

Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.

TỰ LUẬN 1Hai vectơ u = (2; 3) và v = (3; −2) có vuông góc không?

Gợi ý: Tính tích vô hướng.

Lời giải: u·v = 6 − 6 = 0 nên u ⟂ v.

Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.

Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.

Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).

TỰ LUẬN 2Điểm M(4; 2; 3) có hình chiếu vuông góc lên (Oxy) là điểm nào?

Gợi ý: Giữ x,y và đưa z về 0.

Lời giải: H(4; 2; 0).

Giải thích: Đường MH song song trục Oz và vuông góc (Oxy).

Lỗi cần tránh: Đưa cả ba tọa độ về 0.

Cách khác: Tìm giao của đường qua M theo pháp tuyến (0,0,1) với z=0.

TỰ LUẬN 3Điểm M(5; 2; 2) có hình chiếu vuông góc lên (Oxy) là điểm nào?

Gợi ý: Giữ x,y và đưa z về 0.

Lời giải: H(5; 2; 0).

Giải thích: Đường MH song song trục Oz và vuông góc (Oxy).

Lỗi cần tránh: Đưa cả ba tọa độ về 0.

Cách khác: Tìm giao của đường qua M theo pháp tuyến (0,0,1) với z=0.

TỰ LUẬN 4Điểm M(6; 2; 1) có hình chiếu vuông góc lên (Oxy) là điểm nào?

Gợi ý: Giữ x,y và đưa z về 0.

Lời giải: H(6; 2; 0).

Giải thích: Đường MH song song trục Oz và vuông góc (Oxy).

Lỗi cần tránh: Đưa cả ba tọa độ về 0.

Cách khác: Tìm giao của đường qua M theo pháp tuyến (0,0,1) với z=0.

TỰ LUẬN 5Hai vectơ u = (5; 6) và v = (6; −5) có vuông góc không?

Gợi ý: Tính tích vô hướng.

Lời giải: u·v = 30 − 30 = 0 nên u ⟂ v.

Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.

Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.

Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).

TỰ LUẬN 6Cho d⊥(P). Góc giữa d và (P) bằng bao nhiêu độ? Không kết luận theo hình vẽ không theo tỉ lệ.

Gợi ý: Theo định nghĩa, đường thẳng vuông góc mặt phẳng tạo với mặt phẳng một góc vuông.

Lời giải: Theo định nghĩa, đường thẳng vuông góc mặt phẳng tạo với mặt phẳng một góc vuông. Vậy góc cần tìm bằng 90°.

Giải thích: Theo định nghĩa, đường thẳng vuông góc mặt phẳng tạo với mặt phẳng một góc vuông. Vậy góc cần tìm bằng 90°.

Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.

Cách khác: short-geometry-normal-angle-0-1

TỰ LUẬN 7Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC), SA=3, AB=4. Gọi α là góc giữa SB và (ABC). Tính tan α. Không kết luận theo hình vẽ không theo tỉ lệ.

Gợi ý: AB là hình chiếu của SB trên đáy nên α=∠SBA.

Lời giải: AB là hình chiếu của SB trên đáy nên α=∠SBA. Tam giác SAB vuông tại A, do đó tan α=SA/AB=3/4.

Giải thích: AB là hình chiếu của SB trên đáy nên α=∠SBA. Tam giác SAB vuông tại A, do đó tan α=SA/AB=3/4.

Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.

Cách khác: short-geometry-angle-tan-1-1

TỰ LUẬN 8Một đường xiên có hình chiếu trên mặt phẳng dài 8 và tan của góc giữa đường xiên với mặt phẳng bằng 3/4. Tính độ dài đoạn vuông góc từ đầu ngoài mặt phẳng xuống mặt phẳng. Không kết luận theo hình vẽ không theo tỉ lệ.

Gợi ý: Trong tam giác vuông tạo bởi đường xiên và hình chiếu, tan α=h/8.

Lời giải: Trong tam giác vuông tạo bởi đường xiên và hình chiếu, tan α=h/8. h=8·3/4=6.

Giải thích: Trong tam giác vuông tạo bởi đường xiên và hình chiếu, tan α=h/8. h=8·3/4=6.

Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.

Cách khác: short-geometry-height-2-1

TỰ LUẬN 9Hai vectơ u = (3; 5) và v = (5; −3) có vuông góc không?

Gợi ý: Tính tích vô hướng.

Lời giải: u·v = 15 − 15 = 0 nên u ⟂ v.

Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.

Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.

Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).

TỰ LUẬN 10Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC), SA=3 và AB=4. Tính SB. Cần chỉ rõ đường chiếu vuông góc và hình chiếu.

Gợi ý: Vì AB thuộc đáy và qua A nên SA⊥AB; tam giác SAB vuông tại A.

Lời giải: Vì AB thuộc đáy và qua A nên SA⊥AB; tam giác SAB vuông tại A. Theo định lý Pythagore, SB=√(3²+4²)=5.

Giải thích: Vì AB thuộc đáy và qua A nên SA⊥AB; tam giác SAB vuông tại A. Theo định lý Pythagore, SB=√(3²+4²)=5.

Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.

Cách khác: short-geometry-pythagoras-0-2

TỰ LUẬN 11Một đoạn thẳng dài 10 tạo với mặt phẳng góc 60°. Tính độ dài hình chiếu của đoạn thẳng lên mặt phẳng. Cần chỉ rõ đường chiếu vuông góc và hình chiếu.

Gợi ý: Độ dài hình chiếu bằng độ dài đoạn thẳng nhân cos của góc với mặt phẳng.

Lời giải: Độ dài hình chiếu bằng độ dài đoạn thẳng nhân cos của góc với mặt phẳng. Hình chiếu dài 10cos60°=5.

Giải thích: Độ dài hình chiếu bằng độ dài đoạn thẳng nhân cos của góc với mặt phẳng. Hình chiếu dài 10cos60°=5.

Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.

Cách khác: short-geometry-projection-length-1-2

TỰ LUẬN 12Một đoạn thẳng dài 10 có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng dài 8. Gọi α là góc giữa đoạn thẳng và mặt phẳng. Viết sin α dưới dạng phân số tối giản rồi tính tổng tử và mẫu. Cần chỉ rõ đường chiếu vuông góc và hình chiếu.

Gợi ý: Độ dài thành phần vuông góc là √(10²−8²)=6.

Lời giải: Độ dài thành phần vuông góc là √(10²−8²)=6. sin α=6/10=3/5 nên tổng tử và mẫu bằng 3+5=8.

Giải thích: Độ dài thành phần vuông góc là √(10²−8²)=6. sin α=6/10=3/5 nên tổng tử và mẫu bằng 3+5=8.

Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.

Cách khác: short-geometry-projection-sine-3-2

TỰ LUẬN 13Cho a>0, a≠1 và a^t+a^(−t)=3. Không giải riêng a,t, hãy tính a^(4t)+a^(−4t) và chứng minh kết quả chỉ phụ thuộc tổng đã cho.

Gợi ý: Đặt u=a^t>0, khi đó a^(−t)=1/u

Lời giải: Đặt u=a^t>0, khi đó a^(−t)=1/u. Bình phương u+1/u=3 được u²+u^(−2)=7. Bình phương lần nữa rồi trừ 2, có u⁴+u^(−4)=(7)²−2=47. Vì 3>2, dữ kiện có nghiệm u dương.

Giải thích: Đặt u=a^t>0, khi đó a^(−t)=1/u. Bình phương u+1/u=3 được u²+u^(−2)=7. Bình phương lần nữa rồi trừ 2, có u⁴+u^(−4)=(7)²−2=47. Vì 3>2, dữ kiện có nghiệm u dương.

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

TỰ LUẬN 14Đường d có vectơ chỉ phương (5; 0; 3), mặt phẳng (Oxy) có pháp tuyến (0;0;1). Viết sin góc giữa d và (Oxy).

Gợi ý: Sin góc đường–mặt bằng trị tuyệt đối tích vô hướng với pháp tuyến chia tích độ dài.

Lời giải: sinα = 3/√34.

Giải thích: Góc đường–mặt bù với góc đường–pháp tuyến theo 90°.

Lỗi cần tránh: Dùng cos trực tiếp với pháp tuyến nhưng gọi đó là góc đường–mặt.

Cách khác: Dựng tam giác gồm thành phần ngang a và đứng h.

TỰ LUẬN 15Nếu a⊥(P) và b∥a thì: Hãy nêu đủ hai đường cắt nhau dùng để chứng minh vuông góc mặt phẳng.

Gợi ý: Hai đường thẳng song song có cùng phương.

Lời giải: Hai đường thẳng song song có cùng phương. Mọi đường cùng phương với đường vuông góc mặt phẳng cũng vuông góc mặt phẳng đó.

Giải thích: Hai đường thẳng song song có cùng phương. Mọi đường cùng phương với đường vuông góc mặt phẳng cũng vuông góc mặt phẳng đó.

Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.

Cách khác: geometry-parallel-normal-3-3

TỰ LUẬN 16Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC), SA=3 và AB=4. Tính SB. Cần thử một vị trí đặc biệt để phản biện kết luận quá mạnh.

Gợi ý: Vì AB thuộc đáy và qua A nên SA⊥AB; tam giác SAB vuông tại A.

Lời giải: Vì AB thuộc đáy và qua A nên SA⊥AB; tam giác SAB vuông tại A. Theo định lý Pythagore, SB=√(3²+4²)=5.

Giải thích: Vì AB thuộc đáy và qua A nên SA⊥AB; tam giác SAB vuông tại A. Theo định lý Pythagore, SB=√(3²+4²)=5.

Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.

Cách khác: short-geometry-pythagoras-0-4

TỰ LUẬN 17Hai vectơ u = (4; 3) và v = (3; −4) có vuông góc không?

Gợi ý: Tính tích vô hướng.

Lời giải: u·v = 12 − 12 = 0 nên u ⟂ v.

Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.

Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.

Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).

TỰ LUẬN 18Một đoạn thẳng dài 10 có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng dài 8. Gọi α là góc giữa đoạn thẳng và mặt phẳng. Viết sin α dưới dạng phân số tối giản rồi tính tổng tử và mẫu. Cần thử một vị trí đặc biệt để phản biện kết luận quá mạnh.

Gợi ý: Độ dài thành phần vuông góc là √(10²−8²)=6.

Lời giải: Độ dài thành phần vuông góc là √(10²−8²)=6. sin α=6/10=3/5 nên tổng tử và mẫu bằng 3+5=8.

Giải thích: Độ dài thành phần vuông góc là √(10²−8²)=6. sin α=6/10=3/5 nên tổng tử và mẫu bằng 3+5=8.

Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.

Cách khác: short-geometry-projection-sine-3-4

TỰ LUẬN 19Hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = 4 cm, BB′ = 5 cm. Tang của góc giữa AB′ và mặt đáy (ABCD) là bao nhiêu?

Gợi ý: Hình chiếu của AB′ lên đáy là AB.

Lời giải: Hình chiếu của AB′ lên đáy là AB. Trong tam giác vuông ABB′, tan góc giữa AB′ và AB bằng BB′/AB = 5/4 = 5/4.

Giải thích: Hình chiếu của AB′ lên đáy là AB. Trong tam giác vuông ABB′, tan góc giữa AB′ và AB bằng BB′/AB = 5/4 = 5/4.

Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.

Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.

TỰ LUẬN 20Hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh 7 cm. Bình phương độ dài hình chiếu vuông góc của đoạn A′C lên (ABCD) là bao nhiêu cm²?

Gợi ý: A′ chiếu xuống A; C ở đáy nên hình chiếu của A′C là AC.

Lời giải: A′ chiếu xuống A; C ở đáy nên hình chiếu của A′C là AC. AC² = AB² + BC² = 2·7² = 98 cm².

Giải thích: A′ chiếu xuống A; C ở đáy nên hình chiếu của A′C là AC. AC² = AB² + BC² = 2·7² = 98 cm².

Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.

Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.

5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN

Từ theo bài đến đề thời gian thật

“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.

ĐỀ 1 • 45 PHÚT

Đề theo bài

10 câu đại diện: B24-NB-01, B24-NB-02, B24-NB-03, B24-NB-04, B24-NB-05, B24-NB-06, B24-NB-07, B24-NB-08, B24-NB-09, B24-NB-10.

Xem đáp án và hướng chấm

B24-NB-01: Có
B24-NB-02: √25
B24-NB-03: 4/9
B24-NB-04: 90°
B24-NB-05: 0°
B24-NB-06: H(4; 2; 0)
B24-NB-07: ≈ 53,13°
B24-NB-08: 2/√40
B24-NB-09: 90
B24-NB-10: 5

Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.

ĐỀ 2 • 45 PHÚT

Đề tổng hợp Chương 7

10 câu đại diện: B24-NB-11, B24-NB-12, B24-NB-13, B24-NB-14, B24-NB-15, B24-NB-16, B24-NB-17, B24-NB-18, B24-NB-19, B24-NB-20.

Xem đáp án và hướng chấm

B24-NB-11: H(5; 2; 0)
B24-NB-12: AB
B24-NB-13: 1/√10
B24-NB-14: 3/4
B24-NB-15: 5
B24-NB-16: H(6; 2; 0)
B24-NB-17: 1
B24-NB-18: 3/√25
B24-NB-19: 6
B24-NB-20: 8

Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.

ĐỀ 3 • 45 PHÚT

Đề giữa học kì – phần liên quan

10 câu đại diện: B24-TH-01, B24-TH-02, B24-TH-03, B24-TH-04, B24-TH-05, B24-TH-06, B24-TH-07, B24-TH-08, B24-TH-09, B24-TH-10.

Xem đáp án và hướng chấm

B24-TH-01: Có
B24-TH-02: √45
B24-TH-03: 2/6
B24-TH-04: 1/√26
B24-TH-05: 13
B24-TH-06: 90
B24-TH-07: H(4; 2; 0)
B24-TH-08: 5
B24-TH-09: 3/√45
B24-TH-10: AB

Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.

ĐỀ 4 • 45 PHÚT

Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội

10 câu đại diện: B24-TH-11, B24-TH-12, B24-TH-13, B24-TH-14, B24-TH-15, B24-TH-16, B24-TH-17, B24-TH-18, B24-TH-19, B24-TH-20.

Xem đáp án và hướng chấm

B24-TH-11: 3/4
B24-TH-12: H(5; 2; 0)
B24-TH-13: 5
B24-TH-14: 2/√13
B24-TH-15: 1
B24-TH-16: 6
B24-TH-17: H(6; 2; 0)
B24-TH-18: 8
B24-TH-19: 1/√17
B24-TH-20: 13

Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.

ĐỀ 5 • 45 PHÚT

Đề tổng hợp tăng tốc

10 câu đại diện: B24-VD-01, B24-VD-02, B24-VD-03, B24-VD-04, B24-VD-05, B24-VD-06, B24-VD-07, B24-VD-08, B24-VD-09, B24-VD-10.

Xem đáp án và hướng chấm

B24-VD-01: Có
B24-VD-02: √52
B24-VD-03: 5/8
B24-VD-04: 90
B24-VD-05: 2/√29
B24-VD-06: 5
B24-VD-07: AB
B24-VD-08: H(4; 2; 0)
B24-VD-09: 3/4
B24-VD-10: 1/√37

Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.

TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP

Dùng ngay, dẫn nguồn rõ

GÓP Ý

Báo lỗi công khai

Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.

Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.

TỔNG KẾT & TỰ KIỂM

Hình chiếu H của M lên (P) thỏa MH⊥(P).
Hình chiếu đường được xác định bởi ảnh của hai điểm.
Góc đường–mặt là góc giữa đường và hình chiếu.
sinα=|u·n|/(|u||n|).
Góc đường–mặt thuộc [0°,90°].

Chỉ chuyển bài khi em đạt ít nhất 80% trắc nghiệm và tự giải thích được ba lỗi gần nhất.

← Bài 23. Đường vuông góc mặt phẳng Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc →