Nhìn quy luật có điều kiện
Bài học biến độ dốc mái, đường dốc, tia sáng, quét 3D và thiết kế cầu thành mô hình có thể kiểm chứng.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 24. Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Dựng hình chiếu vuông góc của điểm, đường; xác định và tính đúng góc giữa đường thẳng với mặt phẳng bằng tam giác vuông hoặc vectơ.
Góc đường–mặt nằm giữa đường nghiêng và hình chiếu của nó, không nằm giữa đường và pháp tuyến
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Lập luận và đo lường
Biết gọi dữ kiện, kiểm điều kiện, chọn công cụ và diễn giải kết quả.
Nối đúng nền
Kích hoạt bài 22–23, phép chiếu song song và lượng giác tam giác vuông rồi chuẩn bị cho Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc.
Ví dụ – phản ví dụ – tự kiểm
Mỗi quy tắc có trường hợp đúng, trường hợp thiếu điều kiện và phép kiểm độc lập.
- Dựng hình chiếu của điểm và đường.
- Xác định đúng góc đường–mặt.
- Dùng tam giác vuông tính góc.
- Dùng vectơ chỉ phương–pháp tuyến kiểm kết quả.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Bài 22–23, phép chiếu song song và lượng giác tam giác vuông.
- Viết điều kiện hoặc quan hệ hình học trước khi tính.
- Ước lượng dấu, miền, góc, khoảng cách hoặc thể tích.
- Kiểm bằng thay nghiệm, đồ thị, vectơ, tọa độ hoặc đơn vị.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Phép chiếu vuông góc
Hiểu đơn giản: Từ điểm đi theo phương vuông góc cho đến khi chạm mặt.
H∈(P), MH⊥(P); H là hình chiếu của M.
Ví dụ: M(x,y,z) chiếu lên Oxy thành (x,y,0).
Hình nên dùng: Đèn chiếu theo pháp tuyến.
Mô phỏng: Di chuyển M và chân H.
Mẹo nhớ: Giữ tọa độ trong mặt, bỏ thành phần pháp tuyến.
Sai lầm: Nhầm với hướng chiếu bất kì.
Ghi chú: Phép chiếu vuông góc là trường hợp đặc biệt của chiếu song song.
Góc giữa đường và mặt
Hiểu đơn giản: Đo độ nghiêng so với mặt nền.
Nếu d cắt (P) tại O và d′ là hình chiếu thì α=(d,d′).
Ví dụ: Cạnh nghiêng và bóng trên sàn.
Hình nên dùng: Tam giác đường nghiêng–hình chiếu–độ cao.
Mô phỏng: Kéo độ cao và độ dài chiếu.
Mẹo nhớ: Đường với hình chiếu, không phải với pháp tuyến.
Sai lầm: Lấy góc phụ.
Ghi chú: Nếu d⊥(P), α=90°; nếu d∥(P), α=0°.
Công thức vectơ
Hiểu đơn giản: Thành phần theo pháp tuyến tạo sin của góc đường–mặt.
sinα=|u·n|/(|u||n|).
Ví dụ: u=(3,0,4), n=(0,0,1) cho sinα=4/5.
Hình nên dùng: Phân rã vectơ thành ngang và đứng.
Mô phỏng: Đổi u,n.
Mẹo nhớ: Với pháp tuyến dùng sin; với hình chiếu dùng cos.
Sai lầm: Dùng cos với pháp tuyến rồi gọi là α.
Ghi chú: Trị tuyệt đối giữ góc không âm.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB GÓC ĐƯỜNG THẲNG – MẶT PHẲNG
Đo bằng vectơ chỉ phương và pháp tuyến
Nhập vectơ chỉ phương u⃗ của đường thẳng và pháp tuyến n⃗ của mặt phẳng. Góc cần tìm thỏa sin α = |u⃗·n⃗|/(|u⃗||n⃗|).
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B24-NB-04
Đề bài: Nếu d ⟂ (P), góc giữa d và (P) bằng bao nhiêu?
Phân tích: Đường vuông góc mặt phẳng tạo góc lớn nhất.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Đường vuông góc mặt phẳng tạo góc lớn nhất.
- Bước 2: 90°.
- Bước 3: Kết luận 90°.
Vì sao: Hình chiếu của d lên (P) co thành một điểm; quy ước góc là 90°.
Cách khác: So d với pháp tuyến của (P).
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho góc bằng 0° vì hình chiếu co lại.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B24-NB-14
Đề bài: Nếu d ⟂ (P), góc giữa d và (P) bằng bao nhiêu?
Phân tích: Đường vuông góc mặt phẳng tạo góc lớn nhất.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Đường vuông góc mặt phẳng tạo góc lớn nhất.
- Bước 2: 90°.
- Bước 3: Kết luận 90°.
Vì sao: Hình chiếu của d lên (P) co thành một điểm; quy ước góc là 90°.
Cách khác: So d với pháp tuyến của (P).
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho góc bằng 0° vì hình chiếu co lại.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B24-TH-04
Đề bài: Đường d có vectơ chỉ phương (5; 0; 1), mặt phẳng (Oxy) có pháp tuyến (0;0;1). Viết sin góc giữa d và (Oxy).
Phân tích: Sin góc đường–mặt bằng trị tuyệt đối tích vô hướng với pháp tuyến chia tích độ dài.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Sin góc đường–mặt bằng trị tuyệt đối tích vô hướng với pháp tuyến chia tích độ dài.
- Bước 2: sinα = 1/√26.
- Bước 3: Kết luận 1/√26.
Vì sao: Góc đường–mặt bù với góc đường–pháp tuyến theo 90°.
Cách khác: Dựng tam giác gồm thành phần ngang a và đứng h.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Dùng cos trực tiếp với pháp tuyến nhưng gọi đó là góc đường–mặt.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B24-TH-14
Đề bài: Đường d có vectơ chỉ phương (3; 0; 2), mặt phẳng (Oxy) có pháp tuyến (0;0;1). Viết sin góc giữa d và (Oxy).
Phân tích: Sin góc đường–mặt bằng trị tuyệt đối tích vô hướng với pháp tuyến chia tích độ dài.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Sin góc đường–mặt bằng trị tuyệt đối tích vô hướng với pháp tuyến chia tích độ dài.
- Bước 2: sinα = 2/√13.
- Bước 3: Kết luận 2/√13.
Vì sao: Góc đường–mặt bù với góc đường–pháp tuyến theo 90°.
Cách khác: Dựng tam giác gồm thành phần ngang a và đứng h.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Dùng cos trực tiếp với pháp tuyến nhưng gọi đó là góc đường–mặt.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B24-VD-04
Đề bài: Một đoạn nghiêng dài 5 m có hình chiếu lên mặt phẳng dài 3 m và độ cao 4 m. Tính góc giữa đoạn và mặt phẳng.
Phân tích: Trong tam giác vuông, sin góc đường–mặt = độ cao/độ dài đoạn.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Trong tam giác vuông, sin góc đường–mặt = độ cao/độ dài đoạn.
- Bước 2: sinα = 4/5 nên α ≈ 53,13°.
- Bước 3: Kết luận ≈ 53,13°.
Vì sao: Góc cần tìm là góc giữa đoạn và hình chiếu của nó.
Cách khác: Dùng tanα=4/3.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy cosα=4/5 nên đổi vai hai cạnh.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B24-VD-14
Đề bài: Một đoạn nghiêng dài 5 m có hình chiếu lên mặt phẳng dài 3 m và độ cao 4 m. Tính góc giữa đoạn và mặt phẳng.
Phân tích: Trong tam giác vuông, sin góc đường–mặt = độ cao/độ dài đoạn.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Trong tam giác vuông, sin góc đường–mặt = độ cao/độ dài đoạn.
- Bước 2: sinα = 4/5 nên α ≈ 53,13°.
- Bước 3: Kết luận ≈ 53,13°.
Vì sao: Góc cần tìm là góc giữa đoạn và hình chiếu của nó.
Cách khác: Dùng tanα=4/3.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy cosα=4/5 nên đổi vai hai cạnh.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B24-VDC-04
Đề bài: Điểm M(3; 2; 1) có hình chiếu vuông góc lên (Oxy) là điểm nào?
Phân tích: Giữ x,y và đưa z về 0.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Giữ x,y và đưa z về 0.
- Bước 2: H(3; 2; 0).
- Bước 3: Kết luận H(3; 2; 0).
Vì sao: Đường MH song song trục Oz và vuông góc (Oxy).
Cách khác: Tìm giao của đường qua M theo pháp tuyến (0,0,1) với z=0.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Đưa cả ba tọa độ về 0.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • B24-VDC-14
Đề bài: Điểm M(5; 2; 2) có hình chiếu vuông góc lên (Oxy) là điểm nào?
Phân tích: Giữ x,y và đưa z về 0.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Giữ x,y và đưa z về 0.
- Bước 2: H(5; 2; 0).
- Bước 3: Kết luận H(5; 2; 0).
Vì sao: Đường MH song song trục Oz và vuông góc (Oxy).
Cách khác: Tìm giao của đường qua M theo pháp tuyến (0,0,1) với z=0.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Đưa cả ba tọa độ về 0.
09 • Thực tếVí dụ 9 • B24-TT-04
Đề bài: Nếu d ∥ (P), góc giữa d và (P) bằng bao nhiêu?
Phân tích: Một đường song song d nằm trong (P).
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Một đường song song d nằm trong (P).
- Bước 2: 0°.
- Bước 3: Kết luận 0°.
Vì sao: Hướng của d đã nằm theo phương của mặt phẳng.
Cách khác: Dịch d vào trong mặt phẳng.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho góc bằng 90° vì d không cắt mặt.
10 • Thực tếVí dụ 10 • B24-TT-14
Đề bài: Nếu d ∥ (P), góc giữa d và (P) bằng bao nhiêu?
Phân tích: Một đường song song d nằm trong (P).
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Một đường song song d nằm trong (P).
- Bước 2: 0°.
- Bước 3: Kết luận 0°.
Vì sao: Hướng của d đã nằm theo phương của mặt phẳng.
Cách khác: Dịch d vào trong mặt phẳng.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho góc bằng 90° vì d không cắt mặt.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua phép chiếu vuông góc. góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Tình huống 1 dùng độ dốc mái, đường dốc, tia sáng, quét 3D và thiết kế cầu; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Trường học qua phép chiếu vuông góc. góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Tình huống 2 dùng độ dốc mái, đường dốc, tia sáng, quét 3D và thiết kế cầu; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua phép chiếu vuông góc. góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Tình huống 3 dùng độ dốc mái, đường dốc, tia sáng, quét 3D và thiết kế cầu; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua phép chiếu vuông góc. góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Tình huống 4 dùng độ dốc mái, đường dốc, tia sáng, quét 3D và thiết kế cầu; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua phép chiếu vuông góc. góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Tình huống 5 dùng độ dốc mái, đường dốc, tia sáng, quét 3D và thiết kế cầu; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua phép chiếu vuông góc. góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Tình huống 6 dùng độ dốc mái, đường dốc, tia sáng, quét 3D và thiết kế cầu; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua phép chiếu vuông góc. góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Tình huống 7 dùng độ dốc mái, đường dốc, tia sáng, quét 3D và thiết kế cầu; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua phép chiếu vuông góc. góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Tình huống 8 dùng độ dốc mái, đường dốc, tia sáng, quét 3D và thiết kế cầu; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Phép chiếu vuông góc theo cách đơn giản?
Từ điểm đi theo phương vuông góc cho đến khi chạm mặt. Mốc chính xác: H∈(P), MH⊥(P); H là hình chiếu của M. Ví dụ: M(x,y,z) chiếu lên Oxy thành (x,y,0). Cách nhớ: Giữ tọa độ trong mặt, bỏ thành phần pháp tuyến. Cần tránh: Nhầm với hướng chiếu bất kì.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Lấy góc với pháp tuyến
Nhầm với hướng chiếu bất kì. Sửa bằng: Giữ tọa độ trong mặt, bỏ thành phần pháp tuyến. Kiểm cuối: Phép chiếu vuông góc là trường hợp đặc biệt của chiếu song song.
Dựng sai chân chiếu
Lấy góc phụ. Sửa bằng: Đường với hình chiếu, không phải với pháp tuyến. Kiểm cuối: Nếu d⊥(P), α=90°; nếu d∥(P), α=0°.
Dùng sin–cos sai cạnh
Dùng cos với pháp tuyến rồi gọi là α. Sửa bằng: Với pháp tuyến dùng sin; với hình chiếu dùng cos. Kiểm cuối: Trị tuyệt đối giữ góc không âm.
Góc đường song song mặt bằng 90°
Nhầm với hướng chiếu bất kì. Sửa bằng: Giữ tọa độ trong mặt, bỏ thành phần pháp tuyến. Kiểm cuối: Phép chiếu vuông góc là trường hợp đặc biệt của chiếu song song.
Góc đường vuông góc mặt bằng 0°
Lấy góc phụ. Sửa bằng: Đường với hình chiếu, không phải với pháp tuyến. Kiểm cuối: Nếu d⊥(P), α=90°; nếu d∥(P), α=0°.
Lấy góc với pháp tuyến – biến thể 6
Dùng cos với pháp tuyến rồi gọi là α. Sửa bằng: Với pháp tuyến dùng sin; với hình chiếu dùng cos. Kiểm cuối: Trị tuyệt đối giữ góc không âm.
Dựng sai chân chiếu – biến thể 7
Nhầm với hướng chiếu bất kì. Sửa bằng: Giữ tọa độ trong mặt, bỏ thành phần pháp tuyến. Kiểm cuối: Phép chiếu vuông góc là trường hợp đặc biệt của chiếu song song.
Dùng sin–cos sai cạnh – biến thể 8
Lấy góc phụ. Sửa bằng: Đường với hình chiếu, không phải với pháp tuyến. Kiểm cuối: Nếu d⊥(P), α=90°; nếu d∥(P), α=0°.
Góc đường song song mặt bằng 90° – biến thể 9
Dùng cos với pháp tuyến rồi gọi là α. Sửa bằng: Với pháp tuyến dùng sin; với hình chiếu dùng cos. Kiểm cuối: Trị tuyệt đối giữ góc không âm.
Góc đường vuông góc mặt bằng 0° – biến thể 10
Nhầm với hướng chiếu bất kì. Sửa bằng: Giữ tọa độ trong mặt, bỏ thành phần pháp tuyến. Kiểm cuối: Phép chiếu vuông góc là trường hợp đặc biệt của chiếu song song.
Lấy góc với pháp tuyến – biến thể 11
Lấy góc phụ. Sửa bằng: Đường với hình chiếu, không phải với pháp tuyến. Kiểm cuối: Nếu d⊥(P), α=90°; nếu d∥(P), α=0°.
Dựng sai chân chiếu – biến thể 12
Dùng cos với pháp tuyến rồi gọi là α. Sửa bằng: Với pháp tuyến dùng sin; với hình chiếu dùng cos. Kiểm cuối: Trị tuyệt đối giữ góc không âm.
Dùng sin–cos sai cạnh – biến thể 13
Nhầm với hướng chiếu bất kì. Sửa bằng: Giữ tọa độ trong mặt, bỏ thành phần pháp tuyến. Kiểm cuối: Phép chiếu vuông góc là trường hợp đặc biệt của chiếu song song.
Góc đường song song mặt bằng 90° – biến thể 14
Lấy góc phụ. Sửa bằng: Đường với hình chiếu, không phải với pháp tuyến. Kiểm cuối: Nếu d⊥(P), α=90°; nếu d∥(P), α=0°.
Góc đường vuông góc mặt bằng 0° – biến thể 15
Dùng cos với pháp tuyến rồi gọi là α. Sửa bằng: Với pháp tuyến dùng sin; với hình chiếu dùng cos. Kiểm cuối: Trị tuyệt đối giữ góc không âm.
Lấy góc với pháp tuyến – biến thể 16
Nhầm với hướng chiếu bất kì. Sửa bằng: Giữ tọa độ trong mặt, bỏ thành phần pháp tuyến. Kiểm cuối: Phép chiếu vuông góc là trường hợp đặc biệt của chiếu song song.
Dựng sai chân chiếu – biến thể 17
Lấy góc phụ. Sửa bằng: Đường với hình chiếu, không phải với pháp tuyến. Kiểm cuối: Nếu d⊥(P), α=90°; nếu d∥(P), α=0°.
Dùng sin–cos sai cạnh – biến thể 18
Dùng cos với pháp tuyến rồi gọi là α. Sửa bằng: Với pháp tuyến dùng sin; với hình chiếu dùng cos. Kiểm cuối: Trị tuyệt đối giữ góc không âm.
Góc đường song song mặt bằng 90° – biến thể 19
Nhầm với hướng chiếu bất kì. Sửa bằng: Giữ tọa độ trong mặt, bỏ thành phần pháp tuyến. Kiểm cuối: Phép chiếu vuông góc là trường hợp đặc biệt của chiếu song song.
Góc đường vuông góc mặt bằng 0° – biến thể 20
Lấy góc phụ. Sửa bằng: Đường với hình chiếu, không phải với pháp tuyến. Kiểm cuối: Nếu d⊥(P), α=90°; nếu d∥(P), α=0°.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Điều kiện ở lề trái
Viết miền xác định hoặc giả thiết hình học trước dòng biến đổi đầu tiên.
Chu trình 5–20–5
5 phút gọi nền, 20 phút học một nút, 5 phút tự nói lại không nhìn tài liệu.
Ví dụ – phản ví dụ
Mỗi định lí đi cùng một trường hợp đủ điều kiện và một trường hợp thiếu điều kiện.
Hai phép kiểm
Kiểm bằng biểu diễn thứ hai: thay nghiệm, đồ thị, vectơ, tọa độ hoặc đơn vị.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi điều đã làm, nguyên nhân sai và phép tự kiểm cho lần sau.
Ôn 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và kiểm cổng sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng1 2 3
Phép chiếu vuông gócH∈(P), MH⊥(P); H là hình chiếu của M. Giữ tọa độ trong mặt, bỏ thành phần pháp tuyến.
Góc giữa đường và mặtNếu d cắt (P) tại O và d′ là hình chiếu thì α=(d,d′). Đường với hình chiếu, không phải với pháp tuyến.
Công thức vectơsinα=|u·n|/(|u||n|). Với pháp tuyến dùng sin; với hình chiếu dùng cos.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
B24-NB-01Hai vectơ u = (2; 3) và v = (3; −2) có vuông góc không?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 6 − 6 = 0 nên u ⟂ v.
Vì sao: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Sai ở đâu: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
B24-NB-02Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 3 và 4. Tính cạnh huyền.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng định lí Pythagore.
Lời giải: Cạnh huyền bằng √(3²+4²) = √25.
Vì sao: Độ dài đường chéo trong không gian cũng được xây từ Pythagore.
Sai ở đâu: Cộng trực tiếp hai cạnh.
Cách khác: Bình phương kết quả để tự kiểm.
B24-NB-03Trong tam giác ABC, MN ∥ BC và AM/AB = 4/9. Tính AN/AC.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng định lí Thalès.
Lời giải: AN/AC = AM/AB = 4/9.
Vì sao: Tỉ số hình phẳng là nền cho bài tỉ số thể tích.
Sai ở đâu: Đảo một tỉ số mà không đảo tỉ số tương ứng.
Cách khác: Dùng hai tam giác đồng dạng.
B24-NB-04Nếu d ⟂ (P), góc giữa d và (P) bằng bao nhiêu?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đường vuông góc mặt phẳng tạo góc lớn nhất.
Lời giải: 90°.
Vì sao: Hình chiếu của d lên (P) co thành một điểm; quy ước góc là 90°.
Sai ở đâu: Cho góc bằng 0° vì hình chiếu co lại.
Cách khác: So d với pháp tuyến của (P).
B24-NB-05Nếu d ∥ (P), góc giữa d và (P) bằng bao nhiêu?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Một đường song song d nằm trong (P).
Lời giải: 0°.
Vì sao: Hướng của d đã nằm theo phương của mặt phẳng.
Sai ở đâu: Cho góc bằng 90° vì d không cắt mặt.
Cách khác: Dịch d vào trong mặt phẳng.
B24-NB-06Điểm M(4; 2; 3) có hình chiếu vuông góc lên (Oxy) là điểm nào?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Giữ x,y và đưa z về 0.
Lời giải: H(4; 2; 0).
Vì sao: Đường MH song song trục Oz và vuông góc (Oxy).
Sai ở đâu: Đưa cả ba tọa độ về 0.
Cách khác: Tìm giao của đường qua M theo pháp tuyến (0,0,1) với z=0.
B24-NB-07Một đoạn nghiêng dài 5 m có hình chiếu lên mặt phẳng dài 3 m và độ cao 4 m. Tính góc giữa đoạn và mặt phẳng.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Trong tam giác vuông, sin góc đường–mặt = độ cao/độ dài đoạn.
Lời giải: sinα = 4/5 nên α ≈ 53,13°.
Vì sao: Góc cần tìm là góc giữa đoạn và hình chiếu của nó.
Sai ở đâu: Lấy cosα=4/5 nên đổi vai hai cạnh.
Cách khác: Dùng tanα=4/3.
B24-NB-08Đường d có vectơ chỉ phương (6; 0; 2), mặt phẳng (Oxy) có pháp tuyến (0;0;1). Viết sin góc giữa d và (Oxy).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Sin góc đường–mặt bằng trị tuyệt đối tích vô hướng với pháp tuyến chia tích độ dài.
Lời giải: sinα = 2/√40.
Vì sao: Góc đường–mặt bù với góc đường–pháp tuyến theo 90°.
Sai ở đâu: Dùng cos trực tiếp với pháp tuyến nhưng gọi đó là góc đường–mặt.
Cách khác: Dựng tam giác gồm thành phần ngang a và đứng h.
B24-NB-09Nếu d ⟂ (P), góc giữa d và (P) bằng bao nhiêu?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đường vuông góc mặt phẳng tạo góc lớn nhất.
Lời giải: 90°.
Vì sao: Hình chiếu của d lên (P) co thành một điểm; quy ước góc là 90°.
Sai ở đâu: Cho góc bằng 0° vì hình chiếu co lại.
Cách khác: So d với pháp tuyến của (P).
B24-NB-10Nếu d ∥ (P), góc giữa d và (P) bằng bao nhiêu?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Một đường song song d nằm trong (P).
Lời giải: 0°.
Vì sao: Hướng của d đã nằm theo phương của mặt phẳng.
Sai ở đâu: Cho góc bằng 90° vì d không cắt mặt.
Cách khác: Dịch d vào trong mặt phẳng.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
[B24-NB-01] Hai vectơ u = (2; 3) và v = (3; −2) có vuông góc không?
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Hai vectơ u = (2; 3) và v = (3; −2) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 6 − 6 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 2Điểm M(4; 2; 3) có hình chiếu vuông góc lên (Oxy) là điểm nào?
Gợi ý: Giữ x,y và đưa z về 0.
Lời giải: H(4; 2; 0).
Giải thích: Đường MH song song trục Oz và vuông góc (Oxy).
Lỗi cần tránh: Đưa cả ba tọa độ về 0.
Cách khác: Tìm giao của đường qua M theo pháp tuyến (0,0,1) với z=0.
TỰ LUẬN 3Điểm M(5; 2; 2) có hình chiếu vuông góc lên (Oxy) là điểm nào?
Gợi ý: Giữ x,y và đưa z về 0.
Lời giải: H(5; 2; 0).
Giải thích: Đường MH song song trục Oz và vuông góc (Oxy).
Lỗi cần tránh: Đưa cả ba tọa độ về 0.
Cách khác: Tìm giao của đường qua M theo pháp tuyến (0,0,1) với z=0.
TỰ LUẬN 4Điểm M(6; 2; 1) có hình chiếu vuông góc lên (Oxy) là điểm nào?
Gợi ý: Giữ x,y và đưa z về 0.
Lời giải: H(6; 2; 0).
Giải thích: Đường MH song song trục Oz và vuông góc (Oxy).
Lỗi cần tránh: Đưa cả ba tọa độ về 0.
Cách khác: Tìm giao của đường qua M theo pháp tuyến (0,0,1) với z=0.
TỰ LUẬN 5Hai vectơ u = (5; 6) và v = (6; −5) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 30 − 30 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 6Nếu d ∥ (P), góc giữa d và (P) bằng bao nhiêu?
Gợi ý: Một đường song song d nằm trong (P).
Lời giải: 0°.
Giải thích: Hướng của d đã nằm theo phương của mặt phẳng.
Lỗi cần tránh: Cho góc bằng 90° vì d không cắt mặt.
Cách khác: Dịch d vào trong mặt phẳng.
TỰ LUẬN 7Nếu d ∥ (P), góc giữa d và (P) bằng bao nhiêu?
Gợi ý: Một đường song song d nằm trong (P).
Lời giải: 0°.
Giải thích: Hướng của d đã nằm theo phương của mặt phẳng.
Lỗi cần tránh: Cho góc bằng 90° vì d không cắt mặt.
Cách khác: Dịch d vào trong mặt phẳng.
TỰ LUẬN 8Nếu d ∥ (P), góc giữa d và (P) bằng bao nhiêu?
Gợi ý: Một đường song song d nằm trong (P).
Lời giải: 0°.
Giải thích: Hướng của d đã nằm theo phương của mặt phẳng.
Lỗi cần tránh: Cho góc bằng 90° vì d không cắt mặt.
Cách khác: Dịch d vào trong mặt phẳng.
TỰ LUẬN 9Hai vectơ u = (3; 5) và v = (5; −3) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 15 − 15 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 10Nếu d ⟂ (P), góc giữa d và (P) bằng bao nhiêu?
Gợi ý: Đường vuông góc mặt phẳng tạo góc lớn nhất.
Lời giải: 90°.
Giải thích: Hình chiếu của d lên (P) co thành một điểm; quy ước góc là 90°.
Lỗi cần tránh: Cho góc bằng 0° vì hình chiếu co lại.
Cách khác: So d với pháp tuyến của (P).
TỰ LUẬN 11Nếu d ⟂ (P), góc giữa d và (P) bằng bao nhiêu?
Gợi ý: Đường vuông góc mặt phẳng tạo góc lớn nhất.
Lời giải: 90°.
Giải thích: Hình chiếu của d lên (P) co thành một điểm; quy ước góc là 90°.
Lỗi cần tránh: Cho góc bằng 0° vì hình chiếu co lại.
Cách khác: So d với pháp tuyến của (P).
TỰ LUẬN 12Nếu d ⟂ (P), góc giữa d và (P) bằng bao nhiêu?
Gợi ý: Đường vuông góc mặt phẳng tạo góc lớn nhất.
Lời giải: 90°.
Giải thích: Hình chiếu của d lên (P) co thành một điểm; quy ước góc là 90°.
Lỗi cần tránh: Cho góc bằng 0° vì hình chiếu co lại.
Cách khác: So d với pháp tuyến của (P).
TỰ LUẬN 13Hai vectơ u = (6; 4) và v = (4; −6) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 24 − 24 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 14Đường d có vectơ chỉ phương (5; 0; 3), mặt phẳng (Oxy) có pháp tuyến (0;0;1). Viết sin góc giữa d và (Oxy).
Gợi ý: Sin góc đường–mặt bằng trị tuyệt đối tích vô hướng với pháp tuyến chia tích độ dài.
Lời giải: sinα = 3/√34.
Giải thích: Góc đường–mặt bù với góc đường–pháp tuyến theo 90°.
Lỗi cần tránh: Dùng cos trực tiếp với pháp tuyến nhưng gọi đó là góc đường–mặt.
Cách khác: Dựng tam giác gồm thành phần ngang a và đứng h.
TỰ LUẬN 15Đường d có vectơ chỉ phương (6; 0; 2), mặt phẳng (Oxy) có pháp tuyến (0;0;1). Viết sin góc giữa d và (Oxy).
Gợi ý: Sin góc đường–mặt bằng trị tuyệt đối tích vô hướng với pháp tuyến chia tích độ dài.
Lời giải: sinα = 2/√40.
Giải thích: Góc đường–mặt bù với góc đường–pháp tuyến theo 90°.
Lỗi cần tránh: Dùng cos trực tiếp với pháp tuyến nhưng gọi đó là góc đường–mặt.
Cách khác: Dựng tam giác gồm thành phần ngang a và đứng h.
TỰ LUẬN 16Đường d có vectơ chỉ phương (3; 0; 1), mặt phẳng (Oxy) có pháp tuyến (0;0;1). Viết sin góc giữa d và (Oxy).
Gợi ý: Sin góc đường–mặt bằng trị tuyệt đối tích vô hướng với pháp tuyến chia tích độ dài.
Lời giải: sinα = 1/√10.
Giải thích: Góc đường–mặt bù với góc đường–pháp tuyến theo 90°.
Lỗi cần tránh: Dùng cos trực tiếp với pháp tuyến nhưng gọi đó là góc đường–mặt.
Cách khác: Dựng tam giác gồm thành phần ngang a và đứng h.
TỰ LUẬN 17Hai vectơ u = (4; 3) và v = (3; −4) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 12 − 12 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 18Một đoạn nghiêng dài 5 m có hình chiếu lên mặt phẳng dài 3 m và độ cao 4 m. Tính góc giữa đoạn và mặt phẳng.
Gợi ý: Trong tam giác vuông, sin góc đường–mặt = độ cao/độ dài đoạn.
Lời giải: sinα = 4/5 nên α ≈ 53,13°.
Giải thích: Góc cần tìm là góc giữa đoạn và hình chiếu của nó.
Lỗi cần tránh: Lấy cosα=4/5 nên đổi vai hai cạnh.
Cách khác: Dùng tanα=4/3.
TỰ LUẬN 19Một đoạn nghiêng dài 5 m có hình chiếu lên mặt phẳng dài 3 m và độ cao 4 m. Tính góc giữa đoạn và mặt phẳng.
Gợi ý: Trong tam giác vuông, sin góc đường–mặt = độ cao/độ dài đoạn.
Lời giải: sinα = 4/5 nên α ≈ 53,13°.
Giải thích: Góc cần tìm là góc giữa đoạn và hình chiếu của nó.
Lỗi cần tránh: Lấy cosα=4/5 nên đổi vai hai cạnh.
Cách khác: Dùng tanα=4/3.
TỰ LUẬN 20Một đoạn nghiêng dài 5 m có hình chiếu lên mặt phẳng dài 3 m và độ cao 4 m. Tính góc giữa đoạn và mặt phẳng.
Gợi ý: Trong tam giác vuông, sin góc đường–mặt = độ cao/độ dài đoạn.
Lời giải: sinα = 4/5 nên α ≈ 53,13°.
Giải thích: Góc cần tìm là góc giữa đoạn và hình chiếu của nó.
Lỗi cần tránh: Lấy cosα=4/5 nên đổi vai hai cạnh.
Cách khác: Dùng tanα=4/3.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B24-NB-01, B24-NB-02, B24-NB-03, B24-NB-04, B24-NB-05, B24-NB-06, B24-NB-07, B24-NB-08, B24-NB-09, B24-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B24-NB-01: Có
- B24-NB-02: √25
- B24-NB-03: 4/9
- B24-NB-04: 90°
- B24-NB-05: 0°
- B24-NB-06: H(4; 2; 0)
- B24-NB-07: ≈ 53,13°
- B24-NB-08: 2/√40
- B24-NB-09: 90°
- B24-NB-10: 0°
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 7
10 câu đại diện: B24-NB-11, B24-NB-12, B24-NB-13, B24-NB-14, B24-NB-15, B24-NB-16, B24-NB-17, B24-NB-18, B24-NB-19, B24-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B24-NB-11: H(5; 2; 0)
- B24-NB-12: ≈ 53,13°
- B24-NB-13: 1/√10
- B24-NB-14: 90°
- B24-NB-15: 0°
- B24-NB-16: H(6; 2; 0)
- B24-NB-17: ≈ 53,13°
- B24-NB-18: 3/√25
- B24-NB-19: 90°
- B24-NB-20: 0°
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B24-TH-01, B24-TH-02, B24-TH-03, B24-TH-04, B24-TH-05, B24-TH-06, B24-TH-07, B24-TH-08, B24-TH-09, B24-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B24-TH-01: Có
- B24-TH-02: √45
- B24-TH-03: 2/6
- B24-TH-04: 1/√26
- B24-TH-05: 90°
- B24-TH-06: 0°
- B24-TH-07: H(4; 2; 0)
- B24-TH-08: ≈ 53,13°
- B24-TH-09: 3/√45
- B24-TH-10: 90°
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B24-TH-11, B24-TH-12, B24-TH-13, B24-TH-14, B24-TH-15, B24-TH-16, B24-TH-17, B24-TH-18, B24-TH-19, B24-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B24-TH-11: 0°
- B24-TH-12: H(5; 2; 0)
- B24-TH-13: ≈ 53,13°
- B24-TH-14: 2/√13
- B24-TH-15: 90°
- B24-TH-16: 0°
- B24-TH-17: H(6; 2; 0)
- B24-TH-18: ≈ 53,13°
- B24-TH-19: 1/√17
- B24-TH-20: 90°
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: B24-VD-01, B24-VD-02, B24-VD-03, B24-VD-04, B24-VD-05, B24-VD-06, B24-VD-07, B24-VD-08, B24-VD-09, B24-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B24-VD-01: Có
- B24-VD-02: √52
- B24-VD-03: 5/8
- B24-VD-04: ≈ 53,13°
- B24-VD-05: 2/√29
- B24-VD-06: 90°
- B24-VD-07: 0°
- B24-VD-08: H(4; 2; 0)
- B24-VD-09: ≈ 53,13°
- B24-VD-10: 1/√37
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi phiên 35–50 phút, ưu tiên con giải thích điều kiện hơn làm thật nhiều câu.
- Hỏi con vì sao công thức dùng được và cách tự kiểm đáp số.
- Theo dõi ba lỗi lặp lại gần nhất cùng lịch ôn 1–7–30.
- Khuyến khích con vẽ mô hình, đọc đơn vị và ước lượng trước khi tính.
- Mở bài bằng phản ví dụ thiếu điều kiện để học sinh tự phát hiện.
- Chấm theo mốc điều kiện–công cụ–suy luận–kết luận, không chỉ đáp số.
- Kết hợp đại số, đồ thị, hình học tổng hợp và tọa độ để kiểm chéo.
- Đề nội bộ định hướng Hà Nội phải ghi rõ tính tham khảo.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.