Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc

Gợi ý: Tính tích vô hướng.

Lời giải: u·v = 6 − 6 = 0 nên u ⟂ v.

Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.

Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.

Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).

Gợi ý: Vectơ pháp tuyến lần lượt là (0,0,1) và (0,1,0).

Lời giải: Có, vì hai pháp tuyến vuông góc.

Giải thích: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến.

Lỗi cần tránh: Cho rằng có giao tuyến thì tự động vuông góc.

Cách khác: Quan sát hai mặt tọa độ kề nhau.

Gợi ý: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K

Lời giải: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=416 cm².

Giải thích: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=416 cm².

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K

Lời giải: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=1609 cm².

Giải thích: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=1609 cm².

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: Tính tích vô hướng.

Lời giải: u·v = 30 − 30 = 0 nên u ⟂ v.

Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.

Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.

Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).

Gợi ý: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K

Lời giải: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=4234 cm².

Giải thích: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=4234 cm².

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K

Lời giải: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=8109 cm².

Giải thích: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=8109 cm².

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K

Lời giải: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=13234 cm².

Giải thích: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=13234 cm².

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: Tính tích vô hướng.

Lời giải: u·v = 15 − 15 = 0 nên u ⟂ v.

Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.

Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.

Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).

Gợi ý: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K

Lời giải: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=22525 cm².

Giải thích: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=22525 cm².

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K

Lời giải: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=30650 cm².

Giải thích: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=30650 cm².

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K

Lời giải: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=40025 cm².

Giải thích: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=40025 cm².

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: Đặt u=a^t>0, khi đó a^(−t)=1/u

Lời giải: Đặt u=a^t>0, khi đó a^(−t)=1/u. Bình phương u+1/u=3 được u²+u^(−2)=7. Bình phương lần nữa rồi trừ 2, có u⁴+u^(−4)=(7)²−2=47. Vì 3>2, dữ kiện có nghiệm u dương.

Giải thích: Đặt u=a^t>0, khi đó a^(−t)=1/u. Bình phương u+1/u=3 được u²+u^(−2)=7. Bình phương lần nữa rồi trừ 2, có u⁴+u^(−4)=(7)²−2=47. Vì 3>2, dữ kiện có nghiệm u dương.

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K

Lời giải: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=55229 cm².

Giải thích: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=55229 cm².

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K

Lời giải: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=67604 cm².

Giải thích: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=67604 cm².

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K

Lời giải: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=81229 cm².

Giải thích: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=81229 cm².

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: Tính tích vô hướng.

Lời giải: u·v = 12 − 12 = 0 nên u ⟂ v.

Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.

Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.

Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).

Gợi ý: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K

Lời giải: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=102416 cm².

Giải thích: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=102416 cm².

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K

Lời giải: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=119041 cm².

Giải thích: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=119041 cm².

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.

Gợi ý: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K

Lời giải: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=136916 cm².

Giải thích: qua C kẻ đường song song d cắt mặt phẳng vuông góc d tại K ở C', thì CC'=HK, C'K=CH và DK⊥C'K. Tam giác C'KD vuông cho C'D²=CH²+DK²; CC'⊥C'D nên CD²=HK²+C'D²=136916 cm².

Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.

Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.