Nhìn quy luật có điều kiện
Bài học biến tường–sàn, mái gấp, khớp cơ khí, góc nhị diện tinh thể và CAD thành mô hình có thể kiểm chứng.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 25. Hai mặt phẳng vuông góc
Xác định góc giữa hai mặt phẳng, góc nhị diện và chứng minh hai mặt vuông góc bằng đường thẳng vuông góc mặt phẳng.
Một cặp đường vuông góc chưa đủ; cần đường vuông góc cả mặt phẳng
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Lập luận và đo lường
Biết gọi dữ kiện, kiểm điều kiện, chọn công cụ và diễn giải kết quả.
Nối đúng nền
Kích hoạt bài 23–24, giao tuyến và mặt phẳng phụ rồi chuẩn bị cho Bài 26. Khoảng cách.
Ví dụ – phản ví dụ – tự kiểm
Mỗi quy tắc có trường hợp đúng, trường hợp thiếu điều kiện và phép kiểm độc lập.
- Xác định góc giữa hai mặt.
- Dựng góc phẳng nhị diện.
- Áp dụng tiêu chuẩn hai mặt vuông góc.
- Khai thác tính chất qua giao tuyến.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Bài 23–24, giao tuyến và mặt phẳng phụ.
- Viết điều kiện hoặc quan hệ hình học trước khi tính.
- Ước lượng dấu, miền, góc, khoảng cách hoặc thể tích.
- Kiểm bằng thay nghiệm, đồ thị, vectơ, tọa độ hoặc đơn vị.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Góc giữa hai mặt
Hiểu đơn giản: Cắt vuông góc giao tuyến để nhìn được góc thật.
Góc hai mặt ∈[0°,90°], bằng góc giữa hai pháp tuyến.
Ví dụ: Oxy và Oxz có góc 90°.
Hình nên dùng: Hai tấm phẳng gập quanh bản lề.
Mô phỏng: Gập một mặt quanh giao tuyến.
Mẹo nhớ: Giao tuyến là bản lề.
Sai lầm: Lấy góc giữa hai nét bất kì.
Ghi chú: Pháp tuyến giúp kiểm bằng tọa độ.
Góc nhị diện
Hiểu đơn giản: Mỗi nửa mặt phẳng quanh cạnh tạo một phía của góc không gian.
Góc phẳng nhị diện dựng bằng hai tia cùng gốc trên cạnh và cùng vuông góc cạnh.
Ví dụ: Mặt cắt vuông góc cạnh của mái.
Hình nên dùng: Mô hình quyển sách mở.
Mô phỏng: Thay độ mở hai trang.
Mẹo nhớ: Cùng gốc, cùng vuông góc cạnh.
Sai lầm: Hai tia ở hai điểm khác nhau.
Ghi chú: Góc nhị diện có thể xét định hướng, nhưng góc hai mặt lấy góc không tù.
Tiêu chuẩn vuông góc
Hiểu đơn giản: Một mặt chứa pháp tuyến của mặt kia.
(P)⊃d, d⊥(Q) ⇒ (P)⊥(Q).
Ví dụ: Tường chứa cột vuông góc sàn.
Hình nên dùng: Một đường nổi bật trong mặt.
Mô phỏng: Chọn đường chứng.
Mẹo nhớ: Đường–mặt là cầu nối sang mặt–mặt.
Sai lầm: Chứng minh hai đường thuộc hai mặt vuông góc.
Ghi chú: Điều kiện chứa phải được nêu rõ.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB GÓC ĐƯỜNG THẲNG – MẶT PHẲNG
Đo bằng vectơ chỉ phương và pháp tuyến
Nhập vectơ chỉ phương u⃗ của đường thẳng và pháp tuyến n⃗ của mặt phẳng. Góc cần tìm thỏa sin α = |u⃗·n⃗|/(|u⃗||n⃗|).
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B25-NB-04
Đề bài: Hai mặt phẳng vuông góc cắt nhau theo d. Trong (P), đường a vuông góc d tại O. Quan hệ giữa a và (Q)?
Phân tích: Dùng tính chất của hai mặt phẳng vuông góc.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Dùng tính chất của hai mặt phẳng vuông góc.
- Bước 2: a ⟂ (Q).
- Bước 3: Kết luận a ⟂ (Q).
Vì sao: Trong một mặt vuông góc mặt kia, đường vuông góc giao tuyến cũng vuông góc mặt kia.
Cách khác: Chứng minh a vuông góc hai đường cắt nhau trong (Q).
Tự kiểm: Chặn lỗi: Kết luận mọi đường trong (P) đều vuông góc (Q).
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B25-NB-14
Đề bài: Hai mặt phẳng vuông góc cắt nhau theo d. Trong (P), đường a vuông góc d tại O. Quan hệ giữa a và (Q)?
Phân tích: Dùng tính chất của hai mặt phẳng vuông góc.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Dùng tính chất của hai mặt phẳng vuông góc.
- Bước 2: a ⟂ (Q).
- Bước 3: Kết luận a ⟂ (Q).
Vì sao: Trong một mặt vuông góc mặt kia, đường vuông góc giao tuyến cũng vuông góc mặt kia.
Cách khác: Chứng minh a vuông góc hai đường cắt nhau trong (Q).
Tự kiểm: Chặn lỗi: Kết luận mọi đường trong (P) đều vuông góc (Q).
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B25-TH-04
Đề bài: Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n₁ = (3; 0; 0), n₂ = (0; 4; 0). Tính góc giữa hai mặt phẳng.
Phân tích: Tính góc giữa hai pháp tuyến.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Tính góc giữa hai pháp tuyến.
- Bước 2: n₁·n₂=0 nên góc bằng 90°.
- Bước 3: Kết luận 90°.
Vì sao: Góc giữa hai mặt phẳng được chọn trong [0°;90°].
Cách khác: Chuẩn hóa hai vectơ rồi dùng cos.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Tính góc giữa các hệ số tự do.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B25-TH-14
Đề bài: Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n₁ = (1; 0; 0), n₂ = (0; 2; 0). Tính góc giữa hai mặt phẳng.
Phân tích: Tính góc giữa hai pháp tuyến.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Tính góc giữa hai pháp tuyến.
- Bước 2: n₁·n₂=0 nên góc bằng 90°.
- Bước 3: Kết luận 90°.
Vì sao: Góc giữa hai mặt phẳng được chọn trong [0°;90°].
Cách khác: Chuẩn hóa hai vectơ rồi dùng cos.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Tính góc giữa các hệ số tự do.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B25-VD-04
Đề bài: Nêu một tiêu chuẩn chứng minh (P) vuông góc (Q).
Phân tích: Tìm trong một mặt phẳng một đường vuông góc mặt phẳng kia.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Tìm trong một mặt phẳng một đường vuông góc mặt phẳng kia.
- Bước 2: Nếu (P) chứa đường d với d ⟂ (Q) thì (P) ⟂ (Q).
- Bước 3: Kết luận (P) chứa d⊥(Q).
Vì sao: Một pháp tuyến nằm trong mặt còn lại làm góc hai mặt bằng 90°.
Cách khác: Dùng đường vuông góc mặt phẳng đã học ở Bài 23.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Chỉ tìm một cặp đường vuông góc, mỗi đường thuộc một mặt.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B25-VD-14
Đề bài: Nêu một tiêu chuẩn chứng minh (P) vuông góc (Q).
Phân tích: Tìm trong một mặt phẳng một đường vuông góc mặt phẳng kia.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Tìm trong một mặt phẳng một đường vuông góc mặt phẳng kia.
- Bước 2: Nếu (P) chứa đường d với d ⟂ (Q) thì (P) ⟂ (Q).
- Bước 3: Kết luận (P) chứa d⊥(Q).
Vì sao: Một pháp tuyến nằm trong mặt còn lại làm góc hai mặt bằng 90°.
Cách khác: Dùng đường vuông góc mặt phẳng đã học ở Bài 23.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Chỉ tìm một cặp đường vuông góc, mỗi đường thuộc một mặt.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B25-VDC-04
Đề bài: Hai mặt phẳng (Oxy) và (Oxz) có vuông góc không?
Phân tích: Vectơ pháp tuyến lần lượt là (0,0,1) và (0,1,0).
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Vectơ pháp tuyến lần lượt là (0,0,1) và (0,1,0).
- Bước 2: Có, vì hai pháp tuyến vuông góc.
- Bước 3: Kết luận Có.
Vì sao: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến.
Cách khác: Quan sát hai mặt tọa độ kề nhau.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho rằng có giao tuyến thì tự động vuông góc.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • B25-VDC-14
Đề bài: Hai mặt phẳng (Oxy) và (Oxz) có vuông góc không?
Phân tích: Vectơ pháp tuyến lần lượt là (0,0,1) và (0,1,0).
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Vectơ pháp tuyến lần lượt là (0,0,1) và (0,1,0).
- Bước 2: Có, vì hai pháp tuyến vuông góc.
- Bước 3: Kết luận Có.
Vì sao: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến.
Cách khác: Quan sát hai mặt tọa độ kề nhau.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho rằng có giao tuyến thì tự động vuông góc.
09 • Thực tếVí dụ 9 • B25-TT-04
Đề bài: Một góc nhị diện được đo bằng góc nào?
Phân tích: Cắt hai mặt bởi một mặt phẳng vuông góc giao tuyến.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Cắt hai mặt bởi một mặt phẳng vuông góc giao tuyến.
- Bước 2: Góc giữa hai đường lần lượt nằm trong hai mặt, cùng vuông góc giao tuyến tại một điểm.
- Bước 3: Kết luận Góc phẳng của nhị diện.
Vì sao: Mặt cắt vuông góc giao tuyến biến góc nhị diện thành góc phẳng.
Cách khác: Dựng mặt phẳng vuông góc giao tuyến.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy góc giữa hai đường bất kì thuộc hai mặt.
10 • Thực tếVí dụ 10 • B25-TT-14
Đề bài: Một góc nhị diện được đo bằng góc nào?
Phân tích: Cắt hai mặt bởi một mặt phẳng vuông góc giao tuyến.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Cắt hai mặt bởi một mặt phẳng vuông góc giao tuyến.
- Bước 2: Góc giữa hai đường lần lượt nằm trong hai mặt, cùng vuông góc giao tuyến tại một điểm.
- Bước 3: Kết luận Góc phẳng của nhị diện.
Vì sao: Mặt cắt vuông góc giao tuyến biến góc nhị diện thành góc phẳng.
Cách khác: Dựng mặt phẳng vuông góc giao tuyến.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy góc giữa hai đường bất kì thuộc hai mặt.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua hai mặt phẳng vuông góc
Tình huống 1 dùng tường–sàn, mái gấp, khớp cơ khí, góc nhị diện tinh thể và CAD; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Trường học qua hai mặt phẳng vuông góc
Tình huống 2 dùng tường–sàn, mái gấp, khớp cơ khí, góc nhị diện tinh thể và CAD; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua hai mặt phẳng vuông góc
Tình huống 3 dùng tường–sàn, mái gấp, khớp cơ khí, góc nhị diện tinh thể và CAD; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua hai mặt phẳng vuông góc
Tình huống 4 dùng tường–sàn, mái gấp, khớp cơ khí, góc nhị diện tinh thể và CAD; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua hai mặt phẳng vuông góc
Tình huống 5 dùng tường–sàn, mái gấp, khớp cơ khí, góc nhị diện tinh thể và CAD; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua hai mặt phẳng vuông góc
Tình huống 6 dùng tường–sàn, mái gấp, khớp cơ khí, góc nhị diện tinh thể và CAD; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua hai mặt phẳng vuông góc
Tình huống 7 dùng tường–sàn, mái gấp, khớp cơ khí, góc nhị diện tinh thể và CAD; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua hai mặt phẳng vuông góc
Tình huống 8 dùng tường–sàn, mái gấp, khớp cơ khí, góc nhị diện tinh thể và CAD; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Góc giữa hai mặt theo cách đơn giản?
Cắt vuông góc giao tuyến để nhìn được góc thật. Mốc chính xác: Góc hai mặt ∈[0°,90°], bằng góc giữa hai pháp tuyến. Ví dụ: Oxy và Oxz có góc 90°. Cách nhớ: Giao tuyến là bản lề. Cần tránh: Lấy góc giữa hai nét bất kì.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Có giao tuyến là vuông góc
Lấy góc giữa hai nét bất kì. Sửa bằng: Giao tuyến là bản lề. Kiểm cuối: Pháp tuyến giúp kiểm bằng tọa độ.
Một cặp đường vuông góc là đủ
Hai tia ở hai điểm khác nhau. Sửa bằng: Cùng gốc, cùng vuông góc cạnh. Kiểm cuối: Góc nhị diện có thể xét định hướng, nhưng góc hai mặt lấy góc không tù.
Dựng góc phẳng không cùng điểm
Chứng minh hai đường thuộc hai mặt vuông góc. Sửa bằng: Đường–mặt là cầu nối sang mặt–mặt. Kiểm cuối: Điều kiện chứa phải được nêu rõ.
Nhầm góc hai mặt với góc trên hình
Lấy góc giữa hai nét bất kì. Sửa bằng: Giao tuyến là bản lề. Kiểm cuối: Pháp tuyến giúp kiểm bằng tọa độ.
Mọi đường trong hai mặt đều vuông góc
Hai tia ở hai điểm khác nhau. Sửa bằng: Cùng gốc, cùng vuông góc cạnh. Kiểm cuối: Góc nhị diện có thể xét định hướng, nhưng góc hai mặt lấy góc không tù.
Có giao tuyến là vuông góc – biến thể 6
Chứng minh hai đường thuộc hai mặt vuông góc. Sửa bằng: Đường–mặt là cầu nối sang mặt–mặt. Kiểm cuối: Điều kiện chứa phải được nêu rõ.
Một cặp đường vuông góc là đủ – biến thể 7
Lấy góc giữa hai nét bất kì. Sửa bằng: Giao tuyến là bản lề. Kiểm cuối: Pháp tuyến giúp kiểm bằng tọa độ.
Dựng góc phẳng không cùng điểm – biến thể 8
Hai tia ở hai điểm khác nhau. Sửa bằng: Cùng gốc, cùng vuông góc cạnh. Kiểm cuối: Góc nhị diện có thể xét định hướng, nhưng góc hai mặt lấy góc không tù.
Nhầm góc hai mặt với góc trên hình – biến thể 9
Chứng minh hai đường thuộc hai mặt vuông góc. Sửa bằng: Đường–mặt là cầu nối sang mặt–mặt. Kiểm cuối: Điều kiện chứa phải được nêu rõ.
Mọi đường trong hai mặt đều vuông góc – biến thể 10
Lấy góc giữa hai nét bất kì. Sửa bằng: Giao tuyến là bản lề. Kiểm cuối: Pháp tuyến giúp kiểm bằng tọa độ.
Có giao tuyến là vuông góc – biến thể 11
Hai tia ở hai điểm khác nhau. Sửa bằng: Cùng gốc, cùng vuông góc cạnh. Kiểm cuối: Góc nhị diện có thể xét định hướng, nhưng góc hai mặt lấy góc không tù.
Một cặp đường vuông góc là đủ – biến thể 12
Chứng minh hai đường thuộc hai mặt vuông góc. Sửa bằng: Đường–mặt là cầu nối sang mặt–mặt. Kiểm cuối: Điều kiện chứa phải được nêu rõ.
Dựng góc phẳng không cùng điểm – biến thể 13
Lấy góc giữa hai nét bất kì. Sửa bằng: Giao tuyến là bản lề. Kiểm cuối: Pháp tuyến giúp kiểm bằng tọa độ.
Nhầm góc hai mặt với góc trên hình – biến thể 14
Hai tia ở hai điểm khác nhau. Sửa bằng: Cùng gốc, cùng vuông góc cạnh. Kiểm cuối: Góc nhị diện có thể xét định hướng, nhưng góc hai mặt lấy góc không tù.
Mọi đường trong hai mặt đều vuông góc – biến thể 15
Chứng minh hai đường thuộc hai mặt vuông góc. Sửa bằng: Đường–mặt là cầu nối sang mặt–mặt. Kiểm cuối: Điều kiện chứa phải được nêu rõ.
Có giao tuyến là vuông góc – biến thể 16
Lấy góc giữa hai nét bất kì. Sửa bằng: Giao tuyến là bản lề. Kiểm cuối: Pháp tuyến giúp kiểm bằng tọa độ.
Một cặp đường vuông góc là đủ – biến thể 17
Hai tia ở hai điểm khác nhau. Sửa bằng: Cùng gốc, cùng vuông góc cạnh. Kiểm cuối: Góc nhị diện có thể xét định hướng, nhưng góc hai mặt lấy góc không tù.
Dựng góc phẳng không cùng điểm – biến thể 18
Chứng minh hai đường thuộc hai mặt vuông góc. Sửa bằng: Đường–mặt là cầu nối sang mặt–mặt. Kiểm cuối: Điều kiện chứa phải được nêu rõ.
Nhầm góc hai mặt với góc trên hình – biến thể 19
Lấy góc giữa hai nét bất kì. Sửa bằng: Giao tuyến là bản lề. Kiểm cuối: Pháp tuyến giúp kiểm bằng tọa độ.
Mọi đường trong hai mặt đều vuông góc – biến thể 20
Hai tia ở hai điểm khác nhau. Sửa bằng: Cùng gốc, cùng vuông góc cạnh. Kiểm cuối: Góc nhị diện có thể xét định hướng, nhưng góc hai mặt lấy góc không tù.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Điều kiện ở lề trái
Viết miền xác định hoặc giả thiết hình học trước dòng biến đổi đầu tiên.
Chu trình 5–20–5
5 phút gọi nền, 20 phút học một nút, 5 phút tự nói lại không nhìn tài liệu.
Ví dụ – phản ví dụ
Mỗi định lí đi cùng một trường hợp đủ điều kiện và một trường hợp thiếu điều kiện.
Hai phép kiểm
Kiểm bằng biểu diễn thứ hai: thay nghiệm, đồ thị, vectơ, tọa độ hoặc đơn vị.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi điều đã làm, nguyên nhân sai và phép tự kiểm cho lần sau.
Ôn 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và kiểm cổng sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Hai mặt phẳng vuông góc1 2 3
Góc giữa hai mặtGóc hai mặt ∈[0°,90°], bằng góc giữa hai pháp tuyến. Giao tuyến là bản lề.
Góc nhị diệnGóc phẳng nhị diện dựng bằng hai tia cùng gốc trên cạnh và cùng vuông góc cạnh. Cùng gốc, cùng vuông góc cạnh.
Tiêu chuẩn vuông góc(P)⊃d, d⊥(Q) ⇒ (P)⊥(Q). Đường–mặt là cầu nối sang mặt–mặt.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
B25-NB-01Hai vectơ u = (2; 3) và v = (3; −2) có vuông góc không?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 6 − 6 = 0 nên u ⟂ v.
Vì sao: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Sai ở đâu: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
B25-NB-02Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 3 và 4. Tính cạnh huyền.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng định lí Pythagore.
Lời giải: Cạnh huyền bằng √(3²+4²) = √25.
Vì sao: Độ dài đường chéo trong không gian cũng được xây từ Pythagore.
Sai ở đâu: Cộng trực tiếp hai cạnh.
Cách khác: Bình phương kết quả để tự kiểm.
B25-NB-03Trong tam giác ABC, MN ∥ BC và AM/AB = 4/9. Tính AN/AC.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng định lí Thalès.
Lời giải: AN/AC = AM/AB = 4/9.
Vì sao: Tỉ số hình phẳng là nền cho bài tỉ số thể tích.
Sai ở đâu: Đảo một tỉ số mà không đảo tỉ số tương ứng.
Cách khác: Dùng hai tam giác đồng dạng.
B25-NB-04Hai mặt phẳng vuông góc cắt nhau theo d. Trong (P), đường a vuông góc d tại O. Quan hệ giữa a và (Q)?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng tính chất của hai mặt phẳng vuông góc.
Lời giải: a ⟂ (Q).
Vì sao: Trong một mặt vuông góc mặt kia, đường vuông góc giao tuyến cũng vuông góc mặt kia.
Sai ở đâu: Kết luận mọi đường trong (P) đều vuông góc (Q).
Cách khác: Chứng minh a vuông góc hai đường cắt nhau trong (Q).
B25-NB-05Một góc nhị diện được đo bằng góc nào?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cắt hai mặt bởi một mặt phẳng vuông góc giao tuyến.
Lời giải: Góc giữa hai đường lần lượt nằm trong hai mặt, cùng vuông góc giao tuyến tại một điểm.
Vì sao: Mặt cắt vuông góc giao tuyến biến góc nhị diện thành góc phẳng.
Sai ở đâu: Lấy góc giữa hai đường bất kì thuộc hai mặt.
Cách khác: Dựng mặt phẳng vuông góc giao tuyến.
B25-NB-06Hai mặt phẳng (Oxy) và (Oxz) có vuông góc không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Vectơ pháp tuyến lần lượt là (0,0,1) và (0,1,0).
Lời giải: Có, vì hai pháp tuyến vuông góc.
Vì sao: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến.
Sai ở đâu: Cho rằng có giao tuyến thì tự động vuông góc.
Cách khác: Quan sát hai mặt tọa độ kề nhau.
B25-NB-07Nêu một tiêu chuẩn chứng minh (P) vuông góc (Q).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tìm trong một mặt phẳng một đường vuông góc mặt phẳng kia.
Lời giải: Nếu (P) chứa đường d với d ⟂ (Q) thì (P) ⟂ (Q).
Vì sao: Một pháp tuyến nằm trong mặt còn lại làm góc hai mặt bằng 90°.
Sai ở đâu: Chỉ tìm một cặp đường vuông góc, mỗi đường thuộc một mặt.
Cách khác: Dùng đường vuông góc mặt phẳng đã học ở Bài 23.
B25-NB-08Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n₁ = (4; 0; 0), n₂ = (0; 5; 0). Tính góc giữa hai mặt phẳng.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính góc giữa hai pháp tuyến.
Lời giải: n₁·n₂=0 nên góc bằng 90°.
Vì sao: Góc giữa hai mặt phẳng được chọn trong [0°;90°].
Sai ở đâu: Tính góc giữa các hệ số tự do.
Cách khác: Chuẩn hóa hai vectơ rồi dùng cos.
B25-NB-09Hai mặt phẳng vuông góc cắt nhau theo d. Trong (P), đường a vuông góc d tại O. Quan hệ giữa a và (Q)?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng tính chất của hai mặt phẳng vuông góc.
Lời giải: a ⟂ (Q).
Vì sao: Trong một mặt vuông góc mặt kia, đường vuông góc giao tuyến cũng vuông góc mặt kia.
Sai ở đâu: Kết luận mọi đường trong (P) đều vuông góc (Q).
Cách khác: Chứng minh a vuông góc hai đường cắt nhau trong (Q).
B25-NB-10Một góc nhị diện được đo bằng góc nào?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cắt hai mặt bởi một mặt phẳng vuông góc giao tuyến.
Lời giải: Góc giữa hai đường lần lượt nằm trong hai mặt, cùng vuông góc giao tuyến tại một điểm.
Vì sao: Mặt cắt vuông góc giao tuyến biến góc nhị diện thành góc phẳng.
Sai ở đâu: Lấy góc giữa hai đường bất kì thuộc hai mặt.
Cách khác: Dựng mặt phẳng vuông góc giao tuyến.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
[B25-NB-01] Hai vectơ u = (2; 3) và v = (3; −2) có vuông góc không?
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Hai vectơ u = (2; 3) và v = (3; −2) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 6 − 6 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 2Hai mặt phẳng (Oxy) và (Oxz) có vuông góc không?
Gợi ý: Vectơ pháp tuyến lần lượt là (0,0,1) và (0,1,0).
Lời giải: Có, vì hai pháp tuyến vuông góc.
Giải thích: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến.
Lỗi cần tránh: Cho rằng có giao tuyến thì tự động vuông góc.
Cách khác: Quan sát hai mặt tọa độ kề nhau.
TỰ LUẬN 3Hai mặt phẳng (Oxy) và (Oxz) có vuông góc không?
Gợi ý: Vectơ pháp tuyến lần lượt là (0,0,1) và (0,1,0).
Lời giải: Có, vì hai pháp tuyến vuông góc.
Giải thích: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến.
Lỗi cần tránh: Cho rằng có giao tuyến thì tự động vuông góc.
Cách khác: Quan sát hai mặt tọa độ kề nhau.
TỰ LUẬN 4Hai mặt phẳng (Oxy) và (Oxz) có vuông góc không?
Gợi ý: Vectơ pháp tuyến lần lượt là (0,0,1) và (0,1,0).
Lời giải: Có, vì hai pháp tuyến vuông góc.
Giải thích: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến.
Lỗi cần tránh: Cho rằng có giao tuyến thì tự động vuông góc.
Cách khác: Quan sát hai mặt tọa độ kề nhau.
TỰ LUẬN 5Hai vectơ u = (5; 6) và v = (6; −5) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 30 − 30 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 6Một góc nhị diện được đo bằng góc nào?
Gợi ý: Cắt hai mặt bởi một mặt phẳng vuông góc giao tuyến.
Lời giải: Góc giữa hai đường lần lượt nằm trong hai mặt, cùng vuông góc giao tuyến tại một điểm.
Giải thích: Mặt cắt vuông góc giao tuyến biến góc nhị diện thành góc phẳng.
Lỗi cần tránh: Lấy góc giữa hai đường bất kì thuộc hai mặt.
Cách khác: Dựng mặt phẳng vuông góc giao tuyến.
TỰ LUẬN 7Một góc nhị diện được đo bằng góc nào?
Gợi ý: Cắt hai mặt bởi một mặt phẳng vuông góc giao tuyến.
Lời giải: Góc giữa hai đường lần lượt nằm trong hai mặt, cùng vuông góc giao tuyến tại một điểm.
Giải thích: Mặt cắt vuông góc giao tuyến biến góc nhị diện thành góc phẳng.
Lỗi cần tránh: Lấy góc giữa hai đường bất kì thuộc hai mặt.
Cách khác: Dựng mặt phẳng vuông góc giao tuyến.
TỰ LUẬN 8Một góc nhị diện được đo bằng góc nào?
Gợi ý: Cắt hai mặt bởi một mặt phẳng vuông góc giao tuyến.
Lời giải: Góc giữa hai đường lần lượt nằm trong hai mặt, cùng vuông góc giao tuyến tại một điểm.
Giải thích: Mặt cắt vuông góc giao tuyến biến góc nhị diện thành góc phẳng.
Lỗi cần tránh: Lấy góc giữa hai đường bất kì thuộc hai mặt.
Cách khác: Dựng mặt phẳng vuông góc giao tuyến.
TỰ LUẬN 9Hai vectơ u = (3; 5) và v = (5; −3) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 15 − 15 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 10Hai mặt phẳng vuông góc cắt nhau theo d. Trong (P), đường a vuông góc d tại O. Quan hệ giữa a và (Q)?
Gợi ý: Dùng tính chất của hai mặt phẳng vuông góc.
Lời giải: a ⟂ (Q).
Giải thích: Trong một mặt vuông góc mặt kia, đường vuông góc giao tuyến cũng vuông góc mặt kia.
Lỗi cần tránh: Kết luận mọi đường trong (P) đều vuông góc (Q).
Cách khác: Chứng minh a vuông góc hai đường cắt nhau trong (Q).
TỰ LUẬN 11Hai mặt phẳng vuông góc cắt nhau theo d. Trong (P), đường a vuông góc d tại O. Quan hệ giữa a và (Q)?
Gợi ý: Dùng tính chất của hai mặt phẳng vuông góc.
Lời giải: a ⟂ (Q).
Giải thích: Trong một mặt vuông góc mặt kia, đường vuông góc giao tuyến cũng vuông góc mặt kia.
Lỗi cần tránh: Kết luận mọi đường trong (P) đều vuông góc (Q).
Cách khác: Chứng minh a vuông góc hai đường cắt nhau trong (Q).
TỰ LUẬN 12Hai mặt phẳng vuông góc cắt nhau theo d. Trong (P), đường a vuông góc d tại O. Quan hệ giữa a và (Q)?
Gợi ý: Dùng tính chất của hai mặt phẳng vuông góc.
Lời giải: a ⟂ (Q).
Giải thích: Trong một mặt vuông góc mặt kia, đường vuông góc giao tuyến cũng vuông góc mặt kia.
Lỗi cần tránh: Kết luận mọi đường trong (P) đều vuông góc (Q).
Cách khác: Chứng minh a vuông góc hai đường cắt nhau trong (Q).
TỰ LUẬN 13Hai vectơ u = (6; 4) và v = (4; −6) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 24 − 24 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 14Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n₁ = (3; 0; 0), n₂ = (0; 4; 0). Tính góc giữa hai mặt phẳng.
Gợi ý: Tính góc giữa hai pháp tuyến.
Lời giải: n₁·n₂=0 nên góc bằng 90°.
Giải thích: Góc giữa hai mặt phẳng được chọn trong [0°;90°].
Lỗi cần tránh: Tính góc giữa các hệ số tự do.
Cách khác: Chuẩn hóa hai vectơ rồi dùng cos.
TỰ LUẬN 15Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n₁ = (4; 0; 0), n₂ = (0; 5; 0). Tính góc giữa hai mặt phẳng.
Gợi ý: Tính góc giữa hai pháp tuyến.
Lời giải: n₁·n₂=0 nên góc bằng 90°.
Giải thích: Góc giữa hai mặt phẳng được chọn trong [0°;90°].
Lỗi cần tránh: Tính góc giữa các hệ số tự do.
Cách khác: Chuẩn hóa hai vectơ rồi dùng cos.
TỰ LUẬN 16Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n₁ = (1; 0; 0), n₂ = (0; 2; 0). Tính góc giữa hai mặt phẳng.
Gợi ý: Tính góc giữa hai pháp tuyến.
Lời giải: n₁·n₂=0 nên góc bằng 90°.
Giải thích: Góc giữa hai mặt phẳng được chọn trong [0°;90°].
Lỗi cần tránh: Tính góc giữa các hệ số tự do.
Cách khác: Chuẩn hóa hai vectơ rồi dùng cos.
TỰ LUẬN 17Hai vectơ u = (4; 3) và v = (3; −4) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 12 − 12 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 18Nêu một tiêu chuẩn chứng minh (P) vuông góc (Q).
Gợi ý: Tìm trong một mặt phẳng một đường vuông góc mặt phẳng kia.
Lời giải: Nếu (P) chứa đường d với d ⟂ (Q) thì (P) ⟂ (Q).
Giải thích: Một pháp tuyến nằm trong mặt còn lại làm góc hai mặt bằng 90°.
Lỗi cần tránh: Chỉ tìm một cặp đường vuông góc, mỗi đường thuộc một mặt.
Cách khác: Dùng đường vuông góc mặt phẳng đã học ở Bài 23.
TỰ LUẬN 19Nêu một tiêu chuẩn chứng minh (P) vuông góc (Q).
Gợi ý: Tìm trong một mặt phẳng một đường vuông góc mặt phẳng kia.
Lời giải: Nếu (P) chứa đường d với d ⟂ (Q) thì (P) ⟂ (Q).
Giải thích: Một pháp tuyến nằm trong mặt còn lại làm góc hai mặt bằng 90°.
Lỗi cần tránh: Chỉ tìm một cặp đường vuông góc, mỗi đường thuộc một mặt.
Cách khác: Dùng đường vuông góc mặt phẳng đã học ở Bài 23.
TỰ LUẬN 20Nêu một tiêu chuẩn chứng minh (P) vuông góc (Q).
Gợi ý: Tìm trong một mặt phẳng một đường vuông góc mặt phẳng kia.
Lời giải: Nếu (P) chứa đường d với d ⟂ (Q) thì (P) ⟂ (Q).
Giải thích: Một pháp tuyến nằm trong mặt còn lại làm góc hai mặt bằng 90°.
Lỗi cần tránh: Chỉ tìm một cặp đường vuông góc, mỗi đường thuộc một mặt.
Cách khác: Dùng đường vuông góc mặt phẳng đã học ở Bài 23.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B25-NB-01, B25-NB-02, B25-NB-03, B25-NB-04, B25-NB-05, B25-NB-06, B25-NB-07, B25-NB-08, B25-NB-09, B25-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B25-NB-01: Có
- B25-NB-02: √25
- B25-NB-03: 4/9
- B25-NB-04: a ⟂ (Q)
- B25-NB-05: Góc phẳng của nhị diện
- B25-NB-06: Có
- B25-NB-07: (P) chứa d⊥(Q)
- B25-NB-08: 90°
- B25-NB-09: a ⟂ (Q)
- B25-NB-10: Góc phẳng của nhị diện
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 7
10 câu đại diện: B25-NB-11, B25-NB-12, B25-NB-13, B25-NB-14, B25-NB-15, B25-NB-16, B25-NB-17, B25-NB-18, B25-NB-19, B25-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B25-NB-11: Có
- B25-NB-12: (P) chứa d⊥(Q)
- B25-NB-13: 90°
- B25-NB-14: a ⟂ (Q)
- B25-NB-15: Góc phẳng của nhị diện
- B25-NB-16: Có
- B25-NB-17: (P) chứa d⊥(Q)
- B25-NB-18: 90°
- B25-NB-19: a ⟂ (Q)
- B25-NB-20: Góc phẳng của nhị diện
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B25-TH-01, B25-TH-02, B25-TH-03, B25-TH-04, B25-TH-05, B25-TH-06, B25-TH-07, B25-TH-08, B25-TH-09, B25-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B25-TH-01: Có
- B25-TH-02: √45
- B25-TH-03: 2/6
- B25-TH-04: 90°
- B25-TH-05: a ⟂ (Q)
- B25-TH-06: Góc phẳng của nhị diện
- B25-TH-07: Có
- B25-TH-08: (P) chứa d⊥(Q)
- B25-TH-09: 90°
- B25-TH-10: a ⟂ (Q)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B25-TH-11, B25-TH-12, B25-TH-13, B25-TH-14, B25-TH-15, B25-TH-16, B25-TH-17, B25-TH-18, B25-TH-19, B25-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B25-TH-11: Góc phẳng của nhị diện
- B25-TH-12: Có
- B25-TH-13: (P) chứa d⊥(Q)
- B25-TH-14: 90°
- B25-TH-15: a ⟂ (Q)
- B25-TH-16: Góc phẳng của nhị diện
- B25-TH-17: Có
- B25-TH-18: (P) chứa d⊥(Q)
- B25-TH-19: 90°
- B25-TH-20: a ⟂ (Q)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: B25-VD-01, B25-VD-02, B25-VD-03, B25-VD-04, B25-VD-05, B25-VD-06, B25-VD-07, B25-VD-08, B25-VD-09, B25-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B25-VD-01: Có
- B25-VD-02: √52
- B25-VD-03: 5/8
- B25-VD-04: (P) chứa d⊥(Q)
- B25-VD-05: 90°
- B25-VD-06: a ⟂ (Q)
- B25-VD-07: Góc phẳng của nhị diện
- B25-VD-08: Có
- B25-VD-09: (P) chứa d⊥(Q)
- B25-VD-10: 90°
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi phiên 35–50 phút, ưu tiên con giải thích điều kiện hơn làm thật nhiều câu.
- Hỏi con vì sao công thức dùng được và cách tự kiểm đáp số.
- Theo dõi ba lỗi lặp lại gần nhất cùng lịch ôn 1–7–30.
- Khuyến khích con vẽ mô hình, đọc đơn vị và ước lượng trước khi tính.
- Mở bài bằng phản ví dụ thiếu điều kiện để học sinh tự phát hiện.
- Chấm theo mốc điều kiện–công cụ–suy luận–kết luận, không chỉ đáp số.
- Kết hợp đại số, đồ thị, hình học tổng hợp và tọa độ để kiểm chéo.
- Đề nội bộ định hướng Hà Nội phải ghi rõ tính tham khảo.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.