Nhìn quy luật có điều kiện
Bài học biến độ cao công trình, khe hở máy, định vị robot, an toàn hàng không và đo đạc thành mô hình có thể kiểm chứng.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- Khoảng cách là độ dài đoạn vuông góc ngắn nhất.
- d(M,(P))=MH với H là hình chiếu.
- d(d,(P)) bằng khoảng cách từ một điểm trên d đến (P) khi d∥(P).
Bài 26. Khoảng cách
Tính khoảng cách từ điểm đến đường, mặt phẳng; giữa các đối tượng song song và hai đường chéo nhau bằng hình chiếu, mặt phẳng phụ hoặc tọa độ.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Lập luận và đo lường
Biết gọi dữ kiện, kiểm điều kiện, chọn công cụ và diễn giải kết quả.
Nối đúng nền
Kích hoạt bài 22–25, pythagore, diện tích tam giác và hình chiếu rồi chuẩn bị cho Bài 27. Thể tích.
Ví dụ – phản ví dụ – tự kiểm
Mỗi quy tắc có trường hợp đúng, trường hợp thiếu điều kiện và phép kiểm độc lập.
- Dựng đoạn khoảng cách đúng định nghĩa.
- Quy khoảng cách đường–mặt về điểm–mặt.
- Tính khoảng cách hai mặt song song.
- Dựng đường vuông góc chung của hai đường chéo.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Bài 22–25, Pythagore, diện tích tam giác và hình chiếu.
- Viết điều kiện hoặc quan hệ hình học trước khi tính.
- Ước lượng dấu, miền, góc, khoảng cách hoặc thể tích.
- Kiểm bằng thay nghiệm, đồ thị, vectơ, tọa độ hoặc đơn vị.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Điểm đến mặt phẳng
Hiểu đơn giản: Hạ vuông góc; độ dài đến chân là ngắn nhất.
d(M,(P))=MH, H∈(P), MH⊥(P).
Ví dụ: M(x,y,z) tới Oxy là |z|.
Hình nên dùng: Điểm, chân và mặt phẳng.
Mô phỏng: Kéo chân H trên mặt.
Mẹo nhớ: Chân đúng trước, tính dài sau.
Sai lầm: Lấy MA với A tùy ý.
Ghi chú: Mọi đoạn xiên dài hơn hoặc bằng MH.
Đối tượng song song
Hiểu đơn giản: Chọn một điểm thuận lợi trên đối tượng thứ nhất rồi đo tới đối tượng thứ hai.
d(d,(P))=d(M,(P)) nếu M∈d,d∥(P); hai mặt song song tương tự.
Ví dụ: z=2 và z=7 cách 5.
Hình nên dùng: Hai lớp phẳng song song.
Mô phỏng: Dịch điểm đo.
Mẹo nhớ: Khoảng cách không đổi dọc đối tượng song song.
Sai lầm: Chọn điểm ngoài đường.
Ghi chú: Đổi bài phức tạp về điểm–mặt.
Hai đường chéo nhau
Hiểu đơn giản: Tìm đoạn nối hai đường và vuông góc cả hai.
d(a,b)=MN với M∈a,N∈b,MN⊥a,MN⊥b.
Ví dụ: Ox ở z=0 và Oy ở z=h cách h.
Hình nên dùng: Hai thanh chéo và đoạn ngắn nhất.
Mô phỏng: Dịch điểm M,N.
Mẹo nhớ: Hai đầu thuộc đúng đường; đoạn vuông góc cả hai.
Sai lầm: Chỉ vuông góc một đường.
Ghi chú: Có thể dùng mặt phẳng song song chứa một đường.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB KHOẢNG CÁCH
Từ điểm M đến mặt phẳng bằng một phép thay số
Với M(x; y; z) và (P): Ax + By + Cz + D = 0, mẫu số là độ dài pháp tuyến nên A, B, C không được đồng thời bằng 0.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B26-NB-04
Đề bài: Đường d nằm trong mặt phẳng z = 3 và song song (Oxy). Tính d(d,(Oxy)).
Phân tích: Khoảng cách đường–mặt song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường đến mặt.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Khoảng cách đường–mặt song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường đến mặt.
- Bước 2: Khoảng cách bằng 3.
- Bước 3: Kết luận 3.
Vì sao: Mọi điểm trên d có cùng cao độ c.
Cách khác: Chọn một điểm trên d rồi chiếu vuông góc.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Đo đến một điểm tùy ý trong mặt không theo phương vuông góc.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B26-NB-14
Đề bài: Đường d nằm trong mặt phẳng z = 1 và song song (Oxy). Tính d(d,(Oxy)).
Phân tích: Khoảng cách đường–mặt song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường đến mặt.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Khoảng cách đường–mặt song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường đến mặt.
- Bước 2: Khoảng cách bằng 1.
- Bước 3: Kết luận 1.
Vì sao: Mọi điểm trên d có cùng cao độ c.
Cách khác: Chọn một điểm trên d rồi chiếu vuông góc.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Đo đến một điểm tùy ý trong mặt không theo phương vuông góc.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B26-TH-04
Đề bài: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng z = 3 và z = 7.
Phân tích: Hai mặt phẳng ngang song song; lấy chênh lệch cao độ.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Hai mặt phẳng ngang song song; lấy chênh lệch cao độ.
- Bước 2: Khoảng cách bằng |7−3| = 4.
- Bước 3: Kết luận 4.
Vì sao: Mọi đoạn thẳng vuông góc chung song song trục Oz đều có độ dài b.
Cách khác: Chọn hai điểm cùng x,y trên hai mặt.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cộng hai cao độ.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B26-TH-14
Đề bài: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng z = 3 và z = 5.
Phân tích: Hai mặt phẳng ngang song song; lấy chênh lệch cao độ.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Hai mặt phẳng ngang song song; lấy chênh lệch cao độ.
- Bước 2: Khoảng cách bằng |5−3| = 2.
- Bước 3: Kết luận 2.
Vì sao: Mọi đoạn thẳng vuông góc chung song song trục Oz đều có độ dài b.
Cách khác: Chọn hai điểm cùng x,y trên hai mặt.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cộng hai cao độ.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B26-VD-04
Đề bài: Tính khoảng cách từ M(2; 3; 3) đến mặt phẳng (P): x = 0.
Phân tích: Mặt phẳng tọa độ x=0; khoảng cách là |xM|.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Mặt phẳng tọa độ x=0; khoảng cách là |xM|.
- Bước 2: d(M,(P)) = |2| = 2.
- Bước 3: Kết luận 2.
Vì sao: Hình chiếu giữ y,z và đưa x về 0.
Cách khác: Dùng công thức |1·x+0·y+0·z|/√1.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy tọa độ z.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B26-VD-14
Đề bài: Tính khoảng cách từ M(2; 5; 1) đến mặt phẳng (P): x = 0.
Phân tích: Mặt phẳng tọa độ x=0; khoảng cách là |xM|.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Mặt phẳng tọa độ x=0; khoảng cách là |xM|.
- Bước 2: d(M,(P)) = |2| = 2.
- Bước 3: Kết luận 2.
Vì sao: Hình chiếu giữ y,z và đưa x về 0.
Cách khác: Dùng công thức |1·x+0·y+0·z|/√1.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy tọa độ z.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B26-VDC-04
Đề bài: Tính khoảng cách từ M(1; 2; 3) đến (Oxy).
Phân tích: Khoảng cách đến z=0 là trị tuyệt đối tọa độ z.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Khoảng cách đến z=0 là trị tuyệt đối tọa độ z.
- Bước 2: d(M,(Oxy)) = |3| = 3.
- Bước 3: Kết luận 3.
Vì sao: Đoạn vuông góc từ M xuống (Oxy) song song trục Oz.
Cách khác: Hình chiếu H(1;2;0), MH=3.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Dùng khoảng cách từ M đến gốc O.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • B26-VDC-14
Đề bài: Tính khoảng cách từ M(1; 4; 1) đến (Oxy).
Phân tích: Khoảng cách đến z=0 là trị tuyệt đối tọa độ z.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Khoảng cách đến z=0 là trị tuyệt đối tọa độ z.
- Bước 2: d(M,(Oxy)) = |1| = 1.
- Bước 3: Kết luận 1.
Vì sao: Đoạn vuông góc từ M xuống (Oxy) song song trục Oz.
Cách khác: Hình chiếu H(1;4;0), MH=1.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Dùng khoảng cách từ M đến gốc O.
09 • Thực tếVí dụ 9 • B26-TT-04
Đề bài: Đường d₁ là trục Ox trong (Oxy); d₂ đi qua (0;0;3) và song song trục Oy. Tính khoảng cách giữa d₁ và d₂.
Phân tích: Đoạn nối O(0,0,0) với H(0,0,c) vuông góc cả hai đường.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Đoạn nối O(0,0,0) với H(0,0,c) vuông góc cả hai đường.
- Bước 2: d(d₁,d₂) = OH = 3.
- Bước 3: Kết luận 3.
Vì sao: OH là đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau.
Cách khác: Dùng hai mặt phẳng song song z=0 và z=c lần lượt chứa hai đường.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy khoảng cách giữa hai điểm tùy ý trên hai đường.
10 • Thực tếVí dụ 10 • B26-TT-14
Đề bài: Đường d₁ là trục Ox trong (Oxy); d₂ đi qua (0;0;1) và song song trục Oy. Tính khoảng cách giữa d₁ và d₂.
Phân tích: Đoạn nối O(0,0,0) với H(0,0,c) vuông góc cả hai đường.
Hướng làm: Gọi đúng đối tượng, kiểm điều kiện, chọn công cụ rồi mới biến đổi hoặc tính.
- Bước 1: Đoạn nối O(0,0,0) với H(0,0,c) vuông góc cả hai đường.
- Bước 2: d(d₁,d₂) = OH = 1.
- Bước 3: Kết luận 1.
Vì sao: OH là đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau.
Cách khác: Dùng hai mặt phẳng song song z=0 và z=c lần lượt chứa hai đường.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy khoảng cách giữa hai điểm tùy ý trên hai đường.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua khoảng cách
Tình huống 1 dùng độ cao công trình, khe hở máy, định vị robot, an toàn hàng không và đo đạc; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Trường học qua khoảng cách
Tình huống 2 dùng độ cao công trình, khe hở máy, định vị robot, an toàn hàng không và đo đạc; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua khoảng cách
Tình huống 3 dùng độ cao công trình, khe hở máy, định vị robot, an toàn hàng không và đo đạc; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua khoảng cách
Tình huống 4 dùng độ cao công trình, khe hở máy, định vị robot, an toàn hàng không và đo đạc; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua khoảng cách
Tình huống 5 dùng độ cao công trình, khe hở máy, định vị robot, an toàn hàng không và đo đạc; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua khoảng cách
Tình huống 6 dùng độ cao công trình, khe hở máy, định vị robot, an toàn hàng không và đo đạc; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua khoảng cách
Tình huống 7 dùng độ cao công trình, khe hở máy, định vị robot, an toàn hàng không và đo đạc; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua khoảng cách
Tình huống 8 dùng độ cao công trình, khe hở máy, định vị robot, an toàn hàng không và đo đạc; người học phải nêu mô hình, điều kiện và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Điểm đến mặt phẳng theo cách đơn giản?
Hạ vuông góc; độ dài đến chân là ngắn nhất. Mốc chính xác: d(M,(P))=MH, H∈(P), MH⊥(P). Ví dụ: M(x,y,z) tới Oxy là |z|. Cách nhớ: Chân đúng trước, tính dài sau. Cần tránh: Lấy MA với A tùy ý.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Lấy đoạn xiên
Lấy MA với A tùy ý. Sửa bằng: Chân đúng trước, tính dài sau. Kiểm cuối: Mọi đoạn xiên dài hơn hoặc bằng MH.
Chọn chân không thuộc đối tượng
Chọn điểm ngoài đường. Sửa bằng: Khoảng cách không đổi dọc đối tượng song song. Kiểm cuối: Đổi bài phức tạp về điểm–mặt.
Nhầm khoảng cách với góc
Chỉ vuông góc một đường. Sửa bằng: Hai đầu thuộc đúng đường; đoạn vuông góc cả hai. Kiểm cuối: Có thể dùng mặt phẳng song song chứa một đường.
Dùng điểm không nằm trên đường song song
Lấy MA với A tùy ý. Sửa bằng: Chân đúng trước, tính dài sau. Kiểm cuối: Mọi đoạn xiên dài hơn hoặc bằng MH.
Đường nối hai đường chéo chưa vuông góc cả hai
Chọn điểm ngoài đường. Sửa bằng: Khoảng cách không đổi dọc đối tượng song song. Kiểm cuối: Đổi bài phức tạp về điểm–mặt.
Lấy đoạn xiên – biến thể 6
Chỉ vuông góc một đường. Sửa bằng: Hai đầu thuộc đúng đường; đoạn vuông góc cả hai. Kiểm cuối: Có thể dùng mặt phẳng song song chứa một đường.
Chọn chân không thuộc đối tượng – biến thể 7
Lấy MA với A tùy ý. Sửa bằng: Chân đúng trước, tính dài sau. Kiểm cuối: Mọi đoạn xiên dài hơn hoặc bằng MH.
Nhầm khoảng cách với góc – biến thể 8
Chọn điểm ngoài đường. Sửa bằng: Khoảng cách không đổi dọc đối tượng song song. Kiểm cuối: Đổi bài phức tạp về điểm–mặt.
Dùng điểm không nằm trên đường song song – biến thể 9
Chỉ vuông góc một đường. Sửa bằng: Hai đầu thuộc đúng đường; đoạn vuông góc cả hai. Kiểm cuối: Có thể dùng mặt phẳng song song chứa một đường.
Đường nối hai đường chéo chưa vuông góc cả hai – biến thể 10
Lấy MA với A tùy ý. Sửa bằng: Chân đúng trước, tính dài sau. Kiểm cuối: Mọi đoạn xiên dài hơn hoặc bằng MH.
Lấy đoạn xiên – biến thể 11
Chọn điểm ngoài đường. Sửa bằng: Khoảng cách không đổi dọc đối tượng song song. Kiểm cuối: Đổi bài phức tạp về điểm–mặt.
Chọn chân không thuộc đối tượng – biến thể 12
Chỉ vuông góc một đường. Sửa bằng: Hai đầu thuộc đúng đường; đoạn vuông góc cả hai. Kiểm cuối: Có thể dùng mặt phẳng song song chứa một đường.
Nhầm khoảng cách với góc – biến thể 13
Lấy MA với A tùy ý. Sửa bằng: Chân đúng trước, tính dài sau. Kiểm cuối: Mọi đoạn xiên dài hơn hoặc bằng MH.
Dùng điểm không nằm trên đường song song – biến thể 14
Chọn điểm ngoài đường. Sửa bằng: Khoảng cách không đổi dọc đối tượng song song. Kiểm cuối: Đổi bài phức tạp về điểm–mặt.
Đường nối hai đường chéo chưa vuông góc cả hai – biến thể 15
Chỉ vuông góc một đường. Sửa bằng: Hai đầu thuộc đúng đường; đoạn vuông góc cả hai. Kiểm cuối: Có thể dùng mặt phẳng song song chứa một đường.
Lấy đoạn xiên – biến thể 16
Lấy MA với A tùy ý. Sửa bằng: Chân đúng trước, tính dài sau. Kiểm cuối: Mọi đoạn xiên dài hơn hoặc bằng MH.
Chọn chân không thuộc đối tượng – biến thể 17
Chọn điểm ngoài đường. Sửa bằng: Khoảng cách không đổi dọc đối tượng song song. Kiểm cuối: Đổi bài phức tạp về điểm–mặt.
Nhầm khoảng cách với góc – biến thể 18
Chỉ vuông góc một đường. Sửa bằng: Hai đầu thuộc đúng đường; đoạn vuông góc cả hai. Kiểm cuối: Có thể dùng mặt phẳng song song chứa một đường.
Dùng điểm không nằm trên đường song song – biến thể 19
Lấy MA với A tùy ý. Sửa bằng: Chân đúng trước, tính dài sau. Kiểm cuối: Mọi đoạn xiên dài hơn hoặc bằng MH.
Đường nối hai đường chéo chưa vuông góc cả hai – biến thể 20
Chọn điểm ngoài đường. Sửa bằng: Khoảng cách không đổi dọc đối tượng song song. Kiểm cuối: Đổi bài phức tạp về điểm–mặt.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Điều kiện ở lề trái
Viết miền xác định hoặc giả thiết hình học trước dòng biến đổi đầu tiên.
Chu trình 5–20–5
5 phút gọi nền, 20 phút học một nút, 5 phút tự nói lại không nhìn tài liệu.
Ví dụ – phản ví dụ
Mỗi định lí đi cùng một trường hợp đủ điều kiện và một trường hợp thiếu điều kiện.
Hai phép kiểm
Kiểm bằng biểu diễn thứ hai: thay nghiệm, đồ thị, vectơ, tọa độ hoặc đơn vị.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi điều đã làm, nguyên nhân sai và phép tự kiểm cho lần sau.
Ôn 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và kiểm cổng sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Khoảng cách1 2 3
Điểm đến mặt phẳngd(M,(P))=MH, H∈(P), MH⊥(P). Chân đúng trước, tính dài sau.
Đối tượng song songd(d,(P))=d(M,(P)) nếu M∈d,d∥(P); hai mặt song song tương tự. Khoảng cách không đổi dọc đối tượng song song.
Hai đường chéo nhaud(a,b)=MN với M∈a,N∈b,MN⊥a,MN⊥b. Hai đầu thuộc đúng đường; đoạn vuông góc cả hai.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
B26-NB-01Hai vectơ u = (2; 3) và v = (3; −2) có vuông góc không?ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 6 − 6 = 0 nên u ⟂ v.
Vì sao: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Sai ở đâu: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
B26-NB-02Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 3 và 4. Tính cạnh huyền.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng định lí Pythagore.
Lời giải: Cạnh huyền bằng √(3²+4²) = √25.
Vì sao: Độ dài đường chéo trong không gian cũng được xây từ Pythagore.
Sai ở đâu: Cộng trực tiếp hai cạnh.
Cách khác: Bình phương kết quả để tự kiểm.
B26-NB-03Trong tam giác ABC, MN ∥ BC và AM/AB = 4/9. Tính AN/AC.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng định lí Thalès.
Lời giải: AN/AC = AM/AB = 4/9.
Vì sao: Tỉ số hình phẳng là nền cho bài tỉ số thể tích.
Sai ở đâu: Đảo một tỉ số mà không đảo tỉ số tương ứng.
Cách khác: Dùng hai tam giác đồng dạng.
B26-NB-04Đường d nằm trong mặt phẳng z = 3 và song song (Oxy). Tính d(d,(Oxy)).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Khoảng cách đường–mặt song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường đến mặt.
Lời giải: Khoảng cách bằng 3.
Vì sao: Mọi điểm trên d có cùng cao độ c.
Sai ở đâu: Đo đến một điểm tùy ý trong mặt không theo phương vuông góc.
Cách khác: Chọn một điểm trên d rồi chiếu vuông góc.
B26-NB-05Đường d₁ là trục Ox trong (Oxy); d₂ đi qua (0;0;1) và song song trục Oy. Tính khoảng cách giữa d₁ và d₂.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đoạn nối O(0,0,0) với H(0,0,c) vuông góc cả hai đường.
Lời giải: d(d₁,d₂) = OH = 1.
Vì sao: OH là đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau.
Sai ở đâu: Lấy khoảng cách giữa hai điểm tùy ý trên hai đường.
Cách khác: Dùng hai mặt phẳng song song z=0 và z=c lần lượt chứa hai đường.
B26-NB-06Tính khoảng cách từ M(1; 3; 2) đến (Oxy).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Khoảng cách đến z=0 là trị tuyệt đối tọa độ z.
Lời giải: d(M,(Oxy)) = |2| = 2.
Vì sao: Đoạn vuông góc từ M xuống (Oxy) song song trục Oz.
Sai ở đâu: Dùng khoảng cách từ M đến gốc O.
Cách khác: Hình chiếu H(1;3;0), MH=2.
B26-NB-07Tính khoảng cách từ M(2; 4; 3) đến mặt phẳng (P): x = 0.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Mặt phẳng tọa độ x=0; khoảng cách là |xM|.
Lời giải: d(M,(P)) = |2| = 2.
Vì sao: Hình chiếu giữ y,z và đưa x về 0.
Sai ở đâu: Lấy tọa độ z.
Cách khác: Dùng công thức |1·x+0·y+0·z|/√1.
B26-NB-08Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng z = 3 và z = 8.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai mặt phẳng ngang song song; lấy chênh lệch cao độ.
Lời giải: Khoảng cách bằng |8−3| = 5.
Vì sao: Mọi đoạn thẳng vuông góc chung song song trục Oz đều có độ dài b.
Sai ở đâu: Cộng hai cao độ.
Cách khác: Chọn hai điểm cùng x,y trên hai mặt.
B26-NB-09Đường d nằm trong mặt phẳng z = 2 và song song (Oxy). Tính d(d,(Oxy)).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Khoảng cách đường–mặt song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường đến mặt.
Lời giải: Khoảng cách bằng 2.
Vì sao: Mọi điểm trên d có cùng cao độ c.
Sai ở đâu: Đo đến một điểm tùy ý trong mặt không theo phương vuông góc.
Cách khác: Chọn một điểm trên d rồi chiếu vuông góc.
B26-NB-10Đường d₁ là trục Ox trong (Oxy); d₂ đi qua (0;0;3) và song song trục Oy. Tính khoảng cách giữa d₁ và d₂.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đoạn nối O(0,0,0) với H(0,0,c) vuông góc cả hai đường.
Lời giải: d(d₁,d₂) = OH = 3.
Vì sao: OH là đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau.
Sai ở đâu: Lấy khoảng cách giữa hai điểm tùy ý trên hai đường.
Cách khác: Dùng hai mặt phẳng song song z=0 và z=c lần lượt chứa hai đường.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Một đoạn thẳng dài 8 tạo với mặt phẳng góc 60°. Khoảng cách từ đầu ngoài mặt phẳng đến mặt phẳng có dạng a√3. Tính a.
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Hai vectơ u = (2; 3) và v = (3; −2) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 6 − 6 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 2Tính khoảng cách từ M(1; 3; 2) đến (Oxy).
Gợi ý: Khoảng cách đến z=0 là trị tuyệt đối tọa độ z.
Lời giải: d(M,(Oxy)) = |2| = 2.
Giải thích: Đoạn vuông góc từ M xuống (Oxy) song song trục Oz.
Lỗi cần tránh: Dùng khoảng cách từ M đến gốc O.
Cách khác: Hình chiếu H(1;3;0), MH=2.
TỰ LUẬN 3Tính khoảng cách từ M(1; 4; 1) đến (Oxy).
Gợi ý: Khoảng cách đến z=0 là trị tuyệt đối tọa độ z.
Lời giải: d(M,(Oxy)) = |1| = 1.
Giải thích: Đoạn vuông góc từ M xuống (Oxy) song song trục Oz.
Lỗi cần tránh: Dùng khoảng cách từ M đến gốc O.
Cách khác: Hình chiếu H(1;4;0), MH=1.
TỰ LUẬN 4Tính khoảng cách từ M(1; 5; 3) đến (Oxy).
Gợi ý: Khoảng cách đến z=0 là trị tuyệt đối tọa độ z.
Lời giải: d(M,(Oxy)) = |3| = 3.
Giải thích: Đoạn vuông góc từ M xuống (Oxy) song song trục Oz.
Lỗi cần tránh: Dùng khoảng cách từ M đến gốc O.
Cách khác: Hình chiếu H(1;5;0), MH=3.
TỰ LUẬN 5Hai vectơ u = (5; 6) và v = (6; −5) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 30 − 30 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 6Một đoạn thẳng dài 8 tạo với mặt phẳng góc 60°. Khoảng cách từ đầu ngoài mặt phẳng đến mặt phẳng có dạng a√3. Tính a. Hãy nêu đủ hai đường cắt nhau dùng để chứng minh vuông góc mặt phẳng.
Gợi ý: Độ dài thành phần vuông góc bằng 8sin60°.
Lời giải: Độ dài thành phần vuông góc bằng 8sin60°. Ta được 8·√3/2=4√3, nên a=4.
Giải thích: Độ dài thành phần vuông góc bằng 8sin60°. Ta được 8·√3/2=4√3, nên a=4.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: short-geometry-radical-height-4-3
TỰ LUẬN 7Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 9 cm, SA = 12 cm và SA ⟂ (ABCD). Khoảng cách từ S đến đường thẳng BC bằng bao nhiêu cm?
Gợi ý: Do AB ⟂ BC và SA ⟂ (ABCD), hình chiếu của S lên BC là B.
Lời giải: Do AB ⟂ BC và SA ⟂ (ABCD), hình chiếu của S lên BC là B. d(S,BC) = SB = √(SA² + AB²) = √(12² + 9²) = 15 cm.
Giải thích: Do AB ⟂ BC và SA ⟂ (ABCD), hình chiếu của S lên BC là B. d(S,BC) = SB = √(SA² + AB²) = √(12² + 9²) = 15 cm.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 8Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 18 cm, SA = 24 cm và SA ⟂ (ABCD). Khoảng cách từ S đến đường thẳng BC bằng bao nhiêu cm?
Gợi ý: Do AB ⟂ BC và SA ⟂ (ABCD), hình chiếu của S lên BC là B.
Lời giải: Do AB ⟂ BC và SA ⟂ (ABCD), hình chiếu của S lên BC là B. d(S,BC) = SB = √(SA² + AB²) = √(24² + 18²) = 30 cm.
Giải thích: Do AB ⟂ BC và SA ⟂ (ABCD), hình chiếu của S lên BC là B. d(S,BC) = SB = √(SA² + AB²) = √(24² + 18²) = 30 cm.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 9Hai vectơ u = (3; 5) và v = (5; −3) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 15 − 15 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 10Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 30 cm, SA = 40 cm và SA ⟂ (ABCD). Khoảng cách từ S đến đường thẳng BC bằng bao nhiêu cm?
Gợi ý: Do AB ⟂ BC và SA ⟂ (ABCD), hình chiếu của S lên BC là B.
Lời giải: Do AB ⟂ BC và SA ⟂ (ABCD), hình chiếu của S lên BC là B. d(S,BC) = SB = √(SA² + AB²) = √(40² + 30²) = 50 cm.
Giải thích: Do AB ⟂ BC và SA ⟂ (ABCD), hình chiếu của S lên BC là B. d(S,BC) = SB = √(SA² + AB²) = √(40² + 30²) = 50 cm.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 11Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 39 cm, SA = 52 cm và SA ⟂ (ABCD). Khoảng cách từ S đến đường thẳng BC bằng bao nhiêu cm?
Gợi ý: Do AB ⟂ BC và SA ⟂ (ABCD), hình chiếu của S lên BC là B.
Lời giải: Do AB ⟂ BC và SA ⟂ (ABCD), hình chiếu của S lên BC là B. d(S,BC) = SB = √(SA² + AB²) = √(52² + 39²) = 65 cm.
Giải thích: Do AB ⟂ BC và SA ⟂ (ABCD), hình chiếu của S lên BC là B. d(S,BC) = SB = √(SA² + AB²) = √(52² + 39²) = 65 cm.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 12Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 48 cm, SA = 64 cm và SA ⟂ (ABCD). Khoảng cách từ S đến đường thẳng BC bằng bao nhiêu cm?
Gợi ý: Do AB ⟂ BC và SA ⟂ (ABCD), hình chiếu của S lên BC là B.
Lời giải: Do AB ⟂ BC và SA ⟂ (ABCD), hình chiếu của S lên BC là B. d(S,BC) = SB = √(SA² + AB²) = √(64² + 48²) = 80 cm.
Giải thích: Do AB ⟂ BC và SA ⟂ (ABCD), hình chiếu của S lên BC là B. d(S,BC) = SB = √(SA² + AB²) = √(64² + 48²) = 80 cm.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 13Cho a>0, a≠1 và a^t+a^(−t)=3. Không giải riêng a,t, hãy tính a^(4t)+a^(−4t) và chứng minh kết quả chỉ phụ thuộc tổng đã cho.
Gợi ý: Đặt u=a^t>0, khi đó a^(−t)=1/u
Lời giải: Đặt u=a^t>0, khi đó a^(−t)=1/u. Bình phương u+1/u=3 được u²+u^(−2)=7. Bình phương lần nữa rồi trừ 2, có u⁴+u^(−4)=(7)²−2=47. Vì 3>2, dữ kiện có nghiệm u dương.
Giải thích: Đặt u=a^t>0, khi đó a^(−t)=1/u. Bình phương u+1/u=3 được u²+u^(−2)=7. Bình phương lần nữa rồi trừ 2, có u⁴+u^(−4)=(7)²−2=47. Vì 3>2, dữ kiện có nghiệm u dương.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra điều kiện của mô hình, miền nghiệm và đại lượng được hỏi; không bỏ bước suy luận.
Cách khác: Thay ngược kết quả vào dữ kiện hoặc kiểm tra bằng một biểu diễn tương đương.
TỰ LUẬN 14Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 57 cm, SA = 76 cm và SA ⟂ (ABCD). Khoảng cách từ S đến đường thẳng BC bằng bao nhiêu cm?
Gợi ý: Do AB ⟂ BC và SA ⟂ (ABCD), hình chiếu của S lên BC là B.
Lời giải: Do AB ⟂ BC và SA ⟂ (ABCD), hình chiếu của S lên BC là B. d(S,BC) = SB = √(SA² + AB²) = √(76² + 57²) = 95 cm.
Giải thích: Do AB ⟂ BC và SA ⟂ (ABCD), hình chiếu của S lên BC là B. d(S,BC) = SB = √(SA² + AB²) = √(76² + 57²) = 95 cm.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 15Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 72 cm, SA = 96 cm và SA ⟂ (ABCD). Khoảng cách từ S đến đường thẳng BC bằng bao nhiêu cm?
Gợi ý: Do AB ⟂ BC và SA ⟂ (ABCD), hình chiếu của S lên BC là B.
Lời giải: Do AB ⟂ BC và SA ⟂ (ABCD), hình chiếu của S lên BC là B. d(S,BC) = SB = √(SA² + AB²) = √(96² + 72²) = 120 cm.
Giải thích: Do AB ⟂ BC và SA ⟂ (ABCD), hình chiếu của S lên BC là B. d(S,BC) = SB = √(SA² + AB²) = √(96² + 72²) = 120 cm.
Lỗi cần tránh: Đọc điều kiện và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 16Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh 8. Khoảng cách từ A′ đến mặt phẳng (ABCD) bằng bao nhiêu?
Gợi ý: AA′ vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên AA′ là đoạn vuông góc từ A′ xuống đáy.
Lời giải: AA′ vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên AA′ là đoạn vuông góc từ A′ xuống đáy. Do đó d(A′,(ABCD)) = AA′ = 8.
Giải thích: AA′ vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên AA′ là đoạn vuông góc từ A′ xuống đáy. Do đó d(A′,(ABCD)) = AA′ = 8.
Lỗi cần tránh: Dùng đường chéo mặt bên thay cho đoạn vuông góc.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 17Hai vectơ u = (4; 3) và v = (3; −4) có vuông góc không?
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v = 12 − 12 = 0 nên u ⟂ v.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: So độ dài hai vectơ.
Cách khác: Nhận phép quay 90°: (a,b) → (b,−a).
TỰ LUẬN 18Tính khoảng cách từ M(2; 3; 2) đến mặt phẳng (P): x = 0.
Gợi ý: Mặt phẳng tọa độ x=0; khoảng cách là |xM|.
Lời giải: d(M,(P)) = |2| = 2.
Giải thích: Hình chiếu giữ y,z và đưa x về 0.
Lỗi cần tránh: Lấy tọa độ z.
Cách khác: Dùng công thức |1·x+0·y+0·z|/√1.
TỰ LUẬN 19Hai mặt phẳng đáy của một lăng trụ đứng cách nhau 9 cm. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy bằng bao nhiêu?
Gợi ý: Trong lăng trụ đứng, cạnh bên vuông góc với hai mặt phẳng đáy.
Lời giải: Trong lăng trụ đứng, cạnh bên vuông góc với hai mặt phẳng đáy. Độ dài đoạn vuông góc chung chính là chiều cao 9 cm, nên khoảng cách bằng 9 cm.
Giải thích: Trong lăng trụ đứng, cạnh bên vuông góc với hai mặt phẳng đáy. Độ dài đoạn vuông góc chung chính là chiều cao 9 cm, nên khoảng cách bằng 9 cm.
Lỗi cần tránh: Nhân đôi chiều cao hoặc dùng một cạnh của đáy.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
TỰ LUẬN 20Lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có AB = 6 cm, A′B = 10 cm. Tính d(A′,(ABC)).
Gợi ý: Tam giác AA′B vuông tại A, nên AA′² = A′B² − AB² = 100 − 36.
Lời giải: Tam giác AA′B vuông tại A, nên AA′² = A′B² − AB² = 100 − 36. AA′ = 8 cm là khoảng cách từ A′ đến mặt đáy.
Giải thích: Tam giác AA′B vuông tại A, nên AA′² = A′B² − AB² = 100 − 36. AA′ = 8 cm là khoảng cách từ A′ đến mặt đáy.
Lỗi cần tránh: Dùng cạnh xiên A′B làm khoảng cách.
Cách khác: Thay kết quả vào dữ kiện để kiểm tra bằng cách khác.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B26-NB-01, B26-NB-02, B26-NB-03, B26-NB-04, B26-NB-05, B26-NB-06, B26-NB-07, B26-NB-08, B26-NB-09, B26-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B26-NB-01: Có
- B26-NB-02: √25
- B26-NB-03: 4/9
- B26-NB-04: 3
- B26-NB-05: 1
- B26-NB-06: 2
- B26-NB-07: 2
- B26-NB-08: 5
- B26-NB-09: 2
- B26-NB-10: 3
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 7
10 câu đại diện: B26-NB-11, B26-NB-12, B26-NB-13, B26-NB-14, B26-NB-15, B26-NB-16, B26-NB-17, B26-NB-18, B26-NB-19, B26-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B26-NB-11: 1
- B26-NB-12: 2
- B26-NB-13: 2
- B26-NB-14: 1
- B26-NB-15: 2
- B26-NB-16: 3
- B26-NB-17: 2
- B26-NB-18: 3
- B26-NB-19: 4
- B26-NB-20: 4
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B26-TH-01, B26-TH-02, B26-TH-03, B26-TH-04, B26-TH-05, B26-TH-06, B26-TH-07, B26-TH-08, B26-TH-09, B26-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B26-TH-01: Có
- B26-TH-02: √45
- B26-TH-03: 2/6
- B26-TH-04: 4
- B26-TH-05: 4
- B26-TH-06: 4
- B26-TH-07: 3
- B26-TH-08: 2
- B26-TH-09: 4
- B26-TH-10: 10
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B26-TH-11, B26-TH-12, B26-TH-13, B26-TH-14, B26-TH-15, B26-TH-16, B26-TH-17, B26-TH-18, B26-TH-19, B26-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B26-TH-11: 15
- B26-TH-12: 2
- B26-TH-13: 2
- B26-TH-14: 20
- B26-TH-15: 25
- B26-TH-16: 30
- B26-TH-17: 1
- B26-TH-18: 2
- B26-TH-19: 35
- B26-TH-20: 40
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp tăng tốc
10 câu đại diện: B26-VD-01, B26-VD-02, B26-VD-03, B26-VD-04, B26-VD-05, B26-VD-06, B26-VD-07, B26-VD-08, B26-VD-09, B26-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B26-VD-01: Có
- B26-VD-02: √52
- B26-VD-03: 5/8
- B26-VD-04: 2
- B26-VD-05: 45
- B26-VD-06: 50
- B26-VD-07: 55
- B26-VD-08: 1
- B26-VD-09: 2
- B26-VD-10: 60
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.