Biến dữ kiện thành quyết định
Bài học giúp mô hình hóa bão hòa, sai số cảm biến, chi phí bình quân, nồng độ và tốc độ dài hạn bằng công cụ có thể kiểm chứng.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- x=a là TCĐ nếu ít nhất một giới hạn một phía là vô cực.
- y=b là TCN nếu lim[x→±∞]f(x)=b.
- y=ax+b là TCX nếu f(x)−(ax+b)→0.
Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Nhận biết và tính tiệm cận đứng, ngang, xiên bằng giới hạn; phân biệt điểm loại bỏ được với tiệm cận và đọc ý nghĩa dài hạn trong mô hình.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Biết đọc dữ kiện, nêu điều kiện, thực hiện và giải thích kết quả.
Gọi đúng nền
Kích hoạt giới hạn, phân thức, phép chia đa thức và tập xác định rồi chuẩn bị cho Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị.
Ba dạng, một bản chất
Luyện nhiều lựa chọn, đúng–sai và trả lời ngắn trên cùng một mạch suy luận.
- Xác định tiệm cận đứng bằng giới hạn một phía.
- Xác định tiệm cận ngang tại ±∞.
- Tìm tiệm cận xiên bằng giới hạn hoặc chia đa thức.
- Phân biệt tiệm cận với lỗ hổng và diễn giải đúng xu hướng.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Giới hạn, phân thức, phép chia đa thức và tập xác định.
- Viết tập xác định, đối tượng hoặc đơn vị trước phép tính.
- Dự đoán dấu, độ lớn hoặc hình dạng của kết quả.
- Kiểm bằng biểu diễn thứ hai và giải thích bằng lời.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Tiệm cận đứng
Hiểu đơn giản: Đồ thị vọt lên hoặc xuống vô hạn khi x tiến sát một đường thẳng đứng.
x=a là TCĐ nếu lim[x→a⁻]f(x)=±∞ hoặc lim[x→a⁺]f(x)=±∞.
Ví dụ: 1/(x−2) có TCĐ x=2.
Hình nên dùng: Hai nhánh bên đường x=a.
Mô phỏng: Kéo x về a từ hai phía.
Mẹo nhớ: Điểm mẫu bằng 0 rồi kiểm giới hạn.
Sai lầm: Không kiểm nhân tử bị khử.
Ghi chú: Một phía vô hạn đã đủ.
Tiệm cận ngang
Hiểu đơn giản: Ở rất xa, độ cao của đồ thị tiến gần một hằng số.
y=b là TCN nếu lim[x→+∞]f(x)=b hoặc lim[x→−∞]f(x)=b.
Ví dụ: (2x+1)/(x−3) có TCN y=2.
Hình nên dùng: Hai đầu đồ thị và đường ngang.
Mô phỏng: Thu phóng miền x lớn.
Mẹo nhớ: Cùng bậc lấy tỉ số hệ số đầu.
Sai lầm: Lấy tỉ số hằng số.
Ghi chú: Hai phía có thể cho hai TCN khác nhau.
Tiệm cận xiên
Hiểu đơn giản: Ở xa, đồ thị chạy song song và áp sát một đường nghiêng.
y=ax+b (a≠0) là TCX nếu f(x)−(ax+b)→0.
Ví dụ: x+1+2/(x−3) có TCX y=x+1.
Hình nên dùng: Đường xiên với khoảng cách đứng co dần.
Mô phỏng: Kéo x ra xa.
Mẹo nhớ: Chia đa thức: phần thương là ứng viên.
Sai lầm: Nhầm với tiếp tuyến tại một điểm.
Ghi chú: Có thể xét riêng +∞ và −∞.
Lỗ hổng và giao điểm
Hiểu đơn giản: Khử được nhân tử có thể tạo một điểm khuyết, không phải vọt vô hạn.
(x²−1)/(x−1)=x+1 với x≠1 có lỗ tại (1;2).
Ví dụ: Đồ thị đường thẳng có điểm trống.
Hình nên dùng: Bật/tắt nhân tử chung.
Mô phỏng: Khử xong vẫn nhớ điểm loại.
Mẹo nhớ: Gọi mọi điểm loại là TCĐ.
Sai lầm: Đồ thị vẫn có thể cắt TCN/TCX ở vị trí hữu hạn.
Ghi chú:
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB ĐẠO HÀM
Đọc đồng thời giá trị, độ dốc, tiếp tuyến và đạo hàm cấp hai
Nhập f(x)=ax³+bx²+cx+d và x₀. Công cụ tính f(x₀), f'(x₀), phương trình tiếp tuyến và f''(x₀) bằng hai lượt đạo hàm.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B3-NB-04
Đề bài: Một cảm biến có sai số E(t)=1/(t+1) với t>0. Đường nào mô tả xu hướng dài hạn của E?
Phân tích: Tính giới hạn khi t→+∞.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Tính giới hạn khi t→+∞.
- Bước 2: lim[t→+∞] E(t)=0, nên E=0 là tiệm cận ngang trong mô hình.
- Bước 3: Kết luận E = 0.
Vì sao: Tiệm cận cho xu hướng tiến gần, không khẳng định đại lượng đạt đúng giá trị đó ở thời gian hữu hạn.
Cách khác: Ước lượng E tại t=10,100,1000 để thấy xu hướng.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Kết luận E(t)=0 với mọi t đủ lớn.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B3-NB-14
Đề bài: Một cảm biến có sai số E(t)=2/(t+3) với t>0. Đường nào mô tả xu hướng dài hạn của E?
Phân tích: Tính giới hạn khi t→+∞.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Tính giới hạn khi t→+∞.
- Bước 2: lim[t→+∞] E(t)=0, nên E=0 là tiệm cận ngang trong mô hình.
- Bước 3: Kết luận E = 0.
Vì sao: Tiệm cận cho xu hướng tiến gần, không khẳng định đại lượng đạt đúng giá trị đó ở thời gian hữu hạn.
Cách khác: Ước lượng E tại t=10,100,1000 để thấy xu hướng.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Kết luận E(t)=0 với mọi t đủ lớn.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B3-TH-04
Đề bài: Với y=2x + 1 + 2/(x − 1), tìm tiệm cận đứng.
Phân tích: Xét điểm làm mẫu của phần phân thức bằng 0.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Xét điểm làm mẫu của phần phân thức bằng 0.
- Bước 2: Khi x→1, 2/(x−1) không bị chặn; tiệm cận đứng là x=1.
- Bước 3: Kết luận x = 1.
Vì sao: Một đồ thị có thể đồng thời có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.
Cách khác: Tách phần đa thức hữu hạn và phần phân thức gây vô hạn.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho rằng đã có tiệm cận xiên thì không có tiệm cận đứng.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B3-TH-14
Đề bài: Với y=4x + 1 + 3/(x − 1), tìm tiệm cận đứng.
Phân tích: Xét điểm làm mẫu của phần phân thức bằng 0.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Xét điểm làm mẫu của phần phân thức bằng 0.
- Bước 2: Khi x→1, 3/(x−1) không bị chặn; tiệm cận đứng là x=1.
- Bước 3: Kết luận x = 1.
Vì sao: Một đồ thị có thể đồng thời có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.
Cách khác: Tách phần đa thức hữu hạn và phần phân thức gây vô hạn.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho rằng đã có tiệm cận xiên thì không có tiệm cận đứng.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B3-VD-04
Đề bài: Tìm tiệm cận xiên của y=3x + 0 + 3/(x − 5).
Phân tích: Phần phân thức tiến về 0 khi x→±∞.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Phần phân thức tiến về 0 khi x→±∞.
- Bước 2: y − (3x + 0) = 3/(x−5) → 0. Tiệm cận xiên là y=3x + 0.
- Bước 3: Kết luận y = 3x + 0.
Vì sao: Tiệm cận xiên mô tả đường thẳng mà khoảng cách theo phương đứng tới đồ thị tiến về 0.
Cách khác: Nhận ngay phần đa thức sau phép chia.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy x=5 làm tiệm cận xiên.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B3-VD-14
Đề bài: Tìm tiệm cận xiên của y=1x + 0 + 1/(x − 5).
Phân tích: Phần phân thức tiến về 0 khi x→±∞.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Phần phân thức tiến về 0 khi x→±∞.
- Bước 2: y − (1x + 0) = 1/(x−5) → 0. Tiệm cận xiên là y=1x + 0.
- Bước 3: Kết luận y = 1x + 0.
Vì sao: Tiệm cận xiên mô tả đường thẳng mà khoảng cách theo phương đứng tới đồ thị tiến về 0.
Cách khác: Nhận ngay phần đa thức sau phép chia.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy x=5 làm tiệm cận xiên.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B3-VDC-04
Đề bài: Xét y=(x²−9)/[(x−3)(x−m)], m∈ℝ. Với bao nhiêu giá trị m đồ thị không có tiệm cận đứng? Phân biệt điểm khuyết và cực vô hạn, kể cả m=3.
Phân tích: Với x≠3, biểu thức rút thành (x+3)/(x−m)
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Với x≠3, biểu thức rút thành (x+3)/(x−m). Nếu m≠−3, giới hạn tại m là vô hạn (kể cả m=3, khi đó tử bằng 6). Chỉ m=−3 làm biểu thức bằng 1 ngoài các điểm khuyết; khi ấy không có tiệm cận đứng. Có một giá trị.
Vì sao: Với x≠3, biểu thức rút thành (x+3)/(x−m). Nếu m≠−3, giới hạn tại m là vô hạn (kể cả m=3, khi đó tử bằng 6). Chỉ m=−3 làm biểu thức bằng 1 ngoài các điểm khuyết; khi ấy không có tiệm cận đứng. Có một giá trị.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 1. Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
08 • Vận dụngVí dụ 8 • B3-VDC-14
Đề bài: Đồ thị y=(2x+1)/(2x−2) có tiệm cận ngang là: Đối chiếu kết quả bằng giới hạn thích hợp. Các lựa chọn: A. y=−1 ; B. x=2 ; C. y=1 ; D. x=1
Phân tích: Tử và mẫu cùng bậc một nên giới hạn ở ±∞ bằng tỉ số hệ số dẫn.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Tử và mẫu cùng bậc một nên giới hạn ở ±∞ bằng tỉ số hệ số dẫn. Vì vậy tiệm cận ngang là y=2/2=1.
Vì sao: Tử và mẫu cùng bậc một nên giới hạn ở ±∞ bằng tỉ số hệ số dẫn. Vì vậy tiệm cận ngang là y=2/2=1.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: y=1. Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
09 • Vận dụngVí dụ 9 • B3-TT-04
Đề bài: Rút gọn đúng trên tập xác định: y=((x−5)(x+1))/((x−5)(x−7)). Tiệm cận đứng là: Đối chiếu kết quả bằng giới hạn thích hợp. Các lựa chọn: A. x=5 ; B. x=−1 ; C. y=1 ; D. x=7
Phân tích: Điểm x=5 là điểm khuyết do nhân tử triệt tiêu, không phải tiệm cận đứng.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Điểm x=5 là điểm khuyết do nhân tử triệt tiêu, không phải tiệm cận đứng. Sau rút gọn y=(x+1)/(x−7), nên tiệm cận đứng là x=7.
Vì sao: Điểm x=5 là điểm khuyết do nhân tử triệt tiêu, không phải tiệm cận đứng. Sau rút gọn y=(x+1)/(x−7), nên tiệm cận đứng là x=7.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: x=7. Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
10 • Vận dụngVí dụ 10 • B3-TT-14
Đề bài: Đồ thị y=(x+4)/(x−3) có tiệm cận đứng là: Đối chiếu kết quả bằng giới hạn thích hợp. Các lựa chọn: A. y=1 ; B. x=3 ; C. y=3 ; D. x=−3
Phân tích: Mẫu bằng 0 tại x=3 và tử tại đó bằng 7≠0.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Mẫu bằng 0 tại x=3 và tử tại đó bằng 7≠0. Do đó lim khi x→3 của hàm là vô cực; tiệm cận đứng x=3.
Vì sao: Mẫu bằng 0 tại x=3 và tử tại đó bằng 7≠0. Do đó lim khi x→3 của hàm là vô cực; tiệm cận đứng x=3.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: x=3. Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Tình huống 1 dùng bão hòa, sai số cảm biến, chi phí bình quân, nồng độ và tốc độ dài hạn; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Trường học qua đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Tình huống 2 dùng bão hòa, sai số cảm biến, chi phí bình quân, nồng độ và tốc độ dài hạn; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Tình huống 3 dùng bão hòa, sai số cảm biến, chi phí bình quân, nồng độ và tốc độ dài hạn; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Tình huống 4 dùng bão hòa, sai số cảm biến, chi phí bình quân, nồng độ và tốc độ dài hạn; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Tình huống 5 dùng bão hòa, sai số cảm biến, chi phí bình quân, nồng độ và tốc độ dài hạn; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Tình huống 6 dùng bão hòa, sai số cảm biến, chi phí bình quân, nồng độ và tốc độ dài hạn; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Tình huống 7 dùng bão hòa, sai số cảm biến, chi phí bình quân, nồng độ và tốc độ dài hạn; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Tình huống 8 dùng bão hòa, sai số cảm biến, chi phí bình quân, nồng độ và tốc độ dài hạn; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Tiệm cận đứng theo cách trực quan?
Đồ thị vọt lên hoặc xuống vô hạn khi x tiến sát một đường thẳng đứng. Phát biểu chính xác: x=a là TCĐ nếu lim[x→a⁻]f(x)=±∞ hoặc lim[x→a⁺]f(x)=±∞. Ví dụ: 1/(x−2) có TCĐ x=2. Mẹo: Điểm mẫu bằng 0 rồi kiểm giới hạn. Cần tránh: Không kiểm nhân tử bị khử.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Mẫu bằng 0 là kết luận TCĐ
Không kiểm nhân tử bị khử. Sửa bằng: Điểm mẫu bằng 0 rồi kiểm giới hạn. Kiểm cuối: Một phía vô hạn đã đủ.
Nhầm tỉ số hằng số với hệ số đầu
Lấy tỉ số hằng số. Sửa bằng: Cùng bậc lấy tỉ số hệ số đầu. Kiểm cuối: Hai phía có thể cho hai TCN khác nhau.
Cho rằng đồ thị không cắt tiệm cận
Nhầm với tiếp tuyến tại một điểm. Sửa bằng: Chia đa thức: phần thương là ứng viên. Kiểm cuối: Có thể xét riêng +∞ và −∞.
Bỏ giới hạn một phía
Đồ thị vẫn có thể cắt TCN/TCX ở vị trí hữu hạn. Sửa bằng: Gọi mọi điểm loại là TCĐ. Kiểm cuối: undefined
Nhầm tiệm cận xiên với tiếp tuyến
Không kiểm nhân tử bị khử. Sửa bằng: Điểm mẫu bằng 0 rồi kiểm giới hạn. Kiểm cuối: Một phía vô hạn đã đủ.
Mẫu bằng 0 là kết luận TCĐ – tình huống 6
Lấy tỉ số hằng số. Sửa bằng: Cùng bậc lấy tỉ số hệ số đầu. Kiểm cuối: Hai phía có thể cho hai TCN khác nhau.
Nhầm tỉ số hằng số với hệ số đầu – tình huống 7
Nhầm với tiếp tuyến tại một điểm. Sửa bằng: Chia đa thức: phần thương là ứng viên. Kiểm cuối: Có thể xét riêng +∞ và −∞.
Cho rằng đồ thị không cắt tiệm cận – tình huống 8
Đồ thị vẫn có thể cắt TCN/TCX ở vị trí hữu hạn. Sửa bằng: Gọi mọi điểm loại là TCĐ. Kiểm cuối: undefined
Bỏ giới hạn một phía – tình huống 9
Không kiểm nhân tử bị khử. Sửa bằng: Điểm mẫu bằng 0 rồi kiểm giới hạn. Kiểm cuối: Một phía vô hạn đã đủ.
Nhầm tiệm cận xiên với tiếp tuyến – tình huống 10
Lấy tỉ số hằng số. Sửa bằng: Cùng bậc lấy tỉ số hệ số đầu. Kiểm cuối: Hai phía có thể cho hai TCN khác nhau.
Mẫu bằng 0 là kết luận TCĐ – tình huống 11
Nhầm với tiếp tuyến tại một điểm. Sửa bằng: Chia đa thức: phần thương là ứng viên. Kiểm cuối: Có thể xét riêng +∞ và −∞.
Nhầm tỉ số hằng số với hệ số đầu – tình huống 12
Đồ thị vẫn có thể cắt TCN/TCX ở vị trí hữu hạn. Sửa bằng: Gọi mọi điểm loại là TCĐ. Kiểm cuối: undefined
Cho rằng đồ thị không cắt tiệm cận – tình huống 13
Không kiểm nhân tử bị khử. Sửa bằng: Điểm mẫu bằng 0 rồi kiểm giới hạn. Kiểm cuối: Một phía vô hạn đã đủ.
Bỏ giới hạn một phía – tình huống 14
Lấy tỉ số hằng số. Sửa bằng: Cùng bậc lấy tỉ số hệ số đầu. Kiểm cuối: Hai phía có thể cho hai TCN khác nhau.
Nhầm tiệm cận xiên với tiếp tuyến – tình huống 15
Nhầm với tiếp tuyến tại một điểm. Sửa bằng: Chia đa thức: phần thương là ứng viên. Kiểm cuối: Có thể xét riêng +∞ và −∞.
Mẫu bằng 0 là kết luận TCĐ – tình huống 16
Đồ thị vẫn có thể cắt TCN/TCX ở vị trí hữu hạn. Sửa bằng: Gọi mọi điểm loại là TCĐ. Kiểm cuối: undefined
Nhầm tỉ số hằng số với hệ số đầu – tình huống 17
Không kiểm nhân tử bị khử. Sửa bằng: Điểm mẫu bằng 0 rồi kiểm giới hạn. Kiểm cuối: Một phía vô hạn đã đủ.
Cho rằng đồ thị không cắt tiệm cận – tình huống 18
Lấy tỉ số hằng số. Sửa bằng: Cùng bậc lấy tỉ số hệ số đầu. Kiểm cuối: Hai phía có thể cho hai TCN khác nhau.
Bỏ giới hạn một phía – tình huống 19
Nhầm với tiếp tuyến tại một điểm. Sửa bằng: Chia đa thức: phần thương là ứng viên. Kiểm cuối: Có thể xét riêng +∞ và −∞.
Nhầm tiệm cận xiên với tiếp tuyến – tình huống 20
Đồ thị vẫn có thể cắt TCN/TCX ở vị trí hữu hạn. Sửa bằng: Gọi mọi điểm loại là TCĐ. Kiểm cuối: undefined
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chẩn đoán 5 phút
Làm ba câu nền và nói thành lời điều kiện của công cụ trước khi học mới.
Chu trình 5–25–10
5 phút gọi nền, 25 phút học một nút, 10 phút làm lại không nhìn lời giải.
Hai biểu diễn
Kiểm công thức bằng bảng biến thiên, đồ thị, hình không gian, bảng dữ liệu hoặc đơn vị.
Phản ví dụ bắt buộc
Mỗi định lí phải đi cùng một trường hợp thiếu điều kiện để tránh học thuộc máy móc.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi lỗi, nguyên nhân và phép tự kiểm; không chép lại toàn bộ lời giải.
Ôn cách quãng 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và qua cổng lại sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Đường tiệm cận của đồ thị hàm số1 2 3 4
Tiệm cận đứngx=a là TCĐ nếu lim[x→a⁻]f(x)=±∞ hoặc lim[x→a⁺]f(x)=±∞. Điểm mẫu bằng 0 rồi kiểm giới hạn.
Tiệm cận ngangy=b là TCN nếu lim[x→+∞]f(x)=b hoặc lim[x→−∞]f(x)=b. Cùng bậc lấy tỉ số hệ số đầu.
Tiệm cận xiêny=ax+b (a≠0) là TCX nếu f(x)−(ax+b)→0. Chia đa thức: phần thương là ứng viên.
Lỗ hổng và giao điểm(x²−1)/(x−1)=x+1 với x≠1 có lỗ tại (1;2). Gọi mọi điểm loại là TCĐ.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
B3-NB-01Tính đạo hàm của f(x) = 5x² + 0x + 1.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đạo hàm từng hạng; hằng số có đạo hàm bằng 0.
Lời giải: f'(x) = 10x + 0.
Vì sao: Quy tắc lũy thừa hạ số mũ xuống làm hệ số rồi giảm số mũ đi 1.
Sai ở đâu: Đạo hàm x² thành x hoặc giữ nguyên hằng số 1.
Cách khác: Kiểm bằng tỉ số sai phân tại một điểm đơn giản.
B3-NB-02Giải phương trình 6x + 1 = 0.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Chuyển hằng số sang vế phải rồi chia cho hệ số của x.
Lời giải: x = -0,1667.
Vì sao: Nghiệm của đạo hàm là mốc cần xét dấu, chưa tự động là điểm cực trị.
Sai ở đâu: Kết luận ngay đây là hoành độ cực trị mà chưa xét dấu.
Cách khác: Thay nghiệm trở lại vế trái để kiểm tra bằng 0.
B3-NB-03Tìm tập xác định của y = (x + 2)/(x − 6).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Mẫu số phải khác 0.
Lời giải: x − 6 ≠ 0 nên tập xác định là ℝ \ {6}.
Vì sao: Điểm làm mẫu bằng 0 phải được loại trước mọi phép biến đổi.
Sai ở đâu: Chỉ xét điều kiện của tử hoặc quên loại điểm làm mẫu bằng 0.
Cách khác: Đánh dấu điểm 6 trên trục số và lấy hai khoảng còn lại.
B3-NB-04Một cảm biến có sai số E(t)=1/(t+1) với t>0. Đường nào mô tả xu hướng dài hạn của E?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính giới hạn khi t→+∞.
Lời giải: lim[t→+∞] E(t)=0, nên E=0 là tiệm cận ngang trong mô hình.
Vì sao: Tiệm cận cho xu hướng tiến gần, không khẳng định đại lượng đạt đúng giá trị đó ở thời gian hữu hạn.
Sai ở đâu: Kết luận E(t)=0 với mọi t đủ lớn.
Cách khác: Ước lượng E tại t=10,100,1000 để thấy xu hướng.
B3-NB-05Tìm tiệm cận đứng của y=(1x + 5)/(x + 3).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Giải mẫu bằng 0 và kiểm tử không đồng thời bằng 0.
Lời giải: Mẫu bằng 0 tại x=−3; tử tại đó bằng 2≠0. Tiệm cận đứng là x=−3.
Vì sao: Khi x tiến tới điểm làm mẫu bằng 0, độ lớn hàm tăng không bị chặn.
Sai ở đâu: Cứ mẫu bằng 0 là kết luận tiệm cận đứng mà không kiểm khử nhân tử.
Cách khác: Chia để viết y=1+2/(x+3).
B3-NB-06Tìm tiệm cận ngang của y=(2x + 13)/(x + 5).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tử và mẫu cùng bậc nên lấy tỉ số hệ số dẫn đầu.
Lời giải: lim[x→±∞] y = 2; tiệm cận ngang là y=2.
Vì sao: Hạng phân thức còn lại tiến về 0 khi |x| lớn.
Sai ở đâu: Lấy tỉ số hằng số b/d.
Cách khác: Viết y=2+3/(x+5) rồi cho x→±∞.
B3-NB-07Tìm tiệm cận xiên của y=4x + 0 + 1/(x − 5).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Phần phân thức tiến về 0 khi x→±∞.
Lời giải: y − (4x + 0) = 1/(x−5) → 0. Tiệm cận xiên là y=4x + 0.
Vì sao: Tiệm cận xiên mô tả đường thẳng mà khoảng cách theo phương đứng tới đồ thị tiến về 0.
Sai ở đâu: Lấy x=5 làm tiệm cận xiên.
Cách khác: Nhận ngay phần đa thức sau phép chia.
B3-NB-08Với y=1x + 1 + 2/(x − 1), tìm tiệm cận đứng.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Xét điểm làm mẫu của phần phân thức bằng 0.
Lời giải: Khi x→1, 2/(x−1) không bị chặn; tiệm cận đứng là x=1.
Vì sao: Một đồ thị có thể đồng thời có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.
Sai ở đâu: Cho rằng đã có tiệm cận xiên thì không có tiệm cận đứng.
Cách khác: Tách phần đa thức hữu hạn và phần phân thức gây vô hạn.
B3-NB-09Một cảm biến có sai số E(t)=3/(t+5) với t>0. Đường nào mô tả xu hướng dài hạn của E?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính giới hạn khi t→+∞.
Lời giải: lim[t→+∞] E(t)=0, nên E=0 là tiệm cận ngang trong mô hình.
Vì sao: Tiệm cận cho xu hướng tiến gần, không khẳng định đại lượng đạt đúng giá trị đó ở thời gian hữu hạn.
Sai ở đâu: Kết luận E(t)=0 với mọi t đủ lớn.
Cách khác: Ước lượng E tại t=10,100,1000 để thấy xu hướng.
B3-NB-10Tìm tiệm cận đứng của y=(1x + 2)/(x + 1).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Giải mẫu bằng 0 và kiểm tử không đồng thời bằng 0.
Lời giải: Mẫu bằng 0 tại x=−1; tử tại đó bằng 1≠0. Tiệm cận đứng là x=−1.
Vì sao: Khi x tiến tới điểm làm mẫu bằng 0, độ lớn hàm tăng không bị chặn.
Sai ở đâu: Cứ mẫu bằng 0 là kết luận tiệm cận đứng mà không kiểm khử nhân tử.
Cách khác: Chia để viết y=1+1/(x+1).
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Đồ thị y=(2x+1)/(1x−2) có tiệm cận ngang là: Đối chiếu kết quả bằng giới hạn thích hợp.
BA DẠNG TRẮC NGHIỆM HIỆN HÀNH
Cùng một bản chất, ba cách kiểm tra năng lực
Định dạng ôn tốt nghiệp gồm nhiều lựa chọn, đúng–sai bốn ý và trả lời ngắn; tự luận phía sau dùng để học sâu, không gắn sai nhãn thành cấu trúc đề thi.
Nhiều lựa chọn
50 câu tự chấm ngay phía trên; phương án nhiễu xuất phát từ lỗi điều kiện, dấu, thứ tự hoặc thiếu ứng viên.
Chọn đáp án rồi đọc giải thích và ghi lỗi.Đúng–sai bốn ý
Một cụm mẫu dùng chung bối cảnh “Đường tiệm cận của đồ thị hàm số”:
- a) x=a là TCĐ nếu lim[x→a⁻]f(x)=±∞ hoặc lim[x→a⁺]f(x)=±∞.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Đồ thị vọt lên hoặc xuống vô hạn khi x tiến sát một đường thẳng đứng. Ví dụ kiểm chứng: 1/(x−2) có TCĐ x=2.
- b) y=b là TCN nếu lim[x→+∞]f(x)=b hoặc lim[x→−∞]f(x)=b.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Ở rất xa, độ cao của đồ thị tiến gần một hằng số. Ví dụ kiểm chứng: (2x+1)/(x−3) có TCN y=2.
- c) y=ax+b (a≠0) là TCX nếu f(x)−(ax+b)→0.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Ở xa, đồ thị chạy song song và áp sát một đường nghiêng. Ví dụ kiểm chứng: x+1+2/(x−3) có TCX y=x+1.
- d) (x²−1)/(x−1)=x+1 với x≠1 có lỗ tại (1;2).
Đáp án và căn cứ
Đúng. Khử được nhân tử có thể tạo một điểm khuyết, không phải vọt vô hạn. Ví dụ kiểm chứng: Đồ thị đường thẳng có điểm trống.
Trả lời ngắn
Tự lập mô hình và điền kết quả, không có phương án gợi ý:
- Tính đạo hàm của f(x) = 4x² + 2x + 1.
Đáp án
8x + 2
- Giải phương trình 5x + 3 = 0.
Đáp án
x = -0,6
- Tìm tập xác định của y = (x + 6)/(x − 3).
Đáp án
ℝ \ {3}
- Xét y=(x²−9)/[(x−3)(x−m)], m∈ℝ. Với bao nhiêu giá trị m đồ thị không có tiệm cận đứng? Phân biệt điểm khuyết và cực vô hạn, kể cả m=3.
Đáp án
1
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Tính đạo hàm của f(x) = 5x² + 0x + 1.
Gợi ý: Đạo hàm từng hạng; hằng số có đạo hàm bằng 0.
Lời giải: f'(x) = 10x + 0.
Giải thích: Quy tắc lũy thừa hạ số mũ xuống làm hệ số rồi giảm số mũ đi 1.
Lỗi cần tránh: Đạo hàm x² thành x hoặc giữ nguyên hằng số 1.
Cách khác: Kiểm bằng tỉ số sai phân tại một điểm đơn giản.
TỰ LUẬN 2Tìm tiệm cận ngang của y=(2x + 13)/(x + 5).
Gợi ý: Tử và mẫu cùng bậc nên lấy tỉ số hệ số dẫn đầu.
Lời giải: lim[x→±∞] y = 2; tiệm cận ngang là y=2.
Giải thích: Hạng phân thức còn lại tiến về 0 khi |x| lớn.
Lỗi cần tránh: Lấy tỉ số hằng số b/d.
Cách khác: Viết y=2+3/(x+5) rồi cho x→±∞.
TỰ LUẬN 3Tìm tiệm cận ngang của y=(2x + 8)/(x + 3).
Gợi ý: Tử và mẫu cùng bậc nên lấy tỉ số hệ số dẫn đầu.
Lời giải: lim[x→±∞] y = 2; tiệm cận ngang là y=2.
Giải thích: Hạng phân thức còn lại tiến về 0 khi |x| lớn.
Lỗi cần tránh: Lấy tỉ số hằng số b/d.
Cách khác: Viết y=2+2/(x+3) rồi cho x→±∞.
TỰ LUẬN 4Tìm tiệm cận ngang của y=(2x + 3)/(x + 1).
Gợi ý: Tử và mẫu cùng bậc nên lấy tỉ số hệ số dẫn đầu.
Lời giải: lim[x→±∞] y = 2; tiệm cận ngang là y=2.
Giải thích: Hạng phân thức còn lại tiến về 0 khi |x| lớn.
Lỗi cần tránh: Lấy tỉ số hằng số b/d.
Cách khác: Viết y=2+1/(x+1) rồi cho x→±∞.
TỰ LUẬN 5Tính đạo hàm của f(x) = 3x² + 3x + 1.
Gợi ý: Đạo hàm từng hạng; hằng số có đạo hàm bằng 0.
Lời giải: f'(x) = 6x + 3.
Giải thích: Quy tắc lũy thừa hạ số mũ xuống làm hệ số rồi giảm số mũ đi 1.
Lỗi cần tránh: Đạo hàm x² thành x hoặc giữ nguyên hằng số 1.
Cách khác: Kiểm bằng tỉ số sai phân tại một điểm đơn giản.
TỰ LUẬN 6Đồ thị y=2+3/(x−1) nhận điểm nào làm tâm đối xứng? Đối chiếu kết quả bằng giới hạn thích hợp.
Gợi ý: Hai tiệm cận là x=1 và y=2.
Lời giải: Hai tiệm cận là x=1 và y=2. Giao điểm của hai tiệm cận là I(1; 2), cũng là tâm đối xứng.
Giải thích: Hai tiệm cận là x=1 và y=2. Giao điểm của hai tiệm cận là I(1; 2), cũng là tâm đối xứng.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 7Đồ thị y=(x²−1x+1)/(x−3) có tiệm cận đứng x=a và tiệm cận xiên y=x+b. Tính a+b. Đối chiếu kết quả bằng giới hạn thích hợp.
Gợi ý: Từ mẫu suy ra a=3. Chia đa thức cho x−3, hệ số tự do của thương là 2.
Lời giải: Từ mẫu suy ra a=3. Chia đa thức cho x−3, hệ số tự do của thương là 2. Do đó a+b=3+2=5.
Giải thích: Từ mẫu suy ra a=3. Chia đa thức cho x−3, hệ số tự do của thương là 2. Do đó a+b=3+2=5.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 8Với hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất có một tiệm cận đứng và một tiệm cận xiên, nhận xét nào đúng? Đối chiếu kết quả bằng giới hạn thích hợp.
Gợi ý: Đồ thị sau phép chia có dạng đường thẳng cộng một hạng k/(x−x₀).
Lời giải: Đồ thị sau phép chia có dạng đường thẳng cộng một hạng k/(x−x₀). Phép quay nửa vòng quanh giao điểm hai tiệm cận bảo toàn đồ thị.
Giải thích: Đồ thị sau phép chia có dạng đường thẳng cộng một hạng k/(x−x₀). Phép quay nửa vòng quanh giao điểm hai tiệm cận bảo toàn đồ thị.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 9Tính đạo hàm của f(x) = 6x² − 1x + 1.
Gợi ý: Đạo hàm từng hạng; hằng số có đạo hàm bằng 0.
Lời giải: f'(x) = 12x − 1.
Giải thích: Quy tắc lũy thừa hạ số mũ xuống làm hệ số rồi giảm số mũ đi 1.
Lỗi cần tránh: Đạo hàm x² thành x hoặc giữ nguyên hằng số 1.
Cách khác: Kiểm bằng tỉ số sai phân tại một điểm đơn giản.
TỰ LUẬN 10Đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất có tâm I(2; 4), tiệm cận xiên y=x+b. Giá trị b là? Không nhầm tâm đối xứng với giao điểm bất kỳ của đồ thị.
Gợi ý: Tiệm cận xiên đi qua tâm I.
Lời giải: Tiệm cận xiên đi qua tâm I. 4=2+b nên b=2.
Giải thích: Tiệm cận xiên đi qua tâm I. 4=2+b nên b=2.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 11Đồ thị y=(2x+1)/(x−4) có tiệm cận đứng nào? Các lựa chọn: A. x = −1/2 ; B. x = 4 ; C. x = −4 ; D. y = 2
Gợi ý: Mẫu bằng 0 tại x=4 còn tử bằng 9 khác 0, nên x=4 là tiệm cận đứng.
Lời giải: Mẫu bằng 0 tại x=4 còn tử bằng 9 khác 0, nên x=4 là tiệm cận đứng. Vậy kết quả cần chọn là x = 4.
Giải thích: Mẫu bằng 0 tại x=4 còn tử bằng 9 khác 0, nên x=4 là tiệm cận đứng. Vậy kết quả cần chọn là x = 4.
Lỗi cần tránh: Nhầm nghiệm mẫu bị khử với tiệm cận hoặc nhầm đường x với đường y.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 12Đồ thị y=(x+1)/(x²−9) có mấy tiệm cận đứng?
Gợi ý: Mẫu bằng 0 tại x=−3 và x=3, còn tử khác 0 ở cả hai điểm; có hai tiệm cận đứng.
Lời giải: Mẫu bằng 0 tại x=−3 và x=3, còn tử khác 0 ở cả hai điểm; có hai tiệm cận đứng. Vậy kết quả cần chọn là 2.
Giải thích: Mẫu bằng 0 tại x=−3 và x=3, còn tử khác 0 ở cả hai điểm; có hai tiệm cận đứng. Vậy kết quả cần chọn là 2.
Lỗi cần tránh: Nhầm nghiệm mẫu bị khử với tiệm cận hoặc nhầm đường x với đường y.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 13Tính đạo hàm của f(x) = 4x² + 2x + 1.
Gợi ý: Đạo hàm từng hạng; hằng số có đạo hàm bằng 0.
Lời giải: f'(x) = 8x + 2.
Giải thích: Quy tắc lũy thừa hạ số mũ xuống làm hệ số rồi giảm số mũ đi 1.
Lỗi cần tránh: Đạo hàm x² thành x hoặc giữ nguyên hằng số 1.
Cách khác: Kiểm bằng tỉ số sai phân tại một điểm đơn giản.
TỰ LUẬN 14Xét y=(x²−16)/[(x−4)(x−m)], m∈ℝ. Với bao nhiêu giá trị m đồ thị không có tiệm cận đứng? Phân biệt điểm khuyết và cực vô hạn, kể cả m=4.
Gợi ý: Với x≠4, biểu thức rút thành (x+4)/(x−m)
Lời giải: Với x≠4, biểu thức rút thành (x+4)/(x−m). Nếu m≠−4, giới hạn tại m là vô hạn (kể cả m=4, khi đó tử bằng 8). Chỉ m=−4 làm biểu thức bằng 1 ngoài các điểm khuyết; khi ấy không có tiệm cận đứng. Có một giá trị.
Giải thích: Với x≠4, biểu thức rút thành (x+4)/(x−m). Nếu m≠−4, giới hạn tại m là vô hạn (kể cả m=4, khi đó tử bằng 8). Chỉ m=−4 làm biểu thức bằng 1 ngoài các điểm khuyết; khi ấy không có tiệm cận đứng. Có một giá trị.
Lỗi cần tránh: Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
TỰ LUẬN 15Với y=3x + 1 + 2/(x − 1), tìm tiệm cận đứng.
Gợi ý: Xét điểm làm mẫu của phần phân thức bằng 0.
Lời giải: Khi x→1, 2/(x−1) không bị chặn; tiệm cận đứng là x=1.
Giải thích: Một đồ thị có thể đồng thời có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.
Lỗi cần tránh: Cho rằng đã có tiệm cận xiên thì không có tiệm cận đứng.
Cách khác: Tách phần đa thức hữu hạn và phần phân thức gây vô hạn.
TỰ LUẬN 16Cho y=(2x²−4x+1)/(x−3). Tiệm cận xiên của đồ thị là: Đối chiếu kết quả bằng giới hạn thích hợp. Các lựa chọn: A. x=3 ; B. y=3x+2 ; C. y=2x+2 ; D. y=2x−2
Gợi ý: Chia đa thức: hệ số thương bậc nhất có phần đầu 2x+2.
Lời giải: Chia đa thức: hệ số thương bậc nhất có phần đầu 2x+2. Phần dư chia cho x−3 tiến về 0 khi |x|→∞, nên tiệm cận xiên là y=2x+2.
Giải thích: Chia đa thức: hệ số thương bậc nhất có phần đầu 2x+2. Phần dư chia cho x−3 tiến về 0 khi |x|→∞, nên tiệm cận xiên là y=2x+2.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 17Tính đạo hàm của f(x) = 2x² − 2x + 1.
Gợi ý: Đạo hàm từng hạng; hằng số có đạo hàm bằng 0.
Lời giải: f'(x) = 4x − 2.
Giải thích: Quy tắc lũy thừa hạ số mũ xuống làm hệ số rồi giảm số mũ đi 1.
Lỗi cần tránh: Đạo hàm x² thành x hoặc giữ nguyên hằng số 1.
Cách khác: Kiểm bằng tỉ số sai phân tại một điểm đơn giản.
TỰ LUẬN 18Tìm tiệm cận xiên của y=3x + 0 + 1/(x − 5).
Gợi ý: Phần phân thức tiến về 0 khi x→±∞.
Lời giải: y − (3x + 0) = 1/(x−5) → 0. Tiệm cận xiên là y=3x + 0.
Giải thích: Tiệm cận xiên mô tả đường thẳng mà khoảng cách theo phương đứng tới đồ thị tiến về 0.
Lỗi cần tránh: Lấy x=5 làm tiệm cận xiên.
Cách khác: Nhận ngay phần đa thức sau phép chia.
TỰ LUẬN 19Đồ thị y = (3x + 6)/(x − 6) có tiệm cận đứng là Các lựa chọn: A. x = -6 ; B. y = 9 ; C. y = 3 ; D. x = 6
Gợi ý: Mẫu bằng 0 tại x = 6.
Lời giải: Mẫu bằng 0 tại x = 6. Tử tại x = 6 bằng 24 ≠ 0, nên x = 6 là tiệm cận đứng.
Giải thích: Mẫu bằng 0 tại x = 6. Tử tại x = 6 bằng 24 ≠ 0, nên x = 6 là tiệm cận đứng.
Lỗi cần tránh: Nhầm tiệm cận đứng với tiệm cận ngang.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 20Đồ thị y=4+5/(x−1) nhận điểm nào làm tâm đối xứng? Đối chiếu kết quả bằng giới hạn thích hợp.
Gợi ý: Hai tiệm cận là x=1 và y=4.
Lời giải: Hai tiệm cận là x=1 và y=4. Giao điểm của hai tiệm cận là I(1; 4), cũng là tâm đối xứng.
Giải thích: Hai tiệm cận là x=1 và y=4. Giao điểm của hai tiệm cận là I(1; 4), cũng là tâm đối xứng.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B3-NB-01, B3-NB-02, B3-NB-03, B3-NB-04, B3-NB-05, B3-NB-06, B3-NB-07, B3-NB-08, B3-NB-09, B3-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B3-NB-01: 10x + 0
- B3-NB-02: x = -0,1667
- B3-NB-03: ℝ \ {6}
- B3-NB-04: E = 0
- B3-NB-05: x = −3
- B3-NB-06: y = 2
- B3-NB-07: y = 4x + 0
- B3-NB-08: x = 1
- B3-NB-09: E = 0
- B3-NB-10: x = −1
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 1
10 câu đại diện: B3-NB-11, B3-NB-12, B3-NB-13, B3-NB-14, B3-NB-15, B3-NB-16, B3-NB-17, B3-NB-18, B3-NB-19, B3-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B3-NB-11: y = 2
- B3-NB-12: y = 1x + 0
- B3-NB-13: x = 1
- B3-NB-14: E = 0
- B3-NB-15: x = −5
- B3-NB-16: y = 2
- B3-NB-17: y = 2x + 0
- B3-NB-18: x = 1
- B3-NB-19: y=2
- B3-NB-20: x=1
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B3-TH-01, B3-TH-02, B3-TH-03, B3-TH-04, B3-TH-05, B3-TH-06, B3-TH-07, B3-TH-08, B3-TH-09, B3-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B3-TH-01: 6x + 3
- B3-TH-02: x = 0,75
- B3-TH-03: ℝ \ {3}
- B3-TH-04: x = 1
- B3-TH-05: y=1x+2
- B3-TH-06: I(1; 2)
- B3-TH-07: 3
- B3-TH-08: y = 2x + 0
- B3-TH-09: x = 1
- B3-TH-10: 1
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B3-TH-11, B3-TH-12, B3-TH-13, B3-TH-14, B3-TH-15, B3-TH-16, B3-TH-17, B3-TH-18, B3-TH-19, B3-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B3-TH-11: 5
- B3-TH-12: 3
- B3-TH-13: y = 3x + 0
- B3-TH-14: x = 1
- B3-TH-15: x=6
- B3-TH-16: Tâm đối xứng là giao hai tiệm cận
- B3-TH-17: 2
- B3-TH-18: I(2; 3)
- B3-TH-19: I(1; 2)
- B3-TH-20: I(−1; 1)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề ôn tốt nghiệp tổng hợp
10 câu đại diện: B3-VD-01, B3-VD-02, B3-VD-03, B3-VD-04, B3-VD-05, B3-VD-06, B3-VD-07, B3-VD-08, B3-VD-09, B3-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B3-VD-01: 12x − 1
- B3-VD-02: x = 0
- B3-VD-03: ℝ \ {6}
- B3-VD-04: y = 3x + 0
- B3-VD-05: x = 1
- B3-VD-06: 2
- B3-VD-07: I(−2; −5)
- B3-VD-08: x = 3
- B3-VD-09: y = 4x + 0
- B3-VD-10: x = 1
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.