Biến dữ kiện thành quyết định
Bài học giúp mô hình hóa đóng gói, xây dựng, vận tải, sản xuất, tài chính, y tế và môi trường bằng công cụ có thể kiểm chứng.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- Bốn bước: biến–miền → hàm mục tiêu → tối ưu → kiểm và kết luận.
- Miền thực tế có thể hẹp hơn miền đại số.
- Nghiệm f′=0 chỉ là ứng viên.
Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn
Xây hàm mục tiêu từ bối cảnh, xác định miền hợp lệ, tối ưu bằng đạo hàm và kiểm tính hợp lí trong các bài chi phí, hình học, chuyển động và thiết kế.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Biết đọc dữ kiện, nêu điều kiện, thực hiện và giải thích kết quả.
Gọi đúng nền
Kích hoạt bài 1–4, lập phương trình, hình học và đơn vị đo rồi chuẩn bị cho Cổng cuối Chương 1.
Ba dạng, một bản chất
Luyện nhiều lựa chọn, đúng–sai và trả lời ngắn trên cùng một mạch suy luận.
- Đặt biến và miền theo đúng bối cảnh.
- Lập hàm mục tiêu từ các ràng buộc.
- Tối ưu và so sánh đủ ứng viên.
- Kết luận có đơn vị, làm tròn và kiểm tính khả thi.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Bài 1–4, lập phương trình, hình học và đơn vị đo.
- Viết tập xác định, đối tượng hoặc đơn vị trước phép tính.
- Dự đoán dấu, độ lớn hoặc hình dạng của kết quả.
- Kiểm bằng biểu diễn thứ hai và giải thích bằng lời.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Từ câu chuyện đến biến
Hiểu đơn giản: Chọn một đại lượng đủ để biểu diễn các đại lượng còn lại.
Biến phải kèm đơn vị và miền từ điều kiện vật lí, hình học hoặc kinh tế.
Ví dụ: Chu vi cố định: y=P/2−x.
Hình nên dùng: Sơ đồ đại lượng và mũi tên phụ thuộc.
Mô phỏng: Đổi biến và xem miền.
Mẹo nhớ: Một biến, một miền, một mục tiêu.
Sai lầm: Đặt nhiều biến nhưng thiếu ràng buộc.
Ghi chú: Miền thực tế có thể là số nguyên.
Hàm mục tiêu
Hiểu đơn giản: Đó là đại lượng đề yêu cầu lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Thế ràng buộc để đưa mục tiêu về hàm một biến.
Ví dụ: S=x(P/2−x).
Hình nên dùng: Ô mục tiêu nổi màu khác.
Mô phỏng: Thay ràng buộc từng bước.
Mẹo nhớ: Hỏi gì tối ưu nấy.
Sai lầm: Tối ưu nhầm đại lượng trung gian.
Ghi chú: Kiểm đơn vị của hàm mục tiêu.
Tối ưu và biên
Hiểu đơn giản: Tìm ứng viên trong miền rồi so sánh, kể cả biên nếu được nhận.
Dùng đạo hàm/bảng biến thiên hoặc GTLN–GTNN trên đoạn.
Ví dụ: Parabol quay xuống đạt max tại đỉnh nếu đỉnh thuộc miền.
Hình nên dùng: Bảng ứng viên có cột khả thi.
Mô phỏng: Bật/tắt biên mở.
Mẹo nhớ: Nghiệm–biên–so sánh.
Sai lầm: Chốt nghiệm f′=0 ngay.
Ghi chú: Bài rời rạc cần thử các giá trị nguyên lân cận.
Diễn giải và phản biện
Hiểu đơn giản: Đưa kết quả trở lại câu chuyện, nêu đơn vị và xem có hợp lí.
Làm tròn theo yêu cầu sau khi tính; kiểm điều kiện và ước lượng.
Ví dụ: Chiều dài không thể âm; số sản phẩm phải nguyên.
Hình nên dùng: Thẻ kiểm đơn vị và miền.
Mô phỏng: Đổi quy tắc làm tròn.
Mẹo nhớ: Tính xong phải quay về lời.
Sai lầm: Đưa số thập phân vô nghĩa vào kết luận.
Ghi chú: Có thể so với một phương án nền để đánh giá lợi ích.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB ĐẠO HÀM
Đọc đồng thời giá trị, độ dốc, tiếp tuyến và đạo hàm cấp hai
Nhập f(x)=ax³+bx²+cx+d và x₀. Công cụ tính f(x₀), f'(x₀), phương trình tiếp tuyến và f''(x₀) bằng hai lượt đạo hàm.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B5-NB-04
Đề bài: Một mô hình quãng đường có s(t)=−t³+12t²+40t trên miền 0≤t≤4. Muốn tìm vận tốc lớn nhất cần khảo sát hàm nào?
Phân tích: Vận tốc là đạo hàm của quãng đường.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Vận tốc là đạo hàm của quãng đường.
- Bước 2: v(t)=s'(t)=−3t²+24t+40; sau đó tìm GTLN của v trên [0;4].
- Bước 3: Kết luận v(t)=−3t²+24t+40.
Vì sao: Bài thực tế có thể cần đạo hàm hai tầng: từ vị trí sang vận tốc rồi tối ưu vận tốc.
Cách khác: Kiểm đơn vị: s theo km và t theo giờ thì v theo km/h.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Tối ưu trực tiếp s(t) khi đề hỏi vận tốc.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B5-NB-14
Đề bài: Một mô hình quãng đường có s(t)=−t³+6t²+30t trên miền 0≤t≤2. Muốn tìm vận tốc lớn nhất cần khảo sát hàm nào?
Phân tích: Vận tốc là đạo hàm của quãng đường.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Vận tốc là đạo hàm của quãng đường.
- Bước 2: v(t)=s'(t)=−3t²+12t+30; sau đó tìm GTLN của v trên [0;2].
- Bước 3: Kết luận v(t)=−3t²+12t+30.
Vì sao: Bài thực tế có thể cần đạo hàm hai tầng: từ vị trí sang vận tốc rồi tối ưu vận tốc.
Cách khác: Kiểm đơn vị: s theo km và t theo giờ thì v theo km/h.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Tối ưu trực tiếp s(t) khi đề hỏi vận tốc.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B5-TH-04
Đề bài: Có 18 m hàng rào để quây ba cạnh một hình chữ nhật sát tường. Tìm kích thước cho diện tích lớn nhất.
Phân tích: Gọi chiều vuông góc tường là x; cạnh song song tường là length−2x.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Gọi chiều vuông góc tường là x; cạnh song song tường là length−2x.
- Bước 2: S=x(18−2x), 0<x<9; S'=18−4x=0 ⇒ x=4.5, cạnh còn lại 9. Smax=40.5.
- Bước 3: Kết luận Rộng 4.5 m, dài 9 m.
Vì sao: Chỉ ba cạnh dùng hàng rào nên mô hình khác bài chu vi kín.
Cách khác: Parabol quay xuống có đỉnh tại x=4.5.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Dùng 2x+2y=length dù cạnh sát tường không cần rào.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B5-TH-14
Đề bài: Có 14 m hàng rào để quây ba cạnh một hình chữ nhật sát tường. Tìm kích thước cho diện tích lớn nhất.
Phân tích: Gọi chiều vuông góc tường là x; cạnh song song tường là length−2x.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Gọi chiều vuông góc tường là x; cạnh song song tường là length−2x.
- Bước 2: S=x(14−2x), 0<x<7; S'=14−4x=0 ⇒ x=3.5, cạnh còn lại 7. Smax=24.5.
- Bước 3: Kết luận Rộng 3.5 m, dài 7 m.
Vì sao: Chỉ ba cạnh dùng hàng rào nên mô hình khác bài chu vi kín.
Cách khác: Parabol quay xuống có đỉnh tại x=3.5.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Dùng 2x+2y=length dù cạnh sát tường không cần rào.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B5-VD-04
Đề bài: Độ cao của một thiết bị nâng là h(t)=t³+5t²+5 (m), t≥0. Tính tốc độ tăng độ cao tại t=2 giây (m/s). Sau khi tối ưu, hãy thế ngược để kiểm tra đại lượng cần hỏi.
Phân tích: Tốc độ tăng tức thời là h'(t)=3t²+10t.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Tốc độ tăng tức thời là h'(t)=3t²+10t. h'(2)=3·2²+10·2=32 m/s; t=2 thuộc miền t≥0.
Vì sao: Tốc độ tăng tức thời là h'(t)=3t²+10t. h'(2)=3·2²+10·2=32 m/s; t=2 thuộc miền t≥0.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 32. Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B5-VD-14
Đề bài: Tìm kích thước hình chữ nhật có chu vi 28 để diện tích lớn nhất.
Phân tích: Xét S(x)=x(14−x).
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Xét S(x)=x(14−x).
- Bước 2: S'(x)=14−2x=0 khi x=7; cạnh còn lại cũng bằng 7. Diện tích lớn nhất 49.
- Bước 3: Kết luận 7 × 7; Smax=49.
Vì sao: Trong các hình chữ nhật cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Cách khác: Hoàn thành bình phương S=−(x−7)²+49.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Tìm nghiệm đạo hàm nhưng không kiểm miền hoặc không nêu đơn vị.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B5-VDC-04
Đề bài: Một xưởng làm hộp không nắp đáy vuông, thể tích 27 dm³. Chi phí mỗi dm² đáy gấp đôi mỗi dm² thành; lấy chi phí thành làm đơn vị. Tìm cạnh đáy (dm) để tổng chi phí nhỏ nhất, chứng minh là tối ưu toàn cục.
Phân tích: Gọi cạnh đáy x>0, chiều cao 27/x²
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Gọi cạnh đáy x>0, chiều cao 27/x². Chi phí C(x)=2x²+4·27/x. Đạo hàm C'=4(x³−27)/x² âm khi x<3, dương khi x>3. Vì vậy C nhỏ nhất duy nhất tại x=3; chiều cao cũng 3 dm.
Vì sao: Gọi cạnh đáy x>0, chiều cao 27/x². Chi phí C(x)=2x²+4·27/x. Đạo hàm C'=4(x³−27)/x² âm khi x<3, dương khi x>3. Vì vậy C nhỏ nhất duy nhất tại x=3; chiều cao cũng 3 dm.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 3. Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
08 • Vận dụngVí dụ 8 • B5-VDC-14
Đề bài: Hình chữ nhật có chu vi 32. Gọi một cạnh là x. Viết diện tích theo x.
Phân tích: Tổng hai cạnh là 16.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Cạnh kia là 16−x; S(x)=x(16−x), với 0<x<16.
Vì sao: Miền của x đến từ điều kiện hai cạnh đều dương.
Cách khác: Dùng phương trình 2x+2y=32.
Tự kiểm: Kết quả: S(x)=x(16−x), 0<x<16. Viết cạnh kia bằng chu vi trừ x hoặc bỏ miền.
09 • Vận dụngVí dụ 9 • B5-TT-04
Đề bài: Cho A(1;−2;1), B(−2;1;4). M thay đổi trên trục Oz. Tìm GTNN của MA²+2MB².
Phân tích: M=(0;0;t), MA²=t²−2t+6, MB²=t²−8t+21; tổng 3t²−18t+48=3(t−3)²+21.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- M=(0;0;t), MA²=t²−2t+6, MB²=t²−8t+21; tổng 3t²−18t+48=3(t−3)²+21. Vậy kết quả cần chọn là 21.
Vì sao: M=(0;0;t), MA²=t²−2t+6, MB²=t²−8t+21; tổng 3t²−18t+48=3(t−3)²+21. Vậy kết quả cần chọn là 21.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 21. Không xét điều kiện miền hoặc không so sánh các điểm biên khi tối ưu.
10 • Thực tếVí dụ 10 • B5-TH-15
Đề bài: Có 32 m hàng rào để làm ba cạnh của một hình chữ nhật sát tường. Diện tích lớn nhất là: Kết quả phải phù hợp điều kiện thực tế. Các lựa chọn: A. 128 m² ; B. 64 m² ; C. 256 m² ; D. 136 m²
Phân tích: Gọi chiều rộng vuông góc tường là x, chiều dài là 32−2x; S=x(32−2x).
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Gọi chiều rộng vuông góc tường là x, chiều dài là 32−2x; S=x(32−2x). S'= 32−4x=0 tại x=8; thay lại được Smax=128 m².
Vì sao: Gọi chiều rộng vuông góc tường là x, chiều dài là 32−2x; S=x(32−2x). S'= 32−4x=0 tại x=8; thay lại được Smax=128 m².
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 128 m². Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn
Tình huống 1 dùng đóng gói, xây dựng, vận tải, sản xuất, tài chính, y tế và môi trường; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Trường học qua ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn
Tình huống 2 dùng đóng gói, xây dựng, vận tải, sản xuất, tài chính, y tế và môi trường; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn
Tình huống 3 dùng đóng gói, xây dựng, vận tải, sản xuất, tài chính, y tế và môi trường; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn
Tình huống 4 dùng đóng gói, xây dựng, vận tải, sản xuất, tài chính, y tế và môi trường; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn
Tình huống 5 dùng đóng gói, xây dựng, vận tải, sản xuất, tài chính, y tế và môi trường; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn
Tình huống 6 dùng đóng gói, xây dựng, vận tải, sản xuất, tài chính, y tế và môi trường; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn
Tình huống 7 dùng đóng gói, xây dựng, vận tải, sản xuất, tài chính, y tế và môi trường; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn
Tình huống 8 dùng đóng gói, xây dựng, vận tải, sản xuất, tài chính, y tế và môi trường; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Từ câu chuyện đến biến theo cách trực quan?
Chọn một đại lượng đủ để biểu diễn các đại lượng còn lại. Phát biểu chính xác: Biến phải kèm đơn vị và miền từ điều kiện vật lí, hình học hoặc kinh tế. Ví dụ: Chu vi cố định: y=P/2−x. Mẹo: Một biến, một miền, một mục tiêu. Cần tránh: Đặt nhiều biến nhưng thiếu ràng buộc.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Đặt biến không rõ đơn vị
Đặt nhiều biến nhưng thiếu ràng buộc. Sửa bằng: Một biến, một miền, một mục tiêu. Kiểm cuối: Miền thực tế có thể là số nguyên.
Lập sai ràng buộc
Tối ưu nhầm đại lượng trung gian. Sửa bằng: Hỏi gì tối ưu nấy. Kiểm cuối: Kiểm đơn vị của hàm mục tiêu.
Bỏ miền thực tế
Chốt nghiệm f′=0 ngay. Sửa bằng: Nghiệm–biên–so sánh. Kiểm cuối: Bài rời rạc cần thử các giá trị nguyên lân cận.
Không so sánh biên
Đưa số thập phân vô nghĩa vào kết luận. Sửa bằng: Tính xong phải quay về lời. Kiểm cuối: Có thể so với một phương án nền để đánh giá lợi ích.
Làm tròn quá sớm
Đặt nhiều biến nhưng thiếu ràng buộc. Sửa bằng: Một biến, một miền, một mục tiêu. Kiểm cuối: Miền thực tế có thể là số nguyên.
Đặt biến không rõ đơn vị – tình huống 6
Tối ưu nhầm đại lượng trung gian. Sửa bằng: Hỏi gì tối ưu nấy. Kiểm cuối: Kiểm đơn vị của hàm mục tiêu.
Lập sai ràng buộc – tình huống 7
Chốt nghiệm f′=0 ngay. Sửa bằng: Nghiệm–biên–so sánh. Kiểm cuối: Bài rời rạc cần thử các giá trị nguyên lân cận.
Bỏ miền thực tế – tình huống 8
Đưa số thập phân vô nghĩa vào kết luận. Sửa bằng: Tính xong phải quay về lời. Kiểm cuối: Có thể so với một phương án nền để đánh giá lợi ích.
Không so sánh biên – tình huống 9
Đặt nhiều biến nhưng thiếu ràng buộc. Sửa bằng: Một biến, một miền, một mục tiêu. Kiểm cuối: Miền thực tế có thể là số nguyên.
Làm tròn quá sớm – tình huống 10
Tối ưu nhầm đại lượng trung gian. Sửa bằng: Hỏi gì tối ưu nấy. Kiểm cuối: Kiểm đơn vị của hàm mục tiêu.
Đặt biến không rõ đơn vị – tình huống 11
Chốt nghiệm f′=0 ngay. Sửa bằng: Nghiệm–biên–so sánh. Kiểm cuối: Bài rời rạc cần thử các giá trị nguyên lân cận.
Lập sai ràng buộc – tình huống 12
Đưa số thập phân vô nghĩa vào kết luận. Sửa bằng: Tính xong phải quay về lời. Kiểm cuối: Có thể so với một phương án nền để đánh giá lợi ích.
Bỏ miền thực tế – tình huống 13
Đặt nhiều biến nhưng thiếu ràng buộc. Sửa bằng: Một biến, một miền, một mục tiêu. Kiểm cuối: Miền thực tế có thể là số nguyên.
Không so sánh biên – tình huống 14
Tối ưu nhầm đại lượng trung gian. Sửa bằng: Hỏi gì tối ưu nấy. Kiểm cuối: Kiểm đơn vị của hàm mục tiêu.
Làm tròn quá sớm – tình huống 15
Chốt nghiệm f′=0 ngay. Sửa bằng: Nghiệm–biên–so sánh. Kiểm cuối: Bài rời rạc cần thử các giá trị nguyên lân cận.
Đặt biến không rõ đơn vị – tình huống 16
Đưa số thập phân vô nghĩa vào kết luận. Sửa bằng: Tính xong phải quay về lời. Kiểm cuối: Có thể so với một phương án nền để đánh giá lợi ích.
Lập sai ràng buộc – tình huống 17
Đặt nhiều biến nhưng thiếu ràng buộc. Sửa bằng: Một biến, một miền, một mục tiêu. Kiểm cuối: Miền thực tế có thể là số nguyên.
Bỏ miền thực tế – tình huống 18
Tối ưu nhầm đại lượng trung gian. Sửa bằng: Hỏi gì tối ưu nấy. Kiểm cuối: Kiểm đơn vị của hàm mục tiêu.
Không so sánh biên – tình huống 19
Chốt nghiệm f′=0 ngay. Sửa bằng: Nghiệm–biên–so sánh. Kiểm cuối: Bài rời rạc cần thử các giá trị nguyên lân cận.
Làm tròn quá sớm – tình huống 20
Đưa số thập phân vô nghĩa vào kết luận. Sửa bằng: Tính xong phải quay về lời. Kiểm cuối: Có thể so với một phương án nền để đánh giá lợi ích.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chẩn đoán 5 phút
Làm ba câu nền và nói thành lời điều kiện của công cụ trước khi học mới.
Chu trình 5–25–10
5 phút gọi nền, 25 phút học một nút, 10 phút làm lại không nhìn lời giải.
Hai biểu diễn
Kiểm công thức bằng bảng biến thiên, đồ thị, hình không gian, bảng dữ liệu hoặc đơn vị.
Phản ví dụ bắt buộc
Mỗi định lí phải đi cùng một trường hợp thiếu điều kiện để tránh học thuộc máy móc.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi lỗi, nguyên nhân và phép tự kiểm; không chép lại toàn bộ lời giải.
Ôn cách quãng 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và qua cổng lại sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn1 2 3 4
Từ câu chuyện đến biếnBiến phải kèm đơn vị và miền từ điều kiện vật lí, hình học hoặc kinh tế. Một biến, một miền, một mục tiêu.
Hàm mục tiêuThế ràng buộc để đưa mục tiêu về hàm một biến. Hỏi gì tối ưu nấy.
Tối ưu và biênDùng đạo hàm/bảng biến thiên hoặc GTLN–GTNN trên đoạn. Nghiệm–biên–so sánh.
Diễn giải và phản biệnLàm tròn theo yêu cầu sau khi tính; kiểm điều kiện và ước lượng. Tính xong phải quay về lời.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
B5-NB-01Tìm tập xác định của y = (x + 2)/(x − 6).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Mẫu số phải khác 0.
Lời giải: x − 6 ≠ 0 nên tập xác định là ℝ \ {6}.
Vì sao: Điểm làm mẫu bằng 0 phải được loại trước mọi phép biến đổi.
Sai ở đâu: Chỉ xét điều kiện của tử hoặc quên loại điểm làm mẫu bằng 0.
Cách khác: Đánh dấu điểm 6 trên trục số và lấy hai khoảng còn lại.
B5-NB-02Tính đạo hàm của f(x) = 3x² + 3x + 1.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đạo hàm từng hạng; hằng số có đạo hàm bằng 0.
Lời giải: f'(x) = 6x + 3.
Vì sao: Quy tắc lũy thừa hạ số mũ xuống làm hệ số rồi giảm số mũ đi 1.
Sai ở đâu: Đạo hàm x² thành x hoặc giữ nguyên hằng số 1.
Cách khác: Kiểm bằng tỉ số sai phân tại một điểm đơn giản.
B5-NB-03Giải phương trình 4x − 3 = 0.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Chuyển hằng số sang vế phải rồi chia cho hệ số của x.
Lời giải: x = 0,75.
Vì sao: Nghiệm của đạo hàm là mốc cần xét dấu, chưa tự động là điểm cực trị.
Sai ở đâu: Kết luận ngay đây là hoành độ cực trị mà chưa xét dấu.
Cách khác: Thay nghiệm trở lại vế trái để kiểm tra bằng 0.
B5-NB-04Một mô hình quãng đường có s(t)=−t³+12t²+40t trên miền 0≤t≤4. Muốn tìm vận tốc lớn nhất cần khảo sát hàm nào?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Vận tốc là đạo hàm của quãng đường.
Lời giải: v(t)=s'(t)=−3t²+24t+40; sau đó tìm GTLN của v trên [0;4].
Vì sao: Bài thực tế có thể cần đạo hàm hai tầng: từ vị trí sang vận tốc rồi tối ưu vận tốc.
Sai ở đâu: Tối ưu trực tiếp s(t) khi đề hỏi vận tốc.
Cách khác: Kiểm đơn vị: s theo km và t theo giờ thì v theo km/h.
B5-NB-05Nêu bốn bước tối thiểu của một bài tối ưu thực tế bằng đạo hàm.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Bắt đầu từ biến và miền, kết thúc bằng diễn giải.
Lời giải: Đặt biến và đơn vị → lập hàm mục tiêu cùng miền → tìm và so sánh ứng viên → kết luận, kiểm tính hợp lí.
Vì sao: Đạo hàm chỉ là bước giữa; mô hình và diễn giải quyết định lời giải có đúng thực tế hay không.
Sai ở đâu: Bỏ miền hợp lệ hoặc kết luận một nghiệm không có đơn vị.
Cách khác: Vẽ sơ đồ đại lượng trước khi lập hàm.
B5-NB-06Hình chữ nhật có chu vi 20. Gọi một cạnh là x. Viết diện tích theo x.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tổng hai cạnh là 10.
Lời giải: Cạnh kia là 10−x; S(x)=x(10−x), với 0<x<10.
Vì sao: Miền của x đến từ điều kiện hai cạnh đều dương.
Sai ở đâu: Viết cạnh kia bằng chu vi trừ x hoặc bỏ miền.
Cách khác: Dùng phương trình 2x+2y=20.
B5-NB-07Tìm kích thước hình chữ nhật có chu vi 24 để diện tích lớn nhất.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Xét S(x)=x(12−x).
Lời giải: S'(x)=12−2x=0 khi x=6; cạnh còn lại cũng bằng 6. Diện tích lớn nhất 36.
Vì sao: Trong các hình chữ nhật cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Sai ở đâu: Tìm nghiệm đạo hàm nhưng không kiểm miền hoặc không nêu đơn vị.
Cách khác: Hoàn thành bình phương S=−(x−6)²+36.
B5-NB-08Có 12 m hàng rào để quây ba cạnh một hình chữ nhật sát tường. Tìm kích thước cho diện tích lớn nhất.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Gọi chiều vuông góc tường là x; cạnh song song tường là length−2x.
Lời giải: S=x(12−2x), 0<x<6; S'=12−4x=0 ⇒ x=3, cạnh còn lại 6. Smax=18.
Vì sao: Chỉ ba cạnh dùng hàng rào nên mô hình khác bài chu vi kín.
Sai ở đâu: Dùng 2x+2y=length dù cạnh sát tường không cần rào.
Cách khác: Parabol quay xuống có đỉnh tại x=3.
B5-NB-09Một mô hình quãng đường có s(t)=−t³+15t²+35t trên miền 0≤t≤5. Muốn tìm vận tốc lớn nhất cần khảo sát hàm nào?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Vận tốc là đạo hàm của quãng đường.
Lời giải: v(t)=s'(t)=−3t²+30t+35; sau đó tìm GTLN của v trên [0;5].
Vì sao: Bài thực tế có thể cần đạo hàm hai tầng: từ vị trí sang vận tốc rồi tối ưu vận tốc.
Sai ở đâu: Tối ưu trực tiếp s(t) khi đề hỏi vận tốc.
Cách khác: Kiểm đơn vị: s theo km và t theo giờ thì v theo km/h.
B5-NB-10Giá trị lớn nhất của f(x)=x² trên đoạn [−2;1] là: Chọn kết luận trực tiếp từ dấu của đạo hàm. Các lựa chọn: A. 1 ; B. 0 ; C. 2 ; D. 4
Mục tiêu: Vận dụng — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hàm liên tục trên đoạn; so sánh tại điểm tới hạn 0 và hai đầu mút.
Lời giải: Hàm liên tục trên đoạn; so sánh tại điểm tới hạn 0 và hai đầu mút. f(−2)=4, f(0)=0, f(1)=1; do đó GTLN=4.
Vì sao: Hàm liên tục trên đoạn; so sánh tại điểm tới hạn 0 và hai đầu mút. f(−2)=4, f(0)=0, f(1)=1; do đó GTLN=4.
Sai ở đâu: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Giá trị lớn nhất của f(x)=x² trên đoạn [−2;1] là: Chọn kết luận trực tiếp từ dấu của đạo hàm.
BA DẠNG TRẮC NGHIỆM HIỆN HÀNH
Cùng một bản chất, ba cách kiểm tra năng lực
Định dạng ôn tốt nghiệp gồm nhiều lựa chọn, đúng–sai bốn ý và trả lời ngắn; tự luận phía sau dùng để học sâu, không gắn sai nhãn thành cấu trúc đề thi.
Nhiều lựa chọn
50 câu tự chấm ngay phía trên; phương án nhiễu xuất phát từ lỗi điều kiện, dấu, thứ tự hoặc thiếu ứng viên.
Chọn đáp án rồi đọc giải thích và ghi lỗi.Đúng–sai bốn ý
Một cụm mẫu dùng chung bối cảnh “Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn”:
- a) Biến phải kèm đơn vị và miền từ điều kiện vật lí, hình học hoặc kinh tế.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Chọn một đại lượng đủ để biểu diễn các đại lượng còn lại. Ví dụ kiểm chứng: Chu vi cố định: y=P/2−x.
- b) Thế ràng buộc để đưa mục tiêu về hàm một biến.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Đó là đại lượng đề yêu cầu lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Ví dụ kiểm chứng: S=x(P/2−x).
- c) Dùng đạo hàm/bảng biến thiên hoặc GTLN–GTNN trên đoạn.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Tìm ứng viên trong miền rồi so sánh, kể cả biên nếu được nhận. Ví dụ kiểm chứng: Parabol quay xuống đạt max tại đỉnh nếu đỉnh thuộc miền.
- d) Làm tròn theo yêu cầu sau khi tính; kiểm điều kiện và ước lượng.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Đưa kết quả trở lại câu chuyện, nêu đơn vị và xem có hợp lí. Ví dụ kiểm chứng: Chiều dài không thể âm; số sản phẩm phải nguyên.
Trả lời ngắn
Tự lập mô hình và điền kết quả, không có phương án gợi ý:
- Tìm tập xác định của y = (x + 6)/(x − 3).
Đáp án
ℝ \ {3}
- Tính đạo hàm của f(x) = 2x² − 2x + 1.
Đáp án
4x − 2
- Giải phương trình 3x − 1 = 0.
Đáp án
x = 0,3333
- Một xưởng làm hộp không nắp đáy vuông, thể tích 27 dm³. Chi phí mỗi dm² đáy gấp đôi mỗi dm² thành; lấy chi phí thành làm đơn vị. Tìm cạnh đáy (dm) để tổng chi phí nhỏ nhất, chứng minh là tối ưu toàn cục.
Đáp án
3
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Tìm tập xác định của y = (x + 2)/(x − 6).
Gợi ý: Mẫu số phải khác 0.
Lời giải: x − 6 ≠ 0 nên tập xác định là ℝ \ {6}.
Giải thích: Điểm làm mẫu bằng 0 phải được loại trước mọi phép biến đổi.
Lỗi cần tránh: Chỉ xét điều kiện của tử hoặc quên loại điểm làm mẫu bằng 0.
Cách khác: Đánh dấu điểm 6 trên trục số và lấy hai khoảng còn lại.
TỰ LUẬN 2Hình chữ nhật có chu vi 20. Gọi một cạnh là x. Viết diện tích theo x.
Gợi ý: Tổng hai cạnh là 10.
Lời giải: Cạnh kia là 10−x; S(x)=x(10−x), với 0<x<10.
Giải thích: Miền của x đến từ điều kiện hai cạnh đều dương.
Lỗi cần tránh: Viết cạnh kia bằng chu vi trừ x hoặc bỏ miền.
Cách khác: Dùng phương trình 2x+2y=20.
TỰ LUẬN 3Hình chữ nhật có chu vi 40. Gọi một cạnh là x. Viết diện tích theo x.
Gợi ý: Tổng hai cạnh là 20.
Lời giải: Cạnh kia là 20−x; S(x)=x(20−x), với 0<x<20.
Giải thích: Miền của x đến từ điều kiện hai cạnh đều dương.
Lỗi cần tránh: Viết cạnh kia bằng chu vi trừ x hoặc bỏ miền.
Cách khác: Dùng phương trình 2x+2y=40.
TỰ LUẬN 4Hình chữ nhật có chu vi 28. Gọi một cạnh là x. Viết diện tích theo x.
Gợi ý: Tổng hai cạnh là 14.
Lời giải: Cạnh kia là 14−x; S(x)=x(14−x), với 0<x<14.
Giải thích: Miền của x đến từ điều kiện hai cạnh đều dương.
Lỗi cần tránh: Viết cạnh kia bằng chu vi trừ x hoặc bỏ miền.
Cách khác: Dùng phương trình 2x+2y=28.
TỰ LUẬN 5Tìm tập xác định của y = (x + 5)/(x − 3).
Gợi ý: Mẫu số phải khác 0.
Lời giải: x − 3 ≠ 0 nên tập xác định là ℝ \ {3}.
Giải thích: Điểm làm mẫu bằng 0 phải được loại trước mọi phép biến đổi.
Lỗi cần tránh: Chỉ xét điều kiện của tử hoặc quên loại điểm làm mẫu bằng 0.
Cách khác: Đánh dấu điểm 3 trên trục số và lấy hai khoảng còn lại.
TỰ LUẬN 6Có 40 m lưới để rào ba cạnh một khu đất hình chữ nhật sát bờ sông; cạnh giáp sông không rào. Tính diện tích lớn nhất (m²). Kết quả phải phù hợp điều kiện thực tế.
Gợi ý: Gọi chiều rộng x; chiều dài là 40−2x, với 0<x<20. Khi đó S=x(40−2x).
Lời giải: Gọi chiều rộng x; chiều dài là 40−2x, với 0<x<20. Khi đó S=x(40−2x). S'= 40−4x=0 tại x=10; Smax=40²/8=200 m².
Giải thích: Gọi chiều rộng x; chiều dài là 40−2x, với 0<x<20. Khi đó S=x(40−2x). S'= 40−4x=0 tại x=10; Smax=40²/8=200 m².
Lỗi cần tránh: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 7GTNN của f(x)=x+4/x trên đoạn [1;4] là: Chọn kết luận trực tiếp từ dấu của đạo hàm. Các lựa chọn: A. 4 ; B. 2 ; C. 5 ; D. 3
Gợi ý: f'(x)=1−4/x²=0 tại x=2, thuộc đoạn.
Lời giải: f'(x)=1−4/x²=0 tại x=2, thuộc đoạn. Đạo hàm đổi từ âm sang dương nên GTNN=f(2)=4.
Giải thích: f'(x)=1−4/x²=0 tại x=2, thuộc đoạn. Đạo hàm đổi từ âm sang dương nên GTNN=f(2)=4.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 8Tìm GTNN của f(x)=x+64/x trên đoạn [1;16]. Chọn kết luận trực tiếp từ dấu của đạo hàm.
Gợi ý: f'(x)=1−64/x²=0 tại x=8, thuộc đoạn.
Lời giải: f'(x)=1−64/x²=0 tại x=8, thuộc đoạn. So sánh với hai đầu mút xác nhận GTNN=f(8)=16.
Giải thích: f'(x)=1−64/x²=0 tại x=8, thuộc đoạn. So sánh với hai đầu mút xác nhận GTNN=f(8)=16.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 9Tìm tập xác định của y = (x + 3)/(x − 6).
Gợi ý: Mẫu số phải khác 0.
Lời giải: x − 6 ≠ 0 nên tập xác định là ℝ \ {6}.
Giải thích: Điểm làm mẫu bằng 0 phải được loại trước mọi phép biến đổi.
Lỗi cần tránh: Chỉ xét điều kiện của tử hoặc quên loại điểm làm mẫu bằng 0.
Cách khác: Đánh dấu điểm 6 trên trục số và lấy hai khoảng còn lại.
TỰ LUẬN 10Một mô hình quãng đường có s(t)=−t³+12t²+30t trên miền 0≤t≤4. Muốn tìm vận tốc lớn nhất cần khảo sát hàm nào?
Gợi ý: Vận tốc là đạo hàm của quãng đường.
Lời giải: v(t)=s'(t)=−3t²+24t+30; sau đó tìm GTLN của v trên [0;4].
Giải thích: Bài thực tế có thể cần đạo hàm hai tầng: từ vị trí sang vận tốc rồi tối ưu vận tốc.
Lỗi cần tránh: Tối ưu trực tiếp s(t) khi đề hỏi vận tốc.
Cách khác: Kiểm đơn vị: s theo km và t theo giờ thì v theo km/h.
TỰ LUẬN 11Một mô hình quãng đường có s(t)=−t³+15t²+55t trên miền 0≤t≤5. Muốn tìm vận tốc lớn nhất cần khảo sát hàm nào?
Gợi ý: Vận tốc là đạo hàm của quãng đường.
Lời giải: v(t)=s'(t)=−3t²+30t+55; sau đó tìm GTLN của v trên [0;5].
Giải thích: Bài thực tế có thể cần đạo hàm hai tầng: từ vị trí sang vận tốc rồi tối ưu vận tốc.
Lỗi cần tránh: Tối ưu trực tiếp s(t) khi đề hỏi vận tốc.
Cách khác: Kiểm đơn vị: s theo km và t theo giờ thì v theo km/h.
TỰ LUẬN 12Chi phí C(x)=3x+12/x (triệu đồng), x>0. Chi phí nhỏ nhất là bao nhiêu triệu đồng?
Gợi ý: C'(x)=3−12/x²=0 tại x=2; C giảm rồi tăng nên min C(2)=6+6=12.
Lời giải: C'(x)=3−12/x²=0 tại x=2; C giảm rồi tăng nên min C(2)=6+6=12. Vậy kết quả cần chọn là 12.
Giải thích: C'(x)=3−12/x²=0 tại x=2; C giảm rồi tăng nên min C(2)=6+6=12. Vậy kết quả cần chọn là 12.
Lỗi cần tránh: Không xét điều kiện miền hoặc không so sánh các điểm biên khi tối ưu.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 13Tìm tập xác định của y = (x + 6)/(x − 3).
Gợi ý: Mẫu số phải khác 0.
Lời giải: x − 3 ≠ 0 nên tập xác định là ℝ \ {3}.
Giải thích: Điểm làm mẫu bằng 0 phải được loại trước mọi phép biến đổi.
Lỗi cần tránh: Chỉ xét điều kiện của tử hoặc quên loại điểm làm mẫu bằng 0.
Cách khác: Đánh dấu điểm 3 trên trục số và lấy hai khoảng còn lại.
TỰ LUẬN 14Có 18 m hàng rào để quây một khu chữ nhật cạnh bờ tường, thêm hai vách ngăn cùng vuông góc tường bên trong. Không rào cạnh sát tường. Tìm chiều sâu x (m) để diện tích lớn nhất; lập ràng buộc thay vì dùng công thức chu vi bốn cạnh.
Gợi ý: Có bốn đoạn chiều sâu và một cạnh song song tường, nên y=18−4x, 0<x<4.5
Lời giải: Có bốn đoạn chiều sâu và một cạnh song song tường, nên y=18−4x, 0<x<4.5. S=x(18−4x), S'=18−8x. Nghiệm 2.25 thuộc miền, S''=−8<0 nên cho cực đại toàn cục.
Giải thích: Có bốn đoạn chiều sâu và một cạnh song song tường, nên y=18−4x, 0<x<4.5. S=x(18−4x), S'=18−8x. Nghiệm 2.25 thuộc miền, S''=−8<0 nên cho cực đại toàn cục.
Lỗi cần tránh: Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
TỰ LUẬN 15M=(x;x²) với x>0 trên parabol y=x². M gần điểm A(0;3/2) nhất khi x bằng bao nhiêu?
Gợi ý: Bình phương khoảng cách MA²=x²+(x²−3/2)²; đạo hàm bằng 4x(x²−1). Trên x>0, hàm giảm rồi tăng qua x=1, nên gần nhất khi x=1.
Lời giải: Bình phương khoảng cách MA²=x²+(x²−3/2)²; đạo hàm bằng 4x(x²−1). Trên x>0, hàm giảm rồi tăng qua x=1, nên gần nhất khi x=1. Vậy kết quả cần chọn là 1.
Giải thích: Bình phương khoảng cách MA²=x²+(x²−3/2)²; đạo hàm bằng 4x(x²−1). Trên x>0, hàm giảm rồi tăng qua x=1, nên gần nhất khi x=1. Vậy kết quả cần chọn là 1.
Lỗi cần tránh: Không xét điều kiện miền hoặc không so sánh các điểm biên khi tối ưu.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 16Hình chữ nhật diện tích 36 m². Chu vi nhỏ nhất là bao nhiêu mét?
Gợi ý: Gọi cạnh x>0, cạnh kia 36/x; P=2(x+36/x) đạt cực tiểu tại x=6, bằng 24.
Lời giải: Gọi cạnh x>0, cạnh kia 36/x; P=2(x+36/x) đạt cực tiểu tại x=6, bằng 24. Vậy kết quả cần chọn là 24.
Giải thích: Gọi cạnh x>0, cạnh kia 36/x; P=2(x+36/x) đạt cực tiểu tại x=6, bằng 24. Vậy kết quả cần chọn là 24.
Lỗi cần tránh: Không xét điều kiện miền hoặc không so sánh các điểm biên khi tối ưu.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 17Tìm tập xác định của y = (x + 4)/(x − 6).
Gợi ý: Mẫu số phải khác 0.
Lời giải: x − 6 ≠ 0 nên tập xác định là ℝ \ {6}.
Giải thích: Điểm làm mẫu bằng 0 phải được loại trước mọi phép biến đổi.
Lỗi cần tránh: Chỉ xét điều kiện của tử hoặc quên loại điểm làm mẫu bằng 0.
Cách khác: Đánh dấu điểm 6 trên trục số và lấy hai khoảng còn lại.
TỰ LUẬN 18Một hình chữ nhật có chu vi 12 m. Diện tích lớn nhất của nó là Các lựa chọn: A. 9 m² ; B. 36 m² ; C. 3 m² ; D. 18 m²
Gợi ý: Gọi hai cạnh x và 6−x; diện tích S=x(6−x).
Lời giải: Gọi hai cạnh x và 6−x; diện tích S=x(6−x). Parabol đạt lớn nhất tại x=3; khi đó hình là hình vuông cạnh 3, Smax=9 m².
Giải thích: Gọi hai cạnh x và 6−x; diện tích S=x(6−x). Parabol đạt lớn nhất tại x=3; khi đó hình là hình vuông cạnh 3, Smax=9 m².
Lỗi cần tránh: Nhầm nửa chu vi với độ dài một cạnh.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 19Lợi nhuận (triệu đồng) của một phương án là P(x) = −x² + 4x + 8. Giá trị x làm P lớn nhất là Các lựa chọn: A. 4 ; B. 2 ; C. -2 ; D. 15
Gợi ý: P là parabol quay xuống; đỉnh có hoành độ x = −b/(2a).
Lời giải: P là parabol quay xuống; đỉnh có hoành độ x = −b/(2a). Với a = −1, hệ số x là 4, ta có x = −4/(−2) = 2.
Giải thích: P là parabol quay xuống; đỉnh có hoành độ x = −b/(2a). Với a = −1, hệ số x là 4, ta có x = −4/(−2) = 2.
Lỗi cần tránh: Sai dấu trong công thức hoành độ đỉnh.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 20Doanh thu R(x)=−2x²+8x+1 đạt mức lớn nhất bằng Các lựa chọn: A. 9 ; B. 8 ; C. 1 ; D. 4
Gợi ý: R(x)=9−2(x−2)², nên max R=9.
Lời giải: R(x)=9−2(x−2)², nên max R=9.
Giải thích: R(x)=9−2(x−2)², nên max R=9.
Lỗi cần tránh: Bỏ bước kiểm tra cực đại hoặc chia sai hệ số.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B5-NB-01, B5-NB-02, B5-NB-03, B5-NB-04, B5-NB-05, B5-NB-06, B5-NB-07, B5-NB-08, B5-NB-09, B5-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B5-NB-01: ℝ \ {6}
- B5-NB-02: 6x + 3
- B5-NB-03: x = 0,75
- B5-NB-04: v(t)=−3t²+24t+40
- B5-NB-05: Biến–miền → hàm → tối ưu → kiểm và kết luận
- B5-NB-06: S(x)=x(10−x), 0<x<10
- B5-NB-07: 6 × 6; Smax=36
- B5-NB-08: Rộng 3 m, dài 6 m
- B5-NB-09: v(t)=−3t²+30t+35
- B5-NB-10: 4
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 1
10 câu đại diện: B5-NB-11, B5-NB-12, B5-NB-13, B5-NB-14, B5-NB-15, B5-NB-16, B5-NB-17, B5-NB-18, B5-NB-19, B5-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B5-NB-11: S(x)=x(20−x), 0<x<20
- B5-NB-12: 11 × 11; Smax=121
- B5-NB-13: Rộng 5.5 m, dài 11 m
- B5-NB-14: v(t)=−3t²+12t+30
- B5-NB-15: 100 m²
- B5-NB-16: S(x)=x(14−x), 0<x<14
- B5-NB-17: 8 × 8; Smax=64
- B5-NB-18: Rộng 5 m, dài 10 m
- B5-NB-19: v(t)=−3t²+18t+55
- B5-NB-20: 5
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B5-TH-01, B5-TH-02, B5-TH-03, B5-TH-04, B5-TH-05, B5-TH-06, B5-TH-07, B5-TH-08, B5-TH-09, B5-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B5-TH-01: ℝ \ {3}
- B5-TH-02: 12x − 1
- B5-TH-03: x = 0
- B5-TH-04: Rộng 4.5 m, dài 9 m
- B5-TH-05: v(t)=−3t²+12t+50
- B5-TH-06: 200
- B5-TH-07: 1
- B5-TH-08: 2,5
- B5-TH-09: Rộng 4 m, dài 8 m
- B5-TH-10: v(t)=−3t²+18t+45
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B5-TH-11, B5-TH-12, B5-TH-13, B5-TH-14, B5-TH-15, B5-TH-16, B5-TH-17, B5-TH-18, B5-TH-19, B5-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B5-TH-11: 4
- B5-TH-12: S(x)=x(24−x), 0<x<24
- B5-TH-13: 5 × 5; Smax=25
- B5-TH-14: Rộng 3.5 m, dài 7 m
- B5-TH-15: 128 m²
- B5-TH-16: 16
- B5-TH-17: S(x)=x(18−x), 0<x<18
- B5-TH-18: 10 × 10; Smax=100
- B5-TH-19: -4
- B5-TH-20: 13 m/s
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề ôn tốt nghiệp tổng hợp
10 câu đại diện: B5-VD-01, B5-VD-02, B5-VD-03, B5-VD-04, B5-VD-05, B5-VD-06, B5-VD-07, B5-VD-08, B5-VD-09, B5-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B5-VD-01: ℝ \ {6}
- B5-VD-02: 8x + 2
- B5-VD-03: x = -0,6
- B5-VD-04: 32
- B5-VD-05: 40 lít/phút
- B5-VD-06: v(t)=−3t²+24t+30
- B5-VD-07: 100
- B5-VD-08: 648
- B5-VD-09: 12
- B5-VD-10: 10
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.