Tách đúng nguyên nhân
Phân biệt lỗi mô hình, điều kiện, công thức, tính toán và diễn giải.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài tập cuối Chương 1
Kiểm định trọn mạch dấu đạo hàm → cực trị → GTLN, GTNN → tiệm cận → khảo sát đồ thị → tối ưu thực tế; mọi kết luận phải khớp miền và bảng biến thiên.
Qua cổng bằng mô hình, điều kiện, kết quả và phép tự kiểm; không qua bằng học thuộc đáp án
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Nhìn mạch cả chương
Câu tổng hợp buộc gọi các nút theo đúng thứ tự thay vì nhận dạng mẹo.
Ba dạng trắc nghiệm
Nhiều lựa chọn, đúng–sai bốn ý và trả lời ngắn cùng kiểm một năng lực.
Sửa lỗi rồi mới đi tiếp
Đạt điểm, giải thích được ba lỗi gần nhất và làm lại sau 7 ngày.
- Dùng dấu đạo hàm để kết luận khoảng đơn điệu.
- Lập và đọc bảng biến thiên chính xác.
- Phân loại cực trị bằng sự đổi dấu của đạo hàm.
- Giải thích được vì sao f′=0 chưa đủ để có cực trị.
- Phân biệt cực trị với GTLN, GTNN.
- Tìm đủ ứng viên trên một đoạn đóng.
- Xử lí khoảng mở, nửa khoảng và miền không bị chặn.
- Diễn giải giá trị tối ưu kèm điểm đạt và đơn vị.
- Xác định tiệm cận đứng bằng giới hạn một phía.
- Xác định tiệm cận ngang tại ±∞.
- Tìm tiệm cận xiên bằng giới hạn hoặc chia đa thức.
- Phân biệt tiệm cận với lỗ hổng và diễn giải đúng xu hướng.
- Thực hiện đúng thứ tự quy trình khảo sát.
- Vẽ đồ thị khớp bảng biến thiên và tiệm cận.
- Đọc số nghiệm, giao điểm và phép biến đổi đồ thị.
- 15% ôn nối từ chương hoặc lớp trước có quan hệ trực tiếp.
- Tập xác định, đạo hàm, dấu tam thức và đồ thị lớp 10–11
- Bài 1, đạo hàm, hàm liên tục và miền xác định
- Giới hạn, phân thức, phép chia đa thức và tập xác định
- Bài 1–3, giao trục, đối xứng và biến đổi đồ thị
- Bài 1–4, lập phương trình, hình học và đơn vị đo
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Dấu đạo hàm và tính đơn điệu
Hiểu đơn giản: Đạo hàm cho biết đồ thị đang đi lên hay đi xuống khi nhìn từ trái sang phải.
Nếu f khả vi trên khoảng I: f′(x)>0 trên I ⇒ f đồng biến; f′(x)<0 trên I ⇒ f nghịch biến.
Ví dụ: f′=(x−1)(x−3) dương ngoài [1;3], âm ở giữa.
Hình nên dùng: Đồ thị có mũi tên lên–xuống.
Mô phỏng: Kéo điểm x và xem dấu f′.
Mẹo nhớ: Dương lên, âm xuống.
Sai lầm: Đổi ngược dấu hoặc lấy cả điểm loại.
Ghi chú: Kết luận trên từng khoảng thuộc tập xác định.
Bảng biến thiên
Hiểu đơn giản: Đó là bản đồ nén của miền, mốc, dấu đạo hàm và giá trị hàm.
Các mốc gồm điểm loại, nghiệm f′ và biên miền; dấu f′ quyết định mũi tên của f.
Ví dụ: f′ đổi +,−,+ cho bảng tăng–giảm–tăng.
Hình nên dùng: Bốn hàng x, f′, f và giới hạn.
Mô phỏng: Bật từng mốc để xem bảng đổi.
Mẹo nhớ: Miền trước, mốc sau, dấu rồi giá trị.
Sai lầm: Thiếu giới hạn hoặc sắp mốc sai.
Ghi chú: Không nối đồ thị qua điểm không thuộc miền.
Cực trị
Hiểu đơn giản: Cực trị là đỉnh hoặc đáy cục bộ, không nhất thiết cao nhất hay thấp nhất toàn miền.
f′ đổi +→− tại x₀ ⇒ cực đại; −→+ ⇒ cực tiểu.
Ví dụ: f=x³ có f′(0)=0 nhưng không có cực trị tại 0.
Hình nên dùng: Ba đồ thị: đỉnh, đáy, điểm uốn ngang.
Mô phỏng: Thay mô hình dấu hai phía.
Mẹo nhớ: Đổi dấu mới chốt cực trị.
Sai lầm: Thấy f′=0 là kết luận.
Ghi chú: Phân biệt hoành độ cực trị, điểm cực trị và giá trị cực trị.
Tham số và dữ kiện đồ thị
Hiểu đơn giản: Tham số thay vị trí các mốc; đồ thị f′ có thể cho trực tiếp dấu của f′.
Số cực trị bằng số lần f′ đổi dấu tại nghiệm hợp lệ.
Ví dụ: Đồ thị f′ cắt trục hoành từ âm lên dương tạo cực tiểu của f.
Hình nên dùng: Ghép đồ thị f′ và f.
Mô phỏng: Kéo tham số để nghiệm nhập/tách.
Mẹo nhớ: Đọc dấu, không đọc độ cao f′ thành f.
Sai lầm: Nhầm cực trị của f′ với cực trị của f.
Ghi chú: Nghiệm bội chẵn thường không làm dấu đổi.
GTLN, GTNN và cực trị
Hiểu đơn giản: GTLN/GTNN so với toàn miền; cực trị chỉ so ở lân cận.
M=max_D f khi f(x)≤M với mọi x∈D và tồn tại x₀∈D sao cho f(x₀)=M.
Ví dụ: f=x³−3x có cực đại cục bộ nhưng không có GTLN trên ℝ.
Hình nên dùng: Đồ thị có đỉnh cục bộ và mũi tên vô hạn.
Mô phỏng: Đổi miền quan sát.
Mẹo nhớ: Toàn miền mới là lớn nhất–nhỏ nhất.
Sai lầm: Gọi mọi cực đại là GTLN.
Ghi chú: Điều kiện “đạt được” là bắt buộc.
Quy trình trên đoạn
Hiểu đơn giản: Thu thập mọi ứng viên rồi so giá trị.
Với f liên tục trên [a;b]: tính f(a), f(b), f(xᵢ) tại nghiệm f′=0 hoặc điểm không khả vi trong (a;b).
Ví dụ: Parabol trên đoạn phải thử đỉnh và hai đầu.
Hình nên dùng: Bảng ba cột điểm–giá trị–kết luận.
Mô phỏng: Kéo hai đầu đoạn.
Mẹo nhớ: Hai biên + điểm tới hạn.
Sai lầm: Chỉ giải f′=0.
Ghi chú: Điểm không khả vi trong miền cũng là ứng viên.
Khoảng mở và miền vô hạn
Hiểu đơn giản: Có thể tiến sát một giá trị nhưng không bao giờ chạm tới.
Dùng giới hạn tại biên và vô cực; phân biệt supremum/infimum với GTLN/GTNN đạt được.
Ví dụ: f=x trên (0;1) không có GTLN, GTNN.
Hình nên dùng: Điểm trống ở hai đầu đồ thị.
Mô phỏng: Đóng/mở đầu mút.
Mẹo nhớ: Có dấu bằng mới xét đạt.
Sai lầm: Lấy lim làm giá trị đạt.
Ghi chú: Phải đọc đúng miền đề bài.
Máy tính và phép kiểm
Hiểu đơn giản: Máy hỗ trợ dò, nhưng lời giải phải khóa đủ ứng viên.
Bảng giá trị không thay thế chứng minh dấu đạo hàm.
Ví dụ: Dò thấy x≈2 rồi giải chính xác f′=0.
Hình nên dùng: Màn hình TABLE cạnh bảng biến thiên.
Mô phỏng: Thay bước nhảy bảng.
Mẹo nhớ: Dò để đoán, đạo hàm để chốt.
Sai lầm: Tin tuyệt đối vào bước nhảy máy.
Ghi chú: Kiểm bằng đồ thị và thay ngược.
Tiệm cận đứng
Hiểu đơn giản: Đồ thị vọt lên hoặc xuống vô hạn khi x tiến sát một đường thẳng đứng.
x=a là TCĐ nếu lim[x→a⁻]f(x)=±∞ hoặc lim[x→a⁺]f(x)=±∞.
Ví dụ: 1/(x−2) có TCĐ x=2.
Hình nên dùng: Hai nhánh bên đường x=a.
Mô phỏng: Kéo x về a từ hai phía.
Mẹo nhớ: Điểm mẫu bằng 0 rồi kiểm giới hạn.
Sai lầm: Không kiểm nhân tử bị khử.
Ghi chú: Một phía vô hạn đã đủ.
Tiệm cận ngang
Hiểu đơn giản: Ở rất xa, độ cao của đồ thị tiến gần một hằng số.
y=b là TCN nếu lim[x→+∞]f(x)=b hoặc lim[x→−∞]f(x)=b.
Ví dụ: (2x+1)/(x−3) có TCN y=2.
Hình nên dùng: Hai đầu đồ thị và đường ngang.
Mô phỏng: Thu phóng miền x lớn.
Mẹo nhớ: Cùng bậc lấy tỉ số hệ số đầu.
Sai lầm: Lấy tỉ số hằng số.
Ghi chú: Hai phía có thể cho hai TCN khác nhau.
Tiệm cận xiên
Hiểu đơn giản: Ở xa, đồ thị chạy song song và áp sát một đường nghiêng.
y=ax+b (a≠0) là TCX nếu f(x)−(ax+b)→0.
Ví dụ: x+1+2/(x−3) có TCX y=x+1.
Hình nên dùng: Đường xiên với khoảng cách đứng co dần.
Mô phỏng: Kéo x ra xa.
Mẹo nhớ: Chia đa thức: phần thương là ứng viên.
Sai lầm: Nhầm với tiếp tuyến tại một điểm.
Ghi chú: Có thể xét riêng +∞ và −∞.
Lỗ hổng và giao điểm
Hiểu đơn giản: Khử được nhân tử có thể tạo một điểm khuyết, không phải vọt vô hạn.
(x²−1)/(x−1)=x+1 với x≠1 có lỗ tại (1;2).
Ví dụ: Đồ thị đường thẳng có điểm trống.
Hình nên dùng: Bật/tắt nhân tử chung.
Mô phỏng: Khử xong vẫn nhớ điểm loại.
Mẹo nhớ: Gọi mọi điểm loại là TCĐ.
Sai lầm: Đồ thị vẫn có thể cắt TCN/TCX ở vị trí hữu hạn.
Ghi chú:
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB ĐẠO HÀM
Đọc đồng thời giá trị, độ dốc, tiếp tuyến và đạo hàm cấp hai
Nhập f(x)=ax³+bx²+cx+d và x₀. Công cụ tính f(x₀), f'(x₀), phương trình tiếp tuyến và f''(x₀) bằng hai lượt đạo hàm.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • C1-NB-04
Đề bài: Khi khảo sát f(x)=x³ − 12x − 2, bước nào phải làm trước khi lập bảng biến thiên?
Phân tích: Luôn khóa miền xác định trước mọi phép biến đổi.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Luôn khóa miền xác định trước mọi phép biến đổi.
- Bước 2: Xác định tập xác định; với đa thức này là ℝ.
- Bước 3: Kết luận Tập xác định ℝ.
Vì sao: Miền xác định quyết định các khoảng được phép khảo sát.
Cách khác: Dùng checklist: miền → giới hạn → đạo hàm → bảng → điểm đặc biệt → đồ thị.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy đạo hàm trước rồi quên điểm loại của hàm hữu tỉ.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • C1-NB-14
Đề bài: Khi khảo sát f(x)=x³ − 27x + 0, bước nào phải làm trước khi lập bảng biến thiên?
Phân tích: Luôn khóa miền xác định trước mọi phép biến đổi.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Luôn khóa miền xác định trước mọi phép biến đổi.
- Bước 2: Xác định tập xác định; với đa thức này là ℝ.
- Bước 3: Kết luận Tập xác định ℝ.
Vì sao: Miền xác định quyết định các khoảng được phép khảo sát.
Cách khác: Dùng checklist: miền → giới hạn → đạo hàm → bảng → điểm đặc biệt → đồ thị.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy đạo hàm trước rồi quên điểm loại của hàm hữu tỉ.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • C1-TH-04
Đề bài: Nêu bốn bước tối thiểu của một bài tối ưu thực tế bằng đạo hàm.
Phân tích: Bắt đầu từ biến và miền, kết thúc bằng diễn giải.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Bắt đầu từ biến và miền, kết thúc bằng diễn giải.
- Bước 2: Đặt biến và đơn vị → lập hàm mục tiêu cùng miền → tìm và so sánh ứng viên → kết luận, kiểm tính hợp lí.
- Bước 3: Kết luận Biến–miền → hàm → tối ưu → kiểm và kết luận.
Vì sao: Đạo hàm chỉ là bước giữa; mô hình và diễn giải quyết định lời giải có đúng thực tế hay không.
Cách khác: Vẽ sơ đồ đại lượng trước khi lập hàm.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Bỏ miền hợp lệ hoặc kết luận một nghiệm không có đơn vị.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • C1-TH-14
Đề bài: Nêu bốn bước tối thiểu của một bài tối ưu thực tế bằng đạo hàm.
Phân tích: Bắt đầu từ biến và miền, kết thúc bằng diễn giải.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Bắt đầu từ biến và miền, kết thúc bằng diễn giải.
- Bước 2: Đặt biến và đơn vị → lập hàm mục tiêu cùng miền → tìm và so sánh ứng viên → kết luận, kiểm tính hợp lí.
- Bước 3: Kết luận Biến–miền → hàm → tối ưu → kiểm và kết luận.
Vì sao: Đạo hàm chỉ là bước giữa; mô hình và diễn giải quyết định lời giải có đúng thực tế hay không.
Cách khác: Vẽ sơ đồ đại lượng trước khi lập hàm.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Bỏ miền hợp lệ hoặc kết luận một nghiệm không có đơn vị.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • C1-VD-04
Đề bài: Một đại lượng P(t) có P'(t)>0 trên (-2;2). Diễn giải kết luận đúng.
Phân tích: Đạo hàm dương nghĩa là đại lượng tăng khi biến độc lập tăng.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Đạo hàm dương nghĩa là đại lượng tăng khi biến độc lập tăng.
- Bước 2: P tăng nghiêm ngặt trên (-2;2).
- Bước 3: Kết luận P tăng trên (-2;2).
Vì sao: Đây là diễn giải tốc độ biến thiên, chưa cho biết P dương hay âm.
Cách khác: So sánh P(t₂) và P(t₁) với -2<t₁<t₂<2.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Kết luận P(t)>0 chỉ vì P'(t)>0.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • C1-VD-14
Đề bài: Một đại lượng P(t) có P'(t)>0 trên (-4;-2). Diễn giải kết luận đúng.
Phân tích: Đạo hàm dương nghĩa là đại lượng tăng khi biến độc lập tăng.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Đạo hàm dương nghĩa là đại lượng tăng khi biến độc lập tăng.
- Bước 2: P tăng nghiêm ngặt trên (-4;-2).
- Bước 3: Kết luận P tăng trên (-4;-2).
Vì sao: Đây là diễn giải tốc độ biến thiên, chưa cho biết P dương hay âm.
Cách khác: So sánh P(t₂) và P(t₁) với -4<t₁<t₂<-2.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Kết luận P(t)>0 chỉ vì P'(t)>0.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • C1-VDC-04
Đề bài: Một mô hình lợi ích có dạng L(x)=(x − 1)² + 5, -2≤x≤5. Nên chọn x nào để lợi ích lớn nhất?
Phân tích: Đây là bài GTLN trên đoạn; dùng đúng miền thực tế.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Đây là bài GTLN trên đoạn; dùng đúng miền thực tế.
- Bước 2: So sánh ba ứng viên cho thấy L lớn nhất bằng 21 tại x=5.
- Bước 3: Kết luận Chọn x=5.
Vì sao: Kết luận thực tế phải kèm giá trị biến và giá trị tối ưu.
Cách khác: Dùng đối xứng parabol rồi kiểm hai biên.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Tìm đỉnh nhưng không kiểm đỉnh có thuộc miền hay không.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • C1-VDC-14
Đề bài: Một mô hình lợi ích có dạng L(x)=(x + 3)² + 1, -7≤x≤-1. Nên chọn x nào để lợi ích lớn nhất?
Phân tích: Đây là bài GTLN trên đoạn; dùng đúng miền thực tế.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Đây là bài GTLN trên đoạn; dùng đúng miền thực tế.
- Bước 2: So sánh ba ứng viên cho thấy L lớn nhất bằng 17 tại x=-7.
- Bước 3: Kết luận Chọn x=-7.
Vì sao: Kết luận thực tế phải kèm giá trị biến và giá trị tối ưu.
Cách khác: Dùng đối xứng parabol rồi kiểm hai biên.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Tìm đỉnh nhưng không kiểm đỉnh có thuộc miền hay không.
09 • Thực tếVí dụ 9 • C1-TT-04
Đề bài: Một cảm biến có sai số E(t)=1/(t+1) với t>0. Đường nào mô tả xu hướng dài hạn của E?
Phân tích: Tính giới hạn khi t→+∞.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Tính giới hạn khi t→+∞.
- Bước 2: lim[t→+∞] E(t)=0, nên E=0 là tiệm cận ngang trong mô hình.
- Bước 3: Kết luận E = 0.
Vì sao: Tiệm cận cho xu hướng tiến gần, không khẳng định đại lượng đạt đúng giá trị đó ở thời gian hữu hạn.
Cách khác: Ước lượng E tại t=10,100,1000 để thấy xu hướng.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Kết luận E(t)=0 với mọi t đủ lớn.
10 • Thực tếVí dụ 10 • C1-TT-14
Đề bài: Một cảm biến có sai số E(t)=2/(t+3) với t>0. Đường nào mô tả xu hướng dài hạn của E?
Phân tích: Tính giới hạn khi t→+∞.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Tính giới hạn khi t→+∞.
- Bước 2: lim[t→+∞] E(t)=0, nên E=0 là tiệm cận ngang trong mô hình.
- Bước 3: Kết luận E = 0.
Vì sao: Tiệm cận cho xu hướng tiến gần, không khẳng định đại lượng đạt đúng giá trị đó ở thời gian hữu hạn.
Cách khác: Ước lượng E tại t=10,100,1000 để thấy xu hướng.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Kết luận E(t)=0 với mọi t đủ lớn.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Tính đơn điệu và cực trị của hàm số trong gia đình
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh tốc độ tăng trưởng, nhiệt độ, doanh thu, độ cao và điều khiển.
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trong trường học
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh chi phí, doanh thu, nhiệt độ, liều lượng, thiết kế và quãng đường.
Đường tiệm cận của đồ thị hàm số trong đời sống
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh bão hòa, sai số cảm biến, chi phí bình quân, nồng độ và tốc độ dài hạn.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trong khoa học
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh đọc xu hướng, thiết kế đường cong, đồ thị kinh tế, chuyển động và mô phỏng.
Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn trong kỹ thuật
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh đóng gói, xây dựng, vận tải, sản xuất, tài chính, y tế và môi trường.
Tính đơn điệu và cực trị của hàm số trong sản xuất
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh tốc độ tăng trưởng, nhiệt độ, doanh thu, độ cao và điều khiển.
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trong thiên nhiên
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh chi phí, doanh thu, nhiệt độ, liều lượng, thiết kế và quãng đường.
Đường tiệm cận của đồ thị hàm số trong nghề nghiệp
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh bão hòa, sai số cảm biến, chi phí bình quân, nồng độ và tốc độ dài hạn.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Dấu đạo hàm và tính đơn điệu theo cách trực quan?
Đạo hàm cho biết đồ thị đang đi lên hay đi xuống khi nhìn từ trái sang phải. Phát biểu chính xác: Nếu f khả vi trên khoảng I: f′(x)>0 trên I ⇒ f đồng biến; f′(x)<0 trên I ⇒ f nghịch biến. Ví dụ: f′=(x−1)(x−3) dương ngoài [1;3], âm ở giữa. Mẹo: Dương lên, âm xuống. Cần tránh: Đổi ngược dấu hoặc lấy cả điểm loại.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Đảo dấu đồng biến–nghịch biến
Đổi ngược dấu hoặc lấy cả điểm loại. Sửa bằng: Dương lên, âm xuống. Kiểm cuối: Kết luận trên từng khoảng thuộc tập xác định.
Kết luận cực trị chỉ từ f′=0
Thiếu giới hạn hoặc sắp mốc sai. Sửa bằng: Miền trước, mốc sau, dấu rồi giá trị. Kiểm cuối: Không nối đồ thị qua điểm không thuộc miền.
Ghép khoảng qua điểm loại
Thấy f′=0 là kết luận. Sửa bằng: Đổi dấu mới chốt cực trị. Kiểm cuối: Phân biệt hoành độ cực trị, điểm cực trị và giá trị cực trị.
Sai dấu tam thức
Nhầm cực trị của f′ với cực trị của f. Sửa bằng: Đọc dấu, không đọc độ cao f′ thành f. Kiểm cuối: Nghiệm bội chẵn thường không làm dấu đổi.
Nhầm điểm cực trị với giá trị cực trị
Đổi ngược dấu hoặc lấy cả điểm loại. Sửa bằng: Dương lên, âm xuống. Kiểm cuối: Kết luận trên từng khoảng thuộc tập xác định.
Đảo dấu đồng biến–nghịch biến – tình huống 6
Thiếu giới hạn hoặc sắp mốc sai. Sửa bằng: Miền trước, mốc sau, dấu rồi giá trị. Kiểm cuối: Không nối đồ thị qua điểm không thuộc miền.
Kết luận cực trị chỉ từ f′=0 – tình huống 7
Thấy f′=0 là kết luận. Sửa bằng: Đổi dấu mới chốt cực trị. Kiểm cuối: Phân biệt hoành độ cực trị, điểm cực trị và giá trị cực trị.
Ghép khoảng qua điểm loại – tình huống 8
Nhầm cực trị của f′ với cực trị của f. Sửa bằng: Đọc dấu, không đọc độ cao f′ thành f. Kiểm cuối: Nghiệm bội chẵn thường không làm dấu đổi.
Sai dấu tam thức – tình huống 9
Đổi ngược dấu hoặc lấy cả điểm loại. Sửa bằng: Dương lên, âm xuống. Kiểm cuối: Kết luận trên từng khoảng thuộc tập xác định.
Nhầm điểm cực trị với giá trị cực trị – tình huống 10
Thiếu giới hạn hoặc sắp mốc sai. Sửa bằng: Miền trước, mốc sau, dấu rồi giá trị. Kiểm cuối: Không nối đồ thị qua điểm không thuộc miền.
Đảo dấu đồng biến–nghịch biến – tình huống 11
Thấy f′=0 là kết luận. Sửa bằng: Đổi dấu mới chốt cực trị. Kiểm cuối: Phân biệt hoành độ cực trị, điểm cực trị và giá trị cực trị.
Kết luận cực trị chỉ từ f′=0 – tình huống 12
Nhầm cực trị của f′ với cực trị của f. Sửa bằng: Đọc dấu, không đọc độ cao f′ thành f. Kiểm cuối: Nghiệm bội chẵn thường không làm dấu đổi.
Ghép khoảng qua điểm loại – tình huống 13
Đổi ngược dấu hoặc lấy cả điểm loại. Sửa bằng: Dương lên, âm xuống. Kiểm cuối: Kết luận trên từng khoảng thuộc tập xác định.
Sai dấu tam thức – tình huống 14
Thiếu giới hạn hoặc sắp mốc sai. Sửa bằng: Miền trước, mốc sau, dấu rồi giá trị. Kiểm cuối: Không nối đồ thị qua điểm không thuộc miền.
Nhầm điểm cực trị với giá trị cực trị – tình huống 15
Thấy f′=0 là kết luận. Sửa bằng: Đổi dấu mới chốt cực trị. Kiểm cuối: Phân biệt hoành độ cực trị, điểm cực trị và giá trị cực trị.
Đảo dấu đồng biến–nghịch biến – tình huống 16
Nhầm cực trị của f′ với cực trị của f. Sửa bằng: Đọc dấu, không đọc độ cao f′ thành f. Kiểm cuối: Nghiệm bội chẵn thường không làm dấu đổi.
Kết luận cực trị chỉ từ f′=0 – tình huống 17
Đổi ngược dấu hoặc lấy cả điểm loại. Sửa bằng: Dương lên, âm xuống. Kiểm cuối: Kết luận trên từng khoảng thuộc tập xác định.
Ghép khoảng qua điểm loại – tình huống 18
Thiếu giới hạn hoặc sắp mốc sai. Sửa bằng: Miền trước, mốc sau, dấu rồi giá trị. Kiểm cuối: Không nối đồ thị qua điểm không thuộc miền.
Sai dấu tam thức – tình huống 19
Thấy f′=0 là kết luận. Sửa bằng: Đổi dấu mới chốt cực trị. Kiểm cuối: Phân biệt hoành độ cực trị, điểm cực trị và giá trị cực trị.
Nhầm điểm cực trị với giá trị cực trị – tình huống 20
Nhầm cực trị của f′ với cực trị của f. Sửa bằng: Đọc dấu, không đọc độ cao f′ thành f. Kiểm cuối: Nghiệm bội chẵn thường không làm dấu đổi.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chẩn đoán 5 phút
Làm ba câu nền và nói thành lời điều kiện của công cụ trước khi học mới.
Chu trình 5–25–10
5 phút gọi nền, 25 phút học một nút, 10 phút làm lại không nhìn lời giải.
Hai biểu diễn
Kiểm công thức bằng bảng biến thiên, đồ thị, hình không gian, bảng dữ liệu hoặc đơn vị.
Phản ví dụ bắt buộc
Mỗi định lí phải đi cùng một trường hợp thiếu điều kiện để tránh học thuộc máy móc.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi lỗi, nguyên nhân và phép tự kiểm; không chép lại toàn bộ lời giải.
Ôn cách quãng 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và qua cổng lại sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Bài tập cuối Chương 11 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Dấu đạo hàm và tính đơn điệuNếu f khả vi trên khoảng I: f′(x)>0 trên I ⇒ f đồng biến; f′(x)<0 trên I ⇒ f nghịch biến. Dương lên, âm xuống.
Bảng biến thiênCác mốc gồm điểm loại, nghiệm f′ và biên miền; dấu f′ quyết định mũi tên của f. Miền trước, mốc sau, dấu rồi giá trị.
Cực trịf′ đổi +→− tại x₀ ⇒ cực đại; −→+ ⇒ cực tiểu. Đổi dấu mới chốt cực trị.
Tham số và dữ kiện đồ thịSố cực trị bằng số lần f′ đổi dấu tại nghiệm hợp lệ. Đọc dấu, không đọc độ cao f′ thành f.
GTLN, GTNN và cực trịM=max_D f khi f(x)≤M với mọi x∈D và tồn tại x₀∈D sao cho f(x₀)=M. Toàn miền mới là lớn nhất–nhỏ nhất.
Quy trình trên đoạnVới f liên tục trên [a;b]: tính f(a), f(b), f(xᵢ) tại nghiệm f′=0 hoặc điểm không khả vi trong (a;b). Hai biên + điểm tới hạn.
Khoảng mở và miền vô hạnDùng giới hạn tại biên và vô cực; phân biệt supremum/infimum với GTLN/GTNN đạt được. Có dấu bằng mới xét đạt.
Máy tính và phép kiểmBảng giá trị không thay thế chứng minh dấu đạo hàm. Dò để đoán, đạo hàm để chốt.
Tiệm cận đứngx=a là TCĐ nếu lim[x→a⁻]f(x)=±∞ hoặc lim[x→a⁺]f(x)=±∞. Điểm mẫu bằng 0 rồi kiểm giới hạn.
Tiệm cận ngangy=b là TCN nếu lim[x→+∞]f(x)=b hoặc lim[x→−∞]f(x)=b. Cùng bậc lấy tỉ số hệ số đầu.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
C1-NB-01Giải phương trình 3x + 2 = 0.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Chuyển hằng số sang vế phải rồi chia cho hệ số của x.
Lời giải: x = -0,6667.
Vì sao: Nghiệm của đạo hàm là mốc cần xét dấu, chưa tự động là điểm cực trị.
Sai ở đâu: Kết luận ngay đây là hoành độ cực trị mà chưa xét dấu.
Cách khác: Thay nghiệm trở lại vế trái để kiểm tra bằng 0.
C1-NB-02Tìm tập xác định của y = (x + 4)/(x − 3).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Mẫu số phải khác 0.
Lời giải: x − 3 ≠ 0 nên tập xác định là ℝ \ {3}.
Vì sao: Điểm làm mẫu bằng 0 phải được loại trước mọi phép biến đổi.
Sai ở đâu: Chỉ xét điều kiện của tử hoặc quên loại điểm làm mẫu bằng 0.
Cách khác: Đánh dấu điểm 3 trên trục số và lấy hai khoảng còn lại.
C1-NB-03Tính đạo hàm của f(x) = 5x² − 3x + 1.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đạo hàm từng hạng; hằng số có đạo hàm bằng 0.
Lời giải: f'(x) = 10x − 3.
Vì sao: Quy tắc lũy thừa hạ số mũ xuống làm hệ số rồi giảm số mũ đi 1.
Sai ở đâu: Đạo hàm x² thành x hoặc giữ nguyên hằng số 1.
Cách khác: Kiểm bằng tỉ số sai phân tại một điểm đơn giản.
C1-NB-04Khi khảo sát f(x)=x³ − 12x − 2, bước nào phải làm trước khi lập bảng biến thiên?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Luôn khóa miền xác định trước mọi phép biến đổi.
Lời giải: Xác định tập xác định; với đa thức này là ℝ.
Vì sao: Miền xác định quyết định các khoảng được phép khảo sát.
Sai ở đâu: Lấy đạo hàm trước rồi quên điểm loại của hàm hữu tỉ.
Cách khác: Dùng checklist: miền → giới hạn → đạo hàm → bảng → điểm đặc biệt → đồ thị.
C1-NB-05Hình chữ nhật có chu vi 32. Gọi một cạnh là x. Viết diện tích theo x.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tổng hai cạnh là 16.
Lời giải: Cạnh kia là 16−x; S(x)=x(16−x), với 0<x<16.
Vì sao: Miền của x đến từ điều kiện hai cạnh đều dương.
Sai ở đâu: Viết cạnh kia bằng chu vi trừ x hoặc bỏ miền.
Cách khác: Dùng phương trình 2x+2y=32.
C1-NB-06Cho f'(x) = (x + 4)(x + 2). Tìm các khoảng đồng biến.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lập bảng dấu qua hai nghiệm của đạo hàm và lấy nơi f'(x)>0.
Lời giải: Hàm số đồng biến trên (-∞; -4) và (-2; +∞).
Vì sao: Khoảng đơn điệu là khoảng mở; không ghép hai khoảng qua điểm đạo hàm đổi dấu.
Sai ở đâu: Lấy nơi f'<0 hoặc viết dấu ngoặc vuông tại mốc.
Cách khác: Dùng quy tắc dấu tam thức bậc hai theo hệ số đầu.
C1-NB-07Tìm giá trị lớn nhất của f(x)=−(x − 0)² + 3 trên [-3;3].
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính tại mọi ứng viên rồi lấy giá trị lớn nhất.
Lời giải: Các giá trị ứng viên: -6, 3, -6. GTLN là 3, đạt tại x=0.
Vì sao: Đoạn không đối xứng nên hai đầu mút có thể cho giá trị khác nhau.
Sai ở đâu: Chỉ nhìn hệ số của x² rồi bỏ miền khảo sát.
Cách khác: So khoảng cách từ hai đầu mút tới trục đối xứng.
C1-NB-08Với y=3x + 1 + 3/(x − 1), tìm tiệm cận đứng.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Xét điểm làm mẫu của phần phân thức bằng 0.
Lời giải: Khi x→1, 3/(x−1) không bị chặn; tiệm cận đứng là x=1.
Vì sao: Một đồ thị có thể đồng thời có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.
Sai ở đâu: Cho rằng đã có tiệm cận xiên thì không có tiệm cận đứng.
Cách khác: Tách phần đa thức hữu hạn và phần phân thức gây vô hạn.
C1-NB-09Khi khảo sát f(x)=x³ − 3x − 1, bước nào phải làm trước khi lập bảng biến thiên?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Luôn khóa miền xác định trước mọi phép biến đổi.
Lời giải: Xác định tập xác định; với đa thức này là ℝ.
Vì sao: Miền xác định quyết định các khoảng được phép khảo sát.
Sai ở đâu: Lấy đạo hàm trước rồi quên điểm loại của hàm hữu tỉ.
Cách khác: Dùng checklist: miền → giới hạn → đạo hàm → bảng → điểm đặc biệt → đồ thị.
C1-NB-10Hình chữ nhật có chu vi 20. Gọi một cạnh là x. Viết diện tích theo x.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tổng hai cạnh là 10.
Lời giải: Cạnh kia là 10−x; S(x)=x(10−x), với 0<x<10.
Vì sao: Miền của x đến từ điều kiện hai cạnh đều dương.
Sai ở đâu: Viết cạnh kia bằng chu vi trừ x hoặc bỏ miền.
Cách khác: Dùng phương trình 2x+2y=20.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
[C1-NB-01] Giải phương trình 3x + 2 = 0.
BA DẠNG TRẮC NGHIỆM HIỆN HÀNH
Cùng một bản chất, ba cách kiểm tra năng lực
Định dạng ôn tốt nghiệp gồm nhiều lựa chọn, đúng–sai bốn ý và trả lời ngắn; tự luận phía sau dùng để học sâu, không gắn sai nhãn thành cấu trúc đề thi.
Nhiều lựa chọn
50 câu tự chấm ngay phía trên; phương án nhiễu xuất phát từ lỗi điều kiện, dấu, thứ tự hoặc thiếu ứng viên.
Chọn đáp án rồi đọc giải thích và ghi lỗi.Đúng–sai bốn ý
Một cụm mẫu dùng chung bối cảnh “Bài tập cuối Chương 1”:
- a) Nếu f khả vi trên khoảng I: f′(x)>0 trên I ⇒ f đồng biến; f′(x)<0 trên I ⇒ f nghịch biến.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Đạo hàm cho biết đồ thị đang đi lên hay đi xuống khi nhìn từ trái sang phải. Ví dụ kiểm chứng: f′=(x−1)(x−3) dương ngoài [1;3], âm ở giữa.
- b) Các mốc gồm điểm loại, nghiệm f′ và biên miền; dấu f′ quyết định mũi tên của f.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Đó là bản đồ nén của miền, mốc, dấu đạo hàm và giá trị hàm. Ví dụ kiểm chứng: f′ đổi +,−,+ cho bảng tăng–giảm–tăng.
- c) f′ đổi +→− tại x₀ ⇒ cực đại; −→+ ⇒ cực tiểu.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Cực trị là đỉnh hoặc đáy cục bộ, không nhất thiết cao nhất hay thấp nhất toàn miền. Ví dụ kiểm chứng: f=x³ có f′(0)=0 nhưng không có cực trị tại 0.
- d) Số cực trị bằng số lần f′ đổi dấu tại nghiệm hợp lệ.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Tham số thay vị trí các mốc; đồ thị f′ có thể cho trực tiếp dấu của f′. Ví dụ kiểm chứng: Đồ thị f′ cắt trục hoành từ âm lên dương tạo cực tiểu của f.
Trả lời ngắn
Tự lập mô hình và điền kết quả, không có phương án gợi ý:
- Giải phương trình 3x − 1 = 0.
Đáp án
x = 0,3333
- Tìm tập xác định của y = (x + 4)/(x − 3).
Đáp án
ℝ \ {3}
- Tính đạo hàm của f(x) = 5x² + 1x + 1.
Đáp án
10x + 1
- Một mô hình lợi ích có dạng L(x)=(x − 1)² + 5, -2≤x≤5. Nên chọn x nào để lợi ích lớn nhất?
Đáp án
Chọn x=5
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Giải phương trình 3x + 2 = 0.
Gợi ý: Chuyển hằng số sang vế phải rồi chia cho hệ số của x.
Lời giải: x = -0,6667.
Giải thích: Nghiệm của đạo hàm là mốc cần xét dấu, chưa tự động là điểm cực trị.
Lỗi cần tránh: Kết luận ngay đây là hoành độ cực trị mà chưa xét dấu.
Cách khác: Thay nghiệm trở lại vế trái để kiểm tra bằng 0.
TỰ LUẬN 2Cho f'(x) = (x + 4)(x + 2). Tìm các khoảng đồng biến.
Gợi ý: Lập bảng dấu qua hai nghiệm của đạo hàm và lấy nơi f'(x)>0.
Lời giải: Hàm số đồng biến trên (-∞; -4) và (-2; +∞).
Giải thích: Khoảng đơn điệu là khoảng mở; không ghép hai khoảng qua điểm đạo hàm đổi dấu.
Lỗi cần tránh: Lấy nơi f'<0 hoặc viết dấu ngoặc vuông tại mốc.
Cách khác: Dùng quy tắc dấu tam thức bậc hai theo hệ số đầu.
TỰ LUẬN 3Cho f'(x) = −(x + 3)(x − 1). Tìm các khoảng đồng biến.
Gợi ý: Lập bảng dấu qua hai nghiệm của đạo hàm và lấy nơi f'(x)>0.
Lời giải: Hàm số đồng biến trên (-3; 1).
Giải thích: Khoảng đơn điệu là khoảng mở; không ghép hai khoảng qua điểm đạo hàm đổi dấu.
Lỗi cần tránh: Lấy nơi f'<0 hoặc viết dấu ngoặc vuông tại mốc.
Cách khác: Dùng quy tắc dấu tam thức bậc hai theo hệ số đầu.
TỰ LUẬN 4Cho f'(x) = (x + 2)(x − 1). Tìm các khoảng đồng biến.
Gợi ý: Lập bảng dấu qua hai nghiệm của đạo hàm và lấy nơi f'(x)>0.
Lời giải: Hàm số đồng biến trên (-∞; -2) và (1; +∞).
Giải thích: Khoảng đơn điệu là khoảng mở; không ghép hai khoảng qua điểm đạo hàm đổi dấu.
Lỗi cần tránh: Lấy nơi f'<0 hoặc viết dấu ngoặc vuông tại mốc.
Cách khác: Dùng quy tắc dấu tam thức bậc hai theo hệ số đầu.
TỰ LUẬN 5Tính đạo hàm của f(x) = 3x² + 1x + 1.
Gợi ý: Đạo hàm từng hạng; hằng số có đạo hàm bằng 0.
Lời giải: f'(x) = 6x + 1.
Giải thích: Quy tắc lũy thừa hạ số mũ xuống làm hệ số rồi giảm số mũ đi 1.
Lỗi cần tránh: Đạo hàm x² thành x hoặc giữ nguyên hằng số 1.
Cách khác: Kiểm bằng tỉ số sai phân tại một điểm đơn giản.
TỰ LUẬN 6Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x)=(x + 2)² + 1 trên [-6;0].
Gợi ý: Tính f tại hai đầu mút và đỉnh rồi so sánh.
Lời giải: Các giá trị ứng viên: 17, 1, 5. GTNN là 1, đạt tại x=-2.
Giải thích: So sánh giá trị hàm, không so sánh hoành độ.
Lỗi cần tránh: Gọi giá trị tại đỉnh là nhỏ nhất cho mọi parabol, kể cả parabol quay xuống.
Cách khác: Dùng hình dạng parabol để dự đoán rồi kiểm bằng số.
TỰ LUẬN 7Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x)=−(x − 3)² + 3 trên [0;6].
Gợi ý: Tính f tại hai đầu mút và đỉnh rồi so sánh.
Lời giải: Các giá trị ứng viên: -6, 3, -6. GTNN là -6, đạt tại x=0.
Giải thích: So sánh giá trị hàm, không so sánh hoành độ.
Lỗi cần tránh: Gọi giá trị tại đỉnh là nhỏ nhất cho mọi parabol, kể cả parabol quay xuống.
Cách khác: Dùng hình dạng parabol để dự đoán rồi kiểm bằng số.
TỰ LUẬN 8Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x)=(x − 1)² + 5 trên [-1;5].
Gợi ý: Tính f tại hai đầu mút và đỉnh rồi so sánh.
Lời giải: Các giá trị ứng viên: 9, 5, 21. GTNN là 5, đạt tại x=1.
Giải thích: So sánh giá trị hàm, không so sánh hoành độ.
Lỗi cần tránh: Gọi giá trị tại đỉnh là nhỏ nhất cho mọi parabol, kể cả parabol quay xuống.
Cách khác: Dùng hình dạng parabol để dự đoán rồi kiểm bằng số.
TỰ LUẬN 9Tìm tập xác định của y = (x + 3)/(x − 6).
Gợi ý: Mẫu số phải khác 0.
Lời giải: x − 6 ≠ 0 nên tập xác định là ℝ \ {6}.
Giải thích: Điểm làm mẫu bằng 0 phải được loại trước mọi phép biến đổi.
Lỗi cần tránh: Chỉ xét điều kiện của tử hoặc quên loại điểm làm mẫu bằng 0.
Cách khác: Đánh dấu điểm 6 trên trục số và lấy hai khoảng còn lại.
TỰ LUẬN 10Tìm tiệm cận ngang của y=(2x + 8)/(x + 3).
Gợi ý: Tử và mẫu cùng bậc nên lấy tỉ số hệ số dẫn đầu.
Lời giải: lim[x→±∞] y = 2; tiệm cận ngang là y=2.
Giải thích: Hạng phân thức còn lại tiến về 0 khi |x| lớn.
Lỗi cần tránh: Lấy tỉ số hằng số b/d.
Cách khác: Viết y=2+2/(x+3) rồi cho x→±∞.
TỰ LUẬN 11Tìm tiệm cận ngang của y=(2x + 3)/(x + 1).
Gợi ý: Tử và mẫu cùng bậc nên lấy tỉ số hệ số dẫn đầu.
Lời giải: lim[x→±∞] y = 2; tiệm cận ngang là y=2.
Giải thích: Hạng phân thức còn lại tiến về 0 khi |x| lớn.
Lỗi cần tránh: Lấy tỉ số hằng số b/d.
Cách khác: Viết y=2+1/(x+1) rồi cho x→±∞.
TỰ LUẬN 12Tìm tiệm cận ngang của y=(2x + 13)/(x + 5).
Gợi ý: Tử và mẫu cùng bậc nên lấy tỉ số hệ số dẫn đầu.
Lời giải: lim[x→±∞] y = 2; tiệm cận ngang là y=2.
Giải thích: Hạng phân thức còn lại tiến về 0 khi |x| lớn.
Lỗi cần tránh: Lấy tỉ số hằng số b/d.
Cách khác: Viết y=2+3/(x+5) rồi cho x→±∞.
TỰ LUẬN 13Giải phương trình 3x − 1 = 0.
Gợi ý: Chuyển hằng số sang vế phải rồi chia cho hệ số của x.
Lời giải: x = 0,3333.
Giải thích: Nghiệm của đạo hàm là mốc cần xét dấu, chưa tự động là điểm cực trị.
Lỗi cần tránh: Kết luận ngay đây là hoành độ cực trị mà chưa xét dấu.
Cách khác: Thay nghiệm trở lại vế trái để kiểm tra bằng 0.
TỰ LUẬN 14Tìm tọa độ hai điểm cực trị của f(x)=x³ − 3x − 4.
Gợi ý: Tìm x từ f'=0 rồi thay trở lại f.
Lời giải: f(−1)=-2, f(1)=-6. Hai điểm cực trị là (−1;-2) và (1;-6).
Giải thích: Với hệ số x³ dương, điểm bên trái là cực đại và điểm bên phải là cực tiểu.
Lỗi cần tránh: Chỉ ghi hoành độ mà gọi là tọa độ điểm cực trị.
Cách khác: Dùng tính lẻ của phần x³−3a²x rồi dịch đứng c.
TỰ LUẬN 15Tìm tọa độ hai điểm cực trị của f(x)=x³ − 27x − 3.
Gợi ý: Tìm x từ f'=0 rồi thay trở lại f.
Lời giải: f(−3)=51, f(3)=-57. Hai điểm cực trị là (−3;51) và (3;-57).
Giải thích: Với hệ số x³ dương, điểm bên trái là cực đại và điểm bên phải là cực tiểu.
Lỗi cần tránh: Chỉ ghi hoành độ mà gọi là tọa độ điểm cực trị.
Cách khác: Dùng tính lẻ của phần x³−3a²x rồi dịch đứng c.
TỰ LUẬN 16Tìm tọa độ hai điểm cực trị của f(x)=x³ − 12x − 2.
Gợi ý: Tìm x từ f'=0 rồi thay trở lại f.
Lời giải: f(−2)=14, f(2)=-18. Hai điểm cực trị là (−2;14) và (2;-18).
Giải thích: Với hệ số x³ dương, điểm bên trái là cực đại và điểm bên phải là cực tiểu.
Lỗi cần tránh: Chỉ ghi hoành độ mà gọi là tọa độ điểm cực trị.
Cách khác: Dùng tính lẻ của phần x³−3a²x rồi dịch đứng c.
TỰ LUẬN 17Tính đạo hàm của f(x) = 3x² − 2x + 1.
Gợi ý: Đạo hàm từng hạng; hằng số có đạo hàm bằng 0.
Lời giải: f'(x) = 6x − 2.
Giải thích: Quy tắc lũy thừa hạ số mũ xuống làm hệ số rồi giảm số mũ đi 1.
Lỗi cần tránh: Đạo hàm x² thành x hoặc giữ nguyên hằng số 1.
Cách khác: Kiểm bằng tỉ số sai phân tại một điểm đơn giản.
TỰ LUẬN 18Tìm kích thước hình chữ nhật có chu vi 36 để diện tích lớn nhất.
Gợi ý: Xét S(x)=x(18−x).
Lời giải: S'(x)=18−2x=0 khi x=9; cạnh còn lại cũng bằng 9. Diện tích lớn nhất 81.
Giải thích: Trong các hình chữ nhật cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Lỗi cần tránh: Tìm nghiệm đạo hàm nhưng không kiểm miền hoặc không nêu đơn vị.
Cách khác: Hoàn thành bình phương S=−(x−9)²+81.
TỰ LUẬN 19Tìm kích thước hình chữ nhật có chu vi 24 để diện tích lớn nhất.
Gợi ý: Xét S(x)=x(12−x).
Lời giải: S'(x)=12−2x=0 khi x=6; cạnh còn lại cũng bằng 6. Diện tích lớn nhất 36.
Giải thích: Trong các hình chữ nhật cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Lỗi cần tránh: Tìm nghiệm đạo hàm nhưng không kiểm miền hoặc không nêu đơn vị.
Cách khác: Hoàn thành bình phương S=−(x−6)²+36.
TỰ LUẬN 20Tìm kích thước hình chữ nhật có chu vi 44 để diện tích lớn nhất.
Gợi ý: Xét S(x)=x(22−x).
Lời giải: S'(x)=22−2x=0 khi x=11; cạnh còn lại cũng bằng 11. Diện tích lớn nhất 121.
Giải thích: Trong các hình chữ nhật cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Lỗi cần tránh: Tìm nghiệm đạo hàm nhưng không kiểm miền hoặc không nêu đơn vị.
Cách khác: Hoàn thành bình phương S=−(x−11)²+121.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: C1-NB-01, C1-NB-02, C1-NB-03, C1-NB-04, C1-NB-05, C1-NB-06, C1-NB-07, C1-NB-08, C1-NB-09, C1-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- C1-NB-01: x = -0,6667
- C1-NB-02: ℝ \ {3}
- C1-NB-03: 10x − 3
- C1-NB-04: Tập xác định ℝ
- C1-NB-05: S(x)=x(16−x), 0<x<16
- C1-NB-06: (-∞; -4) và (-2; +∞)
- C1-NB-07: 3 tại x=0
- C1-NB-08: x = 1
- C1-NB-09: Tập xác định ℝ
- C1-NB-10: S(x)=x(10−x), 0<x<10
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 1
10 câu đại diện: C1-NB-11, C1-NB-12, C1-NB-13, C1-NB-14, C1-NB-15, C1-NB-16, C1-NB-17, C1-NB-18, C1-NB-19, C1-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- C1-NB-11: (-3; 1)
- C1-NB-12: 21 tại x=2
- C1-NB-13: x = 1
- C1-NB-14: Tập xác định ℝ
- C1-NB-15: S(x)=x(20−x), 0<x<20
- C1-NB-16: (-∞; -2) và (1; +∞)
- C1-NB-17: 7 tại x=3
- C1-NB-18: x = 1
- C1-NB-19: Tập xác định ℝ
- C1-NB-20: S(x)=x(14−x), 0<x<14
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: C1-TH-01, C1-TH-02, C1-TH-03, C1-TH-04, C1-TH-05, C1-TH-06, C1-TH-07, C1-TH-08, C1-TH-09, C1-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- C1-TH-01: 6x + 1
- C1-TH-02: x = -0,5
- C1-TH-03: ℝ \ {6}
- C1-TH-04: Biến–miền → hàm → tối ưu → kiểm và kết luận
- C1-TH-05: Âm
- C1-TH-06: 1 tại x=-2
- C1-TH-07: y = 2x + 0
- C1-TH-08: Lên 2 đơn vị
- C1-TH-09: Biến–miền → hàm → tối ưu → kiểm và kết luận
- C1-TH-10: Dương
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: C1-TH-11, C1-TH-12, C1-TH-13, C1-TH-14, C1-TH-15, C1-TH-16, C1-TH-17, C1-TH-18, C1-TH-19, C1-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- C1-TH-11: -6 tại x=0
- C1-TH-12: y = 3x + 0
- C1-TH-13: Lên 2 đơn vị
- C1-TH-14: Biến–miền → hàm → tối ưu → kiểm và kết luận
- C1-TH-15: Âm
- C1-TH-16: 5 tại x=1
- C1-TH-17: y = 4x + 0
- C1-TH-18: Lên 2 đơn vị
- C1-TH-19: Biến–miền → hàm → tối ưu → kiểm và kết luận
- C1-TH-20: Dương
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề ôn tốt nghiệp tổng hợp
10 câu đại diện: C1-VD-01, C1-VD-02, C1-VD-03, C1-VD-04, C1-VD-05, C1-VD-06, C1-VD-07, C1-VD-08, C1-VD-09, C1-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- C1-VD-01: ℝ \ {6}
- C1-VD-02: 8x + 1
- C1-VD-03: x = -0,4
- C1-VD-04: P tăng trên (-2;2)
- C1-VD-05: 1; 3; 4
- C1-VD-06: y = 2
- C1-VD-07: Tăng: (−∞;−3), (3;+∞); giảm: (−3;3)
- C1-VD-08: v(t)=−3t²+24t+30
- C1-VD-09: P tăng trên (-1;2)
- C1-VD-10: -3; 1; 3
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi phiên 40–55 phút; yêu cầu con nêu điều kiện và dự đoán dấu, đơn vị trước khi tính.
- Không hỏi “đáp án bao nhiêu” trước; hỏi “vì sao chọn công cụ này” và “kiểm bằng cách nào”.
- Theo dõi ba lỗi lặp gần nhất, không gây áp lực bằng số câu đã làm.
- Một tuần nên có một phiên 90 phút mô phỏng và một phiên chữa sâu.
- Mở bài bằng một bối cảnh hoặc phản ví dụ có thể kiểm chứng.
- Chấm theo năm mốc: mô hình–điều kiện–công thức–tính toán–diễn giải.
- Trộn đúng 15% nền trực tiếp; không lấy câu cũ ngẫu nhiên chỉ để đủ tỉ lệ.
- Đề định hướng Hà Nội phải ghi rõ là nội bộ tham khảo và có đủ ba dạng trắc nghiệm hiện hành.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.