Biến dữ kiện thành quyết định
Bài học giúp mô hình hóa lực, vận tốc, robot, drone, kết cấu, đồ họa và định vị bằng công cụ có thể kiểm chứng.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- AB+BC=AC trong cả mặt phẳng và không gian.
- u−v=u+(−v).
- k>0 giữ hướng; k<0 đảo hướng.
Bài 6. Vectơ trong không gian
Nhận biết vectơ trong không gian, thực hiện tổng–hiệu, tích với số, dùng quy tắc hình hộp và biểu diễn vectơ qua ba hướng không đồng phẳng.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Biết đọc dữ kiện, nêu điều kiện, thực hiện và giải thích kết quả.
Gọi đúng nền
Kích hoạt vectơ phẳng lớp 10 và quan hệ không gian lớp 11 rồi chuẩn bị cho Bài 7. Hệ trục tọa độ trong không gian.
Ba dạng, một bản chất
Luyện nhiều lựa chọn, đúng–sai và trả lời ngắn trên cùng một mạch suy luận.
- Nhận biết vectơ cùng phương, cùng hướng và bằng nhau.
- Dùng quy tắc ba điểm, hình bình hành và hình hộp.
- Thực hiện tổ hợp tuyến tính vectơ.
- Biểu diễn vectơ theo ba hướng không đồng phẳng.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Vectơ phẳng lớp 10 và quan hệ không gian lớp 11.
- Viết tập xác định, đối tượng hoặc đơn vị trước phép tính.
- Dự đoán dấu, độ lớn hoặc hình dạng của kết quả.
- Kiểm bằng biểu diễn thứ hai và giải thích bằng lời.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Vectơ và các quan hệ
Hiểu đơn giản: Vectơ là mũi tên có hướng; có thể trượt song song mà không đổi.
Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài.
Ví dụ: Các cạnh song song cùng hướng của hình hộp cho vectơ bằng nhau.
Hình nên dùng: Mô hình hình hộp xoay được.
Mô phỏng: Kéo thả vectơ song song.
Mẹo nhớ: Hướng + độ dài.
Sai lầm: Chỉ so độ dài.
Ghi chú: Vectơ không có điểm đặt cố định trong mô hình tự do.
Tổng và hiệu
Hiểu đơn giản: Ghép đầu–đuôi để đi từ điểm đầu tới điểm cuối.
AB+BC=AC; u−v=u+(−v).
Ví dụ: AB+BC+CD=AD.
Hình nên dùng: Đường gấp khúc 3D.
Mô phỏng: Kéo điểm trung gian.
Mẹo nhớ: Đầu sau nối đuôi trước.
Sai lầm: Dùng CB thay BC.
Ghi chú: Quy tắc hình bình hành vẫn đúng.
Tích với một số
Hiểu đơn giản: Kéo dài, thu ngắn hoặc đảo hướng một vectơ.
|ku|=|k||u|; k>0 cùng hướng, k<0 ngược hướng.
Ví dụ: v=−2u ngược hướng và dài gấp đôi.
Hình nên dùng: Thanh trượt k từ âm qua 0 đến dương.
Mô phỏng: Thay k.
Mẹo nhớ: Dấu quyết định hướng, trị tuyệt đối quyết định độ dài.
Sai lầm: Cho rằng độ dài bằng k|u| khi k âm.
Ghi chú: k=0 cho vectơ không.
Quy tắc hình hộp
Hiểu đơn giản: Đường chéo không gian gom ba bước theo ba cạnh.
AC′=AB+AD+AA′ trong hình hộp ABCD.A′B′C′D′.
Ví dụ: Đi A→B→C→C′.
Hình nên dùng: Hình hộp trong suốt.
Mô phỏng: Bật từng thành phần.
Mẹo nhớ: Ba cạnh cùng gốc tạo đường chéo.
Sai lầm: Chỉ cộng hai cạnh đáy.
Ghi chú: Đây là cầu nối trực tiếp sang tọa độ Oxyz.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB TỌA ĐỘ VECTƠ
Điểm cuối trừ điểm đầu
Nhập A, B; công cụ tính AB⃗, độ dài AB và trung điểm M.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B6-NB-04
Đề bài: Cho ba điểm A, B, C. Hoàn thành hệ thức vectơ theo quy tắc ba điểm.
Phân tích: Đi từ A đến B rồi từ B đến C tương đương đi thẳng từ A đến C.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Đi từ A đến B rồi từ B đến C tương đương đi thẳng từ A đến C.
- Bước 2: AB + BC = AC.
- Bước 3: Kết luận AB + BC = AC.
Vì sao: Quy tắc ba điểm đúng trong mặt phẳng lẫn không gian.
Cách khác: Đọc chuỗi hành trình A→B→C.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Viết AB+CB hoặc đổi sai hướng của vectơ thứ hai.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B6-NB-01
Đề bài: Trong mặt phẳng, cho A(-3;2), B(4;2). Tìm vectơ AB.
Phân tích: Lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- AB = (7; 0).
Vì sao: Vectơ AB mang hướng từ A đến B nên phải lấy B − A.
Cách khác: Cộng vectơ kết quả với tọa độ A để phải thu được B.
Tự kiểm: Kết quả: (7; 0). Lấy A − B nên thu được vectơ BA.
03 • Vận dụngVí dụ 3 • B6-TH-04
Đề bài: Trong Oxyz, cho A(-2; 2; -1) và M(-1; 5; 0) là trung điểm của AB. Tính OB², với O là gốc tọa độ.
Phân tích: Từ M = (A + B)/2, suy ra B = 2M − A theo từng tọa độ.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Từ M = (A + B)/2, suy ra B = 2M − A theo từng tọa độ. B = (0; 8; 1); do đó OB² = 0² + 8² + 1² = 65.
Vì sao: Từ M = (A + B)/2, suy ra B = 2M − A theo từng tọa độ. B = (0; 8; 1); do đó OB² = 0² + 8² + 1² = 65.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 65. Dùng luôn tọa độ M để tính OB hoặc quên bình phương các tọa độ của B.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B6-NB-09
Đề bài: Tính độ dài của vectơ u = (3; 4; 0).
Phân tích: |u| = √[(3)² + (4)² + 0²].
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- |u| = √[(3)² + (4)² + 0²]. Dùng bộ ba 3–4–5: |u| = 1√(3² + 4²) = 5.
Vì sao: |u| = √[(3)² + (4)² + 0²]. Dùng bộ ba 3–4–5: |u| = 1√(3² + 4²) = 5.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 5. Cộng trực tiếp các tọa độ hoặc quên lấy căn bậc hai.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B6-VD-04
Đề bài: Trong hình bình hành ABCD, A(0;1;0), B(2;1;1), D(1;3;0). Tính AC².
Phân tích: C=B+D−A=(3;3;1), nên AC=(3;2;1) và AC²=9+4+1=14.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- C=B+D−A=(3;3;1), nên AC=(3;2;1) và AC²=9+4+1=14. Vậy kết quả cần chọn là 14.
Vì sao: C=B+D−A=(3;3;1), nên AC=(3;2;1) và AC²=9+4+1=14. Vậy kết quả cần chọn là 14.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 14. Nhầm AC=AB+AD với BD=AD−AB khi tính độ dài hoặc tích vô hướng.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B6-NB-11
Đề bài: ABCD là hình bình hành với A(3; 4; 1), B(5; 6; 2), D(2; 7; 3). Tính OC², trong đó O là gốc tọa độ.
Phân tích: Trong hình bình hành, C = B + D − A theo từng tọa độ.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Trong hình bình hành, C = B + D − A theo từng tọa độ. Suy ra C = (4; 9; 4); do đó OC² = 4² + 9² + 4² = 113.
Vì sao: Trong hình bình hành, C = B + D − A theo từng tọa độ. Suy ra C = (4; 9; 4); do đó OC² = 4² + 9² + 4² = 113.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 113. Quên trừ A khi tìm C hoặc tính OC bằng tổng tọa độ thay vì tổng bình phương.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B6-VDC-04
Đề bài: Tam giác OAB vuông tại O, OA=3, OB=6. M chạy trên đoạn AB. Tìm giá trị nhỏ nhất OM² bằng cách biểu diễn OM theo OA,OB và chứng minh dấu bằng đạt trên đoạn.
Phân tích: Đặt AM=tAB, 0≤t≤1
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Đặt AM=tAB, 0≤t≤1. Theo quy tắc ba điểm, OM=(1−t)OA+tOB. Vì OA vuông góc OB, OM²=9(1−t)²+36t²=45(t−1/5)²+36/5. Dấu bằng đạt tại t=1/5 thuộc đoạn, nên giá trị nhỏ nhất là 36/5.
Vì sao: Đặt AM=tAB, 0≤t≤1. Theo quy tắc ba điểm, OM=(1−t)OA+tOB. Vì OA vuông góc OB, OM²=9(1−t)²+36t²=45(t−1/5)²+36/5. Dấu bằng đạt tại t=1/5 thuộc đoạn, nên giá trị nhỏ nhất là 36/5.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 36/5. Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • B6-VDC-05
Đề bài: Cho |u|=3, |v|=6, u·v=9. Tìm giá trị thực t làm |u+tv|² nhỏ nhất rồi tính giá trị nhỏ nhất. Chỉ điền giá trị nhỏ nhất.
Phân tích: Khai triển được |u+tv|²=36t²+18t+9=36(t+1/4)²+27/4
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Khai triển được |u+tv|²=36t²+18t+9=36(t+1/4)²+27/4. Bình phương không âm và bằng 0 tại t=−1/4. Vậy giá trị nhỏ nhất là 27/4; không được tối ưu riêng từng tọa độ hay lấy tổng hai độ dài.
Vì sao: Khai triển được |u+tv|²=36t²+18t+9=36(t+1/4)²+27/4. Bình phương không âm và bằng 0 tại t=−1/4. Vậy giá trị nhỏ nhất là 27/4; không được tối ưu riêng từng tọa độ hay lấy tổng hai độ dài.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 27/4. Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
09 • Vận dụngVí dụ 9 • B6-TT-04
Đề bài: Đường thẳng có chỉ phương u=(1;0;0), (P): x+2y+2z=0. Sin của góc giữa đường và (P) bằng bao nhiêu?
Phân tích: Pháp tuyến của (P) là n=(1;2;2), có độ dài 3; |u|=1.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Pháp tuyến của (P) là n=(1;2;2), có độ dài 3; |u|=1. sin góc đường–mặt bằng |u·n|/(|u||n|)=1/3.
Vì sao: Pháp tuyến của (P) là n=(1;2;2), có độ dài 3; |u|=1. sin góc đường–mặt bằng |u·n|/(|u||n|)=1/3.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 1/3. Dùng cos góc với pháp tuyến làm cos góc với mặt phẳng.
10 • Vận dụngVí dụ 10 • B6-TT-14
Đề bài: Trong Oxyz, u=(1;1;0), v=(1;−1;0). Vectơ nào vuông góc với cả u và v?
Phân tích: (0;0;1) có tích vô hướng với cả u và v bằng 0; các vectơ còn lại không đồng thời vuông góc cả hai.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- (0;0;1) có tích vô hướng với cả u và v bằng 0; các vectơ còn lại không đồng thời vuông góc cả hai.
Vì sao: (0;0;1) có tích vô hướng với cả u và v bằng 0; các vectơ còn lại không đồng thời vuông góc cả hai.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: (0; 0; 1). Chỉ kiểm tra vuông góc với một trong hai vectơ.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua vectơ trong không gian
Tình huống 1 dùng lực, vận tốc, robot, drone, kết cấu, đồ họa và định vị; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Trường học qua vectơ trong không gian
Tình huống 2 dùng lực, vận tốc, robot, drone, kết cấu, đồ họa và định vị; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua vectơ trong không gian
Tình huống 3 dùng lực, vận tốc, robot, drone, kết cấu, đồ họa và định vị; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua vectơ trong không gian
Tình huống 4 dùng lực, vận tốc, robot, drone, kết cấu, đồ họa và định vị; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua vectơ trong không gian
Tình huống 5 dùng lực, vận tốc, robot, drone, kết cấu, đồ họa và định vị; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua vectơ trong không gian
Tình huống 6 dùng lực, vận tốc, robot, drone, kết cấu, đồ họa và định vị; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua vectơ trong không gian
Tình huống 7 dùng lực, vận tốc, robot, drone, kết cấu, đồ họa và định vị; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua vectơ trong không gian
Tình huống 8 dùng lực, vận tốc, robot, drone, kết cấu, đồ họa và định vị; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Vectơ và các quan hệ theo cách trực quan?
Vectơ là mũi tên có hướng; có thể trượt song song mà không đổi. Phát biểu chính xác: Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài. Ví dụ: Các cạnh song song cùng hướng của hình hộp cho vectơ bằng nhau. Mẹo: Hướng + độ dài. Cần tránh: Chỉ so độ dài.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Đảo hướng vectơ
Chỉ so độ dài. Sửa bằng: Hướng + độ dài. Kiểm cuối: Vectơ không có điểm đặt cố định trong mô hình tự do.
Cộng các đoạn không nối tiếp
Dùng CB thay BC. Sửa bằng: Đầu sau nối đuôi trước. Kiểm cuối: Quy tắc hình bình hành vẫn đúng.
Bỏ một thành phần hình hộp
Cho rằng độ dài bằng k|u| khi k âm. Sửa bằng: Dấu quyết định hướng, trị tuyệt đối quyết định độ dài. Kiểm cuối: k=0 cho vectơ không.
Nhầm vectơ với độ dài
Chỉ cộng hai cạnh đáy. Sửa bằng: Ba cạnh cùng gốc tạo đường chéo. Kiểm cuối: Đây là cầu nối trực tiếp sang tọa độ Oxyz.
Quên dấu khi chuyển vế
Chỉ so độ dài. Sửa bằng: Hướng + độ dài. Kiểm cuối: Vectơ không có điểm đặt cố định trong mô hình tự do.
Đảo hướng vectơ – tình huống 6
Dùng CB thay BC. Sửa bằng: Đầu sau nối đuôi trước. Kiểm cuối: Quy tắc hình bình hành vẫn đúng.
Cộng các đoạn không nối tiếp – tình huống 7
Cho rằng độ dài bằng k|u| khi k âm. Sửa bằng: Dấu quyết định hướng, trị tuyệt đối quyết định độ dài. Kiểm cuối: k=0 cho vectơ không.
Bỏ một thành phần hình hộp – tình huống 8
Chỉ cộng hai cạnh đáy. Sửa bằng: Ba cạnh cùng gốc tạo đường chéo. Kiểm cuối: Đây là cầu nối trực tiếp sang tọa độ Oxyz.
Nhầm vectơ với độ dài – tình huống 9
Chỉ so độ dài. Sửa bằng: Hướng + độ dài. Kiểm cuối: Vectơ không có điểm đặt cố định trong mô hình tự do.
Quên dấu khi chuyển vế – tình huống 10
Dùng CB thay BC. Sửa bằng: Đầu sau nối đuôi trước. Kiểm cuối: Quy tắc hình bình hành vẫn đúng.
Đảo hướng vectơ – tình huống 11
Cho rằng độ dài bằng k|u| khi k âm. Sửa bằng: Dấu quyết định hướng, trị tuyệt đối quyết định độ dài. Kiểm cuối: k=0 cho vectơ không.
Cộng các đoạn không nối tiếp – tình huống 12
Chỉ cộng hai cạnh đáy. Sửa bằng: Ba cạnh cùng gốc tạo đường chéo. Kiểm cuối: Đây là cầu nối trực tiếp sang tọa độ Oxyz.
Bỏ một thành phần hình hộp – tình huống 13
Chỉ so độ dài. Sửa bằng: Hướng + độ dài. Kiểm cuối: Vectơ không có điểm đặt cố định trong mô hình tự do.
Nhầm vectơ với độ dài – tình huống 14
Dùng CB thay BC. Sửa bằng: Đầu sau nối đuôi trước. Kiểm cuối: Quy tắc hình bình hành vẫn đúng.
Quên dấu khi chuyển vế – tình huống 15
Cho rằng độ dài bằng k|u| khi k âm. Sửa bằng: Dấu quyết định hướng, trị tuyệt đối quyết định độ dài. Kiểm cuối: k=0 cho vectơ không.
Đảo hướng vectơ – tình huống 16
Chỉ cộng hai cạnh đáy. Sửa bằng: Ba cạnh cùng gốc tạo đường chéo. Kiểm cuối: Đây là cầu nối trực tiếp sang tọa độ Oxyz.
Cộng các đoạn không nối tiếp – tình huống 17
Chỉ so độ dài. Sửa bằng: Hướng + độ dài. Kiểm cuối: Vectơ không có điểm đặt cố định trong mô hình tự do.
Bỏ một thành phần hình hộp – tình huống 18
Dùng CB thay BC. Sửa bằng: Đầu sau nối đuôi trước. Kiểm cuối: Quy tắc hình bình hành vẫn đúng.
Nhầm vectơ với độ dài – tình huống 19
Cho rằng độ dài bằng k|u| khi k âm. Sửa bằng: Dấu quyết định hướng, trị tuyệt đối quyết định độ dài. Kiểm cuối: k=0 cho vectơ không.
Quên dấu khi chuyển vế – tình huống 20
Chỉ cộng hai cạnh đáy. Sửa bằng: Ba cạnh cùng gốc tạo đường chéo. Kiểm cuối: Đây là cầu nối trực tiếp sang tọa độ Oxyz.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chẩn đoán 5 phút
Làm ba câu nền và nói thành lời điều kiện của công cụ trước khi học mới.
Chu trình 5–25–10
5 phút gọi nền, 25 phút học một nút, 10 phút làm lại không nhìn lời giải.
Hai biểu diễn
Kiểm công thức bằng bảng biến thiên, đồ thị, hình không gian, bảng dữ liệu hoặc đơn vị.
Phản ví dụ bắt buộc
Mỗi định lí phải đi cùng một trường hợp thiếu điều kiện để tránh học thuộc máy móc.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi lỗi, nguyên nhân và phép tự kiểm; không chép lại toàn bộ lời giải.
Ôn cách quãng 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và qua cổng lại sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Vectơ trong không gian1 2 3 4
Vectơ và các quan hệHai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài. Hướng + độ dài.
Tổng và hiệuAB+BC=AC; u−v=u+(−v). Đầu sau nối đuôi trước.
Tích với một số|ku|=|k||u|; k>0 cùng hướng, k<0 ngược hướng. Dấu quyết định hướng, trị tuyệt đối quyết định độ dài.
Quy tắc hình hộpAC′=AB+AD+AA′ trong hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Ba cạnh cùng gốc tạo đường chéo.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
B6-NB-01Trong mặt phẳng, cho A(-3;2), B(4;2). Tìm vectơ AB.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu.
Lời giải: AB = (7; 0).
Vì sao: Vectơ AB mang hướng từ A đến B nên phải lấy B − A.
Sai ở đâu: Lấy A − B nên thu được vectơ BA.
Cách khác: Cộng vectơ kết quả với tọa độ A để phải thu được B.
B6-NB-02Tính độ dài của vectơ u = (-2;3).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Bình phương hai tọa độ, cộng rồi lấy căn bậc hai.
Lời giải: |u| = √(-2² + 3²) = √13.
Vì sao: Công thức là hệ quả trực tiếp của định lí Pythagore.
Sai ở đâu: Cộng trực tiếp hai tọa độ hoặc quên lấy căn.
Cách khác: Dựng tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là |x| và |y|.
B6-NB-03Tính tích vô hướng của u = (-1;4) và v = (3;1).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhân các tọa độ cùng vị trí rồi cộng.
Lời giải: u·v = -1·3 + 4·1 = 1.
Vì sao: Tích vô hướng là một số, không phải một vectơ.
Sai ở đâu: Nhân chéo tọa độ hoặc viết kết quả dưới dạng cặp.
Cách khác: Kiểm tính giao hoán: u·v phải bằng v·u.
B6-NB-04Cho ba điểm A, B, C. Hoàn thành hệ thức vectơ theo quy tắc ba điểm.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đi từ A đến B rồi từ B đến C tương đương đi thẳng từ A đến C.
Lời giải: AB + BC = AC.
Vì sao: Quy tắc ba điểm đúng trong mặt phẳng lẫn không gian.
Sai ở đâu: Viết AB+CB hoặc đổi sai hướng của vectơ thứ hai.
Cách khác: Đọc chuỗi hành trình A→B→C.
B6-NB-05Cho u=2a⃗−4b⃗ và v=4b⃗. Rút gọn u+v.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cộng các hệ số của cùng một vectơ.
Lời giải: u+v=2a⃗.
Vì sao: Vectơ cũng tuân theo tính kết hợp và quy tắc thu gọn các hạng đồng dạng.
Sai ở đâu: Cộng a⃗ và b⃗ thành một số.
Cách khác: Viết các hệ số theo hai cột a⃗, b⃗.
B6-NB-06Cho AB=u và AC=v. Biểu diễn BC theo u, v.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng AB+BC=AC rồi chuyển vế.
Lời giải: BC=v−u.
Vì sao: Hiệu hai vectơ cùng gốc cho vectơ nối hai điểm cuối theo đúng hướng.
Sai ở đâu: Viết BC=u−v nên đảo hướng.
Cách khác: Dùng BC=BA+AC=−u+v.
B6-NB-07Nếu v=4u với 4>0, hai vectơ u và v có quan hệ gì?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hệ số dương giữ nguyên hướng.
Lời giải: u và v cùng phương, cùng hướng; |v|=4|u|.
Vì sao: Nhân với số dương co giãn độ dài nhưng không đảo hướng.
Sai ở đâu: Kết luận chỉ cùng phương mà bỏ hướng, hoặc cho rằng độ dài không đổi.
Cách khác: Hình dung kéo dài mũi tên u lên 4 lần.
B6-NB-08Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', biểu diễn AC' bằng ba vectơ cạnh xuất phát từ A.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đi theo ba cạnh liên tiếp A→B→C→C'.
Lời giải: AC' = AB + AD + AA'.
Vì sao: Ba vectơ cạnh không đồng phẳng tạo thành ba hướng cơ bản của hình hộp.
Sai ở đâu: Bỏ một thành phần hoặc dùng vectơ không cùng hướng.
Cách khác: Đi theo đường gấp khúc A→B→C→C'.
B6-NB-09Tính độ dài của vectơ u = (3; 4; 0).
Mục tiêu: Thông hiểu — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: |u| = √[(3)² + (4)² + 0²].
Lời giải: |u| = √[(3)² + (4)² + 0²]. Dùng bộ ba 3–4–5: |u| = 1√(3² + 4²) = 5.
Vì sao: |u| = √[(3)² + (4)² + 0²]. Dùng bộ ba 3–4–5: |u| = 1√(3² + 4²) = 5.
Sai ở đâu: Cộng trực tiếp các tọa độ hoặc quên lấy căn bậc hai.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
B6-NB-10Cho u=2a⃗−2b⃗ và v=2b⃗. Rút gọn u+v.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Cộng các hệ số của cùng một vectơ.
Lời giải: u+v=2a⃗.
Vì sao: Vectơ cũng tuân theo tính kết hợp và quy tắc thu gọn các hạng đồng dạng.
Sai ở đâu: Cộng a⃗ và b⃗ thành một số.
Cách khác: Viết các hệ số theo hai cột a⃗, b⃗.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Tính độ dài của vectơ u = (3; 4; 0).
BA DẠNG TRẮC NGHIỆM HIỆN HÀNH
Cùng một bản chất, ba cách kiểm tra năng lực
Định dạng ôn tốt nghiệp gồm nhiều lựa chọn, đúng–sai bốn ý và trả lời ngắn; tự luận phía sau dùng để học sâu, không gắn sai nhãn thành cấu trúc đề thi.
Nhiều lựa chọn
50 câu tự chấm ngay phía trên; phương án nhiễu xuất phát từ lỗi điều kiện, dấu, thứ tự hoặc thiếu ứng viên.
Chọn đáp án rồi đọc giải thích và ghi lỗi.Đúng–sai bốn ý
Một cụm mẫu dùng chung bối cảnh “Vectơ trong không gian”:
- a) Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Vectơ là mũi tên có hướng; có thể trượt song song mà không đổi. Ví dụ kiểm chứng: Các cạnh song song cùng hướng của hình hộp cho vectơ bằng nhau.
- b) AB+BC=AC; u−v=u+(−v).
Đáp án và căn cứ
Đúng. Ghép đầu–đuôi để đi từ điểm đầu tới điểm cuối. Ví dụ kiểm chứng: AB+BC+CD=AD.
- c) |ku|=|k||u|; k>0 cùng hướng, k<0 ngược hướng.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Kéo dài, thu ngắn hoặc đảo hướng một vectơ. Ví dụ kiểm chứng: v=−2u ngược hướng và dài gấp đôi.
- d) AC′=AB+AD+AA′ trong hình hộp ABCD.A′B′C′D′.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Đường chéo không gian gom ba bước theo ba cạnh. Ví dụ kiểm chứng: Đi A→B→C→C′.
Trả lời ngắn
Tự lập mô hình và điền kết quả, không có phương án gợi ý:
- Trong mặt phẳng, cho A(0;1), B(2;1). Tìm vectơ AB.
Đáp án
(2; 0)
- Tính độ dài của vectơ u = (1;2).
Đáp án
√5
- Tính tích vô hướng của u = (2;3) và v = (6;0).
Đáp án
12
- Tam giác OAB vuông tại O, OA=3, OB=6. M chạy trên đoạn AB. Tìm giá trị nhỏ nhất OM² bằng cách biểu diễn OM theo OA,OB và chứng minh dấu bằng đạt trên đoạn.
Đáp án
36/5
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Trong mặt phẳng, cho A(-3;2), B(4;2). Tìm vectơ AB.
Gợi ý: Lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu.
Lời giải: AB = (7; 0).
Giải thích: Vectơ AB mang hướng từ A đến B nên phải lấy B − A.
Lỗi cần tránh: Lấy A − B nên thu được vectơ BA.
Cách khác: Cộng vectơ kết quả với tọa độ A để phải thu được B.
TỰ LUẬN 2Cho AB=u và AC=v. Biểu diễn BC theo u, v.
Gợi ý: Dùng AB+BC=AC rồi chuyển vế.
Lời giải: BC=v−u.
Giải thích: Hiệu hai vectơ cùng gốc cho vectơ nối hai điểm cuối theo đúng hướng.
Lỗi cần tránh: Viết BC=u−v nên đảo hướng.
Cách khác: Dùng BC=BA+AC=−u+v.
TỰ LUẬN 3ABCD là hình bình hành với A(3; 4; 1), B(5; 6; 2), D(2; 7; 3). Tính OC², trong đó O là gốc tọa độ.
Gợi ý: Trong hình bình hành, C = B + D − A theo từng tọa độ.
Lời giải: Trong hình bình hành, C = B + D − A theo từng tọa độ. Suy ra C = (4; 9; 4); do đó OC² = 4² + 9² + 4² = 113.
Giải thích: Trong hình bình hành, C = B + D − A theo từng tọa độ. Suy ra C = (4; 9; 4); do đó OC² = 4² + 9² + 4² = 113.
Lỗi cần tránh: Quên trừ A khi tìm C hoặc tính OC bằng tổng tọa độ thay vì tổng bình phương.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 4Trong Oxyz, cho A(-1; 3; -2) và M(1; 5; 1) là trung điểm của AB. Tính OB², với O là gốc tọa độ.
Gợi ý: Từ M = (A + B)/2, suy ra B = 2M − A theo từng tọa độ.
Lời giải: Từ M = (A + B)/2, suy ra B = 2M − A theo từng tọa độ. B = (3; 7; 4); do đó OB² = 3² + 7² + 4² = 74.
Giải thích: Từ M = (A + B)/2, suy ra B = 2M − A theo từng tọa độ. B = (3; 7; 4); do đó OB² = 3² + 7² + 4² = 74.
Lỗi cần tránh: Dùng luôn tọa độ M để tính OB hoặc quên bình phương các tọa độ của B.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 5Trong mặt phẳng, cho A(0;5), B(5;4). Tìm vectơ AB.
Gợi ý: Lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu.
Lời giải: AB = (5; -1).
Giải thích: Vectơ AB mang hướng từ A đến B nên phải lấy B − A.
Lỗi cần tránh: Lấy A − B nên thu được vectơ BA.
Cách khác: Cộng vectơ kết quả với tọa độ A để phải thu được B.
TỰ LUẬN 6Nếu u=(1; 0; 2) và v=(0; 2; 0), độ dài của u+v bằng bao nhiêu?
Gợi ý: u+v=(1; 2; 2), nên |u+v|=√(1+4+4)=3.
Lời giải: u+v=(1; 2; 2), nên |u+v|=√(1+4+4)=3. Vậy kết quả cần chọn là 3.
Giải thích: u+v=(1; 2; 2), nên |u+v|=√(1+4+4)=3. Vậy kết quả cần chọn là 3.
Lỗi cần tránh: Cộng các tọa độ thay vì cộng bình phương từng tọa độ khi tính độ dài.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 7Trong Oxyz, cho A(0; 4; -1) và M(1; 7; 0) là trung điểm của AB. Tính OB², với O là gốc tọa độ.
Gợi ý: Từ M = (A + B)/2, suy ra B = 2M − A theo từng tọa độ.
Lời giải: Từ M = (A + B)/2, suy ra B = 2M − A theo từng tọa độ. B = (2; 10; 1); do đó OB² = 2² + 10² + 1² = 105.
Giải thích: Từ M = (A + B)/2, suy ra B = 2M − A theo từng tọa độ. B = (2; 10; 1); do đó OB² = 2² + 10² + 1² = 105.
Lỗi cần tránh: Dùng luôn tọa độ M để tính OB hoặc quên bình phương các tọa độ của B.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 8Góc giữa u=(1; 1; 0) và v=(1; −1; 0) bằng bao nhiêu?
Gợi ý: u·v=1−1=0, hai vectơ khác 0 nên góc giữa chúng bằng 90°.
Lời giải: u·v=1−1=0, hai vectơ khác 0 nên góc giữa chúng bằng 90°. Vậy kết quả cần chọn là 90°.
Giải thích: u·v=1−1=0, hai vectơ khác 0 nên góc giữa chúng bằng 90°. Vậy kết quả cần chọn là 90°.
Lỗi cần tránh: Nhầm tích vô hướng với tích độ dài hoặc bỏ qua tọa độ có dấu âm.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 9Trong mặt phẳng, cho A(-3;3), B(6;-1). Tìm vectơ AB.
Gợi ý: Lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu.
Lời giải: AB = (9; -4).
Giải thích: Vectơ AB mang hướng từ A đến B nên phải lấy B − A.
Lỗi cần tránh: Lấy A − B nên thu được vectơ BA.
Cách khác: Cộng vectơ kết quả với tọa độ A để phải thu được B.
TỰ LUẬN 10Một hình bình hành có AB²=5 và AD²=9. Tính AC²+BD².
Gợi ý: Định lí hình bình hành cho AC²+BD²=2(AB²+AD²)=2(5+9)=28.
Lời giải: Định lí hình bình hành cho AC²+BD²=2(AB²+AD²)=2(5+9)=28. Vậy kết quả cần chọn là 28.
Giải thích: Định lí hình bình hành cho AC²+BD²=2(AB²+AD²)=2(5+9)=28. Vậy kết quả cần chọn là 28.
Lỗi cần tránh: Nhầm AC=AB+AD với BD=AD−AB khi tính độ dài hoặc tích vô hướng.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 11Hai vectơ u,v vuông góc, |u|=3 và |v|=4. Tính |u+v|.
Gợi ý: Do u·v=0, |u+v|²=|u|²+|v|²=9+16=25, suy ra độ dài 5.
Lời giải: Do u·v=0, |u+v|²=|u|²+|v|²=9+16=25, suy ra độ dài 5. Vậy kết quả cần chọn là 5.
Giải thích: Do u·v=0, |u+v|²=|u|²+|v|²=9+16=25, suy ra độ dài 5. Vậy kết quả cần chọn là 5.
Lỗi cần tránh: Nhầm tích vô hướng với tích độ dài hoặc bỏ qua tọa độ có dấu âm.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 12Trong Oxyz, cho A(-2; 2; 0) và M(-1; 4; 1) là trung điểm của AB. Tính OB², với O là gốc tọa độ.
Gợi ý: Từ M = (A + B)/2, suy ra B = 2M − A theo từng tọa độ.
Lời giải: Từ M = (A + B)/2, suy ra B = 2M − A theo từng tọa độ. B = (0; 6; 2); do đó OB² = 0² + 6² + 2² = 40.
Giải thích: Từ M = (A + B)/2, suy ra B = 2M − A theo từng tọa độ. B = (0; 6; 2); do đó OB² = 0² + 6² + 2² = 40.
Lỗi cần tránh: Dùng luôn tọa độ M để tính OB hoặc quên bình phương các tọa độ của B.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 13Trong mặt phẳng, cho A(0;1), B(2;1). Tìm vectơ AB.
Gợi ý: Lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu.
Lời giải: AB = (2; 0).
Giải thích: Vectơ AB mang hướng từ A đến B nên phải lấy B − A.
Lỗi cần tránh: Lấy A − B nên thu được vectơ BA.
Cách khác: Cộng vectơ kết quả với tọa độ A để phải thu được B.
TỰ LUẬN 14Tam giác OAB vuông tại O, OA=4, OB=8. M chạy trên đoạn AB. Tìm giá trị nhỏ nhất OM² bằng cách biểu diễn OM theo OA,OB và chứng minh dấu bằng đạt trên đoạn.
Gợi ý: Đặt AM=tAB, 0≤t≤1
Lời giải: Đặt AM=tAB, 0≤t≤1. Theo quy tắc ba điểm, OM=(1−t)OA+tOB. Vì OA vuông góc OB, OM²=16(1−t)²+64t²=80(t−1/5)²+64/5. Dấu bằng đạt tại t=1/5 thuộc đoạn, nên giá trị nhỏ nhất là 64/5.
Giải thích: Đặt AM=tAB, 0≤t≤1. Theo quy tắc ba điểm, OM=(1−t)OA+tOB. Vì OA vuông góc OB, OM²=16(1−t)²+64t²=80(t−1/5)²+64/5. Dấu bằng đạt tại t=1/5 thuộc đoạn, nên giá trị nhỏ nhất là 64/5.
Lỗi cần tránh: Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
TỰ LUẬN 15Cho u=(2;1;−2), v=(1;−2;2). Tìm giá trị nhỏ nhất của |u+t v|² với t thực.
Gợi ý: |u|²=|v|²=9, u·v=−4; biểu thức bằng 9t²−8t+9=9(t−4/9)²+65/9.
Lời giải: |u|²=|v|²=9, u·v=−4; biểu thức bằng 9t²−8t+9=9(t−4/9)²+65/9. Vậy kết quả cần chọn là 65/9.
Giải thích: |u|²=|v|²=9, u·v=−4; biểu thức bằng 9t²−8t+9=9(t−4/9)²+65/9. Vậy kết quả cần chọn là 65/9.
Lỗi cần tránh: Không xét điều kiện miền hoặc không so sánh các điểm biên khi tối ưu.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 16Trong Oxyz, u=(1;0;−2), v=(0;2;1). Tính |2u−v|².
Gợi ý: 2u−v=(2;−2;−5), nên bình phương độ dài bằng 4+4+25=33.
Lời giải: 2u−v=(2;−2;−5), nên bình phương độ dài bằng 4+4+25=33. Vậy kết quả cần chọn là 33.
Giải thích: 2u−v=(2;−2;−5), nên bình phương độ dài bằng 4+4+25=33. Vậy kết quả cần chọn là 33.
Lỗi cần tránh: Cộng các tọa độ thay vì cộng bình phương từng tọa độ khi tính độ dài.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 17Trong mặt phẳng, cho A(-3;4), B(3;3). Tìm vectơ AB.
Gợi ý: Lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu.
Lời giải: AB = (6; -1).
Giải thích: Vectơ AB mang hướng từ A đến B nên phải lấy B − A.
Lỗi cần tránh: Lấy A − B nên thu được vectơ BA.
Cách khác: Cộng vectơ kết quả với tọa độ A để phải thu được B.
TỰ LUẬN 18Trong Oxyz, u = (3; 1; 0) vuông góc với v = (1; m; 0). Giá trị m là Các lựa chọn: A. 0 ; B. -0.3333333333333333 ; C. 3 ; D. -3
Gợi ý: u ⟂ v ⇔ u·v = 0.
Lời giải: u ⟂ v ⇔ u·v = 0. 3·1 + 1·m = 0 ⇔ m = -3.
Giải thích: u ⟂ v ⇔ u·v = 0. 3·1 + 1·m = 0 ⇔ m = -3.
Lỗi cần tránh: Đặt tích các độ dài bằng 0 thay vì tích vô hướng.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 19Trong Oxyz, u = (2; 1; −1), v = (1; 5; 2). Góc giữa u và v thuộc loại nào? Các lựa chọn: A. Góc nhọn ; B. Góc tù ; C. Hai vectơ cùng phương ; D. Góc vuông
Gợi ý: u·v=2+5−2=5>0 nên cos góc dương.
Lời giải: u·v=2+5−2=5>0 nên cos góc dương. Hai vectơ khác 0 và không cùng phương, vậy góc giữa chúng là góc nhọn.
Giải thích: u·v=2+5−2=5>0 nên cos góc dương. Hai vectơ khác 0 và không cùng phương, vậy góc giữa chúng là góc nhọn.
Lỗi cần tránh: Nhầm dấu tích vô hướng và loại góc.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 20Tính góc giữa hai vectơ u = (4; 4; 0) và v = (1; 0; 1).
Gợi ý: u·v = 4; |u| = 4√2, |v| = 1√2 nên cos(u,v) = 1/2.
Lời giải: u·v = 4; |u| = 4√2, |v| = 1√2 nên cos(u,v) = 1/2. Góc giữa hai vectơ thuộc [0°;180°]; cos bằng 1/2 nên góc bằng 60°.
Giải thích: u·v = 4; |u| = 4√2, |v| = 1√2 nên cos(u,v) = 1/2. Góc giữa hai vectơ thuộc [0°;180°]; cos bằng 1/2 nên góc bằng 60°.
Lỗi cần tránh: Dùng tích vô hướng làm luôn số đo góc hoặc quên chia cho độ dài.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B6-NB-01, B6-NB-02, B6-NB-03, B6-NB-04, B6-NB-05, B6-NB-06, B6-NB-07, B6-NB-08, B6-NB-09, B6-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B6-NB-01: (7; 0)
- B6-NB-02: √13
- B6-NB-03: 1
- B6-NB-04: AB + BC = AC
- B6-NB-05: 2a⃗
- B6-NB-06: v − u
- B6-NB-07: Cùng hướng; |v|=4|u|
- B6-NB-08: AB + AD + AA'
- B6-NB-09: 5
- B6-NB-10: 2a⃗
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 2
10 câu đại diện: B6-NB-11, B6-NB-12, B6-NB-13, B6-NB-14, B6-NB-15, B6-NB-16, B6-NB-17, B6-NB-18, B6-NB-19, B6-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B6-NB-11: 113
- B6-NB-12: -1/2
- B6-NB-13: 8
- B6-NB-14: 60°
- B6-NB-15: 2a⃗
- B6-NB-16: 74
- B6-NB-17: 62
- B6-NB-18: (6; 9; 3)
- B6-NB-19: 3
- B6-NB-20: 6
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B6-TH-01, B6-TH-02, B6-TH-03, B6-TH-04, B6-TH-05, B6-TH-06, B6-TH-07, B6-TH-08, B6-TH-09, B6-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B6-TH-01: (5; -1)
- B6-TH-02: √2
- B6-TH-03: 14
- B6-TH-04: 65
- B6-TH-05: 94
- B6-TH-06: 3
- B6-TH-07: 94
- B6-TH-08: 41
- B6-TH-09: 14
- B6-TH-10: 90
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B6-TH-11, B6-TH-12, B6-TH-13, B6-TH-14, B6-TH-15, B6-TH-16, B6-TH-17, B6-TH-18, B6-TH-19, B6-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B6-TH-11: 105
- B6-TH-12: −5
- B6-TH-13: 36
- B6-TH-14: 13
- B6-TH-15: 17
- B6-TH-16: 90°
- B6-TH-17: 84
- B6-TH-18: 12
- B6-TH-19: 70
- B6-TH-20: √11
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề ôn tốt nghiệp tổng hợp
10 câu đại diện: B6-VD-01, B6-VD-02, B6-VD-03, B6-VD-04, B6-VD-05, B6-VD-06, B6-VD-07, B6-VD-08, B6-VD-09, B6-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B6-VD-01: (9; -4)
- B6-VD-02: √20
- B6-VD-03: -15
- B6-VD-04: 14
- B6-VD-05: 45°
- B6-VD-06: 28
- B6-VD-07: 6
- B6-VD-08: 120°
- B6-VD-09: 12
- B6-VD-10: 6
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.