Biến dữ kiện thành quyết định
Bài học giúp mô hình hóa GPS, kiến trúc, kho hàng, robot, y học ảnh, game và thiên văn bằng công cụ có thể kiểm chứng.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 7. Hệ trục tọa độ trong không gian
Thiết lập hệ trục Oxyz, đọc tọa độ điểm và vectơ, tính tọa độ vectơ, trung điểm, trọng tâm, độ dài và khoảng cách giữa hai điểm.
Tọa độ điểm là vị trí; tọa độ vectơ là độ dịch chuyển
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Biết đọc dữ kiện, nêu điều kiện, thực hiện và giải thích kết quả.
Gọi đúng nền
Kích hoạt bài 6 và hệ trục tọa độ oxy lớp 10 rồi chuẩn bị cho Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ.
Ba dạng, một bản chất
Luyện nhiều lựa chọn, đúng–sai và trả lời ngắn trên cùng một mạch suy luận.
- Đọc đúng điểm và các mặt phẳng tọa độ.
- Tính tọa độ AB bằng B−A.
- Tính trung điểm, trọng tâm và khoảng cách.
- Chuyển giữa hình học không gian và bộ ba tọa độ.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Bài 6 và hệ trục tọa độ Oxy lớp 10.
- Viết tập xác định, đối tượng hoặc đơn vị trước phép tính.
- Dự đoán dấu, độ lớn hoặc hình dạng của kết quả.
- Kiểm bằng biểu diễn thứ hai và giải thích bằng lời.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Hệ trục Oxyz
Hiểu đơn giản: Ba trục vuông góc cho ba hướng trái–phải, trước–sau, lên–xuống.
Oxyz gồm ba trục đôi một vuông góc, cùng gốc O; các vectơ đơn vị i,j,k.
Ví dụ: M(2;−1;3) có ba hình chiếu theo trục.
Hình nên dùng: Khối lập phương tọa độ.
Mô phỏng: Xoay hệ trục 3D.
Mẹo nhớ: Đúng thứ tự x–y–z.
Sai lầm: Đổi y và z khi nhìn phối cảnh.
Ghi chú: Mặt phẳng tọa độ có một tọa độ bằng 0.
Điểm và vectơ
Hiểu đơn giản: Điểm cho vị trí; vectơ cho bước dịch từ vị trí này sang vị trí khác.
OM=(x;y;z) khi M(x;y;z); AB=B−A theo từng tọa độ.
Ví dụ: A(1;2;0), B(3;1;4) ⇒ AB=(2;−1;4).
Hình nên dùng: Hai thẻ màu điểm và vectơ.
Mô phỏng: Kéo A,B.
Mẹo nhớ: Cuối trừ đầu.
Sai lầm: Lấy đầu trừ cuối.
Ghi chú: Kiểm A+AB=B.
Trung điểm và trọng tâm
Hiểu đơn giản: Lấy trung bình các vị trí theo từng trục.
M_AB=((xA+xB)/2;...); G_ABC=((xA+xB+xC)/3;...).
Ví dụ: Trung điểm của (0;0;0) và (2;4;6) là (1;2;3).
Hình nên dùng: Đòn cân ba chiều.
Mô phỏng: Kéo đỉnh và xem tâm.
Mẹo nhớ: Trung bình từng cột.
Sai lầm: Chia tổng cả ba tọa độ bằng cùng một số sai.
Ghi chú: Trọng tâm tứ diện dùng trung bình bốn đỉnh.
Độ dài và khoảng cách
Hiểu đơn giản: Ba độ dịch vuông góc ghép bằng Pythagore ba chiều.
AB=√[(xB−xA)²+(yB−yA)²+(zB−zA)²].
Ví dụ: A(0;0;0), B(1;2;2) ⇒ AB=3.
Hình nên dùng: Hộp chữ nhật có đường chéo.
Mô phỏng: Thay từng hiệu.
Mẹo nhớ: Hiệu–bình phương–cộng–căn.
Sai lầm: Cộng hiệu có dấu.
Ghi chú: Khoảng cách luôn không âm.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB TỌA ĐỘ VECTƠ
Điểm cuối trừ điểm đầu
Nhập A, B; công cụ tính AB⃗, độ dài AB và trung điểm M.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B7-NB-04
Đề bài: Tìm trung điểm M của A(0;3;0) và B(6;2;3).
Phân tích: Lấy trung bình cộng từng cặp tọa độ.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Lấy trung bình cộng từng cặp tọa độ.
- Bước 2: M(3;2,5;1,5).
- Bước 3: Kết luận M(3;2,5;1,5).
Vì sao: Trung điểm cân bằng A và B trên cả ba trục.
Cách khác: Kiểm MA và MB có vectơ đối nhau.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy hiệu hoặc chỉ chia một tọa độ cho 2.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B7-NB-14
Đề bài: Tìm trung điểm M của A(3;5;2) và B(6;0;5).
Phân tích: Lấy trung bình cộng từng cặp tọa độ.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Lấy trung bình cộng từng cặp tọa độ.
- Bước 2: M(4,5;2,5;3,5).
- Bước 3: Kết luận M(4,5;2,5;3,5).
Vì sao: Trung điểm cân bằng A và B trên cả ba trục.
Cách khác: Kiểm MA và MB có vectơ đối nhau.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy hiệu hoặc chỉ chia một tọa độ cho 2.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B7-TH-04
Đề bài: Tính khoảng cách giữa A(0;5;0) và B(4;2;2).
Phân tích: Tìm AB rồi dùng căn tổng bình phương ba tọa độ.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Tìm AB rồi dùng căn tổng bình phương ba tọa độ.
- Bước 2: AB=(4;-3;2); d(A,B)=√29.
- Bước 3: Kết luận √29.
Vì sao: Công thức là định lí Pythagore mở rộng trong không gian.
Cách khác: Tính bình phương khoảng cách trước để tránh sai căn.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cộng ba hiệu mà không bình phương hoặc quên căn.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B7-TH-14
Đề bài: Tính khoảng cách giữa A(3;1;2) và B(4;0;4).
Phân tích: Tìm AB rồi dùng căn tổng bình phương ba tọa độ.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Tìm AB rồi dùng căn tổng bình phương ba tọa độ.
- Bước 2: AB=(1;-1;2); d(A,B)=√6.
- Bước 3: Kết luận √6.
Vì sao: Công thức là định lí Pythagore mở rộng trong không gian.
Cách khác: Tính bình phương khoảng cách trước để tránh sai căn.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cộng ba hiệu mà không bình phương hoặc quên căn.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B7-VD-04
Đề bài: Cho A(0;1;0), B(2;2;1). Tìm tọa độ vectơ AB.
Phân tích: Lấy B−A theo từng trục x, y, z.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Lấy B−A theo từng trục x, y, z.
- Bước 2: AB=(2;1;1).
- Bước 3: Kết luận (2;1;1).
Vì sao: Ba tọa độ được xử lí độc lập nhưng phải giữ cùng thứ tự trục.
Cách khác: Kiểm A+AB=B theo từng tọa độ.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy A−B hoặc đổi chỗ y và z.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B7-VD-14
Đề bài: Cho A(3;3;2), B(2;0;3). Tìm tọa độ vectơ AB.
Phân tích: Lấy B−A theo từng trục x, y, z.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Lấy B−A theo từng trục x, y, z.
- Bước 2: AB=(-1;-3;1).
- Bước 3: Kết luận (-1;-3;1).
Vì sao: Ba tọa độ được xử lí độc lập nhưng phải giữ cùng thứ tự trục.
Cách khác: Kiểm A+AB=B theo từng tọa độ.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy A−B hoặc đổi chỗ y và z.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B7-VDC-04
Đề bài: Tính khoảng cách từ M(0;3;0) đến gốc O.
Phân tích: OM có tọa độ đúng bằng tọa độ M.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: OM có tọa độ đúng bằng tọa độ M.
- Bước 2: OM=√(0²+3²+0²)=√9.
- Bước 3: Kết luận √9.
Vì sao: Khoảng cách tới gốc là chuẩn Euclid của vectơ vị trí.
Cách khác: Kiểm kết quả không âm và không nhỏ hơn trị tuyệt đối từng tọa độ.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cộng tọa độ có dấu thay vì bình phương.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • B7-VDC-14
Đề bài: Tính khoảng cách từ M(3;5;2) đến gốc O.
Phân tích: OM có tọa độ đúng bằng tọa độ M.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: OM có tọa độ đúng bằng tọa độ M.
- Bước 2: OM=√(3²+5²+2²)=√38.
- Bước 3: Kết luận √38.
Vì sao: Khoảng cách tới gốc là chuẩn Euclid của vectơ vị trí.
Cách khác: Kiểm kết quả không âm và không nhỏ hơn trị tuyệt đối từng tọa độ.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cộng tọa độ có dấu thay vì bình phương.
09 • Thực tếVí dụ 9 • B7-TT-04
Đề bài: Điểm P(0;5;0) chiếu vuông góc xuống mặt phẳng Oxy tại H. Tìm H.
Phân tích: Giữ x,y và cho tọa độ z bằng 0.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Giữ x,y và cho tọa độ z bằng 0.
- Bước 2: H(0;5;0).
- Bước 3: Kết luận (0;5;0).
Vì sao: Mặt phẳng Oxy có phương trình tọa độ z=0.
Cách khác: Di chuyển P song song trục Oz cho tới khi z=0.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho cả ba tọa độ bằng 0 hoặc xóa nhầm x/y.
10 • Thực tếVí dụ 10 • B7-TT-14
Đề bài: Điểm P(3;1;2) chiếu vuông góc xuống mặt phẳng Oxy tại H. Tìm H.
Phân tích: Giữ x,y và cho tọa độ z bằng 0.
Hướng làm: Khóa miền và đối tượng, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Giữ x,y và cho tọa độ z bằng 0.
- Bước 2: H(3;1;0).
- Bước 3: Kết luận (3;1;0).
Vì sao: Mặt phẳng Oxy có phương trình tọa độ z=0.
Cách khác: Di chuyển P song song trục Oz cho tới khi z=0.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho cả ba tọa độ bằng 0 hoặc xóa nhầm x/y.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua hệ trục tọa độ trong không gian
Tình huống 1 dùng GPS, kiến trúc, kho hàng, robot, y học ảnh, game và thiên văn; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Trường học qua hệ trục tọa độ trong không gian
Tình huống 2 dùng GPS, kiến trúc, kho hàng, robot, y học ảnh, game và thiên văn; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua hệ trục tọa độ trong không gian
Tình huống 3 dùng GPS, kiến trúc, kho hàng, robot, y học ảnh, game và thiên văn; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua hệ trục tọa độ trong không gian
Tình huống 4 dùng GPS, kiến trúc, kho hàng, robot, y học ảnh, game và thiên văn; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua hệ trục tọa độ trong không gian
Tình huống 5 dùng GPS, kiến trúc, kho hàng, robot, y học ảnh, game và thiên văn; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua hệ trục tọa độ trong không gian
Tình huống 6 dùng GPS, kiến trúc, kho hàng, robot, y học ảnh, game và thiên văn; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua hệ trục tọa độ trong không gian
Tình huống 7 dùng GPS, kiến trúc, kho hàng, robot, y học ảnh, game và thiên văn; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua hệ trục tọa độ trong không gian
Tình huống 8 dùng GPS, kiến trúc, kho hàng, robot, y học ảnh, game và thiên văn; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Hệ trục Oxyz theo cách trực quan?
Ba trục vuông góc cho ba hướng trái–phải, trước–sau, lên–xuống. Phát biểu chính xác: Oxyz gồm ba trục đôi một vuông góc, cùng gốc O; các vectơ đơn vị i,j,k. Ví dụ: M(2;−1;3) có ba hình chiếu theo trục. Mẹo: Đúng thứ tự x–y–z. Cần tránh: Đổi y và z khi nhìn phối cảnh.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Nhầm điểm với vectơ
Đổi y và z khi nhìn phối cảnh. Sửa bằng: Đúng thứ tự x–y–z. Kiểm cuối: Mặt phẳng tọa độ có một tọa độ bằng 0.
Lấy A−B cho AB
Lấy đầu trừ cuối. Sửa bằng: Cuối trừ đầu. Kiểm cuối: Kiểm A+AB=B.
Đổi thứ tự x,y,z
Chia tổng cả ba tọa độ bằng cùng một số sai. Sửa bằng: Trung bình từng cột. Kiểm cuối: Trọng tâm tứ diện dùng trung bình bốn đỉnh.
Quên căn trong khoảng cách
Cộng hiệu có dấu. Sửa bằng: Hiệu–bình phương–cộng–căn. Kiểm cuối: Khoảng cách luôn không âm.
Chiếu xuống sai mặt phẳng
Đổi y và z khi nhìn phối cảnh. Sửa bằng: Đúng thứ tự x–y–z. Kiểm cuối: Mặt phẳng tọa độ có một tọa độ bằng 0.
Nhầm điểm với vectơ – tình huống 6
Lấy đầu trừ cuối. Sửa bằng: Cuối trừ đầu. Kiểm cuối: Kiểm A+AB=B.
Lấy A−B cho AB – tình huống 7
Chia tổng cả ba tọa độ bằng cùng một số sai. Sửa bằng: Trung bình từng cột. Kiểm cuối: Trọng tâm tứ diện dùng trung bình bốn đỉnh.
Đổi thứ tự x,y,z – tình huống 8
Cộng hiệu có dấu. Sửa bằng: Hiệu–bình phương–cộng–căn. Kiểm cuối: Khoảng cách luôn không âm.
Quên căn trong khoảng cách – tình huống 9
Đổi y và z khi nhìn phối cảnh. Sửa bằng: Đúng thứ tự x–y–z. Kiểm cuối: Mặt phẳng tọa độ có một tọa độ bằng 0.
Chiếu xuống sai mặt phẳng – tình huống 10
Lấy đầu trừ cuối. Sửa bằng: Cuối trừ đầu. Kiểm cuối: Kiểm A+AB=B.
Nhầm điểm với vectơ – tình huống 11
Chia tổng cả ba tọa độ bằng cùng một số sai. Sửa bằng: Trung bình từng cột. Kiểm cuối: Trọng tâm tứ diện dùng trung bình bốn đỉnh.
Lấy A−B cho AB – tình huống 12
Cộng hiệu có dấu. Sửa bằng: Hiệu–bình phương–cộng–căn. Kiểm cuối: Khoảng cách luôn không âm.
Đổi thứ tự x,y,z – tình huống 13
Đổi y và z khi nhìn phối cảnh. Sửa bằng: Đúng thứ tự x–y–z. Kiểm cuối: Mặt phẳng tọa độ có một tọa độ bằng 0.
Quên căn trong khoảng cách – tình huống 14
Lấy đầu trừ cuối. Sửa bằng: Cuối trừ đầu. Kiểm cuối: Kiểm A+AB=B.
Chiếu xuống sai mặt phẳng – tình huống 15
Chia tổng cả ba tọa độ bằng cùng một số sai. Sửa bằng: Trung bình từng cột. Kiểm cuối: Trọng tâm tứ diện dùng trung bình bốn đỉnh.
Nhầm điểm với vectơ – tình huống 16
Cộng hiệu có dấu. Sửa bằng: Hiệu–bình phương–cộng–căn. Kiểm cuối: Khoảng cách luôn không âm.
Lấy A−B cho AB – tình huống 17
Đổi y và z khi nhìn phối cảnh. Sửa bằng: Đúng thứ tự x–y–z. Kiểm cuối: Mặt phẳng tọa độ có một tọa độ bằng 0.
Đổi thứ tự x,y,z – tình huống 18
Lấy đầu trừ cuối. Sửa bằng: Cuối trừ đầu. Kiểm cuối: Kiểm A+AB=B.
Quên căn trong khoảng cách – tình huống 19
Chia tổng cả ba tọa độ bằng cùng một số sai. Sửa bằng: Trung bình từng cột. Kiểm cuối: Trọng tâm tứ diện dùng trung bình bốn đỉnh.
Chiếu xuống sai mặt phẳng – tình huống 20
Cộng hiệu có dấu. Sửa bằng: Hiệu–bình phương–cộng–căn. Kiểm cuối: Khoảng cách luôn không âm.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chẩn đoán 5 phút
Làm ba câu nền và nói thành lời điều kiện của công cụ trước khi học mới.
Chu trình 5–25–10
5 phút gọi nền, 25 phút học một nút, 10 phút làm lại không nhìn lời giải.
Hai biểu diễn
Kiểm công thức bằng bảng biến thiên, đồ thị, hình không gian, bảng dữ liệu hoặc đơn vị.
Phản ví dụ bắt buộc
Mỗi định lí phải đi cùng một trường hợp thiếu điều kiện để tránh học thuộc máy móc.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi lỗi, nguyên nhân và phép tự kiểm; không chép lại toàn bộ lời giải.
Ôn cách quãng 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và qua cổng lại sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Hệ trục tọa độ trong không gian1 2 3 4
Hệ trục OxyzOxyz gồm ba trục đôi một vuông góc, cùng gốc O; các vectơ đơn vị i,j,k. Đúng thứ tự x–y–z.
Điểm và vectơOM=(x;y;z) khi M(x;y;z); AB=B−A theo từng tọa độ. Cuối trừ đầu.
Trung điểm và trọng tâmM_AB=((xA+xB)/2;...); G_ABC=((xA+xB+xC)/3;...). Trung bình từng cột.
Độ dài và khoảng cáchAB=√[(xB−xA)²+(yB−yA)²+(zB−zA)²]. Hiệu–bình phương–cộng–căn.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
B7-NB-01Tính độ dài của vectơ u = (-2;3).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Bình phương hai tọa độ, cộng rồi lấy căn bậc hai.
Lời giải: |u| = √(-2² + 3²) = √13.
Vì sao: Công thức là hệ quả trực tiếp của định lí Pythagore.
Sai ở đâu: Cộng trực tiếp hai tọa độ hoặc quên lấy căn.
Cách khác: Dựng tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là |x| và |y|.
B7-NB-02Tính tích vô hướng của u = (-1;4) và v = (3;1).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhân các tọa độ cùng vị trí rồi cộng.
Lời giải: u·v = -1·3 + 4·1 = 1.
Vì sao: Tích vô hướng là một số, không phải một vectơ.
Sai ở đâu: Nhân chéo tọa độ hoặc viết kết quả dưới dạng cặp.
Cách khác: Kiểm tính giao hoán: u·v phải bằng v·u.
B7-NB-03Trong mặt phẳng, cho A(0;5), B(5;4). Tìm vectơ AB.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu.
Lời giải: AB = (5; -1).
Vì sao: Vectơ AB mang hướng từ A đến B nên phải lấy B − A.
Sai ở đâu: Lấy A − B nên thu được vectơ BA.
Cách khác: Cộng vectơ kết quả với tọa độ A để phải thu được B.
B7-NB-04Tìm trung điểm M của A(0;3;0) và B(6;2;3).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy trung bình cộng từng cặp tọa độ.
Lời giải: M(3;2,5;1,5).
Vì sao: Trung điểm cân bằng A và B trên cả ba trục.
Sai ở đâu: Lấy hiệu hoặc chỉ chia một tọa độ cho 2.
Cách khác: Kiểm MA và MB có vectơ đối nhau.
B7-NB-05Điểm P(1;5;3) chiếu vuông góc xuống mặt phẳng Oxy tại H. Tìm H.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Giữ x,y và cho tọa độ z bằng 0.
Lời giải: H(1;5;0).
Vì sao: Mặt phẳng Oxy có phương trình tọa độ z=0.
Sai ở đâu: Cho cả ba tọa độ bằng 0 hoặc xóa nhầm x/y.
Cách khác: Di chuyển P song song trục Oz cho tới khi z=0.
B7-NB-06Tính khoảng cách từ M(2;1;-1) đến gốc O.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: OM có tọa độ đúng bằng tọa độ M.
Lời giải: OM=√(2²+1²+-1²)=√6.
Vì sao: Khoảng cách tới gốc là chuẩn Euclid của vectơ vị trí.
Sai ở đâu: Cộng tọa độ có dấu thay vì bình phương.
Cách khác: Kiểm kết quả không âm và không nhỏ hơn trị tuyệt đối từng tọa độ.
B7-NB-07Cho A(3;3;2), B(2;0;6). Tìm tọa độ vectơ AB.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy B−A theo từng trục x, y, z.
Lời giải: AB=(-1;-3;4).
Vì sao: Ba tọa độ được xử lí độc lập nhưng phải giữ cùng thứ tự trục.
Sai ở đâu: Lấy A−B hoặc đổi chỗ y và z.
Cách khác: Kiểm A+AB=B theo từng tọa độ.
B7-NB-08Tính khoảng cách giữa A(-3;5;-2) và B(4;-3;5).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tìm AB rồi dùng căn tổng bình phương ba tọa độ.
Lời giải: AB=(7;-8;7); d(A,B)=√162.
Vì sao: Công thức là định lí Pythagore mở rộng trong không gian.
Sai ở đâu: Cộng ba hiệu mà không bình phương hoặc quên căn.
Cách khác: Tính bình phương khoảng cách trước để tránh sai căn.
B7-NB-09Tìm trung điểm M của A(-2;1;1) và B(6;1;4).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy trung bình cộng từng cặp tọa độ.
Lời giải: M(2;1;2,5).
Vì sao: Trung điểm cân bằng A và B trên cả ba trục.
Sai ở đâu: Lấy hiệu hoặc chỉ chia một tọa độ cho 2.
Cách khác: Kiểm MA và MB có vectơ đối nhau.
B7-NB-10Điểm P(-1;3;4) chiếu vuông góc xuống mặt phẳng Oxy tại H. Tìm H.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Giữ x,y và cho tọa độ z bằng 0.
Lời giải: H(-1;3;0).
Vì sao: Mặt phẳng Oxy có phương trình tọa độ z=0.
Sai ở đâu: Cho cả ba tọa độ bằng 0 hoặc xóa nhầm x/y.
Cách khác: Di chuyển P song song trục Oz cho tới khi z=0.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
[B7-NB-01] Tính độ dài của vectơ u = (-2;3).
BA DẠNG TRẮC NGHIỆM HIỆN HÀNH
Cùng một bản chất, ba cách kiểm tra năng lực
Định dạng ôn tốt nghiệp gồm nhiều lựa chọn, đúng–sai bốn ý và trả lời ngắn; tự luận phía sau dùng để học sâu, không gắn sai nhãn thành cấu trúc đề thi.
Nhiều lựa chọn
50 câu tự chấm ngay phía trên; phương án nhiễu xuất phát từ lỗi điều kiện, dấu, thứ tự hoặc thiếu ứng viên.
Chọn đáp án rồi đọc giải thích và ghi lỗi.Đúng–sai bốn ý
Một cụm mẫu dùng chung bối cảnh “Hệ trục tọa độ trong không gian”:
- a) Oxyz gồm ba trục đôi một vuông góc, cùng gốc O; các vectơ đơn vị i,j,k.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Ba trục vuông góc cho ba hướng trái–phải, trước–sau, lên–xuống. Ví dụ kiểm chứng: M(2;−1;3) có ba hình chiếu theo trục.
- b) OM=(x;y;z) khi M(x;y;z); AB=B−A theo từng tọa độ.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Điểm cho vị trí; vectơ cho bước dịch từ vị trí này sang vị trí khác. Ví dụ kiểm chứng: A(1;2;0), B(3;1;4) ⇒ AB=(2;−1;4).
- c) M_AB=((xA+xB)/2;...); G_ABC=((xA+xB+xC)/3;...).
Đáp án và căn cứ
Đúng. Lấy trung bình các vị trí theo từng trục. Ví dụ kiểm chứng: Trung điểm của (0;0;0) và (2;4;6) là (1;2;3).
- d) AB=√[(xB−xA)²+(yB−yA)²+(zB−zA)²].
Đáp án và căn cứ
Đúng. Ba độ dịch vuông góc ghép bằng Pythagore ba chiều. Ví dụ kiểm chứng: A(0;0;0), B(1;2;2) ⇒ AB=3.
Trả lời ngắn
Tự lập mô hình và điền kết quả, không có phương án gợi ý:
- Tính độ dài của vectơ u = (1;2).
Đáp án
√5
- Tính tích vô hướng của u = (2;3) và v = (6;0).
Đáp án
12
- Trong mặt phẳng, cho A(-3;4), B(3;3). Tìm vectơ AB.
Đáp án
(6; -1)
- Tính khoảng cách từ M(0;3;0) đến gốc O.
Đáp án
√9
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Tính độ dài của vectơ u = (-2;3).
Gợi ý: Bình phương hai tọa độ, cộng rồi lấy căn bậc hai.
Lời giải: |u| = √(-2² + 3²) = √13.
Giải thích: Công thức là hệ quả trực tiếp của định lí Pythagore.
Lỗi cần tránh: Cộng trực tiếp hai tọa độ hoặc quên lấy căn.
Cách khác: Dựng tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là |x| và |y|.
TỰ LUẬN 2Tính khoảng cách từ M(2;1;-1) đến gốc O.
Gợi ý: OM có tọa độ đúng bằng tọa độ M.
Lời giải: OM=√(2²+1²+-1²)=√6.
Giải thích: Khoảng cách tới gốc là chuẩn Euclid của vectơ vị trí.
Lỗi cần tránh: Cộng tọa độ có dấu thay vì bình phương.
Cách khác: Kiểm kết quả không âm và không nhỏ hơn trị tuyệt đối từng tọa độ.
TỰ LUẬN 3Tính khoảng cách từ M(0;5;0) đến gốc O.
Gợi ý: OM có tọa độ đúng bằng tọa độ M.
Lời giải: OM=√(0²+5²+0²)=√25.
Giải thích: Khoảng cách tới gốc là chuẩn Euclid của vectơ vị trí.
Lỗi cần tránh: Cộng tọa độ có dấu thay vì bình phương.
Cách khác: Kiểm kết quả không âm và không nhỏ hơn trị tuyệt đối từng tọa độ.
TỰ LUẬN 4Tính khoảng cách từ M(-2;3;1) đến gốc O.
Gợi ý: OM có tọa độ đúng bằng tọa độ M.
Lời giải: OM=√(-2²+3²+1²)=√14.
Giải thích: Khoảng cách tới gốc là chuẩn Euclid của vectơ vị trí.
Lỗi cần tránh: Cộng tọa độ có dấu thay vì bình phương.
Cách khác: Kiểm kết quả không âm và không nhỏ hơn trị tuyệt đối từng tọa độ.
TỰ LUẬN 5Tính độ dài của vectơ u = (1;1).
Gợi ý: Bình phương hai tọa độ, cộng rồi lấy căn bậc hai.
Lời giải: |u| = √(1² + 1²) = √2.
Giải thích: Công thức là hệ quả trực tiếp của định lí Pythagore.
Lỗi cần tránh: Cộng trực tiếp hai tọa độ hoặc quên lấy căn.
Cách khác: Dựng tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là |x| và |y|.
TỰ LUẬN 6Điểm P(2;3;-1) chiếu vuông góc xuống mặt phẳng Oxy tại H. Tìm H.
Gợi ý: Giữ x,y và cho tọa độ z bằng 0.
Lời giải: H(2;3;0).
Giải thích: Mặt phẳng Oxy có phương trình tọa độ z=0.
Lỗi cần tránh: Cho cả ba tọa độ bằng 0 hoặc xóa nhầm x/y.
Cách khác: Di chuyển P song song trục Oz cho tới khi z=0.
TỰ LUẬN 7Điểm P(0;1;0) chiếu vuông góc xuống mặt phẳng Oxy tại H. Tìm H.
Gợi ý: Giữ x,y và cho tọa độ z bằng 0.
Lời giải: H(0;1;0).
Giải thích: Mặt phẳng Oxy có phương trình tọa độ z=0.
Lỗi cần tránh: Cho cả ba tọa độ bằng 0 hoặc xóa nhầm x/y.
Cách khác: Di chuyển P song song trục Oz cho tới khi z=0.
TỰ LUẬN 8Điểm P(-2;5;1) chiếu vuông góc xuống mặt phẳng Oxy tại H. Tìm H.
Gợi ý: Giữ x,y và cho tọa độ z bằng 0.
Lời giải: H(-2;5;0).
Giải thích: Mặt phẳng Oxy có phương trình tọa độ z=0.
Lỗi cần tránh: Cho cả ba tọa độ bằng 0 hoặc xóa nhầm x/y.
Cách khác: Di chuyển P song song trục Oz cho tới khi z=0.
TỰ LUẬN 9Tính độ dài của vectơ u = (-2;4).
Gợi ý: Bình phương hai tọa độ, cộng rồi lấy căn bậc hai.
Lời giải: |u| = √(-2² + 4²) = √20.
Giải thích: Công thức là hệ quả trực tiếp của định lí Pythagore.
Lỗi cần tránh: Cộng trực tiếp hai tọa độ hoặc quên lấy căn.
Cách khác: Dựng tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là |x| và |y|.
TỰ LUẬN 10Tìm trung điểm M của A(2;5;-1) và B(6;3;5).
Gợi ý: Lấy trung bình cộng từng cặp tọa độ.
Lời giải: M(4;4;2).
Giải thích: Trung điểm cân bằng A và B trên cả ba trục.
Lỗi cần tránh: Lấy hiệu hoặc chỉ chia một tọa độ cho 2.
Cách khác: Kiểm MA và MB có vectơ đối nhau.
TỰ LUẬN 11Tìm trung điểm M của A(0;3;0) và B(6;2;6).
Gợi ý: Lấy trung bình cộng từng cặp tọa độ.
Lời giải: M(3;2,5;3).
Giải thích: Trung điểm cân bằng A và B trên cả ba trục.
Lỗi cần tránh: Lấy hiệu hoặc chỉ chia một tọa độ cho 2.
Cách khác: Kiểm MA và MB có vectơ đối nhau.
TỰ LUẬN 12Tìm trung điểm M của A(-2;1;1) và B(6;1;1).
Gợi ý: Lấy trung bình cộng từng cặp tọa độ.
Lời giải: M(2;1;1).
Giải thích: Trung điểm cân bằng A và B trên cả ba trục.
Lỗi cần tránh: Lấy hiệu hoặc chỉ chia một tọa độ cho 2.
Cách khác: Kiểm MA và MB có vectơ đối nhau.
TỰ LUẬN 13Tính độ dài của vectơ u = (1;2).
Gợi ý: Bình phương hai tọa độ, cộng rồi lấy căn bậc hai.
Lời giải: |u| = √(1² + 2²) = √5.
Giải thích: Công thức là hệ quả trực tiếp của định lí Pythagore.
Lỗi cần tránh: Cộng trực tiếp hai tọa độ hoặc quên lấy căn.
Cách khác: Dựng tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là |x| và |y|.
TỰ LUẬN 14Tính khoảng cách giữa A(2;1;-1) và B(4;3;4).
Gợi ý: Tìm AB rồi dùng căn tổng bình phương ba tọa độ.
Lời giải: AB=(2;2;5); d(A,B)=√33.
Giải thích: Công thức là định lí Pythagore mở rộng trong không gian.
Lỗi cần tránh: Cộng ba hiệu mà không bình phương hoặc quên căn.
Cách khác: Tính bình phương khoảng cách trước để tránh sai căn.
TỰ LUẬN 15Tính khoảng cách giữa A(0;5;0) và B(4;2;5).
Gợi ý: Tìm AB rồi dùng căn tổng bình phương ba tọa độ.
Lời giải: AB=(4;-3;5); d(A,B)=√50.
Giải thích: Công thức là định lí Pythagore mở rộng trong không gian.
Lỗi cần tránh: Cộng ba hiệu mà không bình phương hoặc quên căn.
Cách khác: Tính bình phương khoảng cách trước để tránh sai căn.
TỰ LUẬN 16Tính khoảng cách giữa A(-2;3;1) và B(4;1;6).
Gợi ý: Tìm AB rồi dùng căn tổng bình phương ba tọa độ.
Lời giải: AB=(6;-2;5); d(A,B)=√65.
Giải thích: Công thức là định lí Pythagore mở rộng trong không gian.
Lỗi cần tránh: Cộng ba hiệu mà không bình phương hoặc quên căn.
Cách khác: Tính bình phương khoảng cách trước để tránh sai căn.
TỰ LUẬN 17Tính độ dài của vectơ u = (-2;5).
Gợi ý: Bình phương hai tọa độ, cộng rồi lấy căn bậc hai.
Lời giải: |u| = √(-2² + 5²) = √29.
Giải thích: Công thức là hệ quả trực tiếp của định lí Pythagore.
Lỗi cần tránh: Cộng trực tiếp hai tọa độ hoặc quên lấy căn.
Cách khác: Dựng tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là |x| và |y|.
TỰ LUẬN 18Cho A(2;3;-1), B(2;3;3). Tìm tọa độ vectơ AB.
Gợi ý: Lấy B−A theo từng trục x, y, z.
Lời giải: AB=(0;0;4).
Giải thích: Ba tọa độ được xử lí độc lập nhưng phải giữ cùng thứ tự trục.
Lỗi cần tránh: Lấy A−B hoặc đổi chỗ y và z.
Cách khác: Kiểm A+AB=B theo từng tọa độ.
TỰ LUẬN 19Cho A(0;1;0), B(2;2;4). Tìm tọa độ vectơ AB.
Gợi ý: Lấy B−A theo từng trục x, y, z.
Lời giải: AB=(2;1;4).
Giải thích: Ba tọa độ được xử lí độc lập nhưng phải giữ cùng thứ tự trục.
Lỗi cần tránh: Lấy A−B hoặc đổi chỗ y và z.
Cách khác: Kiểm A+AB=B theo từng tọa độ.
TỰ LUẬN 20Cho A(-2;5;1), B(2;1;5). Tìm tọa độ vectơ AB.
Gợi ý: Lấy B−A theo từng trục x, y, z.
Lời giải: AB=(4;-4;4).
Giải thích: Ba tọa độ được xử lí độc lập nhưng phải giữ cùng thứ tự trục.
Lỗi cần tránh: Lấy A−B hoặc đổi chỗ y và z.
Cách khác: Kiểm A+AB=B theo từng tọa độ.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B7-NB-01, B7-NB-02, B7-NB-03, B7-NB-04, B7-NB-05, B7-NB-06, B7-NB-07, B7-NB-08, B7-NB-09, B7-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B7-NB-01: √13
- B7-NB-02: 1
- B7-NB-03: (5; -1)
- B7-NB-04: M(3;2,5;1,5)
- B7-NB-05: (1;5;0)
- B7-NB-06: √6
- B7-NB-07: (-1;-3;4)
- B7-NB-08: √162
- B7-NB-09: M(2;1;2,5)
- B7-NB-10: (-1;3;0)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 2
10 câu đại diện: B7-NB-11, B7-NB-12, B7-NB-13, B7-NB-14, B7-NB-15, B7-NB-16, B7-NB-17, B7-NB-18, B7-NB-19, B7-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B7-NB-11: √25
- B7-NB-12: (1;-2;-2)
- B7-NB-13: √53
- B7-NB-14: M(4,5;2,5;3,5)
- B7-NB-15: (-3;1;0)
- B7-NB-16: √14
- B7-NB-17: (3;-7;-2)
- B7-NB-18: √18
- B7-NB-19: M(3,5;1;4,5)
- B7-NB-20: (2;5;0)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B7-TH-01, B7-TH-02, B7-TH-03, B7-TH-04, B7-TH-05, B7-TH-06, B7-TH-07, B7-TH-08, B7-TH-09, B7-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B7-TH-01: √2
- B7-TH-02: 14
- B7-TH-03: (9; -4)
- B7-TH-04: √29
- B7-TH-05: M(3,5;0;2)
- B7-TH-06: (2;3;0)
- B7-TH-07: √38
- B7-TH-08: (5;-4;6)
- B7-TH-09: √44
- B7-TH-10: M(2,5;1,5;3)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B7-TH-11, B7-TH-12, B7-TH-13, B7-TH-14, B7-TH-15, B7-TH-16, B7-TH-17, B7-TH-18, B7-TH-19, B7-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B7-TH-11: (0;1;0)
- B7-TH-12: √19
- B7-TH-13: (0;-2;6)
- B7-TH-14: √6
- B7-TH-15: M(1,5;0;0,5)
- B7-TH-16: (-2;5;0)
- B7-TH-17: √18
- B7-TH-18: (2;-1;6)
- B7-TH-19: √49
- B7-TH-20: M(4;2;1,5)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề ôn tốt nghiệp tổng hợp
10 câu đại diện: B7-VD-01, B7-VD-02, B7-VD-03, B7-VD-04, B7-VD-05, B7-VD-06, B7-VD-07, B7-VD-08, B7-VD-09, B7-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B7-VD-01: √20
- B7-VD-02: -15
- B7-VD-03: (2; 0)
- B7-VD-04: (2;1;1)
- B7-VD-05: √34
- B7-VD-06: M(4;4;2)
- B7-VD-07: (3;1;0)
- B7-VD-08: √22
- B7-VD-09: (4;-4;1)
- B7-VD-10: √43
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi phiên 40–55 phút; yêu cầu con nêu điều kiện và dự đoán dấu, đơn vị trước khi tính.
- Không hỏi “đáp án bao nhiêu” trước; hỏi “vì sao chọn công cụ này” và “kiểm bằng cách nào”.
- Theo dõi ba lỗi lặp gần nhất, không gây áp lực bằng số câu đã làm.
- Một tuần nên có một phiên 90 phút mô phỏng và một phiên chữa sâu.
- Mở bài bằng một bối cảnh hoặc phản ví dụ có thể kiểm chứng.
- Chấm theo năm mốc: mô hình–điều kiện–công thức–tính toán–diễn giải.
- Trộn đúng 15% nền trực tiếp; không lấy câu cũ ngẫu nhiên chỉ để đủ tỉ lệ.
- Đề định hướng Hà Nội phải ghi rõ là nội bộ tham khảo và có đủ ba dạng trắc nghiệm hiện hành.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.