Biến dữ kiện thành quyết định
Bài học giúp mô hình hóa khôi phục vị trí từ vận tốc, chi phí từ chi phí biên, dân số và lượng tích lũy bằng công cụ có thể kiểm chứng.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- F là nguyên hàm của f trên I khi F′=f trên I.
- Mọi nguyên hàm của f trên một khoảng có dạng F+C.
- ∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C với n≠−1.
Bài 11. Nguyên hàm
Hiểu nguyên hàm là phép toán ngược của đạo hàm trên một khoảng; dùng tính chất tuyến tính, bảng nguyên hàm cơ bản và điều kiện ban đầu để xác định một nguyên hàm cụ thể.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Biết đọc dữ kiện, nêu điều kiện, thực hiện và giải thích kết quả.
Gọi đúng nền
Kích hoạt đạo hàm, hàm hợp, lượng giác, hàm mũ–lôgarit và miền xác định rồi chuẩn bị cho Bài 12. Tích phân.
Ba dạng, một bản chất
Luyện nhiều lựa chọn, đúng–sai và trả lời ngắn trên cùng một mạch suy luận.
- Nhận biết và kiểm chứng một nguyên hàm bằng đạo hàm.
- Dùng đúng bảng nguyên hàm và tính tuyến tính.
- Giữ hằng số C và miền xác định của công thức.
- Tìm nguyên hàm thỏa điều kiện ban đầu.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Đạo hàm, hàm hợp, lượng giác, hàm mũ–lôgarit và miền xác định.
- Viết miền xác định, đối tượng, phân hoạch hoặc đơn vị trước phép tính.
- Dự đoán dấu, độ lớn, vị trí hoặc miền giá trị của kết quả.
- Kiểm bằng đạo hàm, phép thế, hình học, bảng tần số hoặc công thức thứ hai.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Khái niệm nguyên hàm
Hiểu đơn giản: Nếu đạo hàm là đi từ quãng đường sang vận tốc thì nguyên hàm là tìm lại họ quãng đường có cùng vận tốc.
F là nguyên hàm của f trên khoảng I nếu F′(x)=f(x) với mọi x∈I.
Ví dụ: F=x² là một nguyên hàm của f=2x.
Hình nên dùng: Hai đồ thị F và F+C dịch đứng.
Mô phỏng: Kéo C để thấy đạo hàm không đổi.
Mẹo nhớ: Nguyên hàm xong, đạo hàm lại.
Sai lầm: Chỉ so hình thức F và f mà không lấy đạo hàm.
Ghi chú: Khái niệm được phát biểu trên một khoảng.
Họ nguyên hàm và hằng số C
Hiểu đơn giản: Các nguyên hàm của cùng một hàm chỉ khác nhau một độ dịch đứng.
Nếu F′=f trên I thì ∫f(x)dx=F(x)+C, C∈ℝ.
Ví dụ: ∫2x dx=x²+C.
Hình nên dùng: Một bó parabol song song theo phương đứng.
Mô phỏng: Thay đổi C và so đạo hàm.
Mẹo nhớ: Không C, mất cả họ.
Sai lầm: Chọn C=0 mà đề chưa cho điều kiện.
Ghi chú: Điều kiện F(x₀)=y₀ mới xác định được C.
Bảng nguyên hàm cơ bản
Hiểu đơn giản: Mỗi công thức nên được nhớ theo cặp với công thức đạo hàm tương ứng.
∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C (n≠−1); ∫eˣdx=eˣ+C; ∫1/x dx=ln|x|+C; ∫cos x dx=sin x+C.
Ví dụ: ∫x³dx=x⁴/4+C.
Hình nên dùng: Bảng hai cột đạo hàm ↔ nguyên hàm.
Mô phỏng: Che một cột rồi tự phục hồi.
Mẹo nhớ: Tăng mũ, chia mũ mới.
Sai lầm: Áp dụng công thức lũy thừa cho n=−1.
Ghi chú: Luôn kiểm miền của 1/x, tan x và các hàm có mẫu.
Tính tuyến tính và điều kiện đầu
Hiểu đơn giản: Tách tổng–hiệu và đưa hằng số ra ngoài, rồi dùng dữ kiện để chọn C.
∫[af(x)+bg(x)]dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx; sau đó dùng F(x₀)=y₀ nếu có.
Ví dụ: F′=6x+1, F(0)=2 ⇒ F=3x²+x+2.
Hình nên dùng: Sơ đồ họ hàm → thế điểm → chọn một đường.
Mô phỏng: Thay điểm điều kiện.
Mẹo nhớ: Tìm họ trước, khóa C sau.
Sai lầm: Thế điều kiện vào f thay vì F.
Ghi chú: Kiểm cả F′=f và điều kiện ban đầu.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Đạo hàm ngược, thế cận và ước lượng độ lớn
Thay hệ số của f(x)=ax²+bx+c và hai cận. Công cụ tính một nguyên hàm, tích phân có hướng và giá trị ước lượng bằng trung điểm để tự kiểm.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B11-NB-04
Đề bài: Biết F và G đều là nguyên hàm của cùng hàm f trên một khoảng. Kết luận về F−G.
Phân tích: Lấy đạo hàm của hiệu.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Lấy đạo hàm của hiệu.
- Bước 2: (F−G)'=F'−G'=f−f=0, nên F−G là một hằng số.
- Bước 3: Kết luận F−G là hằng số.
Vì sao: Trên một khoảng liên thông, hàm có đạo hàm bằng 0 là hàm hằng.
Cách khác: Viết F=G+C.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Kết luận F=G trong mọi trường hợp.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B11-NB-01
Đề bài: Kiểm tra G(x)=3x⁴/4+4 có phải một nguyên hàm của g(x)=3x³ không.
Phân tích: Lấy đạo hàm G.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- G'(x)=3x³=g(x), nên G là một nguyên hàm của g.
Vì sao: Hai hàm là quan hệ nguyên hàm–đạo hàm khi đạo hàm hàm thứ nhất bằng hàm thứ hai.
Cách khác: Dùng định nghĩa F'=f.
Tự kiểm: Kết quả: Có. So sánh G với g mà không lấy đạo hàm.
03 • Vận dụngVí dụ 3 • B11-TH-04
Đề bài: Cho F'(x)=2x+2 và F(0)=1. Tính F(1). Chọn kết quả trực tiếp rồi kiểm tra bằng phép đạo hàm ngược.
Phân tích: F(x)=x²+2x+C; điều kiện F(0)=1 cho C=1.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- F(x)=x²+2x+C; điều kiện F(0)=1 cho C=1. Suy ra F(1)=1+2+1=4.
Vì sao: F(x)=x²+2x+C; điều kiện F(0)=1 cho C=1. Suy ra F(1)=1+2+1=4.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 4. Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B11-TH-14
Đề bài: Tìm họ nguyên hàm của f(x)=5x^1.
Phân tích: Tăng số mũ lên 1, chia cho số mũ mới và thêm C.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Tăng số mũ lên 1, chia cho số mũ mới và thêm C.
- Bước 2: ∫5x^1dx=(5/2)x^2+C.
- Bước 3: Kết luận (5/2)x^2+C.
Vì sao: Vì đạo hàm của x^(n+1) là (n+1)x^n.
Cách khác: Đạo hàm kết quả để quay lại hàm dưới dấu tích phân.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Giảm số mũ như khi lấy đạo hàm hoặc quên +C.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B11-VD-04
Đề bài: Một nguyên hàm của f(x)=e^(2x) là: Chọn kết quả trực tiếp rồi kiểm tra bằng phép đạo hàm ngược. Các lựa chọn: A. e^x/2+C ; B. e^(2x)/2+C ; C. 2e^(2x)+C ; D. e^(2x)+C
Phân tích: Đặt u=2x thì du=2dx.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Đặt u=2x thì du=2dx. Vì (e^(2x)/2)'=e^(2x), đáp án đúng là e^(2x)/2+C.
Vì sao: Đặt u=2x thì du=2dx. Vì (e^(2x)/2)'=e^(2x), đáp án đúng là e^(2x)/2+C.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: e^(2x)/2+C. Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
06 • Thông hiểuVí dụ 6 • B11-VD-14
Đề bài: Tính ∫dx/sqrt(2x+5). Chọn kết quả trực tiếp rồi kiểm tra bằng phép đạo hàm ngược.
Phân tích: Đặt u=2x+5, dx=du/2.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Đặt u=2x+5, dx=du/2. ∫u^(−1/2)du/2=2sqrt(u)/2+C=2sqrt(2x+5)/2+C.
Vì sao: Đặt u=2x+5, dx=du/2. ∫u^(−1/2)du/2=2sqrt(u)/2+C=2sqrt(2x+5)/2+C.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 2sqrt(2x+5)/2+C. Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B11-VDC-04
Đề bài: F'(x)=ax+b trên ℝ, F(0)=0, F(1)=3, F(2)=9. Tìm a,b rồi tính F(3). Không được bỏ hằng số nguyên hàm trước khi dùng điều kiện.
Phân tích: Tích phân không xác định cho F(x)=ax²/2+bx+C
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Tích phân không xác định cho F(x)=ax²/2+bx+C. F(0)=0 cho C=0. Hai điều kiện còn lại cho a/2+b=3, 2a+2b=9, suy ra a=3, b=3/2. Do đó F(3)=9·3/2+3·3/2=18.
Vì sao: Tích phân không xác định cho F(x)=ax²/2+bx+C. F(0)=0 cho C=0. Hai điều kiện còn lại cho a/2+b=3, 2a+2b=9, suy ra a=3, b=3/2. Do đó F(3)=9·3/2+3·3/2=18.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 18. Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
08 • Vận dụngVí dụ 8 • B11-VDC-14
Đề bài: Một nguyên hàm của f(x) = 4x là Các lựa chọn: A. 2x² ; B. 4x ; C. 2x ; D. 4x²
Phân tích: Dùng ∫x dx = x²/2 + C.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Dùng ∫x dx = x²/2 + C. Một nguyên hàm là 4·x²/2 = 2x².
Vì sao: Dùng ∫x dx = x²/2 + C. Một nguyên hàm là 4·x²/2 = 2x².
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 2x². Không tăng số mũ và chia cho số mũ mới.
09 • Vận dụngVí dụ 9 • B11-TT-04
Đề bài: Cho F'(x)=2x+2 và F(0)=2. Tính F(1). Chọn kết quả trực tiếp rồi kiểm tra bằng phép đạo hàm ngược.
Phân tích: F(x)=x²+2x+C; điều kiện F(0)=2 cho C=2.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- F(x)=x²+2x+C; điều kiện F(0)=2 cho C=2. Suy ra F(1)=1+2+2=5.
Vì sao: F(x)=x²+2x+C; điều kiện F(0)=2 cho C=2. Suy ra F(1)=1+2+2=5.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 5. Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
10 • Vận dụngVí dụ 10 • B11-TT-14
Đề bài: Một nguyên hàm của f(x)=1/(3x+1)² là: Cần giữ đúng hằng số và điều kiện đã cho. Các lựa chọn: A. −3/(3x+1)+C ; B. ln|3x+1|+C ; C. −1/(3(3x+1))+C ; D. 1/(3x+1)+C
Phân tích: Đặt u=3x+1, du=3dx.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Đặt u=3x+1, du=3dx. ∫u^(−2)du/3=−1/(3u)+C=−1/(3(3x+1))+C.
Vì sao: Đặt u=3x+1, du=3dx. ∫u^(−2)du/3=−1/(3u)+C=−1/(3(3x+1))+C.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: −1/(3(3x+1))+C. Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua nguyên hàm
Tình huống 1 dùng khôi phục vị trí từ vận tốc, chi phí từ chi phí biên, dân số và lượng tích lũy; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Trường học qua nguyên hàm
Tình huống 2 dùng khôi phục vị trí từ vận tốc, chi phí từ chi phí biên, dân số và lượng tích lũy; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua nguyên hàm
Tình huống 3 dùng khôi phục vị trí từ vận tốc, chi phí từ chi phí biên, dân số và lượng tích lũy; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua nguyên hàm
Tình huống 4 dùng khôi phục vị trí từ vận tốc, chi phí từ chi phí biên, dân số và lượng tích lũy; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua nguyên hàm
Tình huống 5 dùng khôi phục vị trí từ vận tốc, chi phí từ chi phí biên, dân số và lượng tích lũy; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua nguyên hàm
Tình huống 6 dùng khôi phục vị trí từ vận tốc, chi phí từ chi phí biên, dân số và lượng tích lũy; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua nguyên hàm
Tình huống 7 dùng khôi phục vị trí từ vận tốc, chi phí từ chi phí biên, dân số và lượng tích lũy; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua nguyên hàm
Tình huống 8 dùng khôi phục vị trí từ vận tốc, chi phí từ chi phí biên, dân số và lượng tích lũy; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Khái niệm nguyên hàm theo cách trực quan?
Nếu đạo hàm là đi từ quãng đường sang vận tốc thì nguyên hàm là tìm lại họ quãng đường có cùng vận tốc. Phát biểu chính xác: F là nguyên hàm của f trên khoảng I nếu F′(x)=f(x) với mọi x∈I. Ví dụ: F=x² là một nguyên hàm của f=2x. Mẹo: Nguyên hàm xong, đạo hàm lại. Cần tránh: Chỉ so hình thức F và f mà không lấy đạo hàm.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Quên hằng số C
Chỉ so hình thức F và f mà không lấy đạo hàm. Sửa bằng: Nguyên hàm xong, đạo hàm lại. Kiểm cuối: Khái niệm được phát biểu trên một khoảng.
Dùng quy tắc đạo hàm thay cho nguyên hàm
Chọn C=0 mà đề chưa cho điều kiện. Sửa bằng: Không C, mất cả họ. Kiểm cuối: Điều kiện F(x₀)=y₀ mới xác định được C.
Sai dấu nguyên hàm lượng giác
Áp dụng công thức lũy thừa cho n=−1. Sửa bằng: Tăng mũ, chia mũ mới. Kiểm cuối: Luôn kiểm miền của 1/x, tan x và các hàm có mẫu.
Viết ln x thay ln|x|
Thế điều kiện vào f thay vì F. Sửa bằng: Tìm họ trước, khóa C sau. Kiểm cuối: Kiểm cả F′=f và điều kiện ban đầu.
Dùng điều kiện ban đầu trước khi tìm họ hàm
Chỉ so hình thức F và f mà không lấy đạo hàm. Sửa bằng: Nguyên hàm xong, đạo hàm lại. Kiểm cuối: Khái niệm được phát biểu trên một khoảng.
Quên hằng số C – tình huống 6
Chọn C=0 mà đề chưa cho điều kiện. Sửa bằng: Không C, mất cả họ. Kiểm cuối: Điều kiện F(x₀)=y₀ mới xác định được C.
Dùng quy tắc đạo hàm thay cho nguyên hàm – tình huống 7
Áp dụng công thức lũy thừa cho n=−1. Sửa bằng: Tăng mũ, chia mũ mới. Kiểm cuối: Luôn kiểm miền của 1/x, tan x và các hàm có mẫu.
Sai dấu nguyên hàm lượng giác – tình huống 8
Thế điều kiện vào f thay vì F. Sửa bằng: Tìm họ trước, khóa C sau. Kiểm cuối: Kiểm cả F′=f và điều kiện ban đầu.
Viết ln x thay ln|x| – tình huống 9
Chỉ so hình thức F và f mà không lấy đạo hàm. Sửa bằng: Nguyên hàm xong, đạo hàm lại. Kiểm cuối: Khái niệm được phát biểu trên một khoảng.
Dùng điều kiện ban đầu trước khi tìm họ hàm – tình huống 10
Chọn C=0 mà đề chưa cho điều kiện. Sửa bằng: Không C, mất cả họ. Kiểm cuối: Điều kiện F(x₀)=y₀ mới xác định được C.
Quên hằng số C – tình huống 11
Áp dụng công thức lũy thừa cho n=−1. Sửa bằng: Tăng mũ, chia mũ mới. Kiểm cuối: Luôn kiểm miền của 1/x, tan x và các hàm có mẫu.
Dùng quy tắc đạo hàm thay cho nguyên hàm – tình huống 12
Thế điều kiện vào f thay vì F. Sửa bằng: Tìm họ trước, khóa C sau. Kiểm cuối: Kiểm cả F′=f và điều kiện ban đầu.
Sai dấu nguyên hàm lượng giác – tình huống 13
Chỉ so hình thức F và f mà không lấy đạo hàm. Sửa bằng: Nguyên hàm xong, đạo hàm lại. Kiểm cuối: Khái niệm được phát biểu trên một khoảng.
Viết ln x thay ln|x| – tình huống 14
Chọn C=0 mà đề chưa cho điều kiện. Sửa bằng: Không C, mất cả họ. Kiểm cuối: Điều kiện F(x₀)=y₀ mới xác định được C.
Dùng điều kiện ban đầu trước khi tìm họ hàm – tình huống 15
Áp dụng công thức lũy thừa cho n=−1. Sửa bằng: Tăng mũ, chia mũ mới. Kiểm cuối: Luôn kiểm miền của 1/x, tan x và các hàm có mẫu.
Quên hằng số C – tình huống 16
Thế điều kiện vào f thay vì F. Sửa bằng: Tìm họ trước, khóa C sau. Kiểm cuối: Kiểm cả F′=f và điều kiện ban đầu.
Dùng quy tắc đạo hàm thay cho nguyên hàm – tình huống 17
Chỉ so hình thức F và f mà không lấy đạo hàm. Sửa bằng: Nguyên hàm xong, đạo hàm lại. Kiểm cuối: Khái niệm được phát biểu trên một khoảng.
Sai dấu nguyên hàm lượng giác – tình huống 18
Chọn C=0 mà đề chưa cho điều kiện. Sửa bằng: Không C, mất cả họ. Kiểm cuối: Điều kiện F(x₀)=y₀ mới xác định được C.
Viết ln x thay ln|x| – tình huống 19
Áp dụng công thức lũy thừa cho n=−1. Sửa bằng: Tăng mũ, chia mũ mới. Kiểm cuối: Luôn kiểm miền của 1/x, tan x và các hàm có mẫu.
Dùng điều kiện ban đầu trước khi tìm họ hàm – tình huống 20
Thế điều kiện vào f thay vì F. Sửa bằng: Tìm họ trước, khóa C sau. Kiểm cuối: Kiểm cả F′=f và điều kiện ban đầu.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chẩn đoán 5 phút
Làm ba câu nền và nói thành lời điều kiện của công cụ trước khi học mới.
Chu trình 5–25–10
5 phút gọi nền, 25 phút học một nút, 10 phút làm lại không nhìn lời giải.
Hai biểu diễn
Kiểm công thức bằng đạo hàm, đồ thị, hình Oxyz, bảng xác suất hoặc đơn vị.
Phản ví dụ bắt buộc
Mỗi định lí đi cùng một trường hợp thiếu điều kiện để tránh học thuộc máy móc.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi lỗi, nguyên nhân và phép tự kiểm; không chép lại toàn bộ lời giải.
Ôn cách quãng 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và qua cổng lại sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Nguyên hàm1 2 3 4
Khái niệm nguyên hàmF là nguyên hàm của f trên khoảng I nếu F′(x)=f(x) với mọi x∈I. Nguyên hàm xong, đạo hàm lại.
Họ nguyên hàm và hằng số CNếu F′=f trên I thì ∫f(x)dx=F(x)+C, C∈ℝ. Không C, mất cả họ.
Bảng nguyên hàm cơ bản∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C (n≠−1); ∫eˣdx=eˣ+C; ∫1/x dx=ln|x|+C; ∫cos x dx=sin x+C. Tăng mũ, chia mũ mới.
Tính tuyến tính và điều kiện đầu∫[af(x)+bg(x)]dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx; sau đó dùng F(x₀)=y₀ nếu có. Tìm họ trước, khóa C sau.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
B11-NB-01Kiểm tra G(x)=3x⁴/4+4 có phải một nguyên hàm của g(x)=3x³ không.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy đạo hàm G.
Lời giải: G'(x)=3x³=g(x), nên G là một nguyên hàm của g.
Vì sao: Hai hàm là quan hệ nguyên hàm–đạo hàm khi đạo hàm hàm thứ nhất bằng hàm thứ hai.
Sai ở đâu: So sánh G với g mà không lấy đạo hàm.
Cách khác: Dùng định nghĩa F'=f.
B11-NB-02Tính đạo hàm của f(x)=4x³+1x.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng (xⁿ)'=nxⁿ⁻¹ và tính tuyến tính của đạo hàm.
Lời giải: f'(x)=12x²+1.
Vì sao: Đạo hàm là nền để kiểm ngược mọi kết quả nguyên hàm.
Sai ở đâu: Giữ nguyên số mũ hoặc quên nhân hệ số mũ.
Cách khác: Lấy đạo hàm từng hạng rồi cộng.
B11-NB-03Cho F(x)=5x²+2. Tính F'(2).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đạo hàm trước, thay số sau.
Lời giải: F'(x)=10x nên F'(2)=20.
Vì sao: Giá trị đạo hàm tại điểm là tốc độ biến thiên tại điểm đó.
Sai ở đâu: Thay x trước rồi đạo hàm một hằng số.
Cách khác: Dùng hệ số góc tiếp tuyến tại x=2.
B11-NB-04Biết F và G đều là nguyên hàm của cùng hàm f trên một khoảng. Kết luận về F−G.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy đạo hàm của hiệu.
Lời giải: (F−G)'=F'−G'=f−f=0, nên F−G là một hằng số.
Vì sao: Trên một khoảng liên thông, hàm có đạo hàm bằng 0 là hàm hằng.
Sai ở đâu: Kết luận F=G trong mọi trường hợp.
Cách khác: Viết F=G+C.
B11-NB-05Tìm họ nguyên hàm của f(x)=8x^1.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tăng số mũ lên 1, chia cho số mũ mới và thêm C.
Lời giải: ∫8x^1dx=(8/2)x^2+C.
Vì sao: Vì đạo hàm của x^(n+1) là (n+1)x^n.
Sai ở đâu: Giảm số mũ như khi lấy đạo hàm hoặc quên +C.
Cách khác: Đạo hàm kết quả để quay lại hàm dưới dấu tích phân.
B11-NB-06Tìm nguyên hàm F của f(x)=4x+2, biết F(0)=2.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tìm họ nguyên hàm rồi dùng điều kiện để xác định C.
Lời giải: F(x)=2x²+2x+C; F(0)=C=2. Vậy F(x)=2x²+2x+2.
Vì sao: Một điều kiện giá trị chọn đúng một hàm trong họ nguyên hàm.
Sai ở đâu: Bỏ hằng số C trước khi dùng điều kiện.
Cách khác: Kiểm đồng thời F'=f và F(0)=a.
B11-NB-07Tính ∫(3e^x+3/x)dx trên một khoảng không chứa 0.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng ∫e^x dx=e^x và ∫1/x dx=ln|x|.
Lời giải: ∫(3e^x+3/x)dx=3e^x+3ln|x|+C.
Vì sao: Giá trị tuyệt đối trong ln|x| giúp công thức đúng trên cả khoảng âm lẫn dương.
Sai ở đâu: Viết ln x mà không xét miền x<0 hoặc quên C.
Cách khác: Đạo hàm ln|x| bằng 1/x khi x≠0.
B11-NB-08Tính ∫(4cos x−4sin x)dx.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nguyên hàm của cos x là sin x; của −sin x là cos x.
Lời giải: Kết quả là 4sin x+4cos x+C.
Vì sao: Dấu của đạo hàm cos x là −sin x nên phải kiểm dấu.
Sai ở đâu: Viết nguyên hàm của sin x là cos x mà không đổi dấu.
Cách khác: Lấy đạo hàm kết quả để kiểm ngay.
B11-NB-09Một nguyên hàm của f(x)=x^2 là: Chọn kết quả trực tiếp rồi kiểm tra bằng phép đạo hàm ngược. Các lựa chọn: A. x^3+C ; B. 2x^1+C ; C. x^2/2+C ; D. x^3/3+C
Mục tiêu: Vận dụng — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng công thức ∫x^n dx=x^(n+1)/(n+1)+C với n≠−1.
Lời giải: Dùng công thức ∫x^n dx=x^(n+1)/(n+1)+C với n≠−1. Đạo hàm của x^3/3+C bằng x^2.
Vì sao: Dùng công thức ∫x^n dx=x^(n+1)/(n+1)+C với n≠−1. Đạo hàm của x^3/3+C bằng x^2.
Sai ở đâu: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
B11-NB-10Tìm họ nguyên hàm của f(x)=6x^1.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tăng số mũ lên 1, chia cho số mũ mới và thêm C.
Lời giải: ∫6x^1dx=(6/2)x^2+C.
Vì sao: Vì đạo hàm của x^(n+1) là (n+1)x^n.
Sai ở đâu: Giảm số mũ như khi lấy đạo hàm hoặc quên +C.
Cách khác: Đạo hàm kết quả để quay lại hàm dưới dấu tích phân.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Một nguyên hàm của f(x)=x^2 là: Chọn kết quả trực tiếp rồi kiểm tra bằng phép đạo hàm ngược.
BA DẠNG TRẮC NGHIỆM HIỆN HÀNH
Cùng một bản chất, ba cách kiểm tra năng lực
Định dạng ôn tốt nghiệp gồm nhiều lựa chọn, đúng–sai bốn ý và trả lời ngắn; tự luận phía sau dùng để học sâu, không gắn sai nhãn thành cấu trúc đề thi.
Nhiều lựa chọn
50 câu tự chấm ngay phía trên; phương án nhiễu xuất phát từ lỗi điều kiện, dấu, thứ tự hoặc thiếu ứng viên.
Chọn đáp án rồi đọc giải thích và ghi lỗi.Đúng–sai bốn ý
Một cụm mẫu dùng chung bối cảnh “Nguyên hàm”:
- a) F là nguyên hàm của f trên khoảng I nếu F′(x)=f(x) với mọi x∈I.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Nếu đạo hàm là đi từ quãng đường sang vận tốc thì nguyên hàm là tìm lại họ quãng đường có cùng vận tốc. Ví dụ kiểm chứng: F=x² là một nguyên hàm của f=2x.
- b) Nếu F′=f trên I thì ∫f(x)dx=F(x)+C, C∈ℝ.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Các nguyên hàm của cùng một hàm chỉ khác nhau một độ dịch đứng. Ví dụ kiểm chứng: ∫2x dx=x²+C.
- c) ∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C (n≠−1); ∫eˣdx=eˣ+C; ∫1/x dx=ln|x|+C; ∫cos x dx=sin x+C.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Mỗi công thức nên được nhớ theo cặp với công thức đạo hàm tương ứng. Ví dụ kiểm chứng: ∫x³dx=x⁴/4+C.
- d) ∫[af(x)+bg(x)]dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx; sau đó dùng F(x₀)=y₀ nếu có.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Tách tổng–hiệu và đưa hằng số ra ngoài, rồi dùng dữ kiện để chọn C. Ví dụ kiểm chứng: F′=6x+1, F(0)=2 ⇒ F=3x²+x+2.
Trả lời ngắn
Tự lập mô hình và điền kết quả, không có phương án gợi ý:
- Kiểm tra G(x)=2x⁴/4+1 có phải một nguyên hàm của g(x)=2x³ không.
Đáp án
Có
- Tính đạo hàm của f(x)=3x³+2x.
Đáp án
9x²+2
- Cho F(x)=4x²+3. Tính F'(3).
Đáp án
24
- F'(x)=ax+b trên ℝ, F(0)=0, F(1)=3, F(2)=9. Tìm a,b rồi tính F(3). Không được bỏ hằng số nguyên hàm trước khi dùng điều kiện.
Đáp án
18
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Kiểm tra G(x)=3x⁴/4+4 có phải một nguyên hàm của g(x)=3x³ không.
Gợi ý: Lấy đạo hàm G.
Lời giải: G'(x)=3x³=g(x), nên G là một nguyên hàm của g.
Giải thích: Hai hàm là quan hệ nguyên hàm–đạo hàm khi đạo hàm hàm thứ nhất bằng hàm thứ hai.
Lỗi cần tránh: So sánh G với g mà không lấy đạo hàm.
Cách khác: Dùng định nghĩa F'=f.
TỰ LUẬN 2Tìm nguyên hàm F của f(x)=4x+2, biết F(0)=2.
Gợi ý: Tìm họ nguyên hàm rồi dùng điều kiện để xác định C.
Lời giải: F(x)=2x²+2x+C; F(0)=C=2. Vậy F(x)=2x²+2x+2.
Giải thích: Một điều kiện giá trị chọn đúng một hàm trong họ nguyên hàm.
Lỗi cần tránh: Bỏ hằng số C trước khi dùng điều kiện.
Cách khác: Kiểm đồng thời F'=f và F(0)=a.
TỰ LUẬN 3Tìm nguyên hàm F của f(x)=14x+2, biết F(0)=7.
Gợi ý: Tìm họ nguyên hàm rồi dùng điều kiện để xác định C.
Lời giải: F(x)=7x²+2x+C; F(0)=C=7. Vậy F(x)=7x²+2x+7.
Giải thích: Một điều kiện giá trị chọn đúng một hàm trong họ nguyên hàm.
Lỗi cần tránh: Bỏ hằng số C trước khi dùng điều kiện.
Cách khác: Kiểm đồng thời F'=f và F(0)=a.
TỰ LUẬN 4Tìm nguyên hàm F của f(x)=10x+2, biết F(0)=5.
Gợi ý: Tìm họ nguyên hàm rồi dùng điều kiện để xác định C.
Lời giải: F(x)=5x²+2x+C; F(0)=C=5. Vậy F(x)=5x²+2x+5.
Giải thích: Một điều kiện giá trị chọn đúng một hàm trong họ nguyên hàm.
Lỗi cần tránh: Bỏ hằng số C trước khi dùng điều kiện.
Cách khác: Kiểm đồng thời F'=f và F(0)=a.
TỰ LUẬN 5Kiểm tra G(x)=6x⁴/4+3 có phải một nguyên hàm của g(x)=6x³ không.
Gợi ý: Lấy đạo hàm G.
Lời giải: G'(x)=6x³=g(x), nên G là một nguyên hàm của g.
Giải thích: Hai hàm là quan hệ nguyên hàm–đạo hàm khi đạo hàm hàm thứ nhất bằng hàm thứ hai.
Lỗi cần tránh: So sánh G với g mà không lấy đạo hàm.
Cách khác: Dùng định nghĩa F'=f.
TỰ LUẬN 6Tính ∫(4e^x+3/x)dx trên một khoảng không chứa 0.
Gợi ý: Dùng ∫e^x dx=e^x và ∫1/x dx=ln|x|.
Lời giải: ∫(4e^x+3/x)dx=4e^x+3ln|x|+C.
Giải thích: Giá trị tuyệt đối trong ln|x| giúp công thức đúng trên cả khoảng âm lẫn dương.
Lỗi cần tránh: Viết ln x mà không xét miền x<0 hoặc quên C.
Cách khác: Đạo hàm ln|x| bằng 1/x khi x≠0.
TỰ LUẬN 7Tính ∫(2e^x+3/x)dx trên một khoảng không chứa 0.
Gợi ý: Dùng ∫e^x dx=e^x và ∫1/x dx=ln|x|.
Lời giải: ∫(2e^x+3/x)dx=2e^x+3ln|x|+C.
Giải thích: Giá trị tuyệt đối trong ln|x| giúp công thức đúng trên cả khoảng âm lẫn dương.
Lỗi cần tránh: Viết ln x mà không xét miền x<0 hoặc quên C.
Cách khác: Đạo hàm ln|x| bằng 1/x khi x≠0.
TỰ LUẬN 8Tính ∫(7e^x+3/x)dx trên một khoảng không chứa 0.
Gợi ý: Dùng ∫e^x dx=e^x và ∫1/x dx=ln|x|.
Lời giải: ∫(7e^x+3/x)dx=7e^x+3ln|x|+C.
Giải thích: Giá trị tuyệt đối trong ln|x| giúp công thức đúng trên cả khoảng âm lẫn dương.
Lỗi cần tránh: Viết ln x mà không xét miền x<0 hoặc quên C.
Cách khác: Đạo hàm ln|x| bằng 1/x khi x≠0.
TỰ LUẬN 9Kiểm tra G(x)=4x⁴/4+2 có phải một nguyên hàm của g(x)=4x³ không.
Gợi ý: Lấy đạo hàm G.
Lời giải: G'(x)=4x³=g(x), nên G là một nguyên hàm của g.
Giải thích: Hai hàm là quan hệ nguyên hàm–đạo hàm khi đạo hàm hàm thứ nhất bằng hàm thứ hai.
Lỗi cần tránh: So sánh G với g mà không lấy đạo hàm.
Cách khác: Dùng định nghĩa F'=f.
TỰ LUẬN 10Tính ∫(6cos x−4sin x)dx.
Gợi ý: Nguyên hàm của cos x là sin x; của −sin x là cos x.
Lời giải: Kết quả là 6sin x+4cos x+C.
Giải thích: Dấu của đạo hàm cos x là −sin x nên phải kiểm dấu.
Lỗi cần tránh: Viết nguyên hàm của sin x là cos x mà không đổi dấu.
Cách khác: Lấy đạo hàm kết quả để kiểm ngay.
TỰ LUẬN 11Tính ∫dx/(2x+4). Chọn kết quả trực tiếp rồi kiểm tra bằng phép đạo hàm ngược.
Gợi ý: Đặt u=2x+4, du=2dx.
Lời giải: Đặt u=2x+4, du=2dx. Kết quả là (1/2)ln|u|+C=ln|2x+4|/2+C.
Giải thích: Đặt u=2x+4, du=2dx. Kết quả là (1/2)ln|u|+C=ln|2x+4|/2+C.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 12Ưu tiên cách giải chuẩn, rõ ràng. Tìm nguyên hàm tổng quát của hàm số f(x) = x^5.
Gợi ý: Dùng công thức ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C với n ≠ −1.
Lời giải: Dùng công thức ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C với n ≠ −1. Ở đây n = 5, nên họ nguyên hàm là x^6/6 + C.
Giải thích: Dùng công thức ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C với n ≠ −1. Ở đây n = 5, nên họ nguyên hàm là x^6/6 + C.
Lỗi cần tránh: Giữ nguyên số mũ hoặc quên chia cho số mũ mới.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 13Kiểm tra G(x)=2x⁴/4+1 có phải một nguyên hàm của g(x)=2x³ không.
Gợi ý: Lấy đạo hàm G.
Lời giải: G'(x)=2x³=g(x), nên G là một nguyên hàm của g.
Giải thích: Hai hàm là quan hệ nguyên hàm–đạo hàm khi đạo hàm hàm thứ nhất bằng hàm thứ hai.
Lỗi cần tránh: So sánh G với g mà không lấy đạo hàm.
Cách khác: Dùng định nghĩa F'=f.
TỰ LUẬN 14F'(x)=3x²−3m trên ℝ, m>0, F(0)=0. Giá trị cực đại của F bằng 54. Tìm m, kiểm tra bằng chiều đổi dấu đạo hàm thay vì chỉ giải F'=0.
Gợi ý: F=x³−3mx+C, F(0)=0 cho C=0
Lời giải: F=x³−3mx+C, F(0)=0 cho C=0. Đạo hàm đổi từ dương sang âm tại x=−√m, nên giá trị cực đại là F(−√m)=2m√m. Điều kiện cho m√m=27, m>0, suy ra √m=3, m=9. Nghiệm dương duy nhất và đúng loại cực trị.
Giải thích: F=x³−3mx+C, F(0)=0 cho C=0. Đạo hàm đổi từ dương sang âm tại x=−√m, nên giá trị cực đại là F(−√m)=2m√m. Điều kiện cho m√m=27, m>0, suy ra √m=3, m=9. Nghiệm dương duy nhất và đúng loại cực trị.
Lỗi cần tránh: Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
TỰ LUẬN 15Đối chiếu kết quả với ý nghĩa bài toán. Cho F'(x) = 4x + 3 và F(0) = 4. Tính F(4).
Gợi ý: Một nguyên hàm của 4x + 3 là F(x) = 4/2·x² + 3x + C.
Lời giải: Một nguyên hàm của 4x + 3 là F(x) = 4/2·x² + 3x + C. Từ F(0) = 4 suy ra C = 4; do đó F(4) = 48.
Giải thích: Một nguyên hàm của 4x + 3 là F(x) = 4/2·x² + 3x + C. Từ F(0) = 4 suy ra C = 4; do đó F(4) = 48.
Lỗi cần tránh: Quên hằng số C hoặc dùng F(0) như một hệ số của x.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 16Một nguyên hàm của f(x)=cos x là Các lựa chọn: A. cos x ; B. −cos x ; C. −sin x ; D. sin x
Gợi ý: (sin x)'=cos x.
Lời giải: (sin x)'=cos x.
Giải thích: (sin x)'=cos x.
Lỗi cần tránh: Không tăng số mũ và chia cho số mũ mới.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 17Kiểm tra G(x)=5x⁴/4+4 có phải một nguyên hàm của g(x)=5x³ không.
Gợi ý: Lấy đạo hàm G.
Lời giải: G'(x)=5x³=g(x), nên G là một nguyên hàm của g.
Giải thích: Hai hàm là quan hệ nguyên hàm–đạo hàm khi đạo hàm hàm thứ nhất bằng hàm thứ hai.
Lỗi cần tránh: So sánh G với g mà không lấy đạo hàm.
Cách khác: Dùng định nghĩa F'=f.
TỰ LUẬN 18Biết F'(x)=2x+3, F(0)=2. Tính F(1). Cần giữ đúng hằng số và điều kiện đã cho.
Gợi ý: F(x)=x²+3x+C; từ F(0)=2 suy ra C=2.
Lời giải: F(x)=x²+3x+C; từ F(0)=2 suy ra C=2. F(1)=1+3+2=6.
Giải thích: F(x)=x²+3x+C; từ F(0)=2 suy ra C=2. F(1)=1+3+2=6.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 19Một nguyên hàm của f(x)=cos(3x) là: Cần giữ đúng hằng số và điều kiện đã cho. Các lựa chọn: A. 3sin(3x)+C ; B. −cos(3x)/3+C ; C. sin x/3+C ; D. sin(3x)/3+C
Gợi ý: Dùng ∫cos(ax)dx=sin(ax)/a+C với a≠0.
Lời giải: Dùng ∫cos(ax)dx=sin(ax)/a+C với a≠0. Lấy đạo hàm sin(3x)/3+C thu lại cos(3x).
Giải thích: Dùng ∫cos(ax)dx=sin(ax)/a+C với a≠0. Lấy đạo hàm sin(3x)/3+C thu lại cos(3x).
Lỗi cần tránh: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 20Tính ∫dx/sqrt(3x+5). Cần giữ đúng hằng số và điều kiện đã cho.
Gợi ý: Đặt u=3x+5, dx=du/3.
Lời giải: Đặt u=3x+5, dx=du/3. ∫u^(−1/2)du/3=2sqrt(u)/3+C=2sqrt(3x+5)/3+C.
Giải thích: Đặt u=3x+5, dx=du/3. ∫u^(−1/2)du/3=2sqrt(u)/3+C=2sqrt(3x+5)/3+C.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B11-NB-01, B11-NB-02, B11-NB-03, B11-NB-04, B11-NB-05, B11-NB-06, B11-NB-07, B11-NB-08, B11-NB-09, B11-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B11-NB-01: Có
- B11-NB-02: 12x²+1
- B11-NB-03: 20
- B11-NB-04: F−G là hằng số
- B11-NB-05: (8/2)x^2+C
- B11-NB-06: 2x²+2x+2
- B11-NB-07: 3e^x+3ln|x|+C
- B11-NB-08: 4sin x+4cos x+C
- B11-NB-09: x^3/3+C
- B11-NB-10: (6/2)x^2+C
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 4
10 câu đại diện: B11-NB-11, B11-NB-12, B11-NB-13, B11-NB-14, B11-NB-15, B11-NB-16, B11-NB-17, B11-NB-18, B11-NB-19, B11-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B11-NB-11: 7x²+2x+7
- B11-NB-12: 8e^x+3ln|x|+C
- B11-NB-13: 2sin x+4cos x+C
- B11-NB-14: 4
- B11-NB-15: (4/2)x^2+C
- B11-NB-16: 5x²+2x+5
- B11-NB-17: 6e^x+3ln|x|+C
- B11-NB-18: 7sin x+4cos x+C
- B11-NB-19: (2x+1)^4/8+C
- B11-NB-20: (2/2)x^2+C
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B11-TH-01, B11-TH-02, B11-TH-03, B11-TH-04, B11-TH-05, B11-TH-06, B11-TH-07, B11-TH-08, B11-TH-09, B11-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B11-TH-01: Có
- B11-TH-02: 6x²+4
- B11-TH-03: 6
- B11-TH-04: 4
- B11-TH-05: 3x²+2x+3
- B11-TH-06: 4e^x+3ln|x|+C
- B11-TH-07: 5sin x+4cos x+C
- B11-TH-08: ln|x|+C
- B11-TH-09: (7/2)x^2+C
- B11-TH-10: 8x²+2x+8
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B11-TH-11, B11-TH-12, B11-TH-13, B11-TH-14, B11-TH-15, B11-TH-16, B11-TH-17, B11-TH-18, B11-TH-19, B11-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B11-TH-11: 2e^x+3ln|x|+C
- B11-TH-12: 3sin x+4cos x+C
- B11-TH-13: 4/3
- B11-TH-14: (5/2)x^2+C
- B11-TH-15: 6x²+2x+6
- B11-TH-16: 7e^x+3ln|x|+C
- B11-TH-17: 8sin x+4cos x+C
- B11-TH-18: e^(x²)/2+C
- B11-TH-19: (3/2)x^2+C
- B11-TH-20: 4x²+2x+4
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề ôn tốt nghiệp tổng hợp
10 câu đại diện: B11-VD-01, B11-VD-02, B11-VD-03, B11-VD-04, B11-VD-05, B11-VD-06, B11-VD-07, B11-VD-08, B11-VD-09, B11-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B11-VD-01: Có
- B11-VD-02: 15x²+3
- B11-VD-03: 48
- B11-VD-04: e^(2x)/2+C
- B11-VD-05: 5e^x+3ln|x|+C
- B11-VD-06: 6sin x+4cos x+C
- B11-VD-07: ln2
- B11-VD-08: sin²x/2+C
- B11-VD-09: sin(2x)/2+C
- B11-VD-10: 3
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.