Biến dữ kiện thành quyết định
Bài học giúp mô hình hóa quãng đường có hướng, tổng lượng biến thiên, năng lượng, lưu lượng và tăng trưởng bằng công cụ có thể kiểm chứng.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 12. Tích phân
Tính tích phân xác định bằng định lí cơ bản, tính chất tuyến tính, đổi biến và tích phân từng phần trong phạm vi chương trình; hiểu tích phân có hướng chứ không mặc định là diện tích.
Cận trên trừ cận dưới; đổi biến phải đổi cả vi phân và cận
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Biết đọc dữ kiện, nêu điều kiện, thực hiện và giải thích kết quả.
Gọi đúng nền
Kích hoạt bài 11, đạo hàm hàm hợp, giá trị hàm và biến đổi đại số rồi chuẩn bị cho Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân.
Ba dạng, một bản chất
Luyện nhiều lựa chọn, đúng–sai và trả lời ngắn trên cùng một mạch suy luận.
- Dùng đúng định lí cơ bản của giải tích.
- Vận dụng tính chất của tích phân xác định.
- Đổi biến có kiểm soát vi phân và cận.
- Tính tích phân từng phần ở các dạng phù hợp chương trình.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Bài 11, đạo hàm hàm hợp, giá trị hàm và biến đổi đại số.
- Viết miền xác định, đối tượng, phân hoạch hoặc đơn vị trước phép tính.
- Dự đoán dấu, độ lớn, vị trí hoặc miền giá trị của kết quả.
- Kiểm bằng đạo hàm, phép thế, hình học, bảng tần số hoặc công thức thứ hai.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Tích phân xác định
Hiểu đơn giản: Tích phân cộng dồn những phần rất nhỏ có dấu từ a đến b.
Với f liên tục trên [a;b] và F′=f: ∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a).
Ví dụ: ∫₀²x dx=[x²/2]₀²=2.
Hình nên dùng: Các dải hẹp có dấu trên–dưới Ox.
Mô phỏng: Tăng số dải Riemann.
Mẹo nhớ: Trên trừ dưới.
Sai lầm: Viết F(a)−F(b).
Ghi chú: Tích phân xác định là một số, không kèm C.
Tính chất
Hiểu đơn giản: Có thể tách tổng, đưa hằng số ra ngoài, cắt đoạn và đảo cận.
∫ₐᵇ(αf+βg)=α∫ₐᵇf+β∫ₐᵇg; ∫ₐᵇf=−∫ᵦᵃf; ∫ₐᶜf+∫꜀ᵇf=∫ₐᵇf.
Ví dụ: Biết hai tích phân riêng thì tính được tích phân tổ hợp.
Hình nên dùng: Một đoạn được cắt tại c.
Mô phỏng: Kéo c giữa a và b.
Mẹo nhớ: Tuyến tính, cộng đoạn, đảo dấu.
Sai lầm: Nhân hai giá trị tích phân khi gặp tích fg.
Ghi chú: Không có quy tắc chung ∫fg=(∫f)(∫g).
Đổi biến
Hiểu đơn giản: Thay một cụm lặp bằng biến mới để đưa về bảng nguyên hàm.
Đặt u=g(x), du=g′(x)dx; với tích phân xác định phải đổi cận sang u hoặc đổi lại x trước khi thế.
Ví dụ: ∫2x(x²+1)³dx đặt u=x²+1.
Hình nên dùng: Ba ô: biểu thức–vi phân–cận.
Mô phỏng: Bật cảnh báo cận x/u.
Mẹo nhớ: Đổi đủ ba: hàm, dx, cận.
Sai lầm: Một tích phân chứa đồng thời x và u.
Ghi chú: Hệ số g′ phải được xử lí đầy đủ.
Tích phân từng phần
Hiểu đơn giản: Chuyển đạo hàm sang thừa số dễ hơn và nguyên hàm thừa số còn lại.
∫u dv=uv−∫v du.
Ví dụ: ∫xeˣdx=xeˣ−eˣ+C.
Hình nên dùng: Mũi tên u→du, dv→v.
Mô phỏng: Đổi cách chọn u.
Mẹo nhớ: Từng phần: tích trừ tích phân.
Sai lầm: Quên uv hoặc đổi dấu thành cộng.
Ghi chú: Chọn u sao cho du đơn giản hơn.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Đạo hàm ngược, thế cận và ước lượng độ lớn
Thay hệ số của f(x)=ax²+bx+c và hai cận. Công cụ tính một nguyên hàm, tích phân có hướng và giá trị ước lượng bằng trung điểm để tự kiểm.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B12-NB-04
Đề bài: Tính I=∫₀^4(1x+4)dx.
Phân tích: Tìm một nguyên hàm rồi lấy giá trị cận trên trừ cận dưới.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Tìm một nguyên hàm rồi lấy giá trị cận trên trừ cận dưới.
- Bước 2: I=[1/2·x²+4x]₀^4=24.
- Bước 3: Kết luận 24.
Vì sao: Định lí cơ bản biến tích phân xác định thành hiệu giá trị của nguyên hàm.
Cách khác: Kiểm độ lớn bằng diện tích hình thang dưới đường thẳng.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Thêm +C vào kết quả cuối hoặc lấy cận dưới trừ cận trên.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B12-NB-14
Đề bài: Tính I=∫₀^2(1x+2)dx.
Phân tích: Tìm một nguyên hàm rồi lấy giá trị cận trên trừ cận dưới.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Tìm một nguyên hàm rồi lấy giá trị cận trên trừ cận dưới.
- Bước 2: I=[1/2·x²+2x]₀^2=6.
- Bước 3: Kết luận 6.
Vì sao: Định lí cơ bản biến tích phân xác định thành hiệu giá trị của nguyên hàm.
Cách khác: Kiểm độ lớn bằng diện tích hình thang dưới đường thẳng.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Thêm +C vào kết quả cuối hoặc lấy cận dưới trừ cận trên.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B12-TH-04
Đề bài: Tính ∫_3^0 2x²dx.
Phân tích: Đổi thứ tự hai cận làm đổi dấu tích phân.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Đổi thứ tự hai cận làm đổi dấu tích phân.
- Bước 2: ∫_3^0 2x²dx=−∫₀^32x²dx=−18.
- Bước 3: Kết luận -18.
Vì sao: Tích phân có hướng nên có thể âm.
Cách khác: Tính trực tiếp bằng nguyên hàm cũng cho cùng kết quả.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho rằng tích phân luôn dương vì x²≥0.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B12-TH-14
Đề bài: Tính ∫_1^0 2x²dx.
Phân tích: Đổi thứ tự hai cận làm đổi dấu tích phân.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Đổi thứ tự hai cận làm đổi dấu tích phân.
- Bước 2: ∫_1^0 2x²dx=−∫₀^12x²dx=−0,6667.
- Bước 3: Kết luận -0,6667.
Vì sao: Tích phân có hướng nên có thể âm.
Cách khác: Tính trực tiếp bằng nguyên hàm cũng cho cùng kết quả.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cho rằng tích phân luôn dương vì x²≥0.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B12-VD-04
Đề bài: Tính ∫₀^22x(x²+2)^2dx.
Phân tích: Đặt u=x²+b, du=2x dx và đổi cả hai cận.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Đặt u=x²+b, du=2x dx và đổi cả hai cận.
- Bước 2: u chạy từ 2 đến 6; I=[u^3/3]_2^6=69,3333.
- Bước 3: Kết luận 69,3333.
Vì sao: Đổi biến trong tích phân xác định phải đổi cận hoặc đổi lại biến x trước khi thế cận.
Cách khác: Đạo hàm hàm hợp (x²+b)^(power+1) để kiểm.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Đổi u nhưng giữ cận theo x.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B12-VD-14
Đề bài: Tính ∫₀^42x(x²+4)^3dx.
Phân tích: Đặt u=x²+b, du=2x dx và đổi cả hai cận.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Đặt u=x²+b, du=2x dx và đổi cả hai cận.
- Bước 2: u chạy từ 4 đến 20; I=[u^4/4]_4^20=39936.
- Bước 3: Kết luận 39936.
Vì sao: Đổi biến trong tích phân xác định phải đổi cận hoặc đổi lại biến x trước khi thế cận.
Cách khác: Đạo hàm hàm hợp (x²+b)^(power+1) để kiểm.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Đổi u nhưng giữ cận theo x.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B12-VDC-04
Đề bài: Tính ∫₀¹xe^x dx bằng từng phần.
Phân tích: Chọn u=x, dv=e^x dx.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Chọn u=x, dv=e^x dx.
- Bước 2: I=[xe^x]₀¹−∫₀¹e^x dx=e−(e−1)=1.
- Bước 3: Kết luận 1.
Vì sao: Tích phân từng phần chuyển đạo hàm sang nhân tử đơn giản hơn.
Cách khác: Kiểm bằng nguyên hàm (x−1)e^x.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Quên dấu trừ hoặc quên thế cận cho tích uv.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • B12-VDC-14
Đề bài: Tính ∫₀¹xe^x dx bằng từng phần.
Phân tích: Chọn u=x, dv=e^x dx.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Chọn u=x, dv=e^x dx.
- Bước 2: I=[xe^x]₀¹−∫₀¹e^x dx=e−(e−1)=1.
- Bước 3: Kết luận 1.
Vì sao: Tích phân từng phần chuyển đạo hàm sang nhân tử đơn giản hơn.
Cách khác: Kiểm bằng nguyên hàm (x−1)e^x.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Quên dấu trừ hoặc quên thế cận cho tích uv.
09 • Thực tếVí dụ 9 • B12-TT-04
Đề bài: Nếu ∫₀^4f(x)dx=5 và ∫₀^4g(x)dx=4, tính ∫₀^4[2f(x)−g(x)]dx.
Phân tích: Dùng tính tuyến tính của tích phân.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Dùng tính tuyến tính của tích phân.
- Bước 2: Kết quả bằng 2·5−4=6.
- Bước 3: Kết luận 6.
Vì sao: Hằng số được đưa ra ngoài, tổng–hiệu được tách tích phân.
Cách khác: Xem tích phân như một phép biến đổi tuyến tính.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Bình phương hoặc nhân hai giá trị tích phân.
10 • Thực tếVí dụ 10 • B12-TT-14
Đề bài: Nếu ∫₀^2f(x)dx=5 và ∫₀^2g(x)dx=2, tính ∫₀^2[2f(x)−g(x)]dx.
Phân tích: Dùng tính tuyến tính của tích phân.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Dùng tính tuyến tính của tích phân.
- Bước 2: Kết quả bằng 2·5−2=8.
- Bước 3: Kết luận 8.
Vì sao: Hằng số được đưa ra ngoài, tổng–hiệu được tách tích phân.
Cách khác: Xem tích phân như một phép biến đổi tuyến tính.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Bình phương hoặc nhân hai giá trị tích phân.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua tích phân
Tình huống 1 dùng quãng đường có hướng, tổng lượng biến thiên, năng lượng, lưu lượng và tăng trưởng; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Trường học qua tích phân
Tình huống 2 dùng quãng đường có hướng, tổng lượng biến thiên, năng lượng, lưu lượng và tăng trưởng; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua tích phân
Tình huống 3 dùng quãng đường có hướng, tổng lượng biến thiên, năng lượng, lưu lượng và tăng trưởng; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua tích phân
Tình huống 4 dùng quãng đường có hướng, tổng lượng biến thiên, năng lượng, lưu lượng và tăng trưởng; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua tích phân
Tình huống 5 dùng quãng đường có hướng, tổng lượng biến thiên, năng lượng, lưu lượng và tăng trưởng; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua tích phân
Tình huống 6 dùng quãng đường có hướng, tổng lượng biến thiên, năng lượng, lưu lượng và tăng trưởng; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua tích phân
Tình huống 7 dùng quãng đường có hướng, tổng lượng biến thiên, năng lượng, lưu lượng và tăng trưởng; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua tích phân
Tình huống 8 dùng quãng đường có hướng, tổng lượng biến thiên, năng lượng, lưu lượng và tăng trưởng; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Tích phân xác định theo cách trực quan?
Tích phân cộng dồn những phần rất nhỏ có dấu từ a đến b. Phát biểu chính xác: Với f liên tục trên [a;b] và F′=f: ∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a). Ví dụ: ∫₀²x dx=[x²/2]₀²=2. Mẹo: Trên trừ dưới. Cần tránh: Viết F(a)−F(b).
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Lấy cận dưới trừ cận trên
Viết F(a)−F(b). Sửa bằng: Trên trừ dưới. Kiểm cuối: Tích phân xác định là một số, không kèm C.
Thêm hằng số C vào tích phân xác định
Nhân hai giá trị tích phân khi gặp tích fg. Sửa bằng: Tuyến tính, cộng đoạn, đảo dấu. Kiểm cuối: Không có quy tắc chung ∫fg=(∫f)(∫g).
Đổi biến nhưng giữ cận cũ
Một tích phân chứa đồng thời x và u. Sửa bằng: Đổi đủ ba: hàm, dx, cận. Kiểm cuối: Hệ số g′ phải được xử lí đầy đủ.
Quên dấu trừ trong từng phần
Quên uv hoặc đổi dấu thành cộng. Sửa bằng: Từng phần: tích trừ tích phân. Kiểm cuối: Chọn u sao cho du đơn giản hơn.
Cho rằng tích phân luôn dương
Viết F(a)−F(b). Sửa bằng: Trên trừ dưới. Kiểm cuối: Tích phân xác định là một số, không kèm C.
Lấy cận dưới trừ cận trên – tình huống 6
Nhân hai giá trị tích phân khi gặp tích fg. Sửa bằng: Tuyến tính, cộng đoạn, đảo dấu. Kiểm cuối: Không có quy tắc chung ∫fg=(∫f)(∫g).
Thêm hằng số C vào tích phân xác định – tình huống 7
Một tích phân chứa đồng thời x và u. Sửa bằng: Đổi đủ ba: hàm, dx, cận. Kiểm cuối: Hệ số g′ phải được xử lí đầy đủ.
Đổi biến nhưng giữ cận cũ – tình huống 8
Quên uv hoặc đổi dấu thành cộng. Sửa bằng: Từng phần: tích trừ tích phân. Kiểm cuối: Chọn u sao cho du đơn giản hơn.
Quên dấu trừ trong từng phần – tình huống 9
Viết F(a)−F(b). Sửa bằng: Trên trừ dưới. Kiểm cuối: Tích phân xác định là một số, không kèm C.
Cho rằng tích phân luôn dương – tình huống 10
Nhân hai giá trị tích phân khi gặp tích fg. Sửa bằng: Tuyến tính, cộng đoạn, đảo dấu. Kiểm cuối: Không có quy tắc chung ∫fg=(∫f)(∫g).
Lấy cận dưới trừ cận trên – tình huống 11
Một tích phân chứa đồng thời x và u. Sửa bằng: Đổi đủ ba: hàm, dx, cận. Kiểm cuối: Hệ số g′ phải được xử lí đầy đủ.
Thêm hằng số C vào tích phân xác định – tình huống 12
Quên uv hoặc đổi dấu thành cộng. Sửa bằng: Từng phần: tích trừ tích phân. Kiểm cuối: Chọn u sao cho du đơn giản hơn.
Đổi biến nhưng giữ cận cũ – tình huống 13
Viết F(a)−F(b). Sửa bằng: Trên trừ dưới. Kiểm cuối: Tích phân xác định là một số, không kèm C.
Quên dấu trừ trong từng phần – tình huống 14
Nhân hai giá trị tích phân khi gặp tích fg. Sửa bằng: Tuyến tính, cộng đoạn, đảo dấu. Kiểm cuối: Không có quy tắc chung ∫fg=(∫f)(∫g).
Cho rằng tích phân luôn dương – tình huống 15
Một tích phân chứa đồng thời x và u. Sửa bằng: Đổi đủ ba: hàm, dx, cận. Kiểm cuối: Hệ số g′ phải được xử lí đầy đủ.
Lấy cận dưới trừ cận trên – tình huống 16
Quên uv hoặc đổi dấu thành cộng. Sửa bằng: Từng phần: tích trừ tích phân. Kiểm cuối: Chọn u sao cho du đơn giản hơn.
Thêm hằng số C vào tích phân xác định – tình huống 17
Viết F(a)−F(b). Sửa bằng: Trên trừ dưới. Kiểm cuối: Tích phân xác định là một số, không kèm C.
Đổi biến nhưng giữ cận cũ – tình huống 18
Nhân hai giá trị tích phân khi gặp tích fg. Sửa bằng: Tuyến tính, cộng đoạn, đảo dấu. Kiểm cuối: Không có quy tắc chung ∫fg=(∫f)(∫g).
Quên dấu trừ trong từng phần – tình huống 19
Một tích phân chứa đồng thời x và u. Sửa bằng: Đổi đủ ba: hàm, dx, cận. Kiểm cuối: Hệ số g′ phải được xử lí đầy đủ.
Cho rằng tích phân luôn dương – tình huống 20
Quên uv hoặc đổi dấu thành cộng. Sửa bằng: Từng phần: tích trừ tích phân. Kiểm cuối: Chọn u sao cho du đơn giản hơn.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chẩn đoán 5 phút
Làm ba câu nền và nói thành lời điều kiện của công cụ trước khi học mới.
Chu trình 5–25–10
5 phút gọi nền, 25 phút học một nút, 10 phút làm lại không nhìn lời giải.
Hai biểu diễn
Kiểm công thức bằng đạo hàm, đồ thị, hình Oxyz, bảng xác suất hoặc đơn vị.
Phản ví dụ bắt buộc
Mỗi định lí đi cùng một trường hợp thiếu điều kiện để tránh học thuộc máy móc.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi lỗi, nguyên nhân và phép tự kiểm; không chép lại toàn bộ lời giải.
Ôn cách quãng 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và qua cổng lại sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Tích phân1 2 3 4
Tích phân xác địnhVới f liên tục trên [a;b] và F′=f: ∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a). Trên trừ dưới.
Tính chất∫ₐᵇ(αf+βg)=α∫ₐᵇf+β∫ₐᵇg; ∫ₐᵇf=−∫ᵦᵃf; ∫ₐᶜf+∫꜀ᵇf=∫ₐᵇf. Tuyến tính, cộng đoạn, đảo dấu.
Đổi biếnĐặt u=g(x), du=g′(x)dx; với tích phân xác định phải đổi cận sang u hoặc đổi lại x trước khi thế. Đổi đủ ba: hàm, dx, cận.
Tích phân từng phần∫u dv=uv−∫v du. Từng phần: tích trừ tích phân.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
B12-NB-01Tính đạo hàm của f(x)=4x³+1x.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng (xⁿ)'=nxⁿ⁻¹ và tính tuyến tính của đạo hàm.
Lời giải: f'(x)=12x²+1.
Vì sao: Đạo hàm là nền để kiểm ngược mọi kết quả nguyên hàm.
Sai ở đâu: Giữ nguyên số mũ hoặc quên nhân hệ số mũ.
Cách khác: Lấy đạo hàm từng hạng rồi cộng.
B12-NB-02Cho F(x)=5x²+2. Tính F'(2).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đạo hàm trước, thay số sau.
Lời giải: F'(x)=10x nên F'(2)=20.
Vì sao: Giá trị đạo hàm tại điểm là tốc độ biến thiên tại điểm đó.
Sai ở đâu: Thay x trước rồi đạo hàm một hằng số.
Cách khác: Dùng hệ số góc tiếp tuyến tại x=2.
B12-NB-03Kiểm tra G(x)=6x⁴/4+3 có phải một nguyên hàm của g(x)=6x³ không.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy đạo hàm G.
Lời giải: G'(x)=6x³=g(x), nên G là một nguyên hàm của g.
Vì sao: Hai hàm là quan hệ nguyên hàm–đạo hàm khi đạo hàm hàm thứ nhất bằng hàm thứ hai.
Sai ở đâu: So sánh G với g mà không lấy đạo hàm.
Cách khác: Dùng định nghĩa F'=f.
B12-NB-04Tính I=∫₀^4(1x+4)dx.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tìm một nguyên hàm rồi lấy giá trị cận trên trừ cận dưới.
Lời giải: I=[1/2·x²+4x]₀^4=24.
Vì sao: Định lí cơ bản biến tích phân xác định thành hiệu giá trị của nguyên hàm.
Sai ở đâu: Thêm +C vào kết quả cuối hoặc lấy cận dưới trừ cận trên.
Cách khác: Kiểm độ lớn bằng diện tích hình thang dưới đường thẳng.
B12-NB-05Tính ∫_1^0 2x²dx.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đổi thứ tự hai cận làm đổi dấu tích phân.
Lời giải: ∫_1^0 2x²dx=−∫₀^12x²dx=−0,6667.
Vì sao: Tích phân có hướng nên có thể âm.
Sai ở đâu: Cho rằng tích phân luôn dương vì x²≥0.
Cách khác: Tính trực tiếp bằng nguyên hàm cũng cho cùng kết quả.
B12-NB-06Tính ∫₀^22x(x²+2)^4dx.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đặt u=x²+b, du=2x dx và đổi cả hai cận.
Lời giải: u chạy từ 2 đến 6; I=[u^5/5]_2^6=1548,8.
Vì sao: Đổi biến trong tích phân xác định phải đổi cận hoặc đổi lại biến x trước khi thế cận.
Sai ở đâu: Đổi u nhưng giữ cận theo x.
Cách khác: Đạo hàm hàm hợp (x²+b)^(power+1) để kiểm.
B12-NB-07Tính ∫₀¹xe^x dx bằng từng phần.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Chọn u=x, dv=e^x dx.
Lời giải: I=[xe^x]₀¹−∫₀¹e^x dx=e−(e−1)=1.
Vì sao: Tích phân từng phần chuyển đạo hàm sang nhân tử đơn giản hơn.
Sai ở đâu: Quên dấu trừ hoặc quên thế cận cho tích uv.
Cách khác: Kiểm bằng nguyên hàm (x−1)e^x.
B12-NB-08Nếu ∫₀^4f(x)dx=5 và ∫₀^4g(x)dx=4, tính ∫₀^4[2f(x)−g(x)]dx.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng tính tuyến tính của tích phân.
Lời giải: Kết quả bằng 2·5−4=6.
Vì sao: Hằng số được đưa ra ngoài, tổng–hiệu được tách tích phân.
Sai ở đâu: Bình phương hoặc nhân hai giá trị tích phân.
Cách khác: Xem tích phân như một phép biến đổi tuyến tính.
B12-NB-09Tính I=∫₀^1(1x+1)dx.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tìm một nguyên hàm rồi lấy giá trị cận trên trừ cận dưới.
Lời giải: I=[1/2·x²+1x]₀^1=1,5.
Vì sao: Định lí cơ bản biến tích phân xác định thành hiệu giá trị của nguyên hàm.
Sai ở đâu: Thêm +C vào kết quả cuối hoặc lấy cận dưới trừ cận trên.
Cách khác: Kiểm độ lớn bằng diện tích hình thang dưới đường thẳng.
B12-NB-10Tính ∫_2^0 2x²dx.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đổi thứ tự hai cận làm đổi dấu tích phân.
Lời giải: ∫_2^0 2x²dx=−∫₀^22x²dx=−5,3333.
Vì sao: Tích phân có hướng nên có thể âm.
Sai ở đâu: Cho rằng tích phân luôn dương vì x²≥0.
Cách khác: Tính trực tiếp bằng nguyên hàm cũng cho cùng kết quả.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
[B12-NB-01] Tính đạo hàm của f(x)=4x³+1x.
BA DẠNG TRẮC NGHIỆM HIỆN HÀNH
Cùng một bản chất, ba cách kiểm tra năng lực
Định dạng ôn tốt nghiệp gồm nhiều lựa chọn, đúng–sai bốn ý và trả lời ngắn; tự luận phía sau dùng để học sâu, không gắn sai nhãn thành cấu trúc đề thi.
Nhiều lựa chọn
50 câu tự chấm ngay phía trên; phương án nhiễu xuất phát từ lỗi điều kiện, dấu, thứ tự hoặc thiếu ứng viên.
Chọn đáp án rồi đọc giải thích và ghi lỗi.Đúng–sai bốn ý
Một cụm mẫu dùng chung bối cảnh “Tích phân”:
- a) Với f liên tục trên [a;b] và F′=f: ∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a).
Đáp án và căn cứ
Đúng. Tích phân cộng dồn những phần rất nhỏ có dấu từ a đến b. Ví dụ kiểm chứng: ∫₀²x dx=[x²/2]₀²=2.
- b) ∫ₐᵇ(αf+βg)=α∫ₐᵇf+β∫ₐᵇg; ∫ₐᵇf=−∫ᵦᵃf; ∫ₐᶜf+∫꜀ᵇf=∫ₐᵇf.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Có thể tách tổng, đưa hằng số ra ngoài, cắt đoạn và đảo cận. Ví dụ kiểm chứng: Biết hai tích phân riêng thì tính được tích phân tổ hợp.
- c) Đặt u=g(x), du=g′(x)dx; với tích phân xác định phải đổi cận sang u hoặc đổi lại x trước khi thế.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Thay một cụm lặp bằng biến mới để đưa về bảng nguyên hàm. Ví dụ kiểm chứng: ∫2x(x²+1)³dx đặt u=x²+1.
- d) ∫u dv=uv−∫v du.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Chuyển đạo hàm sang thừa số dễ hơn và nguyên hàm thừa số còn lại. Ví dụ kiểm chứng: ∫xeˣdx=xeˣ−eˣ+C.
Trả lời ngắn
Tự lập mô hình và điền kết quả, không có phương án gợi ý:
- Tính đạo hàm của f(x)=3x³+2x.
Đáp án
9x²+2
- Cho F(x)=4x²+3. Tính F'(3).
Đáp án
24
- Kiểm tra G(x)=5x⁴/4+4 có phải một nguyên hàm của g(x)=5x³ không.
Đáp án
Có
- Tính ∫₀¹xe^x dx bằng từng phần.
Đáp án
1
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Tính đạo hàm của f(x)=4x³+1x.
Gợi ý: Dùng (xⁿ)'=nxⁿ⁻¹ và tính tuyến tính của đạo hàm.
Lời giải: f'(x)=12x²+1.
Giải thích: Đạo hàm là nền để kiểm ngược mọi kết quả nguyên hàm.
Lỗi cần tránh: Giữ nguyên số mũ hoặc quên nhân hệ số mũ.
Cách khác: Lấy đạo hàm từng hạng rồi cộng.
TỰ LUẬN 2Tính ∫₀^22x(x²+2)^4dx.
Gợi ý: Đặt u=x²+b, du=2x dx và đổi cả hai cận.
Lời giải: u chạy từ 2 đến 6; I=[u^5/5]_2^6=1548,8.
Giải thích: Đổi biến trong tích phân xác định phải đổi cận hoặc đổi lại biến x trước khi thế cận.
Lỗi cần tránh: Đổi u nhưng giữ cận theo x.
Cách khác: Đạo hàm hàm hợp (x²+b)^(power+1) để kiểm.
TỰ LUẬN 3Tính ∫₀^32x(x²+3)^3dx.
Gợi ý: Đặt u=x²+b, du=2x dx và đổi cả hai cận.
Lời giải: u chạy từ 3 đến 12; I=[u^4/4]_3^12=5163,75.
Giải thích: Đổi biến trong tích phân xác định phải đổi cận hoặc đổi lại biến x trước khi thế cận.
Lỗi cần tránh: Đổi u nhưng giữ cận theo x.
Cách khác: Đạo hàm hàm hợp (x²+b)^(power+1) để kiểm.
TỰ LUẬN 4Tính ∫₀^42x(x²+4)^2dx.
Gợi ý: Đặt u=x²+b, du=2x dx và đổi cả hai cận.
Lời giải: u chạy từ 4 đến 20; I=[u^3/3]_4^20=2645,3333.
Giải thích: Đổi biến trong tích phân xác định phải đổi cận hoặc đổi lại biến x trước khi thế cận.
Lỗi cần tránh: Đổi u nhưng giữ cận theo x.
Cách khác: Đạo hàm hàm hợp (x²+b)^(power+1) để kiểm.
TỰ LUẬN 5Tính đạo hàm của f(x)=2x³+4x.
Gợi ý: Dùng (xⁿ)'=nxⁿ⁻¹ và tính tuyến tính của đạo hàm.
Lời giải: f'(x)=6x²+4.
Giải thích: Đạo hàm là nền để kiểm ngược mọi kết quả nguyên hàm.
Lỗi cần tránh: Giữ nguyên số mũ hoặc quên nhân hệ số mũ.
Cách khác: Lấy đạo hàm từng hạng rồi cộng.
TỰ LUẬN 6Tính ∫₀¹xe^x dx bằng từng phần.
Gợi ý: Chọn u=x, dv=e^x dx.
Lời giải: I=[xe^x]₀¹−∫₀¹e^x dx=e−(e−1)=1.
Giải thích: Tích phân từng phần chuyển đạo hàm sang nhân tử đơn giản hơn.
Lỗi cần tránh: Quên dấu trừ hoặc quên thế cận cho tích uv.
Cách khác: Kiểm bằng nguyên hàm (x−1)e^x.
TỰ LUẬN 7Tính ∫₀¹xe^x dx bằng từng phần.
Gợi ý: Chọn u=x, dv=e^x dx.
Lời giải: I=[xe^x]₀¹−∫₀¹e^x dx=e−(e−1)=1.
Giải thích: Tích phân từng phần chuyển đạo hàm sang nhân tử đơn giản hơn.
Lỗi cần tránh: Quên dấu trừ hoặc quên thế cận cho tích uv.
Cách khác: Kiểm bằng nguyên hàm (x−1)e^x.
TỰ LUẬN 8Tính ∫₀¹xe^x dx bằng từng phần.
Gợi ý: Chọn u=x, dv=e^x dx.
Lời giải: I=[xe^x]₀¹−∫₀¹e^x dx=e−(e−1)=1.
Giải thích: Tích phân từng phần chuyển đạo hàm sang nhân tử đơn giản hơn.
Lỗi cần tránh: Quên dấu trừ hoặc quên thế cận cho tích uv.
Cách khác: Kiểm bằng nguyên hàm (x−1)e^x.
TỰ LUẬN 9Tính đạo hàm của f(x)=5x³+3x.
Gợi ý: Dùng (xⁿ)'=nxⁿ⁻¹ và tính tuyến tính của đạo hàm.
Lời giải: f'(x)=15x²+3.
Giải thích: Đạo hàm là nền để kiểm ngược mọi kết quả nguyên hàm.
Lỗi cần tránh: Giữ nguyên số mũ hoặc quên nhân hệ số mũ.
Cách khác: Lấy đạo hàm từng hạng rồi cộng.
TỰ LUẬN 10Nếu ∫₀^4f(x)dx=5 và ∫₀^4g(x)dx=4, tính ∫₀^4[2f(x)−g(x)]dx.
Gợi ý: Dùng tính tuyến tính của tích phân.
Lời giải: Kết quả bằng 2·5−4=6.
Giải thích: Hằng số được đưa ra ngoài, tổng–hiệu được tách tích phân.
Lỗi cần tránh: Bình phương hoặc nhân hai giá trị tích phân.
Cách khác: Xem tích phân như một phép biến đổi tuyến tính.
TỰ LUẬN 11Nếu ∫₀^1f(x)dx=5 và ∫₀^1g(x)dx=1, tính ∫₀^1[2f(x)−g(x)]dx.
Gợi ý: Dùng tính tuyến tính của tích phân.
Lời giải: Kết quả bằng 2·5−1=9.
Giải thích: Hằng số được đưa ra ngoài, tổng–hiệu được tách tích phân.
Lỗi cần tránh: Bình phương hoặc nhân hai giá trị tích phân.
Cách khác: Xem tích phân như một phép biến đổi tuyến tính.
TỰ LUẬN 12Nếu ∫₀^2f(x)dx=5 và ∫₀^2g(x)dx=2, tính ∫₀^2[2f(x)−g(x)]dx.
Gợi ý: Dùng tính tuyến tính của tích phân.
Lời giải: Kết quả bằng 2·5−2=8.
Giải thích: Hằng số được đưa ra ngoài, tổng–hiệu được tách tích phân.
Lỗi cần tránh: Bình phương hoặc nhân hai giá trị tích phân.
Cách khác: Xem tích phân như một phép biến đổi tuyến tính.
TỰ LUẬN 13Tính đạo hàm của f(x)=3x³+2x.
Gợi ý: Dùng (xⁿ)'=nxⁿ⁻¹ và tính tuyến tính của đạo hàm.
Lời giải: f'(x)=9x²+2.
Giải thích: Đạo hàm là nền để kiểm ngược mọi kết quả nguyên hàm.
Lỗi cần tránh: Giữ nguyên số mũ hoặc quên nhân hệ số mũ.
Cách khác: Lấy đạo hàm từng hạng rồi cộng.
TỰ LUẬN 14Tính I=∫₀^3(1x+3)dx.
Gợi ý: Tìm một nguyên hàm rồi lấy giá trị cận trên trừ cận dưới.
Lời giải: I=[1/2·x²+3x]₀^3=13,5.
Giải thích: Định lí cơ bản biến tích phân xác định thành hiệu giá trị của nguyên hàm.
Lỗi cần tránh: Thêm +C vào kết quả cuối hoặc lấy cận dưới trừ cận trên.
Cách khác: Kiểm độ lớn bằng diện tích hình thang dưới đường thẳng.
TỰ LUẬN 15Tính I=∫₀^4(1x+4)dx.
Gợi ý: Tìm một nguyên hàm rồi lấy giá trị cận trên trừ cận dưới.
Lời giải: I=[1/2·x²+4x]₀^4=24.
Giải thích: Định lí cơ bản biến tích phân xác định thành hiệu giá trị của nguyên hàm.
Lỗi cần tránh: Thêm +C vào kết quả cuối hoặc lấy cận dưới trừ cận trên.
Cách khác: Kiểm độ lớn bằng diện tích hình thang dưới đường thẳng.
TỰ LUẬN 16Tính I=∫₀^1(1x+1)dx.
Gợi ý: Tìm một nguyên hàm rồi lấy giá trị cận trên trừ cận dưới.
Lời giải: I=[1/2·x²+1x]₀^1=1,5.
Giải thích: Định lí cơ bản biến tích phân xác định thành hiệu giá trị của nguyên hàm.
Lỗi cần tránh: Thêm +C vào kết quả cuối hoặc lấy cận dưới trừ cận trên.
Cách khác: Kiểm độ lớn bằng diện tích hình thang dưới đường thẳng.
TỰ LUẬN 17Tính đạo hàm của f(x)=6x³+1x.
Gợi ý: Dùng (xⁿ)'=nxⁿ⁻¹ và tính tuyến tính của đạo hàm.
Lời giải: f'(x)=18x²+1.
Giải thích: Đạo hàm là nền để kiểm ngược mọi kết quả nguyên hàm.
Lỗi cần tránh: Giữ nguyên số mũ hoặc quên nhân hệ số mũ.
Cách khác: Lấy đạo hàm từng hạng rồi cộng.
TỰ LUẬN 18Tính ∫_2^0 2x²dx.
Gợi ý: Đổi thứ tự hai cận làm đổi dấu tích phân.
Lời giải: ∫_2^0 2x²dx=−∫₀^22x²dx=−5,3333.
Giải thích: Tích phân có hướng nên có thể âm.
Lỗi cần tránh: Cho rằng tích phân luôn dương vì x²≥0.
Cách khác: Tính trực tiếp bằng nguyên hàm cũng cho cùng kết quả.
TỰ LUẬN 19Tính ∫_3^0 2x²dx.
Gợi ý: Đổi thứ tự hai cận làm đổi dấu tích phân.
Lời giải: ∫_3^0 2x²dx=−∫₀^32x²dx=−18.
Giải thích: Tích phân có hướng nên có thể âm.
Lỗi cần tránh: Cho rằng tích phân luôn dương vì x²≥0.
Cách khác: Tính trực tiếp bằng nguyên hàm cũng cho cùng kết quả.
TỰ LUẬN 20Tính ∫_4^0 2x²dx.
Gợi ý: Đổi thứ tự hai cận làm đổi dấu tích phân.
Lời giải: ∫_4^0 2x²dx=−∫₀^42x²dx=−42,6667.
Giải thích: Tích phân có hướng nên có thể âm.
Lỗi cần tránh: Cho rằng tích phân luôn dương vì x²≥0.
Cách khác: Tính trực tiếp bằng nguyên hàm cũng cho cùng kết quả.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B12-NB-01, B12-NB-02, B12-NB-03, B12-NB-04, B12-NB-05, B12-NB-06, B12-NB-07, B12-NB-08, B12-NB-09, B12-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B12-NB-01: 12x²+1
- B12-NB-02: 20
- B12-NB-03: Có
- B12-NB-04: 24
- B12-NB-05: -0,6667
- B12-NB-06: 1548,8
- B12-NB-07: 1
- B12-NB-08: 6
- B12-NB-09: 1,5
- B12-NB-10: -5,3333
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 4
10 câu đại diện: B12-NB-11, B12-NB-12, B12-NB-13, B12-NB-14, B12-NB-15, B12-NB-16, B12-NB-17, B12-NB-18, B12-NB-19, B12-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B12-NB-11: 5163,75
- B12-NB-12: 1
- B12-NB-13: 9
- B12-NB-14: 6
- B12-NB-15: -18
- B12-NB-16: 2645,3333
- B12-NB-17: 1
- B12-NB-18: 8
- B12-NB-19: 13,5
- B12-NB-20: -42,6667
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B12-TH-01, B12-TH-02, B12-TH-03, B12-TH-04, B12-TH-05, B12-TH-06, B12-TH-07, B12-TH-08, B12-TH-09, B12-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B12-TH-01: 6x²+4
- B12-TH-02: 6
- B12-TH-03: Có
- B12-TH-04: -18
- B12-TH-05: 39936
- B12-TH-06: 1
- B12-TH-07: 8
- B12-TH-08: 13,5
- B12-TH-09: -42,6667
- B12-TH-10: 2,3333
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B12-TH-11, B12-TH-12, B12-TH-13, B12-TH-14, B12-TH-15, B12-TH-16, B12-TH-17, B12-TH-18, B12-TH-19, B12-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B12-TH-11: 1
- B12-TH-12: 7
- B12-TH-13: 24
- B12-TH-14: -0,6667
- B12-TH-15: 1548,8
- B12-TH-16: 1
- B12-TH-17: 6
- B12-TH-18: 1,5
- B12-TH-19: -5,3333
- B12-TH-20: 5163,75
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề ôn tốt nghiệp tổng hợp
10 câu đại diện: B12-VD-01, B12-VD-02, B12-VD-03, B12-VD-04, B12-VD-05, B12-VD-06, B12-VD-07, B12-VD-08, B12-VD-09, B12-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B12-VD-01: 15x²+3
- B12-VD-02: 48
- B12-VD-03: Có
- B12-VD-04: 69,3333
- B12-VD-05: 1
- B12-VD-06: 6
- B12-VD-07: 1,5
- B12-VD-08: -5,3333
- B12-VD-09: 49717,8
- B12-VD-10: 1
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi phiên 40–55 phút; yêu cầu con nói điều kiện, dự đoán dấu hoặc miền giá trị trước khi tính.
- Không hỏi đáp số trước; hỏi vì sao chọn công cụ và kiểm kết quả bằng cách nào.
- Theo dõi ba lỗi lặp gần nhất, không gây áp lực bằng số câu đã làm.
- Mỗi tuần có một phiên 90 phút mô phỏng và một phiên chữa sâu theo sổ lỗi.
- Mở bài bằng một bối cảnh hoặc phản ví dụ có thể kiểm chứng.
- Chấm theo năm mốc: mô hình–điều kiện–công thức–tính toán–diễn giải.
- Trộn đúng 15% nền trực tiếp; không lấy câu cũ ngẫu nhiên chỉ để đủ tỉ lệ.
- Đề định hướng Hà Nội phải ghi là nội bộ tham khảo và có đủ ba dạng trắc nghiệm hiện hành.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.