Biến dữ kiện thành quyết định
Bài học giúp mô hình hóa thiết kế bể chứa, vật liệu, lưu lượng, kiến trúc, y sinh và thể tích sản phẩm bằng công cụ có thể kiểm chứng.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 13. Ứng dụng hình học của tích phân
Dùng tích phân để tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể; xác định đúng miền, giao điểm, hàm trên–dưới, bán kính quay hoặc diện tích thiết diện trước khi tính.
Diện tích không âm: chia đúng giao điểm và lấy hàm trên trừ hàm dưới
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Biết đọc dữ kiện, nêu điều kiện, thực hiện và giải thích kết quả.
Gọi đúng nền
Kích hoạt bài 12, đồ thị hàm số, phương trình giao điểm và đơn vị đo rồi chuẩn bị cho Cổng cuối Chương 4.
Ba dạng, một bản chất
Luyện nhiều lựa chọn, đúng–sai và trả lời ngắn trên cùng một mạch suy luận.
- Tính diện tích giữa đồ thị và trục hoành.
- Tính diện tích giữa hai đồ thị bằng cách chia miền đúng.
- Tính thể tích khối tròn xoay hoặc vật thể có thiết diện cho trước.
- Kiểm tra đơn vị, dấu và độ lớn của kết quả.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Bài 12, đồ thị hàm số, phương trình giao điểm và đơn vị đo.
- Viết miền xác định, đối tượng, phân hoạch hoặc đơn vị trước phép tính.
- Dự đoán dấu, độ lớn, vị trí hoặc miền giá trị của kết quả.
- Kiểm bằng đạo hàm, phép thế, hình học, bảng tần số hoặc công thức thứ hai.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Diện tích với trục hoành
Hiểu đơn giản: Phần trên trục Ox cộng dương, phần dưới cũng phải đổi thành diện tích dương.
S=∫ₐᵇ|f(x)|dx; chia đoạn tại nghiệm của f.
Ví dụ: Nếu f đổi dấu tại c thì S=∫ₐᶜ(−f)+∫꜀ᵇf.
Hình nên dùng: Miền tô màu trên và dưới Ox.
Mô phỏng: Kéo nghiệm qua đoạn.
Mẹo nhớ: Diện tích dùng trị tuyệt đối.
Sai lầm: Lấy nguyên tích phân có hướng làm diện tích.
Ghi chú: Phải tìm đầy đủ nghiệm trong đoạn.
Diện tích giữa hai đồ thị
Hiểu đơn giản: Mỗi lát đứng có chiều cao bằng khoảng cách giữa hàm trên và hàm dưới.
S=∫ₐᵇ|f(x)−g(x)|dx; chia tại nghiệm f=g.
Ví dụ: Trên [0;1], x≥x² nên S=∫₀¹(x−x²)dx.
Hình nên dùng: Hai đường cắt nhau và các lát đứng.
Mô phỏng: Bật điểm thử giữa hai giao điểm.
Mẹo nhớ: Trên trừ dưới từng khoảng.
Sai lầm: Giữ một thứ tự trên toàn miền dù hai đồ thị đổi vị trí.
Ghi chú: Điểm thử giúp tránh đọc sai hình.
Thể tích khối tròn xoay
Hiểu đơn giản: Mỗi lát vuông góc trục quay là một hình tròn hoặc vành khăn.
Quanh Ox: V=π∫ₐᵇ(R²−r²)dx.
Ví dụ: Quay y=x, 0≤x≤1 quanh Ox cho V=π/3.
Hình nên dùng: Chồng các đĩa mỏng.
Mô phỏng: Kéo bán kính ngoài–trong.
Mẹo nhớ: Pi nhân bình phương bán kính.
Sai lầm: Dùng chu vi 2πr thay diện tích πr².
Ghi chú: Bán kính là khoảng cách đến trục quay.
Thiết diện và kiểm đơn vị
Hiểu đơn giản: Nếu biết diện tích lát cắt A(x), chỉ cần cộng các lát theo chiều dài.
V=∫ₐᵇA(x)dx.
Ví dụ: A có đơn vị cm², dx có cm nên V có cm³.
Hình nên dùng: Dải đơn vị cm²×cm.
Mô phỏng: Thay đổi A(x).
Mẹo nhớ: Diện tích lát nhân chiều dày.
Sai lầm: Bình phương A(x) thêm lần nữa.
Ghi chú: Đơn vị là phép kiểm nhanh phát hiện sai mô hình.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Đạo hàm ngược, thế cận và ước lượng độ lớn
Thay hệ số của f(x)=ax²+bx+c và hai cận. Công cụ tính một nguyên hàm, tích phân có hướng và giá trị ước lượng bằng trung điểm để tự kiểm.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B13-NB-04
Đề bài: Tính diện tích giữa y=7, y=2, x=0 và x=3.
Phân tích: Trên đoạn, lấy hàm trên trừ hàm dưới.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Trên đoạn, lấy hàm trên trừ hàm dưới.
- Bước 2: S=∫₀^3(7−2)dx=15.
- Bước 3: Kết luận 15.
Vì sao: Khoảng cách đứng giữa hai đường là hằng số.
Cách khác: Kiểm bằng diện tích hình chữ nhật.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy hàm dưới trừ hàm trên rồi giữ kết quả âm.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B13-NB-14
Đề bài: Tính diện tích giữa y=5, y=2, x=0 và x=1.
Phân tích: Trên đoạn, lấy hàm trên trừ hàm dưới.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Trên đoạn, lấy hàm trên trừ hàm dưới.
- Bước 2: S=∫₀^1(5−2)dx=3.
- Bước 3: Kết luận 3.
Vì sao: Khoảng cách đứng giữa hai đường là hằng số.
Cách khác: Kiểm bằng diện tích hình chữ nhật.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy hàm dưới trừ hàm trên rồi giữ kết quả âm.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B13-TH-04
Đề bài: Tính diện tích giữa y=3x và y=3x² trên [0;1].
Phân tích: Trên (0;1), x>x² nên đường thẳng nằm trên parabol.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Trên (0;1), x>x² nên đường thẳng nằm trên parabol.
- Bước 2: S=∫₀¹(3x−3x²)dx=3(1/2−1/3)=0,5.
- Bước 3: Kết luận 0,5.
Vì sao: Muốn tính diện tích phải xác định đúng hàm trên–hàm dưới.
Cách khác: Thử x=1/2 để nhận biết đường trên.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy trị tuyệt đối sau khi tích phân sai thứ tự mà không chia miền.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B13-TH-14
Đề bài: Tính diện tích giữa y=3x và y=3x² trên [0;1].
Phân tích: Trên (0;1), x>x² nên đường thẳng nằm trên parabol.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Trên (0;1), x>x² nên đường thẳng nằm trên parabol.
- Bước 2: S=∫₀¹(3x−3x²)dx=3(1/2−1/3)=0,5.
- Bước 3: Kết luận 0,5.
Vì sao: Muốn tính diện tích phải xác định đúng hàm trên–hàm dưới.
Cách khác: Thử x=1/2 để nhận biết đường trên.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy trị tuyệt đối sau khi tích phân sai thứ tự mà không chia miền.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B13-VD-04
Đề bài: Quay miền dưới y=4x trên [0;1] quanh Ox. Tính thể tích.
Phân tích: Dùng V=π∫[f(x)]²dx.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Dùng V=π∫[f(x)]²dx.
- Bước 2: V=π∫₀^1(4x)²dx=5,3333π.
- Bước 3: Kết luận 5,3333π.
Vì sao: Bán kính tiết diện là f(x), diện tích tiết diện là πf².
Cách khác: Kiểm bằng công thức thể tích hình nón.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Quên bình phương bán kính hoặc dùng 2πf.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B13-VD-14
Đề bài: Quay miền dưới y=4x trên [0;3] quanh Ox. Tính thể tích.
Phân tích: Dùng V=π∫[f(x)]²dx.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Dùng V=π∫[f(x)]²dx.
- Bước 2: V=π∫₀^3(4x)²dx=144π.
- Bước 3: Kết luận 144π.
Vì sao: Bán kính tiết diện là f(x), diện tích tiết diện là πf².
Cách khác: Kiểm bằng công thức thể tích hình nón.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Quên bình phương bán kính hoặc dùng 2πf.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B13-VDC-04
Đề bài: Một vật thể có diện tích thiết diện vuông góc Ox là A(x)=5+4x (cm²), 0≤x≤2. Tính thể tích.
Phân tích: Thể tích bằng tích phân diện tích thiết diện theo chiều dài.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Thể tích bằng tích phân diện tích thiết diện theo chiều dài.
- Bước 2: V=∫₀²(5+4x)dx=18 cm³.
- Bước 3: Kết luận 18 cm³.
Vì sao: Đơn vị cm² nhân với dx có đơn vị cm tạo cm³.
Cách khác: Kiểm bằng diện tích trung bình của hàm tuyến tính nhân chiều dài.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Bình phương A(x) hoặc dùng thêm π dù đề đã cho diện tích.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • B13-VDC-14
Đề bài: Một vật thể có diện tích thiết diện vuông góc Ox là A(x)=5+2x (cm²), 0≤x≤2. Tính thể tích.
Phân tích: Thể tích bằng tích phân diện tích thiết diện theo chiều dài.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Thể tích bằng tích phân diện tích thiết diện theo chiều dài.
- Bước 2: V=∫₀²(5+2x)dx=14 cm³.
- Bước 3: Kết luận 14 cm³.
Vì sao: Đơn vị cm² nhân với dx có đơn vị cm tạo cm³.
Cách khác: Kiểm bằng diện tích trung bình của hàm tuyến tính nhân chiều dài.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Bình phương A(x) hoặc dùng thêm π dù đề đã cho diện tích.
09 • Thực tếVí dụ 9 • B13-TT-04
Đề bài: Tính diện tích miền giới hạn bởi y=1x, trục Ox, x=0 và x=3.
Phân tích: Hàm không âm trên đoạn nên diện tích bằng tích phân của hàm.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Hàm không âm trên đoạn nên diện tích bằng tích phân của hàm.
- Bước 2: S=∫₀^31x dx=4,5.
- Bước 3: Kết luận 4,5.
Vì sao: Diện tích cũng bằng nửa đáy nhân chiều cao của tam giác.
Cách khác: Kiểm hình học: S=1/2·3·3.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Quên đơn vị diện tích hoặc lấy tích phân âm.
10 • Thực tếVí dụ 10 • B13-TT-14
Đề bài: Tính diện tích miền giới hạn bởi y=1x, trục Ox, x=0 và x=1.
Phân tích: Hàm không âm trên đoạn nên diện tích bằng tích phân của hàm.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Hàm không âm trên đoạn nên diện tích bằng tích phân của hàm.
- Bước 2: S=∫₀^11x dx=0,5.
- Bước 3: Kết luận 0,5.
Vì sao: Diện tích cũng bằng nửa đáy nhân chiều cao của tam giác.
Cách khác: Kiểm hình học: S=1/2·1·1.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Quên đơn vị diện tích hoặc lấy tích phân âm.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua ứng dụng hình học của tích phân
Tình huống 1 dùng thiết kế bể chứa, vật liệu, lưu lượng, kiến trúc, y sinh và thể tích sản phẩm; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Trường học qua ứng dụng hình học của tích phân
Tình huống 2 dùng thiết kế bể chứa, vật liệu, lưu lượng, kiến trúc, y sinh và thể tích sản phẩm; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua ứng dụng hình học của tích phân
Tình huống 3 dùng thiết kế bể chứa, vật liệu, lưu lượng, kiến trúc, y sinh và thể tích sản phẩm; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua ứng dụng hình học của tích phân
Tình huống 4 dùng thiết kế bể chứa, vật liệu, lưu lượng, kiến trúc, y sinh và thể tích sản phẩm; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua ứng dụng hình học của tích phân
Tình huống 5 dùng thiết kế bể chứa, vật liệu, lưu lượng, kiến trúc, y sinh và thể tích sản phẩm; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua ứng dụng hình học của tích phân
Tình huống 6 dùng thiết kế bể chứa, vật liệu, lưu lượng, kiến trúc, y sinh và thể tích sản phẩm; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua ứng dụng hình học của tích phân
Tình huống 7 dùng thiết kế bể chứa, vật liệu, lưu lượng, kiến trúc, y sinh và thể tích sản phẩm; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua ứng dụng hình học của tích phân
Tình huống 8 dùng thiết kế bể chứa, vật liệu, lưu lượng, kiến trúc, y sinh và thể tích sản phẩm; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Diện tích với trục hoành theo cách trực quan?
Phần trên trục Ox cộng dương, phần dưới cũng phải đổi thành diện tích dương. Phát biểu chính xác: S=∫ₐᵇ|f(x)|dx; chia đoạn tại nghiệm của f. Ví dụ: Nếu f đổi dấu tại c thì S=∫ₐᶜ(−f)+∫꜀ᵇf. Mẹo: Diện tích dùng trị tuyệt đối. Cần tránh: Lấy nguyên tích phân có hướng làm diện tích.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Không tìm giao điểm trước khi tích phân
Lấy nguyên tích phân có hướng làm diện tích. Sửa bằng: Diện tích dùng trị tuyệt đối. Kiểm cuối: Phải tìm đầy đủ nghiệm trong đoạn.
Lấy hàm dưới trừ hàm trên
Giữ một thứ tự trên toàn miền dù hai đồ thị đổi vị trí. Sửa bằng: Trên trừ dưới từng khoảng. Kiểm cuối: Điểm thử giúp tránh đọc sai hình.
Quên giá trị tuyệt đối hoặc chia miền
Dùng chu vi 2πr thay diện tích πr². Sửa bằng: Pi nhân bình phương bán kính. Kiểm cuối: Bán kính là khoảng cách đến trục quay.
Quên bình phương bán kính
Bình phương A(x) thêm lần nữa. Sửa bằng: Diện tích lát nhân chiều dày. Kiểm cuối: Đơn vị là phép kiểm nhanh phát hiện sai mô hình.
Sai đơn vị diện tích–thể tích
Lấy nguyên tích phân có hướng làm diện tích. Sửa bằng: Diện tích dùng trị tuyệt đối. Kiểm cuối: Phải tìm đầy đủ nghiệm trong đoạn.
Không tìm giao điểm trước khi tích phân – tình huống 6
Giữ một thứ tự trên toàn miền dù hai đồ thị đổi vị trí. Sửa bằng: Trên trừ dưới từng khoảng. Kiểm cuối: Điểm thử giúp tránh đọc sai hình.
Lấy hàm dưới trừ hàm trên – tình huống 7
Dùng chu vi 2πr thay diện tích πr². Sửa bằng: Pi nhân bình phương bán kính. Kiểm cuối: Bán kính là khoảng cách đến trục quay.
Quên giá trị tuyệt đối hoặc chia miền – tình huống 8
Bình phương A(x) thêm lần nữa. Sửa bằng: Diện tích lát nhân chiều dày. Kiểm cuối: Đơn vị là phép kiểm nhanh phát hiện sai mô hình.
Quên bình phương bán kính – tình huống 9
Lấy nguyên tích phân có hướng làm diện tích. Sửa bằng: Diện tích dùng trị tuyệt đối. Kiểm cuối: Phải tìm đầy đủ nghiệm trong đoạn.
Sai đơn vị diện tích–thể tích – tình huống 10
Giữ một thứ tự trên toàn miền dù hai đồ thị đổi vị trí. Sửa bằng: Trên trừ dưới từng khoảng. Kiểm cuối: Điểm thử giúp tránh đọc sai hình.
Không tìm giao điểm trước khi tích phân – tình huống 11
Dùng chu vi 2πr thay diện tích πr². Sửa bằng: Pi nhân bình phương bán kính. Kiểm cuối: Bán kính là khoảng cách đến trục quay.
Lấy hàm dưới trừ hàm trên – tình huống 12
Bình phương A(x) thêm lần nữa. Sửa bằng: Diện tích lát nhân chiều dày. Kiểm cuối: Đơn vị là phép kiểm nhanh phát hiện sai mô hình.
Quên giá trị tuyệt đối hoặc chia miền – tình huống 13
Lấy nguyên tích phân có hướng làm diện tích. Sửa bằng: Diện tích dùng trị tuyệt đối. Kiểm cuối: Phải tìm đầy đủ nghiệm trong đoạn.
Quên bình phương bán kính – tình huống 14
Giữ một thứ tự trên toàn miền dù hai đồ thị đổi vị trí. Sửa bằng: Trên trừ dưới từng khoảng. Kiểm cuối: Điểm thử giúp tránh đọc sai hình.
Sai đơn vị diện tích–thể tích – tình huống 15
Dùng chu vi 2πr thay diện tích πr². Sửa bằng: Pi nhân bình phương bán kính. Kiểm cuối: Bán kính là khoảng cách đến trục quay.
Không tìm giao điểm trước khi tích phân – tình huống 16
Bình phương A(x) thêm lần nữa. Sửa bằng: Diện tích lát nhân chiều dày. Kiểm cuối: Đơn vị là phép kiểm nhanh phát hiện sai mô hình.
Lấy hàm dưới trừ hàm trên – tình huống 17
Lấy nguyên tích phân có hướng làm diện tích. Sửa bằng: Diện tích dùng trị tuyệt đối. Kiểm cuối: Phải tìm đầy đủ nghiệm trong đoạn.
Quên giá trị tuyệt đối hoặc chia miền – tình huống 18
Giữ một thứ tự trên toàn miền dù hai đồ thị đổi vị trí. Sửa bằng: Trên trừ dưới từng khoảng. Kiểm cuối: Điểm thử giúp tránh đọc sai hình.
Quên bình phương bán kính – tình huống 19
Dùng chu vi 2πr thay diện tích πr². Sửa bằng: Pi nhân bình phương bán kính. Kiểm cuối: Bán kính là khoảng cách đến trục quay.
Sai đơn vị diện tích–thể tích – tình huống 20
Bình phương A(x) thêm lần nữa. Sửa bằng: Diện tích lát nhân chiều dày. Kiểm cuối: Đơn vị là phép kiểm nhanh phát hiện sai mô hình.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chẩn đoán 5 phút
Làm ba câu nền và nói thành lời điều kiện của công cụ trước khi học mới.
Chu trình 5–25–10
5 phút gọi nền, 25 phút học một nút, 10 phút làm lại không nhìn lời giải.
Hai biểu diễn
Kiểm công thức bằng đạo hàm, đồ thị, hình Oxyz, bảng xác suất hoặc đơn vị.
Phản ví dụ bắt buộc
Mỗi định lí đi cùng một trường hợp thiếu điều kiện để tránh học thuộc máy móc.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi lỗi, nguyên nhân và phép tự kiểm; không chép lại toàn bộ lời giải.
Ôn cách quãng 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và qua cổng lại sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Ứng dụng hình học của tích phân1 2 3 4
Diện tích với trục hoànhS=∫ₐᵇ|f(x)|dx; chia đoạn tại nghiệm của f. Diện tích dùng trị tuyệt đối.
Diện tích giữa hai đồ thịS=∫ₐᵇ|f(x)−g(x)|dx; chia tại nghiệm f=g. Trên trừ dưới từng khoảng.
Thể tích khối tròn xoayQuanh Ox: V=π∫ₐᵇ(R²−r²)dx. Pi nhân bình phương bán kính.
Thiết diện và kiểm đơn vịV=∫ₐᵇA(x)dx. Diện tích lát nhân chiều dày.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
B13-NB-01Cho F(x)=5x²+2. Tính F'(2).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đạo hàm trước, thay số sau.
Lời giải: F'(x)=10x nên F'(2)=20.
Vì sao: Giá trị đạo hàm tại điểm là tốc độ biến thiên tại điểm đó.
Sai ở đâu: Thay x trước rồi đạo hàm một hằng số.
Cách khác: Dùng hệ số góc tiếp tuyến tại x=2.
B13-NB-02Kiểm tra G(x)=6x⁴/4+3 có phải một nguyên hàm của g(x)=6x³ không.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy đạo hàm G.
Lời giải: G'(x)=6x³=g(x), nên G là một nguyên hàm của g.
Vì sao: Hai hàm là quan hệ nguyên hàm–đạo hàm khi đạo hàm hàm thứ nhất bằng hàm thứ hai.
Sai ở đâu: So sánh G với g mà không lấy đạo hàm.
Cách khác: Dùng định nghĩa F'=f.
B13-NB-03Tính đạo hàm của f(x)=2x³+4x.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng (xⁿ)'=nxⁿ⁻¹ và tính tuyến tính của đạo hàm.
Lời giải: f'(x)=6x²+4.
Vì sao: Đạo hàm là nền để kiểm ngược mọi kết quả nguyên hàm.
Sai ở đâu: Giữ nguyên số mũ hoặc quên nhân hệ số mũ.
Cách khác: Lấy đạo hàm từng hạng rồi cộng.
B13-NB-04Tính diện tích giữa y=7, y=2, x=0 và x=3.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Trên đoạn, lấy hàm trên trừ hàm dưới.
Lời giải: S=∫₀^3(7−2)dx=15.
Vì sao: Khoảng cách đứng giữa hai đường là hằng số.
Sai ở đâu: Lấy hàm dưới trừ hàm trên rồi giữ kết quả âm.
Cách khác: Kiểm bằng diện tích hình chữ nhật.
B13-NB-05Tính diện tích giữa y=3x và y=3x² trên [0;1].
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Trên (0;1), x>x² nên đường thẳng nằm trên parabol.
Lời giải: S=∫₀¹(3x−3x²)dx=3(1/2−1/3)=0,5.
Vì sao: Muốn tính diện tích phải xác định đúng hàm trên–hàm dưới.
Sai ở đâu: Lấy trị tuyệt đối sau khi tích phân sai thứ tự mà không chia miền.
Cách khác: Thử x=1/2 để nhận biết đường trên.
B13-NB-06Quay miền dưới y=4x trên [0;1] quanh Ox. Tính thể tích.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng V=π∫[f(x)]²dx.
Lời giải: V=π∫₀^1(4x)²dx=5,3333π.
Vì sao: Bán kính tiết diện là f(x), diện tích tiết diện là πf².
Sai ở đâu: Quên bình phương bán kính hoặc dùng 2πf.
Cách khác: Kiểm bằng công thức thể tích hình nón.
B13-NB-07Một vật thể có diện tích thiết diện vuông góc Ox là A(x)=5+2x (cm²), 0≤x≤2. Tính thể tích.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thể tích bằng tích phân diện tích thiết diện theo chiều dài.
Lời giải: V=∫₀²(5+2x)dx=14 cm³.
Vì sao: Đơn vị cm² nhân với dx có đơn vị cm tạo cm³.
Sai ở đâu: Bình phương A(x) hoặc dùng thêm π dù đề đã cho diện tích.
Cách khác: Kiểm bằng diện tích trung bình của hàm tuyến tính nhân chiều dài.
B13-NB-08Tính diện tích miền giới hạn bởi y=1x, trục Ox, x=0 và x=3.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hàm không âm trên đoạn nên diện tích bằng tích phân của hàm.
Lời giải: S=∫₀^31x dx=4,5.
Vì sao: Diện tích cũng bằng nửa đáy nhân chiều cao của tam giác.
Sai ở đâu: Quên đơn vị diện tích hoặc lấy tích phân âm.
Cách khác: Kiểm hình học: S=1/2·3·3.
B13-NB-09Tính diện tích giữa y=8, y=2, x=0 và x=4.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Trên đoạn, lấy hàm trên trừ hàm dưới.
Lời giải: S=∫₀^4(8−2)dx=24.
Vì sao: Khoảng cách đứng giữa hai đường là hằng số.
Sai ở đâu: Lấy hàm dưới trừ hàm trên rồi giữ kết quả âm.
Cách khác: Kiểm bằng diện tích hình chữ nhật.
B13-NB-10Tính diện tích giữa y=3x và y=3x² trên [0;1].
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Trên (0;1), x>x² nên đường thẳng nằm trên parabol.
Lời giải: S=∫₀¹(3x−3x²)dx=3(1/2−1/3)=0,5.
Vì sao: Muốn tính diện tích phải xác định đúng hàm trên–hàm dưới.
Sai ở đâu: Lấy trị tuyệt đối sau khi tích phân sai thứ tự mà không chia miền.
Cách khác: Thử x=1/2 để nhận biết đường trên.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
[B13-NB-01] Cho F(x)=5x²+2. Tính F'(2).
BA DẠNG TRẮC NGHIỆM HIỆN HÀNH
Cùng một bản chất, ba cách kiểm tra năng lực
Định dạng ôn tốt nghiệp gồm nhiều lựa chọn, đúng–sai bốn ý và trả lời ngắn; tự luận phía sau dùng để học sâu, không gắn sai nhãn thành cấu trúc đề thi.
Nhiều lựa chọn
50 câu tự chấm ngay phía trên; phương án nhiễu xuất phát từ lỗi điều kiện, dấu, thứ tự hoặc thiếu ứng viên.
Chọn đáp án rồi đọc giải thích và ghi lỗi.Đúng–sai bốn ý
Một cụm mẫu dùng chung bối cảnh “Ứng dụng hình học của tích phân”:
- a) S=∫ₐᵇ|f(x)|dx; chia đoạn tại nghiệm của f.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Phần trên trục Ox cộng dương, phần dưới cũng phải đổi thành diện tích dương. Ví dụ kiểm chứng: Nếu f đổi dấu tại c thì S=∫ₐᶜ(−f)+∫꜀ᵇf.
- b) S=∫ₐᵇ|f(x)−g(x)|dx; chia tại nghiệm f=g.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Mỗi lát đứng có chiều cao bằng khoảng cách giữa hàm trên và hàm dưới. Ví dụ kiểm chứng: Trên [0;1], x≥x² nên S=∫₀¹(x−x²)dx.
- c) Quanh Ox: V=π∫ₐᵇ(R²−r²)dx.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Mỗi lát vuông góc trục quay là một hình tròn hoặc vành khăn. Ví dụ kiểm chứng: Quay y=x, 0≤x≤1 quanh Ox cho V=π/3.
- d) V=∫ₐᵇA(x)dx.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Nếu biết diện tích lát cắt A(x), chỉ cần cộng các lát theo chiều dài. Ví dụ kiểm chứng: A có đơn vị cm², dx có cm nên V có cm³.
Trả lời ngắn
Tự lập mô hình và điền kết quả, không có phương án gợi ý:
- Cho F(x)=4x²+3. Tính F'(3).
Đáp án
24
- Kiểm tra G(x)=5x⁴/4+4 có phải một nguyên hàm của g(x)=5x³ không.
Đáp án
Có
- Tính đạo hàm của f(x)=6x³+1x.
Đáp án
18x²+1
- Một vật thể có diện tích thiết diện vuông góc Ox là A(x)=5+4x (cm²), 0≤x≤2. Tính thể tích.
Đáp án
18 cm³
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Cho F(x)=5x²+2. Tính F'(2).
Gợi ý: Đạo hàm trước, thay số sau.
Lời giải: F'(x)=10x nên F'(2)=20.
Giải thích: Giá trị đạo hàm tại điểm là tốc độ biến thiên tại điểm đó.
Lỗi cần tránh: Thay x trước rồi đạo hàm một hằng số.
Cách khác: Dùng hệ số góc tiếp tuyến tại x=2.
TỰ LUẬN 2Quay miền dưới y=4x trên [0;1] quanh Ox. Tính thể tích.
Gợi ý: Dùng V=π∫[f(x)]²dx.
Lời giải: V=π∫₀^1(4x)²dx=5,3333π.
Giải thích: Bán kính tiết diện là f(x), diện tích tiết diện là πf².
Lỗi cần tránh: Quên bình phương bán kính hoặc dùng 2πf.
Cách khác: Kiểm bằng công thức thể tích hình nón.
TỰ LUẬN 3Quay miền dưới y=4x trên [0;2] quanh Ox. Tính thể tích.
Gợi ý: Dùng V=π∫[f(x)]²dx.
Lời giải: V=π∫₀^2(4x)²dx=42,6667π.
Giải thích: Bán kính tiết diện là f(x), diện tích tiết diện là πf².
Lỗi cần tránh: Quên bình phương bán kính hoặc dùng 2πf.
Cách khác: Kiểm bằng công thức thể tích hình nón.
TỰ LUẬN 4Quay miền dưới y=4x trên [0;3] quanh Ox. Tính thể tích.
Gợi ý: Dùng V=π∫[f(x)]²dx.
Lời giải: V=π∫₀^3(4x)²dx=144π.
Giải thích: Bán kính tiết diện là f(x), diện tích tiết diện là πf².
Lỗi cần tránh: Quên bình phương bán kính hoặc dùng 2πf.
Cách khác: Kiểm bằng công thức thể tích hình nón.
TỰ LUẬN 5Cho F(x)=3x²+1. Tính F'(1).
Gợi ý: Đạo hàm trước, thay số sau.
Lời giải: F'(x)=6x nên F'(1)=6.
Giải thích: Giá trị đạo hàm tại điểm là tốc độ biến thiên tại điểm đó.
Lỗi cần tránh: Thay x trước rồi đạo hàm một hằng số.
Cách khác: Dùng hệ số góc tiếp tuyến tại x=1.
TỰ LUẬN 6Một vật thể có diện tích thiết diện vuông góc Ox là A(x)=5+4x (cm²), 0≤x≤2. Tính thể tích.
Gợi ý: Thể tích bằng tích phân diện tích thiết diện theo chiều dài.
Lời giải: V=∫₀²(5+4x)dx=18 cm³.
Giải thích: Đơn vị cm² nhân với dx có đơn vị cm tạo cm³.
Lỗi cần tránh: Bình phương A(x) hoặc dùng thêm π dù đề đã cho diện tích.
Cách khác: Kiểm bằng diện tích trung bình của hàm tuyến tính nhân chiều dài.
TỰ LUẬN 7Một vật thể có diện tích thiết diện vuông góc Ox là A(x)=5+1x (cm²), 0≤x≤2. Tính thể tích.
Gợi ý: Thể tích bằng tích phân diện tích thiết diện theo chiều dài.
Lời giải: V=∫₀²(5+1x)dx=12 cm³.
Giải thích: Đơn vị cm² nhân với dx có đơn vị cm tạo cm³.
Lỗi cần tránh: Bình phương A(x) hoặc dùng thêm π dù đề đã cho diện tích.
Cách khác: Kiểm bằng diện tích trung bình của hàm tuyến tính nhân chiều dài.
TỰ LUẬN 8Một vật thể có diện tích thiết diện vuông góc Ox là A(x)=5+2x (cm²), 0≤x≤2. Tính thể tích.
Gợi ý: Thể tích bằng tích phân diện tích thiết diện theo chiều dài.
Lời giải: V=∫₀²(5+2x)dx=14 cm³.
Giải thích: Đơn vị cm² nhân với dx có đơn vị cm tạo cm³.
Lỗi cần tránh: Bình phương A(x) hoặc dùng thêm π dù đề đã cho diện tích.
Cách khác: Kiểm bằng diện tích trung bình của hàm tuyến tính nhân chiều dài.
TỰ LUẬN 9Cho F(x)=6x²+4. Tính F'(4).
Gợi ý: Đạo hàm trước, thay số sau.
Lời giải: F'(x)=12x nên F'(4)=48.
Giải thích: Giá trị đạo hàm tại điểm là tốc độ biến thiên tại điểm đó.
Lỗi cần tránh: Thay x trước rồi đạo hàm một hằng số.
Cách khác: Dùng hệ số góc tiếp tuyến tại x=4.
TỰ LUẬN 10Tính diện tích miền giới hạn bởi y=1x, trục Ox, x=0 và x=3.
Gợi ý: Hàm không âm trên đoạn nên diện tích bằng tích phân của hàm.
Lời giải: S=∫₀^31x dx=4,5.
Giải thích: Diện tích cũng bằng nửa đáy nhân chiều cao của tam giác.
Lỗi cần tránh: Quên đơn vị diện tích hoặc lấy tích phân âm.
Cách khác: Kiểm hình học: S=1/2·3·3.
TỰ LUẬN 11Tính diện tích miền giới hạn bởi y=1x, trục Ox, x=0 và x=4.
Gợi ý: Hàm không âm trên đoạn nên diện tích bằng tích phân của hàm.
Lời giải: S=∫₀^41x dx=8.
Giải thích: Diện tích cũng bằng nửa đáy nhân chiều cao của tam giác.
Lỗi cần tránh: Quên đơn vị diện tích hoặc lấy tích phân âm.
Cách khác: Kiểm hình học: S=1/2·4·4.
TỰ LUẬN 12Tính diện tích miền giới hạn bởi y=1x, trục Ox, x=0 và x=1.
Gợi ý: Hàm không âm trên đoạn nên diện tích bằng tích phân của hàm.
Lời giải: S=∫₀^11x dx=0,5.
Giải thích: Diện tích cũng bằng nửa đáy nhân chiều cao của tam giác.
Lỗi cần tránh: Quên đơn vị diện tích hoặc lấy tích phân âm.
Cách khác: Kiểm hình học: S=1/2·1·1.
TỰ LUẬN 13Cho F(x)=4x²+3. Tính F'(3).
Gợi ý: Đạo hàm trước, thay số sau.
Lời giải: F'(x)=8x nên F'(3)=24.
Giải thích: Giá trị đạo hàm tại điểm là tốc độ biến thiên tại điểm đó.
Lỗi cần tránh: Thay x trước rồi đạo hàm một hằng số.
Cách khác: Dùng hệ số góc tiếp tuyến tại x=3.
TỰ LUẬN 14Tính diện tích giữa y=6, y=2, x=0 và x=2.
Gợi ý: Trên đoạn, lấy hàm trên trừ hàm dưới.
Lời giải: S=∫₀^2(6−2)dx=8.
Giải thích: Khoảng cách đứng giữa hai đường là hằng số.
Lỗi cần tránh: Lấy hàm dưới trừ hàm trên rồi giữ kết quả âm.
Cách khác: Kiểm bằng diện tích hình chữ nhật.
TỰ LUẬN 15Tính diện tích giữa y=7, y=2, x=0 và x=3.
Gợi ý: Trên đoạn, lấy hàm trên trừ hàm dưới.
Lời giải: S=∫₀^3(7−2)dx=15.
Giải thích: Khoảng cách đứng giữa hai đường là hằng số.
Lỗi cần tránh: Lấy hàm dưới trừ hàm trên rồi giữ kết quả âm.
Cách khác: Kiểm bằng diện tích hình chữ nhật.
TỰ LUẬN 16Tính diện tích giữa y=8, y=2, x=0 và x=4.
Gợi ý: Trên đoạn, lấy hàm trên trừ hàm dưới.
Lời giải: S=∫₀^4(8−2)dx=24.
Giải thích: Khoảng cách đứng giữa hai đường là hằng số.
Lỗi cần tránh: Lấy hàm dưới trừ hàm trên rồi giữ kết quả âm.
Cách khác: Kiểm bằng diện tích hình chữ nhật.
TỰ LUẬN 17Cho F(x)=2x²+2. Tính F'(2).
Gợi ý: Đạo hàm trước, thay số sau.
Lời giải: F'(x)=4x nên F'(2)=8.
Giải thích: Giá trị đạo hàm tại điểm là tốc độ biến thiên tại điểm đó.
Lỗi cần tránh: Thay x trước rồi đạo hàm một hằng số.
Cách khác: Dùng hệ số góc tiếp tuyến tại x=2.
TỰ LUẬN 18Tính diện tích giữa y=3x và y=3x² trên [0;1].
Gợi ý: Trên (0;1), x>x² nên đường thẳng nằm trên parabol.
Lời giải: S=∫₀¹(3x−3x²)dx=3(1/2−1/3)=0,5.
Giải thích: Muốn tính diện tích phải xác định đúng hàm trên–hàm dưới.
Lỗi cần tránh: Lấy trị tuyệt đối sau khi tích phân sai thứ tự mà không chia miền.
Cách khác: Thử x=1/2 để nhận biết đường trên.
TỰ LUẬN 19Tính diện tích giữa y=3x và y=3x² trên [0;1].
Gợi ý: Trên (0;1), x>x² nên đường thẳng nằm trên parabol.
Lời giải: S=∫₀¹(3x−3x²)dx=3(1/2−1/3)=0,5.
Giải thích: Muốn tính diện tích phải xác định đúng hàm trên–hàm dưới.
Lỗi cần tránh: Lấy trị tuyệt đối sau khi tích phân sai thứ tự mà không chia miền.
Cách khác: Thử x=1/2 để nhận biết đường trên.
TỰ LUẬN 20Tính diện tích giữa y=3x và y=3x² trên [0;1].
Gợi ý: Trên (0;1), x>x² nên đường thẳng nằm trên parabol.
Lời giải: S=∫₀¹(3x−3x²)dx=3(1/2−1/3)=0,5.
Giải thích: Muốn tính diện tích phải xác định đúng hàm trên–hàm dưới.
Lỗi cần tránh: Lấy trị tuyệt đối sau khi tích phân sai thứ tự mà không chia miền.
Cách khác: Thử x=1/2 để nhận biết đường trên.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B13-NB-01, B13-NB-02, B13-NB-03, B13-NB-04, B13-NB-05, B13-NB-06, B13-NB-07, B13-NB-08, B13-NB-09, B13-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B13-NB-01: 20
- B13-NB-02: Có
- B13-NB-03: 6x²+4
- B13-NB-04: 15
- B13-NB-05: 0,5
- B13-NB-06: 5,3333π
- B13-NB-07: 14 cm³
- B13-NB-08: 4,5
- B13-NB-09: 24
- B13-NB-10: 0,5
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 4
10 câu đại diện: B13-NB-11, B13-NB-12, B13-NB-13, B13-NB-14, B13-NB-15, B13-NB-16, B13-NB-17, B13-NB-18, B13-NB-19, B13-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B13-NB-11: 42,6667π
- B13-NB-12: 16 cm³
- B13-NB-13: 8
- B13-NB-14: 3
- B13-NB-15: 0,5
- B13-NB-16: 144π
- B13-NB-17: 18 cm³
- B13-NB-18: 0,5
- B13-NB-19: 8
- B13-NB-20: 0,5
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B13-TH-01, B13-TH-02, B13-TH-03, B13-TH-04, B13-TH-05, B13-TH-06, B13-TH-07, B13-TH-08, B13-TH-09, B13-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B13-TH-01: 6
- B13-TH-02: Có
- B13-TH-03: 15x²+3
- B13-TH-04: 0,5
- B13-TH-05: 144π
- B13-TH-06: 18 cm³
- B13-TH-07: 0,5
- B13-TH-08: 8
- B13-TH-09: 0,5
- B13-TH-10: 341,3333π
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B13-TH-11, B13-TH-12, B13-TH-13, B13-TH-14, B13-TH-15, B13-TH-16, B13-TH-17, B13-TH-18, B13-TH-19, B13-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B13-TH-11: 12 cm³
- B13-TH-12: 2
- B13-TH-13: 15
- B13-TH-14: 0,5
- B13-TH-15: 5,3333π
- B13-TH-16: 14 cm³
- B13-TH-17: 4,5
- B13-TH-18: 24
- B13-TH-19: 0,5
- B13-TH-20: 42,6667π
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề ôn tốt nghiệp tổng hợp
10 câu đại diện: B13-VD-01, B13-VD-02, B13-VD-03, B13-VD-04, B13-VD-05, B13-VD-06, B13-VD-07, B13-VD-08, B13-VD-09, B13-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B13-VD-01: 48
- B13-VD-02: Có
- B13-VD-03: 9x²+2
- B13-VD-04: 5,3333π
- B13-VD-05: 14 cm³
- B13-VD-06: 4,5
- B13-VD-07: 24
- B13-VD-08: 0,5
- B13-VD-09: 42,6667π
- B13-VD-10: 16 cm³
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi phiên 40–55 phút; yêu cầu con nói điều kiện, dự đoán dấu hoặc miền giá trị trước khi tính.
- Không hỏi đáp số trước; hỏi vì sao chọn công cụ và kiểm kết quả bằng cách nào.
- Theo dõi ba lỗi lặp gần nhất, không gây áp lực bằng số câu đã làm.
- Mỗi tuần có một phiên 90 phút mô phỏng và một phiên chữa sâu theo sổ lỗi.
- Mở bài bằng một bối cảnh hoặc phản ví dụ có thể kiểm chứng.
- Chấm theo năm mốc: mô hình–điều kiện–công thức–tính toán–diễn giải.
- Trộn đúng 15% nền trực tiếp; không lấy câu cũ ngẫu nhiên chỉ để đủ tỉ lệ.
- Đề định hướng Hà Nội phải ghi là nội bộ tham khảo và có đủ ba dạng trắc nghiệm hiện hành.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.