Tách đúng nguyên nhân
Phân biệt lỗi mô hình, điều kiện, công thức, tính toán và diễn giải.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- F là nguyên hàm của f trên I khi F′=f trên I.
- Mọi nguyên hàm của f trên một khoảng có dạng F+C.
- ∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C với n≠−1.
Bài tập cuối Chương 4
Kiểm định trọn mạch nguyên hàm → tích phân → diện tích, thể tích; mọi kết quả phải qua phép đạo hàm ngược, kiểm dấu và kiểm đơn vị.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Nhìn mạch cả chương
Câu tổng hợp buộc gọi các nút theo đúng thứ tự thay vì nhận dạng mẹo.
Ba dạng trắc nghiệm
Nhiều lựa chọn, đúng–sai bốn ý và trả lời ngắn cùng kiểm một năng lực.
Sửa lỗi rồi mới đi tiếp
Đạt điểm, giải thích được ba lỗi gần nhất và làm lại sau 7 ngày.
- Nhận biết và kiểm chứng một nguyên hàm bằng đạo hàm.
- Dùng đúng bảng nguyên hàm và tính tuyến tính.
- Giữ hằng số C và miền xác định của công thức.
- Tìm nguyên hàm thỏa điều kiện ban đầu.
- Dùng đúng định lí cơ bản của giải tích.
- Vận dụng tính chất của tích phân xác định.
- Đổi biến có kiểm soát vi phân và cận.
- Tính tích phân từng phần ở các dạng phù hợp chương trình.
- Tính diện tích giữa đồ thị và trục hoành.
- Tính diện tích giữa hai đồ thị bằng cách chia miền đúng.
- Tính thể tích khối tròn xoay hoặc vật thể có thiết diện cho trước.
- Kiểm tra đơn vị, dấu và độ lớn của kết quả.
- 15% ôn nối từ chương hoặc lớp trước có quan hệ trực tiếp.
- Đạo hàm, hàm hợp, lượng giác, hàm mũ–lôgarit và miền xác định
- Bài 11, đạo hàm hàm hợp, giá trị hàm và biến đổi đại số
- Bài 12, đồ thị hàm số, phương trình giao điểm và đơn vị đo
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Khái niệm nguyên hàm
Hiểu đơn giản: Nếu đạo hàm là đi từ quãng đường sang vận tốc thì nguyên hàm là tìm lại họ quãng đường có cùng vận tốc.
F là nguyên hàm của f trên khoảng I nếu F′(x)=f(x) với mọi x∈I.
Ví dụ: F=x² là một nguyên hàm của f=2x.
Hình nên dùng: Hai đồ thị F và F+C dịch đứng.
Mô phỏng: Kéo C để thấy đạo hàm không đổi.
Mẹo nhớ: Nguyên hàm xong, đạo hàm lại.
Sai lầm: Chỉ so hình thức F và f mà không lấy đạo hàm.
Ghi chú: Khái niệm được phát biểu trên một khoảng.
Họ nguyên hàm và hằng số C
Hiểu đơn giản: Các nguyên hàm của cùng một hàm chỉ khác nhau một độ dịch đứng.
Nếu F′=f trên I thì ∫f(x)dx=F(x)+C, C∈ℝ.
Ví dụ: ∫2x dx=x²+C.
Hình nên dùng: Một bó parabol song song theo phương đứng.
Mô phỏng: Thay đổi C và so đạo hàm.
Mẹo nhớ: Không C, mất cả họ.
Sai lầm: Chọn C=0 mà đề chưa cho điều kiện.
Ghi chú: Điều kiện F(x₀)=y₀ mới xác định được C.
Bảng nguyên hàm cơ bản
Hiểu đơn giản: Mỗi công thức nên được nhớ theo cặp với công thức đạo hàm tương ứng.
∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C (n≠−1); ∫eˣdx=eˣ+C; ∫1/x dx=ln|x|+C; ∫cos x dx=sin x+C.
Ví dụ: ∫x³dx=x⁴/4+C.
Hình nên dùng: Bảng hai cột đạo hàm ↔ nguyên hàm.
Mô phỏng: Che một cột rồi tự phục hồi.
Mẹo nhớ: Tăng mũ, chia mũ mới.
Sai lầm: Áp dụng công thức lũy thừa cho n=−1.
Ghi chú: Luôn kiểm miền của 1/x, tan x và các hàm có mẫu.
Tính tuyến tính và điều kiện đầu
Hiểu đơn giản: Tách tổng–hiệu và đưa hằng số ra ngoài, rồi dùng dữ kiện để chọn C.
∫[af(x)+bg(x)]dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx; sau đó dùng F(x₀)=y₀ nếu có.
Ví dụ: F′=6x+1, F(0)=2 ⇒ F=3x²+x+2.
Hình nên dùng: Sơ đồ họ hàm → thế điểm → chọn một đường.
Mô phỏng: Thay điểm điều kiện.
Mẹo nhớ: Tìm họ trước, khóa C sau.
Sai lầm: Thế điều kiện vào f thay vì F.
Ghi chú: Kiểm cả F′=f và điều kiện ban đầu.
Tích phân xác định
Hiểu đơn giản: Tích phân cộng dồn những phần rất nhỏ có dấu từ a đến b.
Với f liên tục trên [a;b] và F′=f: ∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a).
Ví dụ: ∫₀²x dx=[x²/2]₀²=2.
Hình nên dùng: Các dải hẹp có dấu trên–dưới Ox.
Mô phỏng: Tăng số dải Riemann.
Mẹo nhớ: Trên trừ dưới.
Sai lầm: Viết F(a)−F(b).
Ghi chú: Tích phân xác định là một số, không kèm C.
Tính chất
Hiểu đơn giản: Có thể tách tổng, đưa hằng số ra ngoài, cắt đoạn và đảo cận.
∫ₐᵇ(αf+βg)=α∫ₐᵇf+β∫ₐᵇg; ∫ₐᵇf=−∫ᵦᵃf; ∫ₐᶜf+∫꜀ᵇf=∫ₐᵇf.
Ví dụ: Biết hai tích phân riêng thì tính được tích phân tổ hợp.
Hình nên dùng: Một đoạn được cắt tại c.
Mô phỏng: Kéo c giữa a và b.
Mẹo nhớ: Tuyến tính, cộng đoạn, đảo dấu.
Sai lầm: Nhân hai giá trị tích phân khi gặp tích fg.
Ghi chú: Không có quy tắc chung ∫fg=(∫f)(∫g).
Đổi biến
Hiểu đơn giản: Thay một cụm lặp bằng biến mới để đưa về bảng nguyên hàm.
Đặt u=g(x), du=g′(x)dx; với tích phân xác định phải đổi cận sang u hoặc đổi lại x trước khi thế.
Ví dụ: ∫2x(x²+1)³dx đặt u=x²+1.
Hình nên dùng: Ba ô: biểu thức–vi phân–cận.
Mô phỏng: Bật cảnh báo cận x/u.
Mẹo nhớ: Đổi đủ ba: hàm, dx, cận.
Sai lầm: Một tích phân chứa đồng thời x và u.
Ghi chú: Hệ số g′ phải được xử lí đầy đủ.
Tích phân từng phần
Hiểu đơn giản: Chuyển đạo hàm sang thừa số dễ hơn và nguyên hàm thừa số còn lại.
∫u dv=uv−∫v du.
Ví dụ: ∫xeˣdx=xeˣ−eˣ+C.
Hình nên dùng: Mũi tên u→du, dv→v.
Mô phỏng: Đổi cách chọn u.
Mẹo nhớ: Từng phần: tích trừ tích phân.
Sai lầm: Quên uv hoặc đổi dấu thành cộng.
Ghi chú: Chọn u sao cho du đơn giản hơn.
Diện tích với trục hoành
Hiểu đơn giản: Phần trên trục Ox cộng dương, phần dưới cũng phải đổi thành diện tích dương.
S=∫ₐᵇ|f(x)|dx; chia đoạn tại nghiệm của f.
Ví dụ: Nếu f đổi dấu tại c thì S=∫ₐᶜ(−f)+∫꜀ᵇf.
Hình nên dùng: Miền tô màu trên và dưới Ox.
Mô phỏng: Kéo nghiệm qua đoạn.
Mẹo nhớ: Diện tích dùng trị tuyệt đối.
Sai lầm: Lấy nguyên tích phân có hướng làm diện tích.
Ghi chú: Phải tìm đầy đủ nghiệm trong đoạn.
Diện tích giữa hai đồ thị
Hiểu đơn giản: Mỗi lát đứng có chiều cao bằng khoảng cách giữa hàm trên và hàm dưới.
S=∫ₐᵇ|f(x)−g(x)|dx; chia tại nghiệm f=g.
Ví dụ: Trên [0;1], x≥x² nên S=∫₀¹(x−x²)dx.
Hình nên dùng: Hai đường cắt nhau và các lát đứng.
Mô phỏng: Bật điểm thử giữa hai giao điểm.
Mẹo nhớ: Trên trừ dưới từng khoảng.
Sai lầm: Giữ một thứ tự trên toàn miền dù hai đồ thị đổi vị trí.
Ghi chú: Điểm thử giúp tránh đọc sai hình.
Thể tích khối tròn xoay
Hiểu đơn giản: Mỗi lát vuông góc trục quay là một hình tròn hoặc vành khăn.
Quanh Ox: V=π∫ₐᵇ(R²−r²)dx.
Ví dụ: Quay y=x, 0≤x≤1 quanh Ox cho V=π/3.
Hình nên dùng: Chồng các đĩa mỏng.
Mô phỏng: Kéo bán kính ngoài–trong.
Mẹo nhớ: Pi nhân bình phương bán kính.
Sai lầm: Dùng chu vi 2πr thay diện tích πr².
Ghi chú: Bán kính là khoảng cách đến trục quay.
Thiết diện và kiểm đơn vị
Hiểu đơn giản: Nếu biết diện tích lát cắt A(x), chỉ cần cộng các lát theo chiều dài.
V=∫ₐᵇA(x)dx.
Ví dụ: A có đơn vị cm², dx có cm nên V có cm³.
Hình nên dùng: Dải đơn vị cm²×cm.
Mô phỏng: Thay đổi A(x).
Mẹo nhớ: Diện tích lát nhân chiều dày.
Sai lầm: Bình phương A(x) thêm lần nữa.
Ghi chú: Đơn vị là phép kiểm nhanh phát hiện sai mô hình.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Đạo hàm ngược, thế cận và ước lượng độ lớn
Thay hệ số của f(x)=ax²+bx+c và hai cận. Công cụ tính một nguyên hàm, tích phân có hướng và giá trị ước lượng bằng trung điểm để tự kiểm.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • C4-NB-04
Đề bài: Biết F và G đều là nguyên hàm của cùng hàm f trên một khoảng. Kết luận về F−G.
Phân tích: Lấy đạo hàm của hiệu.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Lấy đạo hàm của hiệu.
- Bước 2: (F−G)'=F'−G'=f−f=0, nên F−G là một hằng số.
- Bước 3: Kết luận F−G là hằng số.
Vì sao: Trên một khoảng liên thông, hàm có đạo hàm bằng 0 là hàm hằng.
Cách khác: Viết F=G+C.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Kết luận F=G trong mọi trường hợp.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • C4-NB-14
Đề bài: Nếu ∫₀^1f(x)dx=5 và ∫₀^1g(x)dx=1, tính ∫₀^1[2f(x)−g(x)]dx.
Phân tích: Dùng tính tuyến tính của tích phân.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Dùng tính tuyến tính của tích phân.
- Bước 2: Kết quả bằng 2·5−1=9.
- Bước 3: Kết luận 9.
Vì sao: Hằng số được đưa ra ngoài, tổng–hiệu được tách tích phân.
Cách khác: Xem tích phân như một phép biến đổi tuyến tính.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Bình phương hoặc nhân hai giá trị tích phân.
03 • Vận dụngVí dụ 3 • C4-TH-04
Đề bài: Một nguyên hàm của f(x)=x^2 là: Chọn kết quả trực tiếp rồi kiểm tra bằng phép đạo hàm ngược. Các lựa chọn: A. x^3+C ; B. 2x^1+C ; C. x^2/2+C ; D. x^3/3+C
Phân tích: Dùng công thức ∫x^n dx=x^(n+1)/(n+1)+C với n≠−1.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Dùng công thức ∫x^n dx=x^(n+1)/(n+1)+C với n≠−1. Đạo hàm của x^3/3+C bằng x^2.
Vì sao: Dùng công thức ∫x^n dx=x^(n+1)/(n+1)+C với n≠−1. Đạo hàm của x^3/3+C bằng x^2.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: x^3/3+C. Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
04 • Vận dụngVí dụ 4 • C4-TH-14
Đề bài: Diện tích giữa y=x và y=x² trên [0;1] bằng: Kết quả phải phù hợp đơn vị và miền thực tế.
Phân tích: Trên [0,1], x≥x².
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Trên [0,1], x≥x². S=∫[0,1](x−x²)dx=1/2−1/3=1/6.
Vì sao: Trên [0,1], x≥x². S=∫[0,1](x−x²)dx=1/2−1/3=1/6.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 1/6. Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
05 • Thông hiểuVí dụ 5 • C4-VD-04
Đề bài: Tính chính xác diện tích giữa y=2x và y=x² trên đoạn từ hai giao điểm. Kết quả phải phù hợp đơn vị và miền thực tế.
Phân tích: Hai giao điểm có hoành độ 0 và 2; trên [0,2], 2x≥x².
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Hai giao điểm có hoành độ 0 và 2; trên [0,2], 2x≥x². S=∫[0,2](2x−x²)dx=2³/6=4/3.
Vì sao: Hai giao điểm có hoành độ 0 và 2; trên [0,2], 2x≥x². S=∫[0,2](2x−x²)dx=2³/6=4/3.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 4/3. Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
06 • Thông hiểuVí dụ 6 • C4-VD-14
Đề bài: Tính ∫[0,2](2x+2)dx. Chọn kết quả trực tiếp rồi kiểm tra bằng phép đạo hàm ngược.
Phân tích: Nguyên hàm là 2x²/2+2x.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Nguyên hàm là 2x²/2+2x. Thế x=2 và x=0 được 2·2+2·2=8.
Vì sao: Nguyên hàm là 2x²/2+2x. Thế x=2 và x=0 được 2·2+2·2=8.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 8. Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • C4-VDC-04
Đề bài: F'(x)=ax+b trên ℝ, F(0)=0, F(1)=3, F(2)=9. Tìm a,b rồi tính F(3). Không được bỏ hằng số nguyên hàm trước khi dùng điều kiện.
Phân tích: Tích phân không xác định cho F(x)=ax²/2+bx+C
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Tích phân không xác định cho F(x)=ax²/2+bx+C. F(0)=0 cho C=0. Hai điều kiện còn lại cho a/2+b=3, 2a+2b=9, suy ra a=3, b=3/2. Do đó F(3)=9·3/2+3·3/2=18.
Vì sao: Tích phân không xác định cho F(x)=ax²/2+bx+C. F(0)=0 cho C=0. Hai điều kiện còn lại cho a/2+b=3, 2a+2b=9, suy ra a=3, b=3/2. Do đó F(3)=9·3/2+3·3/2=18.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 18. Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
08 • Vận dụngVí dụ 8 • C4-VDC-14
Đề bài: Hàm f chẵn và ∫[0,5]f(x)dx=2. Tính ∫[−5,5]f(x)dx. Chọn kết quả trực tiếp rồi kiểm tra bằng phép đạo hàm ngược.
Phân tích: Với hàm chẵn, tích phân trên đoạn đối xứng bằng hai lần nửa dương.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Với hàm chẵn, tích phân trên đoạn đối xứng bằng hai lần nửa dương. Kết quả bằng 2·2=4.
Vì sao: Với hàm chẵn, tích phân trên đoạn đối xứng bằng hai lần nửa dương. Kết quả bằng 2·2=4.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 4. Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
09 • Vận dụngVí dụ 9 • C4-TT-04
Đề bài: Biết F'(x)=cos x và F(0)=2. Tính F(π/2). Chọn kết quả trực tiếp rồi kiểm tra bằng phép đạo hàm ngược.
Phân tích: F(x)=sin x+C; từ F(0)=2 suy ra C=2.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- F(x)=sin x+C; từ F(0)=2 suy ra C=2. F(π/2)=1+2=3.
Vì sao: F(x)=sin x+C; từ F(0)=2 suy ra C=2. F(π/2)=1+2=3.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 3. Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
10 • Vận dụngVí dụ 10 • C4-TT-14
Đề bài: Quay miền dưới y=x² trên [0;1] quanh Ox. Thể tích là: Kết quả phải phù hợp đơn vị và miền thực tế. Các lựa chọn: A. π/5 ; B. π/3 ; C. π/4 ; D. 2π/5
Phân tích: Bình phương bán kính: (x²)²=x⁴.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Bình phương bán kính: (x²)²=x⁴. V=π∫[0,1]x⁴dx=π/5.
Vì sao: Bình phương bán kính: (x²)²=x⁴. V=π∫[0,1]x⁴dx=π/5.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: π/5. Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Nguyên hàm trong gia đình
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh khôi phục vị trí từ vận tốc, chi phí từ chi phí biên, dân số và lượng tích lũy.
Tích phân trong trường học
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh quãng đường có hướng, tổng lượng biến thiên, năng lượng, lưu lượng và tăng trưởng.
Ứng dụng hình học của tích phân trong đời sống
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh thiết kế bể chứa, vật liệu, lưu lượng, kiến trúc, y sinh và thể tích sản phẩm.
Nguyên hàm trong khoa học
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh khôi phục vị trí từ vận tốc, chi phí từ chi phí biên, dân số và lượng tích lũy.
Tích phân trong kỹ thuật
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh quãng đường có hướng, tổng lượng biến thiên, năng lượng, lưu lượng và tăng trưởng.
Ứng dụng hình học của tích phân trong sản xuất
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh thiết kế bể chứa, vật liệu, lưu lượng, kiến trúc, y sinh và thể tích sản phẩm.
Nguyên hàm trong thiên nhiên
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh khôi phục vị trí từ vận tốc, chi phí từ chi phí biên, dân số và lượng tích lũy.
Tích phân trong nghề nghiệp
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh quãng đường có hướng, tổng lượng biến thiên, năng lượng, lưu lượng và tăng trưởng.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Khái niệm nguyên hàm theo cách trực quan?
Nếu đạo hàm là đi từ quãng đường sang vận tốc thì nguyên hàm là tìm lại họ quãng đường có cùng vận tốc. Phát biểu chính xác: F là nguyên hàm của f trên khoảng I nếu F′(x)=f(x) với mọi x∈I. Ví dụ: F=x² là một nguyên hàm của f=2x. Mẹo: Nguyên hàm xong, đạo hàm lại. Cần tránh: Chỉ so hình thức F và f mà không lấy đạo hàm.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Quên hằng số C
Chỉ so hình thức F và f mà không lấy đạo hàm. Sửa bằng: Nguyên hàm xong, đạo hàm lại. Kiểm cuối: Khái niệm được phát biểu trên một khoảng.
Dùng quy tắc đạo hàm thay cho nguyên hàm
Chọn C=0 mà đề chưa cho điều kiện. Sửa bằng: Không C, mất cả họ. Kiểm cuối: Điều kiện F(x₀)=y₀ mới xác định được C.
Sai dấu nguyên hàm lượng giác
Áp dụng công thức lũy thừa cho n=−1. Sửa bằng: Tăng mũ, chia mũ mới. Kiểm cuối: Luôn kiểm miền của 1/x, tan x và các hàm có mẫu.
Viết ln x thay ln|x|
Thế điều kiện vào f thay vì F. Sửa bằng: Tìm họ trước, khóa C sau. Kiểm cuối: Kiểm cả F′=f và điều kiện ban đầu.
Dùng điều kiện ban đầu trước khi tìm họ hàm
Chỉ so hình thức F và f mà không lấy đạo hàm. Sửa bằng: Nguyên hàm xong, đạo hàm lại. Kiểm cuối: Khái niệm được phát biểu trên một khoảng.
Quên hằng số C – tình huống 6
Chọn C=0 mà đề chưa cho điều kiện. Sửa bằng: Không C, mất cả họ. Kiểm cuối: Điều kiện F(x₀)=y₀ mới xác định được C.
Dùng quy tắc đạo hàm thay cho nguyên hàm – tình huống 7
Áp dụng công thức lũy thừa cho n=−1. Sửa bằng: Tăng mũ, chia mũ mới. Kiểm cuối: Luôn kiểm miền của 1/x, tan x và các hàm có mẫu.
Sai dấu nguyên hàm lượng giác – tình huống 8
Thế điều kiện vào f thay vì F. Sửa bằng: Tìm họ trước, khóa C sau. Kiểm cuối: Kiểm cả F′=f và điều kiện ban đầu.
Viết ln x thay ln|x| – tình huống 9
Chỉ so hình thức F và f mà không lấy đạo hàm. Sửa bằng: Nguyên hàm xong, đạo hàm lại. Kiểm cuối: Khái niệm được phát biểu trên một khoảng.
Dùng điều kiện ban đầu trước khi tìm họ hàm – tình huống 10
Chọn C=0 mà đề chưa cho điều kiện. Sửa bằng: Không C, mất cả họ. Kiểm cuối: Điều kiện F(x₀)=y₀ mới xác định được C.
Quên hằng số C – tình huống 11
Áp dụng công thức lũy thừa cho n=−1. Sửa bằng: Tăng mũ, chia mũ mới. Kiểm cuối: Luôn kiểm miền của 1/x, tan x và các hàm có mẫu.
Dùng quy tắc đạo hàm thay cho nguyên hàm – tình huống 12
Thế điều kiện vào f thay vì F. Sửa bằng: Tìm họ trước, khóa C sau. Kiểm cuối: Kiểm cả F′=f và điều kiện ban đầu.
Sai dấu nguyên hàm lượng giác – tình huống 13
Chỉ so hình thức F và f mà không lấy đạo hàm. Sửa bằng: Nguyên hàm xong, đạo hàm lại. Kiểm cuối: Khái niệm được phát biểu trên một khoảng.
Viết ln x thay ln|x| – tình huống 14
Chọn C=0 mà đề chưa cho điều kiện. Sửa bằng: Không C, mất cả họ. Kiểm cuối: Điều kiện F(x₀)=y₀ mới xác định được C.
Dùng điều kiện ban đầu trước khi tìm họ hàm – tình huống 15
Áp dụng công thức lũy thừa cho n=−1. Sửa bằng: Tăng mũ, chia mũ mới. Kiểm cuối: Luôn kiểm miền của 1/x, tan x và các hàm có mẫu.
Quên hằng số C – tình huống 16
Thế điều kiện vào f thay vì F. Sửa bằng: Tìm họ trước, khóa C sau. Kiểm cuối: Kiểm cả F′=f và điều kiện ban đầu.
Dùng quy tắc đạo hàm thay cho nguyên hàm – tình huống 17
Chỉ so hình thức F và f mà không lấy đạo hàm. Sửa bằng: Nguyên hàm xong, đạo hàm lại. Kiểm cuối: Khái niệm được phát biểu trên một khoảng.
Sai dấu nguyên hàm lượng giác – tình huống 18
Chọn C=0 mà đề chưa cho điều kiện. Sửa bằng: Không C, mất cả họ. Kiểm cuối: Điều kiện F(x₀)=y₀ mới xác định được C.
Viết ln x thay ln|x| – tình huống 19
Áp dụng công thức lũy thừa cho n=−1. Sửa bằng: Tăng mũ, chia mũ mới. Kiểm cuối: Luôn kiểm miền của 1/x, tan x và các hàm có mẫu.
Dùng điều kiện ban đầu trước khi tìm họ hàm – tình huống 20
Thế điều kiện vào f thay vì F. Sửa bằng: Tìm họ trước, khóa C sau. Kiểm cuối: Kiểm cả F′=f và điều kiện ban đầu.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chẩn đoán 5 phút
Làm ba câu nền và nói thành lời điều kiện của công cụ trước khi học mới.
Chu trình 5–25–10
5 phút gọi nền, 25 phút học một nút, 10 phút làm lại không nhìn lời giải.
Hai biểu diễn
Kiểm công thức bằng đạo hàm, đồ thị, hình Oxyz, bảng xác suất hoặc đơn vị.
Phản ví dụ bắt buộc
Mỗi định lí đi cùng một trường hợp thiếu điều kiện để tránh học thuộc máy móc.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi lỗi, nguyên nhân và phép tự kiểm; không chép lại toàn bộ lời giải.
Ôn cách quãng 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và qua cổng lại sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Bài tập cuối Chương 41 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Khái niệm nguyên hàmF là nguyên hàm của f trên khoảng I nếu F′(x)=f(x) với mọi x∈I. Nguyên hàm xong, đạo hàm lại.
Họ nguyên hàm và hằng số CNếu F′=f trên I thì ∫f(x)dx=F(x)+C, C∈ℝ. Không C, mất cả họ.
Bảng nguyên hàm cơ bản∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C (n≠−1); ∫eˣdx=eˣ+C; ∫1/x dx=ln|x|+C; ∫cos x dx=sin x+C. Tăng mũ, chia mũ mới.
Tính tuyến tính và điều kiện đầu∫[af(x)+bg(x)]dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx; sau đó dùng F(x₀)=y₀ nếu có. Tìm họ trước, khóa C sau.
Tích phân xác địnhVới f liên tục trên [a;b] và F′=f: ∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a). Trên trừ dưới.
Tính chất∫ₐᵇ(αf+βg)=α∫ₐᵇf+β∫ₐᵇg; ∫ₐᵇf=−∫ᵦᵃf; ∫ₐᶜf+∫꜀ᵇf=∫ₐᵇf. Tuyến tính, cộng đoạn, đảo dấu.
Đổi biếnĐặt u=g(x), du=g′(x)dx; với tích phân xác định phải đổi cận sang u hoặc đổi lại x trước khi thế. Đổi đủ ba: hàm, dx, cận.
Tích phân từng phần∫u dv=uv−∫v du. Từng phần: tích trừ tích phân.
Diện tích với trục hoànhS=∫ₐᵇ|f(x)|dx; chia đoạn tại nghiệm của f. Diện tích dùng trị tuyệt đối.
Diện tích giữa hai đồ thịS=∫ₐᵇ|f(x)−g(x)|dx; chia tại nghiệm f=g. Trên trừ dưới từng khoảng.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
C4-NB-01Kiểm tra G(x)=5x⁴/4+4 có phải một nguyên hàm của g(x)=5x³ không.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy đạo hàm G.
Lời giải: G'(x)=5x³=g(x), nên G là một nguyên hàm của g.
Vì sao: Hai hàm là quan hệ nguyên hàm–đạo hàm khi đạo hàm hàm thứ nhất bằng hàm thứ hai.
Sai ở đâu: So sánh G với g mà không lấy đạo hàm.
Cách khác: Dùng định nghĩa F'=f.
C4-NB-02Tính đạo hàm của f(x)=6x³+1x.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng (xⁿ)'=nxⁿ⁻¹ và tính tuyến tính của đạo hàm.
Lời giải: f'(x)=18x²+1.
Vì sao: Đạo hàm là nền để kiểm ngược mọi kết quả nguyên hàm.
Sai ở đâu: Giữ nguyên số mũ hoặc quên nhân hệ số mũ.
Cách khác: Lấy đạo hàm từng hạng rồi cộng.
C4-NB-03Cho F(x)=2x²+2. Tính F'(2).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đạo hàm trước, thay số sau.
Lời giải: F'(x)=4x nên F'(2)=8.
Vì sao: Giá trị đạo hàm tại điểm là tốc độ biến thiên tại điểm đó.
Sai ở đâu: Thay x trước rồi đạo hàm một hằng số.
Cách khác: Dùng hệ số góc tiếp tuyến tại x=2.
C4-NB-04Biết F và G đều là nguyên hàm của cùng hàm f trên một khoảng. Kết luận về F−G.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy đạo hàm của hiệu.
Lời giải: (F−G)'=F'−G'=f−f=0, nên F−G là một hằng số.
Vì sao: Trên một khoảng liên thông, hàm có đạo hàm bằng 0 là hàm hằng.
Sai ở đâu: Kết luận F=G trong mọi trường hợp.
Cách khác: Viết F=G+C.
C4-NB-05Tính I=∫₀^4(1x+4)dx.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tìm một nguyên hàm rồi lấy giá trị cận trên trừ cận dưới.
Lời giải: I=[1/2·x²+4x]₀^4=24.
Vì sao: Định lí cơ bản biến tích phân xác định thành hiệu giá trị của nguyên hàm.
Sai ở đâu: Thêm +C vào kết quả cuối hoặc lấy cận dưới trừ cận trên.
Cách khác: Kiểm độ lớn bằng diện tích hình thang dưới đường thẳng.
C4-NB-06Tính diện tích giữa y=5, y=2, x=0 và x=1.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Trên đoạn, lấy hàm trên trừ hàm dưới.
Lời giải: S=∫₀^1(5−2)dx=3.
Vì sao: Khoảng cách đứng giữa hai đường là hằng số.
Sai ở đâu: Lấy hàm dưới trừ hàm trên rồi giữ kết quả âm.
Cách khác: Kiểm bằng diện tích hình chữ nhật.
C4-NB-07Tính ∫(2e^x+3/x)dx trên một khoảng không chứa 0.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng ∫e^x dx=e^x và ∫1/x dx=ln|x|.
Lời giải: ∫(2e^x+3/x)dx=2e^x+3ln|x|+C.
Vì sao: Giá trị tuyệt đối trong ln|x| giúp công thức đúng trên cả khoảng âm lẫn dương.
Sai ở đâu: Viết ln x mà không xét miền x<0 hoặc quên C.
Cách khác: Đạo hàm ln|x| bằng 1/x khi x≠0.
C4-NB-08Tính ∫₀¹xe^x dx bằng từng phần.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Chọn u=x, dv=e^x dx.
Lời giải: I=[xe^x]₀¹−∫₀¹e^x dx=e−(e−1)=1.
Vì sao: Tích phân từng phần chuyển đạo hàm sang nhân tử đơn giản hơn.
Sai ở đâu: Quên dấu trừ hoặc quên thế cận cho tích uv.
Cách khác: Kiểm bằng nguyên hàm (x−1)e^x.
C4-NB-09Một vật thể có diện tích thiết diện vuông góc Ox là A(x)=5+4x (cm²), 0≤x≤2. Tính thể tích.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thể tích bằng tích phân diện tích thiết diện theo chiều dài.
Lời giải: V=∫₀²(5+4x)dx=18 cm³.
Vì sao: Đơn vị cm² nhân với dx có đơn vị cm tạo cm³.
Sai ở đâu: Bình phương A(x) hoặc dùng thêm π dù đề đã cho diện tích.
Cách khác: Kiểm bằng diện tích trung bình của hàm tuyến tính nhân chiều dài.
C4-NB-10Tìm họ nguyên hàm của f(x)=5x^1.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tăng số mũ lên 1, chia cho số mũ mới và thêm C.
Lời giải: ∫5x^1dx=(5/2)x^2+C.
Vì sao: Vì đạo hàm của x^(n+1) là (n+1)x^n.
Sai ở đâu: Giảm số mũ như khi lấy đạo hàm hoặc quên +C.
Cách khác: Đạo hàm kết quả để quay lại hàm dưới dấu tích phân.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Quãng đường được mô hình hóa bởi s(t)=t³+2t² (m), t≥0. Vận tốc tại t=1 s là: Kết quả phải phù hợp điều kiện thực tế.
BA DẠNG TRẮC NGHIỆM HIỆN HÀNH
Cùng một bản chất, ba cách kiểm tra năng lực
Định dạng ôn tốt nghiệp gồm nhiều lựa chọn, đúng–sai bốn ý và trả lời ngắn; tự luận phía sau dùng để học sâu, không gắn sai nhãn thành cấu trúc đề thi.
Nhiều lựa chọn
50 câu tự chấm ngay phía trên; phương án nhiễu xuất phát từ lỗi điều kiện, dấu, thứ tự hoặc thiếu ứng viên.
Chọn đáp án rồi đọc giải thích và ghi lỗi.Đúng–sai bốn ý
Một cụm mẫu dùng chung bối cảnh “Bài tập cuối Chương 4”:
- a) F là nguyên hàm của f trên khoảng I nếu F′(x)=f(x) với mọi x∈I.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Nếu đạo hàm là đi từ quãng đường sang vận tốc thì nguyên hàm là tìm lại họ quãng đường có cùng vận tốc. Ví dụ kiểm chứng: F=x² là một nguyên hàm của f=2x.
- b) Nếu F′=f trên I thì ∫f(x)dx=F(x)+C, C∈ℝ.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Các nguyên hàm của cùng một hàm chỉ khác nhau một độ dịch đứng. Ví dụ kiểm chứng: ∫2x dx=x²+C.
- c) ∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C (n≠−1); ∫eˣdx=eˣ+C; ∫1/x dx=ln|x|+C; ∫cos x dx=sin x+C.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Mỗi công thức nên được nhớ theo cặp với công thức đạo hàm tương ứng. Ví dụ kiểm chứng: ∫x³dx=x⁴/4+C.
- d) ∫[af(x)+bg(x)]dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx; sau đó dùng F(x₀)=y₀ nếu có.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Tách tổng–hiệu và đưa hằng số ra ngoài, rồi dùng dữ kiện để chọn C. Ví dụ kiểm chứng: F′=6x+1, F(0)=2 ⇒ F=3x²+x+2.
Trả lời ngắn
Tự lập mô hình và điền kết quả, không có phương án gợi ý:
- Kiểm tra G(x)=3x⁴/4+4 có phải một nguyên hàm của g(x)=3x³ không.
Đáp án
Có
- Tính đạo hàm của f(x)=4x³+1x.
Đáp án
12x²+1
- Cho F(x)=5x²+2. Tính F'(2).
Đáp án
20
- F'(x)=ax+b trên ℝ, F(0)=0, F(1)=3, F(2)=9. Tìm a,b rồi tính F(3). Không được bỏ hằng số nguyên hàm trước khi dùng điều kiện.
Đáp án
18
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Kiểm tra G(x)=5x⁴/4+4 có phải một nguyên hàm của g(x)=5x³ không.
Gợi ý: Lấy đạo hàm G.
Lời giải: G'(x)=5x³=g(x), nên G là một nguyên hàm của g.
Giải thích: Hai hàm là quan hệ nguyên hàm–đạo hàm khi đạo hàm hàm thứ nhất bằng hàm thứ hai.
Lỗi cần tránh: So sánh G với g mà không lấy đạo hàm.
Cách khác: Dùng định nghĩa F'=f.
TỰ LUẬN 2Tính diện tích giữa y=5, y=2, x=0 và x=1.
Gợi ý: Trên đoạn, lấy hàm trên trừ hàm dưới.
Lời giải: S=∫₀^1(5−2)dx=3.
Giải thích: Khoảng cách đứng giữa hai đường là hằng số.
Lỗi cần tránh: Lấy hàm dưới trừ hàm trên rồi giữ kết quả âm.
Cách khác: Kiểm bằng diện tích hình chữ nhật.
TỰ LUẬN 3Tính ∫_2^0 2x²dx. Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.
Gợi ý: Đổi thứ tự hai cận làm đổi dấu tích phân.
Lời giải: ∫_2^0 2x²dx=−∫₀^22x²dx=−5,3333.
Giải thích: Tích phân có hướng nên có thể âm.
Lỗi cần tránh: Cho rằng tích phân luôn dương vì x²≥0.
Cách khác: Tính trực tiếp bằng nguyên hàm cũng cho cùng kết quả.
TỰ LUẬN 4Tìm nguyên hàm F của f(x)=8x+2, biết F(0)=4.
Gợi ý: Tìm họ nguyên hàm rồi dùng điều kiện để xác định C.
Lời giải: F(x)=4x²+2x+C; F(0)=C=4. Vậy F(x)=4x²+2x+4.
Giải thích: Một điều kiện giá trị chọn đúng một hàm trong họ nguyên hàm.
Lỗi cần tránh: Bỏ hằng số C trước khi dùng điều kiện.
Cách khác: Kiểm đồng thời F'=f và F(0)=a.
TỰ LUẬN 5Cho F(x)=5x²+4. Tính F'(4).
Gợi ý: Đạo hàm trước, thay số sau.
Lời giải: F'(x)=10x nên F'(4)=40.
Giải thích: Giá trị đạo hàm tại điểm là tốc độ biến thiên tại điểm đó.
Lỗi cần tránh: Thay x trước rồi đạo hàm một hằng số.
Cách khác: Dùng hệ số góc tiếp tuyến tại x=4.
TỰ LUẬN 6Tính ∫(2x+1)³dx. Chọn kết quả trực tiếp rồi kiểm tra bằng phép đạo hàm ngược.
Gợi ý: Đặt u=2x+1, dx=du/2.
Lời giải: Đặt u=2x+1, dx=du/2. Kết quả là u⁴/(42)+C=(2x+1)^4/8+C.
Giải thích: Đặt u=2x+1, dx=du/2. Kết quả là u⁴/(42)+C=(2x+1)^4/8+C.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 7Tính ∫[0,1](2x²+1)dx. Chọn kết quả trực tiếp rồi kiểm tra bằng phép đạo hàm ngược.
Gợi ý: Nguyên hàm là 2x³/3+1x.
Lời giải: Nguyên hàm là 2x³/3+1x. Thế cận cho 2/3+1=1,667.
Giải thích: Nguyên hàm là 2x³/3+1x. Thế cận cho 2/3+1=1,667.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 8Tìm nguyên hàm F của f(x)=6x+2, biết F(0)=3.
Gợi ý: Tìm họ nguyên hàm rồi dùng điều kiện để xác định C.
Lời giải: F(x)=3x²+2x+C; F(0)=C=3. Vậy F(x)=3x²+2x+3.
Giải thích: Một điều kiện giá trị chọn đúng một hàm trong họ nguyên hàm.
Lỗi cần tránh: Bỏ hằng số C trước khi dùng điều kiện.
Cách khác: Kiểm đồng thời F'=f và F(0)=a.
TỰ LUẬN 9Tính đạo hàm của f(x)=5x³+4x.
Gợi ý: Dùng (xⁿ)'=nxⁿ⁻¹ và tính tuyến tính của đạo hàm.
Lời giải: f'(x)=15x²+4.
Giải thích: Đạo hàm là nền để kiểm ngược mọi kết quả nguyên hàm.
Lỗi cần tránh: Giữ nguyên số mũ hoặc quên nhân hệ số mũ.
Cách khác: Lấy đạo hàm từng hạng rồi cộng.
TỰ LUẬN 10Một nguyên hàm của f(x)=1/x trên mỗi khoảng xác định là: Chọn kết quả trực tiếp rồi kiểm tra bằng phép đạo hàm ngược. Các lựa chọn: A. −1/x²+C ; B. x ln|x|+C ; C. ln|x|+C ; D. ln x+C
Gợi ý: Công thức đúng trên mỗi khoảng không chứa 0 là ∫dx/x=ln|x|+C.
Lời giải: Công thức đúng trên mỗi khoảng không chứa 0 là ∫dx/x=ln|x|+C. Dấu giá trị tuyệt đối bảo đảm công thức dùng được cho cả x<0.
Giải thích: Công thức đúng trên mỗi khoảng không chứa 0 là ∫dx/x=ln|x|+C. Dấu giá trị tuyệt đối bảo đảm công thức dùng được cho cả x<0.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 11Tính ∫[0,π/2] sin x dx. Chọn kết quả trực tiếp rồi kiểm tra bằng phép đạo hàm ngược.
Gợi ý: Một nguyên hàm của sin x là −cos x.
Lời giải: Một nguyên hàm của sin x là −cos x. [−cos x] từ 0 đến π/2=0−(−1)=1.
Giải thích: Một nguyên hàm của sin x là −cos x. [−cos x] từ 0 đến π/2=0−(−1)=1.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 12Tìm nguyên hàm F của f(x)=4x+2, biết F(0)=2.
Gợi ý: Tìm họ nguyên hàm rồi dùng điều kiện để xác định C.
Lời giải: F(x)=2x²+2x+C; F(0)=C=2. Vậy F(x)=2x²+2x+2.
Giải thích: Một điều kiện giá trị chọn đúng một hàm trong họ nguyên hàm.
Lỗi cần tránh: Bỏ hằng số C trước khi dùng điều kiện.
Cách khác: Kiểm đồng thời F'=f và F(0)=a.
TỰ LUẬN 13Kiểm tra G(x)=3x⁴/4+4 có phải một nguyên hàm của g(x)=3x³ không.
Gợi ý: Lấy đạo hàm G.
Lời giải: G'(x)=3x³=g(x), nên G là một nguyên hàm của g.
Giải thích: Hai hàm là quan hệ nguyên hàm–đạo hàm khi đạo hàm hàm thứ nhất bằng hàm thứ hai.
Lỗi cần tránh: So sánh G với g mà không lấy đạo hàm.
Cách khác: Dùng định nghĩa F'=f.
TỰ LUẬN 14F'(x)=3x²−3m trên ℝ, m>0, F(0)=0. Giá trị cực đại của F bằng 54. Tìm m, kiểm tra bằng chiều đổi dấu đạo hàm thay vì chỉ giải F'=0.
Gợi ý: F=x³−3mx+C, F(0)=0 cho C=0
Lời giải: F=x³−3mx+C, F(0)=0 cho C=0. Đạo hàm đổi từ dương sang âm tại x=−√m, nên giá trị cực đại là F(−√m)=2m√m. Điều kiện cho m√m=27, m>0, suy ra √m=3, m=9. Nghiệm dương duy nhất và đúng loại cực trị.
Giải thích: F=x³−3mx+C, F(0)=0 cho C=0. Đạo hàm đổi từ dương sang âm tại x=−√m, nên giá trị cực đại là F(−√m)=2m√m. Điều kiện cho m√m=27, m>0, suy ra √m=3, m=9. Nghiệm dương duy nhất và đúng loại cực trị.
Lỗi cần tránh: Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
TỰ LUẬN 15Tính ∫sin x·cos x dx. Chọn kết quả trực tiếp rồi kiểm tra bằng phép đạo hàm ngược.
Gợi ý: Đặt u=sin x, du=cos x dx.
Lời giải: Đặt u=sin x, du=cos x dx. Tích phân bằng u²/2+C=sin²x/2+C.
Giải thích: Đặt u=sin x, du=cos x dx. Tích phân bằng u²/2+C=sin²x/2+C.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 16Tìm nguyên hàm F của f(x)=16x+2, biết F(0)=8.
Gợi ý: Tìm họ nguyên hàm rồi dùng điều kiện để xác định C.
Lời giải: F(x)=8x²+2x+C; F(0)=C=8. Vậy F(x)=8x²+2x+8.
Giải thích: Một điều kiện giá trị chọn đúng một hàm trong họ nguyên hàm.
Lỗi cần tránh: Bỏ hằng số C trước khi dùng điều kiện.
Cách khác: Kiểm đồng thời F'=f và F(0)=a.
TỰ LUẬN 17Kiểm tra G(x)=6x⁴/4+3 có phải một nguyên hàm của g(x)=6x³ không.
Gợi ý: Lấy đạo hàm G.
Lời giải: G'(x)=6x³=g(x), nên G là một nguyên hàm của g.
Giải thích: Hai hàm là quan hệ nguyên hàm–đạo hàm khi đạo hàm hàm thứ nhất bằng hàm thứ hai.
Lỗi cần tránh: So sánh G với g mà không lấy đạo hàm.
Cách khác: Dùng định nghĩa F'=f.
TỰ LUẬN 18Tính ∫[0,ln2] e^x dx. Chọn kết quả trực tiếp rồi kiểm tra bằng phép đạo hàm ngược.
Gợi ý: Một nguyên hàm của e^x là e^x.
Lời giải: Một nguyên hàm của e^x là e^x. Giá trị là e^(ln2)−e^0=2−1=1.
Giải thích: Một nguyên hàm của e^x là e^x. Giá trị là e^(ln2)−e^0=2−1=1.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 19Hàm f liên tục và đổi dấu duy nhất tại c∈(1;3). Công thức diện tích với trục Ox là: Kết quả phải phù hợp đơn vị và miền thực tế. Các lựa chọn: A. ∫[1,c]|f(x)|dx+∫[c,3]|f(x)|dx ; B. 2∫[1,c]|f(x)|dx+2∫[c,3]|f(x)|dx ; C. 2∫[1,c]|f(x)|dx+∫[c,3]|f(x)|dx ; D. f(c)(2)
Gợi ý: Diện tích phải cộng phần không âm trên từng khoảng.
Lời giải: Diện tích phải cộng phần không âm trên từng khoảng. Chia tại điểm đổi dấu c và tích phân |f| trên mỗi phần.
Giải thích: Diện tích phải cộng phần không âm trên từng khoảng. Chia tại điểm đổi dấu c và tích phân |f| trên mỗi phần.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 20Tìm nguyên hàm F của f(x)=14x+2, biết F(0)=7.
Gợi ý: Tìm họ nguyên hàm rồi dùng điều kiện để xác định C.
Lời giải: F(x)=7x²+2x+C; F(0)=C=7. Vậy F(x)=7x²+2x+7.
Giải thích: Một điều kiện giá trị chọn đúng một hàm trong họ nguyên hàm.
Lỗi cần tránh: Bỏ hằng số C trước khi dùng điều kiện.
Cách khác: Kiểm đồng thời F'=f và F(0)=a.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: C4-NB-01, C4-NB-02, C4-NB-03, C4-NB-04, C4-NB-05, C4-NB-06, C4-NB-07, C4-NB-08, C4-NB-09, C4-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- C4-NB-01: Có
- C4-NB-02: 18x²+1
- C4-NB-03: 8
- C4-NB-04: F−G là hằng số
- C4-NB-05: 24
- C4-NB-06: 3
- C4-NB-07: 2e^x+3ln|x|+C
- C4-NB-08: 1
- C4-NB-09: 18 cm³
- C4-NB-10: (5/2)x^2+C
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 4
10 câu đại diện: C4-NB-11, C4-NB-12, C4-NB-13, C4-NB-14, C4-NB-15, C4-NB-16, C4-NB-17, C4-NB-18, C4-NB-19, C4-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- C4-NB-11: -5,3333
- C4-NB-12: 3/6
- C4-NB-13: 8sin x+4cos x+C
- C4-NB-14: 9
- C4-NB-15: 2
- C4-NB-16: 4x²+2x+4
- C4-NB-17: 639795,2
- C4-NB-18: (16/3)π
- C4-NB-19: 7 m/s
- C4-NB-20: 13,5
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: C4-TH-01, C4-TH-02, C4-TH-03, C4-TH-04, C4-TH-05, C4-TH-06, C4-TH-07, C4-TH-08, C4-TH-09, C4-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- C4-TH-01: 40
- C4-TH-02: Có
- C4-TH-03: 6x²+2
- C4-TH-04: x^3/3+C
- C4-TH-05: 4
- C4-TH-06: (2x+1)^4/8+C
- C4-TH-07: 8e^x+3ln|x|+C
- C4-TH-08: 2
- C4-TH-09: -2
- C4-TH-10: (4/2)x^2+C
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: C4-TH-11, C4-TH-12, C4-TH-13, C4-TH-14, C4-TH-15, C4-TH-16, C4-TH-17, C4-TH-18, C4-TH-19, C4-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- C4-TH-11: 1,667
- C4-TH-12: ∫[1,3]f(x)dx
- C4-TH-13: 7sin x+4cos x+C
- C4-TH-14: 1/6
- C4-TH-15: 8π/3
- C4-TH-16: 3x²+2x+3
- C4-TH-17: 39936
- C4-TH-18: 4
- C4-TH-19: 7/3
- C4-TH-20: 4
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề ôn tốt nghiệp tổng hợp
10 câu đại diện: C4-VD-01, C4-VD-02, C4-VD-03, C4-VD-04, C4-VD-05, C4-VD-06, C4-VD-07, C4-VD-08, C4-VD-09, C4-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- C4-VD-01: 15x²+4
- C4-VD-02: 12
- C4-VD-03: Có
- C4-VD-04: 4/3
- C4-VD-05: 26
- C4-VD-06: ln|x|+C
- C4-VD-07: 7e^x+3ln|x|+C
- C4-VD-08: 4/3
- C4-VD-09: e^(x²)/2+C
- C4-VD-10: (3/2)x^2+C
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.