Biến dữ kiện thành quyết định
Bài học giúp mô hình hóa mặt sàn, tường, địa hình, mặt cắt kỹ thuật, vùng an toàn và thiết kế 3D bằng công cụ có thể kiểm chứng.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- Mặt phẳng qua A và pháp tuyến n=(a;b;c): a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0.
- ax+by+cz+d=0 cần (a;b;c)≠(0;0;0).
- Hai mặt phẳng song song khi pháp tuyến cùng phương.
Bài 14. Phương trình mặt phẳng
Lập và khai thác phương trình mặt phẳng từ điểm, vectơ pháp tuyến, ba điểm hoặc điều kiện song song–vuông góc; tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và kiểm kết quả bằng phép thế.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Biết đọc dữ kiện, nêu điều kiện, thực hiện và giải thích kết quả.
Gọi đúng nền
Kích hoạt toán 12 chương 2, tích vô hướng và quan hệ vuông góc không gian rồi chuẩn bị cho Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian.
Ba dạng, một bản chất
Luyện nhiều lựa chọn, đúng–sai và trả lời ngắn trên cùng một mạch suy luận.
- Nhận biết vectơ pháp tuyến từ phương trình mặt phẳng.
- Lập phương trình mặt phẳng từ dữ kiện hình học.
- Xét song song, vuông góc và vị trí điểm.
- Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Toán 12 Chương 2, tích vô hướng và quan hệ vuông góc không gian.
- Viết miền xác định, đối tượng, phân hoạch hoặc đơn vị trước phép tính.
- Dự đoán dấu, độ lớn, vị trí hoặc miền giá trị của kết quả.
- Kiểm bằng đạo hàm, phép thế, hình học, bảng tần số hoặc công thức thứ hai.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Vectơ pháp tuyến và phương trình
Hiểu đơn giản: Pháp tuyến là mũi tên vuông góc với mọi hướng nằm trên mặt phẳng.
Mặt phẳng qua A(x₀;y₀;z₀), n=(a;b;c)≠0: a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0.
Ví dụ: Qua (1;0;0), n=(1;2;3): x+2y+3z−1=0.
Hình nên dùng: Mặt phẳng và mũi tên pháp tuyến.
Mô phỏng: Kéo điểm và pháp tuyến.
Mẹo nhớ: Điểm khóa d, pháp tuyến khóa a,b,c.
Sai lầm: Dùng tọa độ A làm a,b,c.
Ghi chú: Thế A vào phương trình phải được 0.
Mặt phẳng qua ba điểm
Hiểu đơn giản: Hai vectơ không cùng phương nằm trên mặt phẳng sẽ tạo được một pháp tuyến bằng tích có hướng.
Với A,B,C không thẳng hàng, n=AB×AC rồi lập mặt phẳng qua A.
Ví dụ: Ba điểm trên ba trục có thể dùng dạng đoạn chắn.
Hình nên dùng: Tam giác ABC và pháp tuyến.
Mô phỏng: Di chuyển C đến gần đường AB.
Mẹo nhớ: Hai hướng trong mặt → tích có hướng ra pháp tuyến.
Sai lầm: Không kiểm ba điểm thẳng hàng.
Ghi chú: Pháp tuyến tìm được phải vuông góc cả AB và AC.
Vị trí tương đối hai mặt phẳng
Hiểu đơn giản: So hướng pháp tuyến trước, rồi mới xét hệ số tự do để phân biệt song song và trùng.
n₁∥n₂: hai mặt phẳng song song hoặc trùng; n₁·n₂=0: vuông góc.
Ví dụ: x+y+z=1 và 2x+2y+2z=3 song song, không trùng.
Hình nên dùng: Ba trạng thái cắt–song song–trùng.
Mô phỏng: Nhân toàn phương trình.
Mẹo nhớ: So pháp tuyến trước, so d sau.
Sai lầm: Thấy hệ số x,y,z tỉ lệ là kết luận trùng.
Ghi chú: Hai mặt không song song thì cắt nhau theo một đường.
Khoảng cách điểm–mặt
Hiểu đơn giản: Đo độ dài hình chiếu vuông góc từ điểm tới mặt phẳng.
d(M,(P))=|ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²).
Ví dụ: M thuộc (P) thì khoảng cách bằng 0.
Hình nên dùng: Đoạn vuông góc từ M xuống mặt.
Mô phỏng: Nhân phương trình với k.
Mẹo nhớ: Tử trị tuyệt đối, mẫu độ dài pháp tuyến.
Sai lầm: Mẫu là a²+b²+c² mà không lấy căn.
Ghi chú: Nhân phương trình với số khác 0 không làm khoảng cách đổi.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB TỌA ĐỘ OXYZ
Thế điểm, đọc pháp tuyến và tính khoảng cách
Nhập M(x,y,z) và mặt phẳng ax+by+cz+d=0, mỗi bộ cách nhau bằng dấu phẩy. Công cụ cho biết vị trí của M và khoảng cách vuông góc.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B14-NB-04
Đề bài: Tính khoảng cách từ M(4;3;6) đến mặt phẳng 2x+3y+3z−13=0. Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.
Phân tích: Thế M vào tử, lấy trị tuyệt đối rồi chia độ dài vectơ pháp tuyến.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Thế M vào tử, lấy trị tuyệt đối rồi chia độ dài vectơ pháp tuyến.
- Bước 2: d(M,(P))=4,6904.
- Bước 3: Kết luận 4,6904.
Vì sao: Công thức khoảng cách là độ dài hình chiếu của vectơ nối lên pháp tuyến đơn vị.
Cách khác: Vì M=A+n trong dữ kiện tạo, khoảng cách bằng |n|.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Quên trị tuyệt đối hoặc chia cho bình phương độ dài pháp tuyến.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B14-NB-14
Đề bài: Tính khoảng cách từ M(7;3;5) đến mặt phẳng 3x+3y+1z−16=0. Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.
Phân tích: Thế M vào tử, lấy trị tuyệt đối rồi chia độ dài vectơ pháp tuyến.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Thế M vào tử, lấy trị tuyệt đối rồi chia độ dài vectơ pháp tuyến.
- Bước 2: d(M,(P))=4,3589.
- Bước 3: Kết luận 4,3589.
Vì sao: Công thức khoảng cách là độ dài hình chiếu của vectơ nối lên pháp tuyến đơn vị.
Cách khác: Vì M=A+n trong dữ kiện tạo, khoảng cách bằng |n|.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Quên trị tuyệt đối hoặc chia cho bình phương độ dài pháp tuyến.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B14-TH-04
Đề bài: Mặt phẳng (Q) song song với (P): 2x+2y+3z+1=0. Dạng vectơ pháp tuyến của (Q) là gì?
Phân tích: Hai mặt phẳng song song có các vectơ pháp tuyến cùng phương.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Hai mặt phẳng song song có các vectơ pháp tuyến cùng phương.
- Bước 2: (Q) có thể dùng n=(2;2;3).
- Bước 3: Kết luận (2;2;3).
Vì sao: Hệ số tự do không ảnh hưởng hướng pháp tuyến.
Cách khác: Đọc ba hệ số của x,y,z.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy một điểm trên mặt phẳng làm pháp tuyến.
04 • Vận dụngVí dụ 4 • B14-TH-14
Đề bài: Hai mặt phẳng x−y+2z−1=0 và 2x−2y+4z−2=0 có vị trí: Đọc đúng vectơ pháp tuyến từ phương trình mặt phẳng.
Phân tích: Toàn bộ hệ số của phương trình thứ hai gấp 2 lần phương trình thứ nhất.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Toàn bộ hệ số của phương trình thứ hai gấp 2 lần phương trình thứ nhất. Vì vậy hai phương trình biểu diễn cùng một mặt phẳng.
Vì sao: Toàn bộ hệ số của phương trình thứ hai gấp 2 lần phương trình thứ nhất. Vì vậy hai phương trình biểu diễn cùng một mặt phẳng.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: Trùng nhau. Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B14-VD-04
Đề bài: Khoảng cách từ O đến mặt phẳng 2x−y+2z−3=0 là: Đọc đúng vectơ pháp tuyến từ phương trình mặt phẳng. Các lựa chọn: A. 1 ; B. 3 ; C. 0,333 ; D. 2
Phân tích: Tử số là |−3|=3.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Tử số là |−3|=3. Mẫu số sqrt(4+1+4)=3, nên khoảng cách bằng a.
Vì sao: Tử số là |−3|=3. Mẫu số sqrt(4+1+4)=3, nên khoảng cách bằng a.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 1. Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B14-NB-11
Đề bài: Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): 1x+2y−z+2=0 là: Đọc đúng vectơ pháp tuyến từ phương trình mặt phẳng. Các lựa chọn: A. (1;2;1) ; B. (2;2;−1) ; C. (1;−2;−1) ; D. (1;2;−1)
Phân tích: Hệ số của x,y,z tạo thành một vectơ pháp tuyến.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Hệ số của x,y,z tạo thành một vectơ pháp tuyến. Vì vậy n=(1;2;−1).
Vì sao: Hệ số của x,y,z tạo thành một vectơ pháp tuyến. Vì vậy n=(1;2;−1).
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: (1;2;−1). Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B14-VDC-04
Đề bài: Cho A(3;0;0), B(0;6;0). H là hình chiếu của O lên đường thẳng AB. Tìm OH², lập phương trình vuông góc và kiểm H có nằm trong đoạn AB không.
Phân tích: Đặt H=A+t(B−A), vectơ AB=(−3;6;0)
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Đặt H=A+t(B−A), vectơ AB=(−3;6;0). Điều kiện OH·AB=0 cho −9+45t=0, t=1/5∈[0;1]. H=(12/5;6/5;0); OH²=36/5. Bước kiểm tham số cho biết chân chiếu còn thuộc đoạn.
Vì sao: Đặt H=A+t(B−A), vectơ AB=(−3;6;0). Điều kiện OH·AB=0 cho −9+45t=0, t=1/5∈[0;1]. H=(12/5;6/5;0); OH²=36/5. Bước kiểm tham số cho biết chân chiếu còn thuộc đoạn.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 36/5. Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
08 • Vận dụngVí dụ 8 • B14-VDC-14
Đề bài: Thực hiện phép tính có kiểm tra điều kiện. Xét hai mặt phẳng (P): x + 2y − z + 3 = 0 và (Q): 2x + 4y − 2z + 7 = 0. Quan hệ giữa (P) và (Q) là gì?
Phân tích: Hai vectơ pháp tuyến (1;2;−1) và (2;4;−2) cùng phương.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Hai vectơ pháp tuyến (1;2;−1) và (2;4;−2) cùng phương. Các hệ số của Q không cùng gấp đôi toàn bộ phương trình P vì hằng số lệch 1; do đó hai mặt phẳng song song và phân biệt.
Vì sao: Hai vectơ pháp tuyến (1;2;−1) và (2;4;−2) cùng phương. Các hệ số của Q không cùng gấp đôi toàn bộ phương trình P vì hằng số lệch 1; do đó hai mặt phẳng song song và phân biệt.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: Song song. Thấy pháp tuyến cùng phương rồi kết luận ngay hai mặt phẳng trùng nhau.
09 • Thông hiểuVí dụ 9 • B14-TT-04
Đề bài: Kiểm tra B(5;-3;3) có thuộc mặt phẳng 2x+3y+3z−10=0 không.
Phân tích: Thay tọa độ B vào vế trái.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Giá trị vế trái bằng 0; vì bằng 0 nên B thuộc mặt phẳng.
Vì sao: Điểm thuộc mặt phẳng khi tọa độ làm phương trình đúng.
Cách khác: Tính vectơ AB rồi kiểm n·AB=0.
Tự kiểm: Kết quả: Có. So sánh từng tọa độ với hệ số của phương trình.
10 • Thông hiểuVí dụ 10 • B14-TT-14
Đề bài: Kiểm tra lại dấu và dữ kiện trước khi kết luận. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương u = (5; 0; 5); mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = (1; 0; 0). Tính góc giữa đường thẳng và (P).
Phân tích: Gọi α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Khi đó sinα = |u·n|/(|u||n|) = 5/(5√2) = 1/√2.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Gọi α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Khi đó sinα = |u·n|/(|u||n|) = 5/(5√2) = 1/√2. Vì 0° ≤ α ≤ 90°, suy ra α = 45°.
Vì sao: Gọi α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Khi đó sinα = |u·n|/(|u||n|) = 5/(5√2) = 1/√2. Vì 0° ≤ α ≤ 90°, suy ra α = 45°.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 45°. Dùng cos trực tiếp rồi lấy góc giữa đường thẳng và pháp tuyến làm đáp án.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua phương trình mặt phẳng
Tình huống 1 dùng mặt sàn, tường, địa hình, mặt cắt kỹ thuật, vùng an toàn và thiết kế 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Trường học qua phương trình mặt phẳng
Tình huống 2 dùng mặt sàn, tường, địa hình, mặt cắt kỹ thuật, vùng an toàn và thiết kế 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua phương trình mặt phẳng
Tình huống 3 dùng mặt sàn, tường, địa hình, mặt cắt kỹ thuật, vùng an toàn và thiết kế 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua phương trình mặt phẳng
Tình huống 4 dùng mặt sàn, tường, địa hình, mặt cắt kỹ thuật, vùng an toàn và thiết kế 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua phương trình mặt phẳng
Tình huống 5 dùng mặt sàn, tường, địa hình, mặt cắt kỹ thuật, vùng an toàn và thiết kế 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua phương trình mặt phẳng
Tình huống 6 dùng mặt sàn, tường, địa hình, mặt cắt kỹ thuật, vùng an toàn và thiết kế 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua phương trình mặt phẳng
Tình huống 7 dùng mặt sàn, tường, địa hình, mặt cắt kỹ thuật, vùng an toàn và thiết kế 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua phương trình mặt phẳng
Tình huống 8 dùng mặt sàn, tường, địa hình, mặt cắt kỹ thuật, vùng an toàn và thiết kế 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Vectơ pháp tuyến và phương trình theo cách trực quan?
Pháp tuyến là mũi tên vuông góc với mọi hướng nằm trên mặt phẳng. Phát biểu chính xác: Mặt phẳng qua A(x₀;y₀;z₀), n=(a;b;c)≠0: a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0. Ví dụ: Qua (1;0;0), n=(1;2;3): x+2y+3z−1=0. Mẹo: Điểm khóa d, pháp tuyến khóa a,b,c. Cần tránh: Dùng tọa độ A làm a,b,c.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Nhầm pháp tuyến với tọa độ điểm
Dùng tọa độ A làm a,b,c. Sửa bằng: Điểm khóa d, pháp tuyến khóa a,b,c. Kiểm cuối: Thế A vào phương trình phải được 0.
Sai dấu khi thế điểm
Không kiểm ba điểm thẳng hàng. Sửa bằng: Hai hướng trong mặt → tích có hướng ra pháp tuyến. Kiểm cuối: Pháp tuyến tìm được phải vuông góc cả AB và AC.
Kết luận song song mà không loại trùng
Thấy hệ số x,y,z tỉ lệ là kết luận trùng. Sửa bằng: So pháp tuyến trước, so d sau. Kiểm cuối: Hai mặt không song song thì cắt nhau theo một đường.
Quên trị tuyệt đối trong khoảng cách
Mẫu là a²+b²+c² mà không lấy căn. Sửa bằng: Tử trị tuyệt đối, mẫu độ dài pháp tuyến. Kiểm cuối: Nhân phương trình với số khác 0 không làm khoảng cách đổi.
Dùng vectơ-không làm pháp tuyến
Dùng tọa độ A làm a,b,c. Sửa bằng: Điểm khóa d, pháp tuyến khóa a,b,c. Kiểm cuối: Thế A vào phương trình phải được 0.
Nhầm pháp tuyến với tọa độ điểm – tình huống 6
Không kiểm ba điểm thẳng hàng. Sửa bằng: Hai hướng trong mặt → tích có hướng ra pháp tuyến. Kiểm cuối: Pháp tuyến tìm được phải vuông góc cả AB và AC.
Sai dấu khi thế điểm – tình huống 7
Thấy hệ số x,y,z tỉ lệ là kết luận trùng. Sửa bằng: So pháp tuyến trước, so d sau. Kiểm cuối: Hai mặt không song song thì cắt nhau theo một đường.
Kết luận song song mà không loại trùng – tình huống 8
Mẫu là a²+b²+c² mà không lấy căn. Sửa bằng: Tử trị tuyệt đối, mẫu độ dài pháp tuyến. Kiểm cuối: Nhân phương trình với số khác 0 không làm khoảng cách đổi.
Quên trị tuyệt đối trong khoảng cách – tình huống 9
Dùng tọa độ A làm a,b,c. Sửa bằng: Điểm khóa d, pháp tuyến khóa a,b,c. Kiểm cuối: Thế A vào phương trình phải được 0.
Dùng vectơ-không làm pháp tuyến – tình huống 10
Không kiểm ba điểm thẳng hàng. Sửa bằng: Hai hướng trong mặt → tích có hướng ra pháp tuyến. Kiểm cuối: Pháp tuyến tìm được phải vuông góc cả AB và AC.
Nhầm pháp tuyến với tọa độ điểm – tình huống 11
Thấy hệ số x,y,z tỉ lệ là kết luận trùng. Sửa bằng: So pháp tuyến trước, so d sau. Kiểm cuối: Hai mặt không song song thì cắt nhau theo một đường.
Sai dấu khi thế điểm – tình huống 12
Mẫu là a²+b²+c² mà không lấy căn. Sửa bằng: Tử trị tuyệt đối, mẫu độ dài pháp tuyến. Kiểm cuối: Nhân phương trình với số khác 0 không làm khoảng cách đổi.
Kết luận song song mà không loại trùng – tình huống 13
Dùng tọa độ A làm a,b,c. Sửa bằng: Điểm khóa d, pháp tuyến khóa a,b,c. Kiểm cuối: Thế A vào phương trình phải được 0.
Quên trị tuyệt đối trong khoảng cách – tình huống 14
Không kiểm ba điểm thẳng hàng. Sửa bằng: Hai hướng trong mặt → tích có hướng ra pháp tuyến. Kiểm cuối: Pháp tuyến tìm được phải vuông góc cả AB và AC.
Dùng vectơ-không làm pháp tuyến – tình huống 15
Thấy hệ số x,y,z tỉ lệ là kết luận trùng. Sửa bằng: So pháp tuyến trước, so d sau. Kiểm cuối: Hai mặt không song song thì cắt nhau theo một đường.
Nhầm pháp tuyến với tọa độ điểm – tình huống 16
Mẫu là a²+b²+c² mà không lấy căn. Sửa bằng: Tử trị tuyệt đối, mẫu độ dài pháp tuyến. Kiểm cuối: Nhân phương trình với số khác 0 không làm khoảng cách đổi.
Sai dấu khi thế điểm – tình huống 17
Dùng tọa độ A làm a,b,c. Sửa bằng: Điểm khóa d, pháp tuyến khóa a,b,c. Kiểm cuối: Thế A vào phương trình phải được 0.
Kết luận song song mà không loại trùng – tình huống 18
Không kiểm ba điểm thẳng hàng. Sửa bằng: Hai hướng trong mặt → tích có hướng ra pháp tuyến. Kiểm cuối: Pháp tuyến tìm được phải vuông góc cả AB và AC.
Quên trị tuyệt đối trong khoảng cách – tình huống 19
Thấy hệ số x,y,z tỉ lệ là kết luận trùng. Sửa bằng: So pháp tuyến trước, so d sau. Kiểm cuối: Hai mặt không song song thì cắt nhau theo một đường.
Dùng vectơ-không làm pháp tuyến – tình huống 20
Mẫu là a²+b²+c² mà không lấy căn. Sửa bằng: Tử trị tuyệt đối, mẫu độ dài pháp tuyến. Kiểm cuối: Nhân phương trình với số khác 0 không làm khoảng cách đổi.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chẩn đoán 5 phút
Làm ba câu nền và nói thành lời điều kiện của công cụ trước khi học mới.
Chu trình 5–25–10
5 phút gọi nền, 25 phút học một nút, 10 phút làm lại không nhìn lời giải.
Hai biểu diễn
Kiểm công thức bằng đạo hàm, đồ thị, hình Oxyz, bảng xác suất hoặc đơn vị.
Phản ví dụ bắt buộc
Mỗi định lí đi cùng một trường hợp thiếu điều kiện để tránh học thuộc máy móc.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi lỗi, nguyên nhân và phép tự kiểm; không chép lại toàn bộ lời giải.
Ôn cách quãng 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và qua cổng lại sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Phương trình mặt phẳng1 2 3 4
Vectơ pháp tuyến và phương trìnhMặt phẳng qua A(x₀;y₀;z₀), n=(a;b;c)≠0: a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0. Điểm khóa d, pháp tuyến khóa a,b,c.
Mặt phẳng qua ba điểmVới A,B,C không thẳng hàng, n=AB×AC rồi lập mặt phẳng qua A. Hai hướng trong mặt → tích có hướng ra pháp tuyến.
Vị trí tương đối hai mặt phẳngn₁∥n₂: hai mặt phẳng song song hoặc trùng; n₁·n₂=0: vuông góc. So pháp tuyến trước, so d sau.
Khoảng cách điểm–mặtd(M,(P))=|ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²). Tử trị tuyệt đối, mẫu độ dài pháp tuyến.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
B14-NB-01Từ điểm A(3;4;-1), đi theo vectơ v=(0;-1;5) hai lần. Tìm điểm đến.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính A+2v theo từng tọa độ.
Lời giải: A+2v=(3;2;9).
Vì sao: Đây là cầu nối trực tiếp sang phương trình tham số đường thẳng.
Sai ở đâu: Nhân hệ số 2 cho điểm A thay vì vectơ v.
Cách khác: Thay t=2 vào A+tv.
B14-NB-02Tính tích vô hướng u·v với u=(4;2;-2), v=(2;-2;1).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhân các tọa độ cùng vị trí rồi cộng.
Lời giải: u·v=(4)·(2)+(2)·(-2)+(-2)·(1)=2.
Vì sao: Tích vô hướng tạo một số và là công cụ kiểm vuông góc.
Sai ở đâu: Nhân chéo tọa độ hoặc giữ kết quả là một vectơ.
Cách khác: Viết hai vectơ theo cột rồi nhân từng hàng.
B14-NB-03Tính độ dài của u=(1;3;-1).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy căn tổng bình phương ba tọa độ.
Lời giải: |u|=√((1)²+(3)²+(-1)²)=√11.
Vì sao: Độ dài vectơ luôn không âm.
Sai ở đâu: Cộng tọa độ rồi lấy trị tuyệt đối.
Cách khác: Kiểm bằng u·u=|u|².
B14-NB-04Tính khoảng cách từ M(4;3;6) đến mặt phẳng 2x+3y+3z−13=0. Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thế M vào tử, lấy trị tuyệt đối rồi chia độ dài vectơ pháp tuyến.
Lời giải: d(M,(P))=4,6904.
Vì sao: Công thức khoảng cách là độ dài hình chiếu của vectơ nối lên pháp tuyến đơn vị.
Sai ở đâu: Quên trị tuyệt đối hoặc chia cho bình phương độ dài pháp tuyến.
Cách khác: Vì M=A+n trong dữ kiện tạo, khoảng cách bằng |n|.
B14-NB-05Mặt phẳng (Q) song song với (P): 3x+2y+1z+1=0. Dạng vectơ pháp tuyến của (Q) là gì?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai mặt phẳng song song có các vectơ pháp tuyến cùng phương.
Lời giải: (Q) có thể dùng n=(3;2;1).
Vì sao: Hệ số tự do không ảnh hưởng hướng pháp tuyến.
Sai ở đâu: Lấy một điểm trên mặt phẳng làm pháp tuyến.
Cách khác: Đọc ba hệ số của x,y,z.
B14-NB-06Lập mặt phẳng đi qua ba điểm (6;0;0), (0;6;0), (0;0;6).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng dạng đoạn chắn x/a+y/b+z/c=1.
Lời giải: Mặt phẳng có phương trình x+y+z−6=0.
Vì sao: Ba đoạn chắn bằng nhau tạo vectơ pháp tuyến (1;1;1).
Sai ở đâu: Viết x+y+z=1, quên độ dài đoạn chắn.
Cách khác: Thế lần lượt cả ba điểm để kiểm.
B14-NB-07Lập phương trình mặt phẳng qua A(1;-2;3) và có vectơ pháp tuyến n=(2;2;3).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng n·AM=0 hoặc ax+by+cz+d=0 rồi thế A.
Lời giải: Mặt phẳng là 2x+2y+3z−7=0.
Vì sao: Các hệ số của x,y,z chính là tọa độ một vectơ pháp tuyến.
Sai ở đâu: Dùng tọa độ điểm A làm vectơ pháp tuyến.
Cách khác: Thế tọa độ A vào phương trình để kiểm vế trái bằng 0.
B14-NB-08Kiểm tra B(5;-4;4) có thuộc mặt phẳng 3x+3y+1z−7=0 không.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thay tọa độ B vào vế trái.
Lời giải: Giá trị vế trái bằng 0; vì bằng 0 nên B thuộc mặt phẳng.
Vì sao: Điểm thuộc mặt phẳng khi tọa độ làm phương trình đúng.
Sai ở đâu: So sánh từng tọa độ với hệ số của phương trình.
Cách khác: Tính vectơ AB rồi kiểm n·AB=0.
B14-NB-09Tính khoảng cách từ M(4;2;4) đến mặt phẳng 1x+2y+2z−7=0.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thế M vào tử, lấy trị tuyệt đối rồi chia độ dài vectơ pháp tuyến.
Lời giải: d(M,(P))=3.
Vì sao: Công thức khoảng cách là độ dài hình chiếu của vectơ nối lên pháp tuyến đơn vị.
Sai ở đâu: Quên trị tuyệt đối hoặc chia cho bình phương độ dài pháp tuyến.
Cách khác: Vì M=A+n trong dữ kiện tạo, khoảng cách bằng |n|.
B14-NB-10Mặt phẳng (Q) song song với (P): 2x+3y+3z+1=0. Dạng vectơ pháp tuyến của (Q) là gì?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai mặt phẳng song song có các vectơ pháp tuyến cùng phương.
Lời giải: (Q) có thể dùng n=(2;3;3).
Vì sao: Hệ số tự do không ảnh hưởng hướng pháp tuyến.
Sai ở đâu: Lấy một điểm trên mặt phẳng làm pháp tuyến.
Cách khác: Đọc ba hệ số của x,y,z.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): 1x+2y−z+2=0 là: Đọc đúng vectơ pháp tuyến từ phương trình mặt phẳng.
BA DẠNG TRẮC NGHIỆM HIỆN HÀNH
Cùng một bản chất, ba cách kiểm tra năng lực
Định dạng ôn tốt nghiệp gồm nhiều lựa chọn, đúng–sai bốn ý và trả lời ngắn; tự luận phía sau dùng để học sâu, không gắn sai nhãn thành cấu trúc đề thi.
Nhiều lựa chọn
50 câu tự chấm ngay phía trên; phương án nhiễu xuất phát từ lỗi điều kiện, dấu, thứ tự hoặc thiếu ứng viên.
Chọn đáp án rồi đọc giải thích và ghi lỗi.Đúng–sai bốn ý
Một cụm mẫu dùng chung bối cảnh “Phương trình mặt phẳng”:
- a) Mặt phẳng qua A(x₀;y₀;z₀), n=(a;b;c)≠0: a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Pháp tuyến là mũi tên vuông góc với mọi hướng nằm trên mặt phẳng. Ví dụ kiểm chứng: Qua (1;0;0), n=(1;2;3): x+2y+3z−1=0.
- b) Với A,B,C không thẳng hàng, n=AB×AC rồi lập mặt phẳng qua A.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Hai vectơ không cùng phương nằm trên mặt phẳng sẽ tạo được một pháp tuyến bằng tích có hướng. Ví dụ kiểm chứng: Ba điểm trên ba trục có thể dùng dạng đoạn chắn.
- c) n₁∥n₂: hai mặt phẳng song song hoặc trùng; n₁·n₂=0: vuông góc.
Đáp án và căn cứ
Đúng. So hướng pháp tuyến trước, rồi mới xét hệ số tự do để phân biệt song song và trùng. Ví dụ kiểm chứng: x+y+z=1 và 2x+2y+2z=3 song song, không trùng.
- d) d(M,(P))=|ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²).
Đáp án và căn cứ
Đúng. Đo độ dài hình chiếu vuông góc từ điểm tới mặt phẳng. Ví dụ kiểm chứng: M thuộc (P) thì khoảng cách bằng 0.
Trả lời ngắn
Tự lập mô hình và điền kết quả, không có phương án gợi ý:
- Từ điểm A(4;4;-2), đi theo vectơ v=(0;-2;4) hai lần. Tìm điểm đến.
Đáp án
(4;0;6)
- Tính tích vô hướng u·v với u=(1;2;-1), v=(2;-1;5).
Đáp án
-5
- Tính độ dài của u=(2;3;-2).
Đáp án
√17
- Cho A(3;0;0), B(0;6;0). H là hình chiếu của O lên đường thẳng AB. Tìm OH², lập phương trình vuông góc và kiểm H có nằm trong đoạn AB không.
Đáp án
36/5
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Từ điểm A(3;4;-1), đi theo vectơ v=(0;-1;5) hai lần. Tìm điểm đến.
Gợi ý: Tính A+2v theo từng tọa độ.
Lời giải: A+2v=(3;2;9).
Giải thích: Đây là cầu nối trực tiếp sang phương trình tham số đường thẳng.
Lỗi cần tránh: Nhân hệ số 2 cho điểm A thay vì vectơ v.
Cách khác: Thay t=2 vào A+tv.
TỰ LUẬN 2Lập mặt phẳng đi qua ba điểm (6;0;0), (0;6;0), (0;0;6).
Gợi ý: Dùng dạng đoạn chắn x/a+y/b+z/c=1.
Lời giải: Mặt phẳng có phương trình x+y+z−6=0.
Giải thích: Ba đoạn chắn bằng nhau tạo vectơ pháp tuyến (1;1;1).
Lỗi cần tránh: Viết x+y+z=1, quên độ dài đoạn chắn.
Cách khác: Thế lần lượt cả ba điểm để kiểm.
TỰ LUẬN 3Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): 1x+2y−z+2=0 là: Đọc đúng vectơ pháp tuyến từ phương trình mặt phẳng. Các lựa chọn: A. (1;2;1) ; B. (2;2;−1) ; C. (1;−2;−1) ; D. (1;2;−1)
Gợi ý: Hệ số của x,y,z tạo thành một vectơ pháp tuyến.
Lời giải: Hệ số của x,y,z tạo thành một vectơ pháp tuyến. Vì vậy n=(1;2;−1).
Giải thích: Hệ số của x,y,z tạo thành một vectơ pháp tuyến. Vì vậy n=(1;2;−1).
Lỗi cần tránh: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 4Hai mặt phẳng x+2y−z+1=0 và 2x+4y−2z−1=0 có vị trí: Đọc đúng vectơ pháp tuyến từ phương trình mặt phẳng.
Gợi ý: Hai vectơ pháp tuyến (1,2,−1) và (2,4,−2) cùng phương.
Lời giải: Hai vectơ pháp tuyến (1,2,−1) và (2,4,−2) cùng phương. Các hệ số tự do không cùng tỉ lệ nên hai mặt phẳng song song phân biệt.
Giải thích: Hai vectơ pháp tuyến (1,2,−1) và (2,4,−2) cùng phương. Các hệ số tự do không cùng tỉ lệ nên hai mặt phẳng song song phân biệt.
Lỗi cần tránh: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 5Từ điểm A(2;4;-2), đi theo vectơ v=(0;-2;3) hai lần. Tìm điểm đến.
Gợi ý: Tính A+2v theo từng tọa độ.
Lời giải: A+2v=(2;0;4).
Giải thích: Đây là cầu nối trực tiếp sang phương trình tham số đường thẳng.
Lỗi cần tránh: Nhân hệ số 2 cho điểm A thay vì vectơ v.
Cách khác: Thay t=2 vào A+tv.
TỰ LUẬN 6Lập phương trình mặt phẳng qua A(3;-2;2) và có vectơ pháp tuyến n=(1;2;2).
Gợi ý: Dùng n·AM=0 hoặc ax+by+cz+d=0 rồi thế A.
Lời giải: Mặt phẳng là 1x+2y+2z−3=0.
Giải thích: Các hệ số của x,y,z chính là tọa độ một vectơ pháp tuyến.
Lỗi cần tránh: Dùng tọa độ điểm A làm vectơ pháp tuyến.
Cách khác: Thế tọa độ A vào phương trình để kiểm vế trái bằng 0.
TỰ LUẬN 7Lập phương trình mặt phẳng qua A(4;-2;4) và có vectơ pháp tuyến n=(3;3;1).
Gợi ý: Dùng n·AM=0 hoặc ax+by+cz+d=0 rồi thế A.
Lời giải: Mặt phẳng là 3x+3y+1z−10=0.
Giải thích: Các hệ số của x,y,z chính là tọa độ một vectơ pháp tuyến.
Lỗi cần tránh: Dùng tọa độ điểm A làm vectơ pháp tuyến.
Cách khác: Thế tọa độ A vào phương trình để kiểm vế trái bằng 0.
TỰ LUẬN 8Mặt phẳng x=1 có một vectơ pháp tuyến là: Đọc đúng vectơ pháp tuyến từ phương trình mặt phẳng. Các lựa chọn: A. (1;1;0) ; B. (1;0;0) ; C. (0;1;0) ; D. (0;0;1)
Gợi ý: Phương trình viết thành x−a=0.
Lời giải: Phương trình viết thành x−a=0. Bộ hệ số của x,y,z là (1;0;0).
Giải thích: Phương trình viết thành x−a=0. Bộ hệ số của x,y,z là (1;0;0).
Lỗi cần tránh: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 9Từ điểm A(1;4;-1), đi theo vectơ v=(0;-1;1) hai lần. Tìm điểm đến.
Gợi ý: Tính A+2v theo từng tọa độ.
Lời giải: A+2v=(1;2;1).
Giải thích: Đây là cầu nối trực tiếp sang phương trình tham số đường thẳng.
Lỗi cần tránh: Nhân hệ số 2 cho điểm A thay vì vectơ v.
Cách khác: Thay t=2 vào A+tv.
TỰ LUẬN 10Kiểm tra B(5;-2;2) có thuộc mặt phẳng 1x+3y+2z−3=0 không.
Gợi ý: Thay tọa độ B vào vế trái.
Lời giải: Giá trị vế trái bằng 0; vì bằng 0 nên B thuộc mặt phẳng.
Giải thích: Điểm thuộc mặt phẳng khi tọa độ làm phương trình đúng.
Lỗi cần tránh: So sánh từng tọa độ với hệ số của phương trình.
Cách khác: Tính vectơ AB rồi kiểm n·AB=0.
TỰ LUẬN 11Kiểm tra B(5;-4;4) có thuộc mặt phẳng 3x+2y+1z−11=0 không.
Gợi ý: Thay tọa độ B vào vế trái.
Lời giải: Giá trị vế trái bằng 0; vì bằng 0 nên B thuộc mặt phẳng.
Giải thích: Điểm thuộc mặt phẳng khi tọa độ làm phương trình đúng.
Lỗi cần tránh: So sánh từng tọa độ với hệ số của phương trình.
Cách khác: Tính vectơ AB rồi kiểm n·AB=0.
TỰ LUẬN 12A(2;−1;3), B(−1;3;1). M thay đổi trong mặt phẳng Oxy. Tính bình phương giá trị nhỏ nhất của MA+MB.
Gợi ý: Phản xạ A qua Oxy được A'(2;−1;−3). Vì A' và B ở hai phía Oxy, MA+MB≥A'B; A'B²=3²+4²+4²=41.
Lời giải: Phản xạ A qua Oxy được A'(2;−1;−3). Vì A' và B ở hai phía Oxy, MA+MB≥A'B; A'B²=3²+4²+4²=41. Vậy kết quả cần chọn là 41.
Giải thích: Phản xạ A qua Oxy được A'(2;−1;−3). Vì A' và B ở hai phía Oxy, MA+MB≥A'B; A'B²=3²+4²+4²=41. Vậy kết quả cần chọn là 41.
Lỗi cần tránh: Quên trừ A khi tìm C hoặc tính OC bằng tổng tọa độ thay vì tổng bình phương.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 13Từ điểm A(4;4;-2), đi theo vectơ v=(0;-2;4) hai lần. Tìm điểm đến.
Gợi ý: Tính A+2v theo từng tọa độ.
Lời giải: A+2v=(4;0;6).
Giải thích: Đây là cầu nối trực tiếp sang phương trình tham số đường thẳng.
Lỗi cần tránh: Nhân hệ số 2 cho điểm A thay vì vectơ v.
Cách khác: Thay t=2 vào A+tv.
TỰ LUẬN 14Cho A(4;0;0), B(0;8;0). H là hình chiếu của O lên đường thẳng AB. Tìm OH², lập phương trình vuông góc và kiểm H có nằm trong đoạn AB không.
Gợi ý: Đặt H=A+t(B−A), vectơ AB=(−4;8;0)
Lời giải: Đặt H=A+t(B−A), vectơ AB=(−4;8;0). Điều kiện OH·AB=0 cho −16+80t=0, t=1/5∈[0;1]. H=(16/5;8/5;0); OH²=64/5. Bước kiểm tham số cho biết chân chiếu còn thuộc đoạn.
Giải thích: Đặt H=A+t(B−A), vectơ AB=(−4;8;0). Điều kiện OH·AB=0 cho −16+80t=0, t=1/5∈[0;1]. H=(16/5;8/5;0); OH²=64/5. Bước kiểm tham số cho biết chân chiếu còn thuộc đoạn.
Lỗi cần tránh: Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
TỰ LUẬN 15Tính khoảng cách từ M(5;3;5) đến mặt phẳng 3x+3y+1z−10=0. Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.
Gợi ý: Thế M vào tử, lấy trị tuyệt đối rồi chia độ dài vectơ pháp tuyến.
Lời giải: d(M,(P))=4,3589.
Giải thích: Công thức khoảng cách là độ dài hình chiếu của vectơ nối lên pháp tuyến đơn vị.
Lỗi cần tránh: Quên trị tuyệt đối hoặc chia cho bình phương độ dài pháp tuyến.
Cách khác: Vì M=A+n trong dữ kiện tạo, khoảng cách bằng |n|.
TỰ LUẬN 16Thực hiện phép tính có kiểm tra điều kiện. Tính khoảng cách từ A(7; 2; 3) đến mặt phẳng (P): x + 2y + 2z − 2 = 0.
Gợi ý: d(A,(P)) = |xA + 2yA + 2zA −2|/√(1²+2²+2²).
Lời giải: d(A,(P)) = |xA + 2yA + 2zA −2|/√(1²+2²+2²). Tử số bằng 15, mẫu số bằng 3 nên khoảng cách bằng 5.
Giải thích: d(A,(P)) = |xA + 2yA + 2zA −2|/√(1²+2²+2²). Tử số bằng 15, mẫu số bằng 3 nên khoảng cách bằng 5.
Lỗi cần tránh: Không lấy giá trị tuyệt đối hoặc quên căn tổng bình phương hệ số.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 17Từ điểm A(3;4;-1), đi theo vectơ v=(0;-1;2) hai lần. Tìm điểm đến.
Gợi ý: Tính A+2v theo từng tọa độ.
Lời giải: A+2v=(3;2;3).
Giải thích: Đây là cầu nối trực tiếp sang phương trình tham số đường thẳng.
Lỗi cần tránh: Nhân hệ số 2 cho điểm A thay vì vectơ v.
Cách khác: Thay t=2 vào A+tv.
TỰ LUẬN 18Đối chiếu kết quả với ý nghĩa bài toán. Đường thẳng d: x = 4 + t, y = -1 + 2t, z = 3 − t cắt mặt phẳng (P): x + y + z − 14 = 0 tại H. Tính xH + yH + zH.
Gợi ý: Thay phương trình d vào (P): (4+t)+(-1+2t)+(3−t) − 14 = 0, suy ra t = 4.
Lời giải: Thay phương trình d vào (P): (4+t)+(-1+2t)+(3−t) − 14 = 0, suy ra t = 4. H = (8; 7; -1), nên xH + yH + zH = 14.
Giải thích: Thay phương trình d vào (P): (4+t)+(-1+2t)+(3−t) − 14 = 0, suy ra t = 4. H = (8; 7; -1), nên xH + yH + zH = 14.
Lỗi cần tránh: Dùng cùng chữ t cho giá trị tham số và quên thay lại để tìm tọa độ H.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 19Phân tích dữ kiện theo từng bước. Trong Oxyz, chọn phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 1; 3) và có vectơ pháp tuyến n = (3; 2; 1).
Gợi ý: Mặt phẳng có dạng 3(X − 2) + 2(Y − 1) + 1(Z − 3) = 0.
Lời giải: Mặt phẳng có dạng 3(X − 2) + 2(Y − 1) + 1(Z − 3) = 0. Khai triển và đổi tên biến tọa độ thu được 3x + 2y + 1z − 11 = 0.
Giải thích: Mặt phẳng có dạng 3(X − 2) + 2(Y − 1) + 1(Z − 3) = 0. Khai triển và đổi tên biến tọa độ thu được 3x + 2y + 1z − 11 = 0.
Lỗi cần tránh: Dùng tọa độ điểm làm pháp tuyến hoặc thay điểm nhưng sai dấu hằng số.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 20Ưu tiên cách giải chuẩn, rõ ràng. Trong Oxyz, tính khoảng cách từ M(4; 0; 3) đến mặt phẳng (Oxy).
Gợi ý: Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0.
Lời giải: Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0. Khoảng cách từ M(x;y;z) đến (Oxy) bằng |z| = |3| = 3.
Giải thích: Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0. Khoảng cách từ M(x;y;z) đến (Oxy) bằng |z| = |3| = 3.
Lỗi cần tránh: Lấy độ dài OM hoặc nhầm tọa độ vuông góc với mặt phẳng.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B14-NB-01, B14-NB-02, B14-NB-03, B14-NB-04, B14-NB-05, B14-NB-06, B14-NB-07, B14-NB-08, B14-NB-09, B14-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B14-NB-01: (3;2;9)
- B14-NB-02: 2
- B14-NB-03: √11
- B14-NB-04: 4,6904
- B14-NB-05: (3;2;1)
- B14-NB-06: x+y+z−6=0
- B14-NB-07: 2x+2y+3z−7=0
- B14-NB-08: Có
- B14-NB-09: 3
- B14-NB-10: (2;3;3)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 5
10 câu đại diện: B14-NB-11, B14-NB-12, B14-NB-13, B14-NB-14, B14-NB-15, B14-NB-16, B14-NB-17, B14-NB-18, B14-NB-19, B14-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B14-NB-11: (1;2;−1)
- B14-NB-12: 1x+3y+2z+0=0
- B14-NB-13: Có
- B14-NB-14: 4,3589
- B14-NB-15: (1;2;2)
- B14-NB-16: Song song
- B14-NB-17: 3x+2y+1z−9=0
- B14-NB-18: Có
- B14-NB-19: 4,1231
- B14-NB-20: (3;3;1)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B14-TH-01, B14-TH-02, B14-TH-03, B14-TH-04, B14-TH-05, B14-TH-06, B14-TH-07, B14-TH-08, B14-TH-09, B14-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B14-TH-01: (2;0;4)
- B14-TH-02: 0
- B14-TH-03: √29
- B14-TH-04: (2;2;3)
- B14-TH-05: 0,333
- B14-TH-06: 1x+2y+2z−3=0
- B14-TH-07: Có
- B14-TH-08: 3,7417
- B14-TH-09: (1;3;2)
- B14-TH-10: 2,1
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B14-TH-11, B14-TH-12, B14-TH-13, B14-TH-14, B14-TH-15, B14-TH-16, B14-TH-17, B14-TH-18, B14-TH-19, B14-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B14-TH-11: 3x+3y+1z−10=0
- B14-TH-12: Có
- B14-TH-13: 1x+3y+z−10=0
- B14-TH-14: Trùng nhau
- B14-TH-15: x+y+z−1=0
- B14-TH-16: (1;0;0)
- B14-TH-17: Vuông góc
- B14-TH-18: x+2y+3z−10=0
- B14-TH-19: x/1+y/5+z=1
- B14-TH-20: Cắt nhau nhưng không vuông góc
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề ôn tốt nghiệp tổng hợp
10 câu đại diện: B14-VD-01, B14-VD-02, B14-VD-03, B14-VD-04, B14-VD-05, B14-VD-06, B14-VD-07, B14-VD-08, B14-VD-09, B14-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B14-VD-01: (1;2;1)
- B14-VD-02: -4
- B14-VD-03: √19
- B14-VD-04: 1
- B14-VD-05: 3x+2y+1z−3=0
- B14-VD-06: Có
- B14-VD-07: 4,1231
- B14-VD-08: (1;−2;3)
- B14-VD-09: 1,667
- B14-VD-10: 2x+3y+3z−7=0
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.