Biến dữ kiện thành quyết định
Bài học giúp mô hình hóa mặt sàn, tường, địa hình, mặt cắt kỹ thuật, vùng an toàn và thiết kế 3D bằng công cụ có thể kiểm chứng.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 14. Phương trình mặt phẳng
Lập và khai thác phương trình mặt phẳng từ điểm, vectơ pháp tuyến, ba điểm hoặc điều kiện song song–vuông góc; tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và kiểm kết quả bằng phép thế.
Ba hệ số của x, y, z tạo pháp tuyến; thế điểm để khóa hệ số tự do
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Biết đọc dữ kiện, nêu điều kiện, thực hiện và giải thích kết quả.
Gọi đúng nền
Kích hoạt toán 12 chương 2, tích vô hướng và quan hệ vuông góc không gian rồi chuẩn bị cho Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian.
Ba dạng, một bản chất
Luyện nhiều lựa chọn, đúng–sai và trả lời ngắn trên cùng một mạch suy luận.
- Nhận biết vectơ pháp tuyến từ phương trình mặt phẳng.
- Lập phương trình mặt phẳng từ dữ kiện hình học.
- Xét song song, vuông góc và vị trí điểm.
- Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Toán 12 Chương 2, tích vô hướng và quan hệ vuông góc không gian.
- Viết miền xác định, đối tượng, phân hoạch hoặc đơn vị trước phép tính.
- Dự đoán dấu, độ lớn, vị trí hoặc miền giá trị của kết quả.
- Kiểm bằng đạo hàm, phép thế, hình học, bảng tần số hoặc công thức thứ hai.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Vectơ pháp tuyến và phương trình
Hiểu đơn giản: Pháp tuyến là mũi tên vuông góc với mọi hướng nằm trên mặt phẳng.
Mặt phẳng qua A(x₀;y₀;z₀), n=(a;b;c)≠0: a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0.
Ví dụ: Qua (1;0;0), n=(1;2;3): x+2y+3z−1=0.
Hình nên dùng: Mặt phẳng và mũi tên pháp tuyến.
Mô phỏng: Kéo điểm và pháp tuyến.
Mẹo nhớ: Điểm khóa d, pháp tuyến khóa a,b,c.
Sai lầm: Dùng tọa độ A làm a,b,c.
Ghi chú: Thế A vào phương trình phải được 0.
Mặt phẳng qua ba điểm
Hiểu đơn giản: Hai vectơ không cùng phương nằm trên mặt phẳng sẽ tạo được một pháp tuyến bằng tích có hướng.
Với A,B,C không thẳng hàng, n=AB×AC rồi lập mặt phẳng qua A.
Ví dụ: Ba điểm trên ba trục có thể dùng dạng đoạn chắn.
Hình nên dùng: Tam giác ABC và pháp tuyến.
Mô phỏng: Di chuyển C đến gần đường AB.
Mẹo nhớ: Hai hướng trong mặt → tích có hướng ra pháp tuyến.
Sai lầm: Không kiểm ba điểm thẳng hàng.
Ghi chú: Pháp tuyến tìm được phải vuông góc cả AB và AC.
Vị trí tương đối hai mặt phẳng
Hiểu đơn giản: So hướng pháp tuyến trước, rồi mới xét hệ số tự do để phân biệt song song và trùng.
n₁∥n₂: hai mặt phẳng song song hoặc trùng; n₁·n₂=0: vuông góc.
Ví dụ: x+y+z=1 và 2x+2y+2z=3 song song, không trùng.
Hình nên dùng: Ba trạng thái cắt–song song–trùng.
Mô phỏng: Nhân toàn phương trình.
Mẹo nhớ: So pháp tuyến trước, so d sau.
Sai lầm: Thấy hệ số x,y,z tỉ lệ là kết luận trùng.
Ghi chú: Hai mặt không song song thì cắt nhau theo một đường.
Khoảng cách điểm–mặt
Hiểu đơn giản: Đo độ dài hình chiếu vuông góc từ điểm tới mặt phẳng.
d(M,(P))=|ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²).
Ví dụ: M thuộc (P) thì khoảng cách bằng 0.
Hình nên dùng: Đoạn vuông góc từ M xuống mặt.
Mô phỏng: Nhân phương trình với k.
Mẹo nhớ: Tử trị tuyệt đối, mẫu độ dài pháp tuyến.
Sai lầm: Mẫu là a²+b²+c² mà không lấy căn.
Ghi chú: Nhân phương trình với số khác 0 không làm khoảng cách đổi.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB TỌA ĐỘ OXYZ
Thế điểm, đọc pháp tuyến và tính khoảng cách
Nhập M(x,y,z) và mặt phẳng ax+by+cz+d=0, mỗi bộ cách nhau bằng dấu phẩy. Công cụ cho biết vị trí của M và khoảng cách vuông góc.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B14-NB-04
Đề bài: Tính khoảng cách từ M(4;3;6) đến mặt phẳng 2x+3y+3z−13=0.
Phân tích: Thế M vào tử, lấy trị tuyệt đối rồi chia độ dài vectơ pháp tuyến.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Thế M vào tử, lấy trị tuyệt đối rồi chia độ dài vectơ pháp tuyến.
- Bước 2: d(M,(P))=4,6904.
- Bước 3: Kết luận 4,6904.
Vì sao: Công thức khoảng cách là độ dài hình chiếu của vectơ nối lên pháp tuyến đơn vị.
Cách khác: Vì M=A+n trong dữ kiện tạo, khoảng cách bằng |n|.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Quên trị tuyệt đối hoặc chia cho bình phương độ dài pháp tuyến.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B14-NB-14
Đề bài: Tính khoảng cách từ M(7;3;5) đến mặt phẳng 3x+3y+1z−16=0.
Phân tích: Thế M vào tử, lấy trị tuyệt đối rồi chia độ dài vectơ pháp tuyến.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Thế M vào tử, lấy trị tuyệt đối rồi chia độ dài vectơ pháp tuyến.
- Bước 2: d(M,(P))=4,3589.
- Bước 3: Kết luận 4,3589.
Vì sao: Công thức khoảng cách là độ dài hình chiếu của vectơ nối lên pháp tuyến đơn vị.
Cách khác: Vì M=A+n trong dữ kiện tạo, khoảng cách bằng |n|.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Quên trị tuyệt đối hoặc chia cho bình phương độ dài pháp tuyến.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B14-TH-04
Đề bài: Mặt phẳng (Q) song song với (P): 2x+2y+3z+1=0. Dạng vectơ pháp tuyến của (Q) là gì?
Phân tích: Hai mặt phẳng song song có các vectơ pháp tuyến cùng phương.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Hai mặt phẳng song song có các vectơ pháp tuyến cùng phương.
- Bước 2: (Q) có thể dùng n=(2;2;3).
- Bước 3: Kết luận (2;2;3).
Vì sao: Hệ số tự do không ảnh hưởng hướng pháp tuyến.
Cách khác: Đọc ba hệ số của x,y,z.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy một điểm trên mặt phẳng làm pháp tuyến.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B14-TH-14
Đề bài: Mặt phẳng (Q) song song với (P): 3x+2y+1z+1=0. Dạng vectơ pháp tuyến của (Q) là gì?
Phân tích: Hai mặt phẳng song song có các vectơ pháp tuyến cùng phương.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Hai mặt phẳng song song có các vectơ pháp tuyến cùng phương.
- Bước 2: (Q) có thể dùng n=(3;2;1).
- Bước 3: Kết luận (3;2;1).
Vì sao: Hệ số tự do không ảnh hưởng hướng pháp tuyến.
Cách khác: Đọc ba hệ số của x,y,z.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy một điểm trên mặt phẳng làm pháp tuyến.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B14-VD-04
Đề bài: Lập mặt phẳng đi qua ba điểm (6;0;0), (0;6;0), (0;0;6).
Phân tích: Dùng dạng đoạn chắn x/a+y/b+z/c=1.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Dùng dạng đoạn chắn x/a+y/b+z/c=1.
- Bước 2: Mặt phẳng có phương trình x+y+z−6=0.
- Bước 3: Kết luận x+y+z−6=0.
Vì sao: Ba đoạn chắn bằng nhau tạo vectơ pháp tuyến (1;1;1).
Cách khác: Thế lần lượt cả ba điểm để kiểm.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Viết x+y+z=1, quên độ dài đoạn chắn.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B14-VD-14
Đề bài: Lập mặt phẳng đi qua ba điểm (6;0;0), (0;6;0), (0;0;6).
Phân tích: Dùng dạng đoạn chắn x/a+y/b+z/c=1.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Dùng dạng đoạn chắn x/a+y/b+z/c=1.
- Bước 2: Mặt phẳng có phương trình x+y+z−6=0.
- Bước 3: Kết luận x+y+z−6=0.
Vì sao: Ba đoạn chắn bằng nhau tạo vectơ pháp tuyến (1;1;1).
Cách khác: Thế lần lượt cả ba điểm để kiểm.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Viết x+y+z=1, quên độ dài đoạn chắn.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B14-VDC-04
Đề bài: Lập phương trình mặt phẳng qua A(3;-2;3) và có vectơ pháp tuyến n=(2;2;3).
Phân tích: Dùng n·AM=0 hoặc ax+by+cz+d=0 rồi thế A.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Dùng n·AM=0 hoặc ax+by+cz+d=0 rồi thế A.
- Bước 2: Mặt phẳng là 2x+2y+3z−11=0.
- Bước 3: Kết luận 2x+2y+3z−11=0.
Vì sao: Các hệ số của x,y,z chính là tọa độ một vectơ pháp tuyến.
Cách khác: Thế tọa độ A vào phương trình để kiểm vế trái bằng 0.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Dùng tọa độ điểm A làm vectơ pháp tuyến.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • B14-VDC-14
Đề bài: Lập phương trình mặt phẳng qua A(1;-2;4) và có vectơ pháp tuyến n=(3;2;1).
Phân tích: Dùng n·AM=0 hoặc ax+by+cz+d=0 rồi thế A.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Dùng n·AM=0 hoặc ax+by+cz+d=0 rồi thế A.
- Bước 2: Mặt phẳng là 3x+2y+1z−3=0.
- Bước 3: Kết luận 3x+2y+1z−3=0.
Vì sao: Các hệ số của x,y,z chính là tọa độ một vectơ pháp tuyến.
Cách khác: Thế tọa độ A vào phương trình để kiểm vế trái bằng 0.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Dùng tọa độ điểm A làm vectơ pháp tuyến.
09 • Thực tếVí dụ 9 • B14-TT-04
Đề bài: Kiểm tra B(5;-3;3) có thuộc mặt phẳng 2x+3y+3z−10=0 không.
Phân tích: Thay tọa độ B vào vế trái.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Thay tọa độ B vào vế trái.
- Bước 2: Giá trị vế trái bằng 0; vì bằng 0 nên B thuộc mặt phẳng.
- Bước 3: Kết luận Có.
Vì sao: Điểm thuộc mặt phẳng khi tọa độ làm phương trình đúng.
Cách khác: Tính vectơ AB rồi kiểm n·AB=0.
Tự kiểm: Chặn lỗi: So sánh từng tọa độ với hệ số của phương trình.
10 • Thực tếVí dụ 10 • B14-TT-14
Đề bài: Kiểm tra B(7;-4;4) có thuộc mặt phẳng 3x+3y+1z−13=0 không.
Phân tích: Thay tọa độ B vào vế trái.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Thay tọa độ B vào vế trái.
- Bước 2: Giá trị vế trái bằng 0; vì bằng 0 nên B thuộc mặt phẳng.
- Bước 3: Kết luận Có.
Vì sao: Điểm thuộc mặt phẳng khi tọa độ làm phương trình đúng.
Cách khác: Tính vectơ AB rồi kiểm n·AB=0.
Tự kiểm: Chặn lỗi: So sánh từng tọa độ với hệ số của phương trình.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua phương trình mặt phẳng
Tình huống 1 dùng mặt sàn, tường, địa hình, mặt cắt kỹ thuật, vùng an toàn và thiết kế 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Trường học qua phương trình mặt phẳng
Tình huống 2 dùng mặt sàn, tường, địa hình, mặt cắt kỹ thuật, vùng an toàn và thiết kế 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua phương trình mặt phẳng
Tình huống 3 dùng mặt sàn, tường, địa hình, mặt cắt kỹ thuật, vùng an toàn và thiết kế 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua phương trình mặt phẳng
Tình huống 4 dùng mặt sàn, tường, địa hình, mặt cắt kỹ thuật, vùng an toàn và thiết kế 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua phương trình mặt phẳng
Tình huống 5 dùng mặt sàn, tường, địa hình, mặt cắt kỹ thuật, vùng an toàn và thiết kế 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua phương trình mặt phẳng
Tình huống 6 dùng mặt sàn, tường, địa hình, mặt cắt kỹ thuật, vùng an toàn và thiết kế 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua phương trình mặt phẳng
Tình huống 7 dùng mặt sàn, tường, địa hình, mặt cắt kỹ thuật, vùng an toàn và thiết kế 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua phương trình mặt phẳng
Tình huống 8 dùng mặt sàn, tường, địa hình, mặt cắt kỹ thuật, vùng an toàn và thiết kế 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Vectơ pháp tuyến và phương trình theo cách trực quan?
Pháp tuyến là mũi tên vuông góc với mọi hướng nằm trên mặt phẳng. Phát biểu chính xác: Mặt phẳng qua A(x₀;y₀;z₀), n=(a;b;c)≠0: a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0. Ví dụ: Qua (1;0;0), n=(1;2;3): x+2y+3z−1=0. Mẹo: Điểm khóa d, pháp tuyến khóa a,b,c. Cần tránh: Dùng tọa độ A làm a,b,c.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Nhầm pháp tuyến với tọa độ điểm
Dùng tọa độ A làm a,b,c. Sửa bằng: Điểm khóa d, pháp tuyến khóa a,b,c. Kiểm cuối: Thế A vào phương trình phải được 0.
Sai dấu khi thế điểm
Không kiểm ba điểm thẳng hàng. Sửa bằng: Hai hướng trong mặt → tích có hướng ra pháp tuyến. Kiểm cuối: Pháp tuyến tìm được phải vuông góc cả AB và AC.
Kết luận song song mà không loại trùng
Thấy hệ số x,y,z tỉ lệ là kết luận trùng. Sửa bằng: So pháp tuyến trước, so d sau. Kiểm cuối: Hai mặt không song song thì cắt nhau theo một đường.
Quên trị tuyệt đối trong khoảng cách
Mẫu là a²+b²+c² mà không lấy căn. Sửa bằng: Tử trị tuyệt đối, mẫu độ dài pháp tuyến. Kiểm cuối: Nhân phương trình với số khác 0 không làm khoảng cách đổi.
Dùng vectơ-không làm pháp tuyến
Dùng tọa độ A làm a,b,c. Sửa bằng: Điểm khóa d, pháp tuyến khóa a,b,c. Kiểm cuối: Thế A vào phương trình phải được 0.
Nhầm pháp tuyến với tọa độ điểm – tình huống 6
Không kiểm ba điểm thẳng hàng. Sửa bằng: Hai hướng trong mặt → tích có hướng ra pháp tuyến. Kiểm cuối: Pháp tuyến tìm được phải vuông góc cả AB và AC.
Sai dấu khi thế điểm – tình huống 7
Thấy hệ số x,y,z tỉ lệ là kết luận trùng. Sửa bằng: So pháp tuyến trước, so d sau. Kiểm cuối: Hai mặt không song song thì cắt nhau theo một đường.
Kết luận song song mà không loại trùng – tình huống 8
Mẫu là a²+b²+c² mà không lấy căn. Sửa bằng: Tử trị tuyệt đối, mẫu độ dài pháp tuyến. Kiểm cuối: Nhân phương trình với số khác 0 không làm khoảng cách đổi.
Quên trị tuyệt đối trong khoảng cách – tình huống 9
Dùng tọa độ A làm a,b,c. Sửa bằng: Điểm khóa d, pháp tuyến khóa a,b,c. Kiểm cuối: Thế A vào phương trình phải được 0.
Dùng vectơ-không làm pháp tuyến – tình huống 10
Không kiểm ba điểm thẳng hàng. Sửa bằng: Hai hướng trong mặt → tích có hướng ra pháp tuyến. Kiểm cuối: Pháp tuyến tìm được phải vuông góc cả AB và AC.
Nhầm pháp tuyến với tọa độ điểm – tình huống 11
Thấy hệ số x,y,z tỉ lệ là kết luận trùng. Sửa bằng: So pháp tuyến trước, so d sau. Kiểm cuối: Hai mặt không song song thì cắt nhau theo một đường.
Sai dấu khi thế điểm – tình huống 12
Mẫu là a²+b²+c² mà không lấy căn. Sửa bằng: Tử trị tuyệt đối, mẫu độ dài pháp tuyến. Kiểm cuối: Nhân phương trình với số khác 0 không làm khoảng cách đổi.
Kết luận song song mà không loại trùng – tình huống 13
Dùng tọa độ A làm a,b,c. Sửa bằng: Điểm khóa d, pháp tuyến khóa a,b,c. Kiểm cuối: Thế A vào phương trình phải được 0.
Quên trị tuyệt đối trong khoảng cách – tình huống 14
Không kiểm ba điểm thẳng hàng. Sửa bằng: Hai hướng trong mặt → tích có hướng ra pháp tuyến. Kiểm cuối: Pháp tuyến tìm được phải vuông góc cả AB và AC.
Dùng vectơ-không làm pháp tuyến – tình huống 15
Thấy hệ số x,y,z tỉ lệ là kết luận trùng. Sửa bằng: So pháp tuyến trước, so d sau. Kiểm cuối: Hai mặt không song song thì cắt nhau theo một đường.
Nhầm pháp tuyến với tọa độ điểm – tình huống 16
Mẫu là a²+b²+c² mà không lấy căn. Sửa bằng: Tử trị tuyệt đối, mẫu độ dài pháp tuyến. Kiểm cuối: Nhân phương trình với số khác 0 không làm khoảng cách đổi.
Sai dấu khi thế điểm – tình huống 17
Dùng tọa độ A làm a,b,c. Sửa bằng: Điểm khóa d, pháp tuyến khóa a,b,c. Kiểm cuối: Thế A vào phương trình phải được 0.
Kết luận song song mà không loại trùng – tình huống 18
Không kiểm ba điểm thẳng hàng. Sửa bằng: Hai hướng trong mặt → tích có hướng ra pháp tuyến. Kiểm cuối: Pháp tuyến tìm được phải vuông góc cả AB và AC.
Quên trị tuyệt đối trong khoảng cách – tình huống 19
Thấy hệ số x,y,z tỉ lệ là kết luận trùng. Sửa bằng: So pháp tuyến trước, so d sau. Kiểm cuối: Hai mặt không song song thì cắt nhau theo một đường.
Dùng vectơ-không làm pháp tuyến – tình huống 20
Mẫu là a²+b²+c² mà không lấy căn. Sửa bằng: Tử trị tuyệt đối, mẫu độ dài pháp tuyến. Kiểm cuối: Nhân phương trình với số khác 0 không làm khoảng cách đổi.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chẩn đoán 5 phút
Làm ba câu nền và nói thành lời điều kiện của công cụ trước khi học mới.
Chu trình 5–25–10
5 phút gọi nền, 25 phút học một nút, 10 phút làm lại không nhìn lời giải.
Hai biểu diễn
Kiểm công thức bằng đạo hàm, đồ thị, hình Oxyz, bảng xác suất hoặc đơn vị.
Phản ví dụ bắt buộc
Mỗi định lí đi cùng một trường hợp thiếu điều kiện để tránh học thuộc máy móc.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi lỗi, nguyên nhân và phép tự kiểm; không chép lại toàn bộ lời giải.
Ôn cách quãng 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và qua cổng lại sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Phương trình mặt phẳng1 2 3 4
Vectơ pháp tuyến và phương trìnhMặt phẳng qua A(x₀;y₀;z₀), n=(a;b;c)≠0: a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0. Điểm khóa d, pháp tuyến khóa a,b,c.
Mặt phẳng qua ba điểmVới A,B,C không thẳng hàng, n=AB×AC rồi lập mặt phẳng qua A. Hai hướng trong mặt → tích có hướng ra pháp tuyến.
Vị trí tương đối hai mặt phẳngn₁∥n₂: hai mặt phẳng song song hoặc trùng; n₁·n₂=0: vuông góc. So pháp tuyến trước, so d sau.
Khoảng cách điểm–mặtd(M,(P))=|ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²). Tử trị tuyệt đối, mẫu độ dài pháp tuyến.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
B14-NB-01Từ điểm A(3;4;-1), đi theo vectơ v=(0;-1;5) hai lần. Tìm điểm đến.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính A+2v theo từng tọa độ.
Lời giải: A+2v=(3;2;9).
Vì sao: Đây là cầu nối trực tiếp sang phương trình tham số đường thẳng.
Sai ở đâu: Nhân hệ số 2 cho điểm A thay vì vectơ v.
Cách khác: Thay t=2 vào A+tv.
B14-NB-02Tính tích vô hướng u·v với u=(4;2;-2), v=(2;-2;1).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhân các tọa độ cùng vị trí rồi cộng.
Lời giải: u·v=(4)·(2)+(2)·(-2)+(-2)·(1)=2.
Vì sao: Tích vô hướng tạo một số và là công cụ kiểm vuông góc.
Sai ở đâu: Nhân chéo tọa độ hoặc giữ kết quả là một vectơ.
Cách khác: Viết hai vectơ theo cột rồi nhân từng hàng.
B14-NB-03Tính độ dài của u=(1;3;-1).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy căn tổng bình phương ba tọa độ.
Lời giải: |u|=√((1)²+(3)²+(-1)²)=√11.
Vì sao: Độ dài vectơ luôn không âm.
Sai ở đâu: Cộng tọa độ rồi lấy trị tuyệt đối.
Cách khác: Kiểm bằng u·u=|u|².
B14-NB-04Tính khoảng cách từ M(4;3;6) đến mặt phẳng 2x+3y+3z−13=0.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thế M vào tử, lấy trị tuyệt đối rồi chia độ dài vectơ pháp tuyến.
Lời giải: d(M,(P))=4,6904.
Vì sao: Công thức khoảng cách là độ dài hình chiếu của vectơ nối lên pháp tuyến đơn vị.
Sai ở đâu: Quên trị tuyệt đối hoặc chia cho bình phương độ dài pháp tuyến.
Cách khác: Vì M=A+n trong dữ kiện tạo, khoảng cách bằng |n|.
B14-NB-05Mặt phẳng (Q) song song với (P): 3x+2y+1z+1=0. Dạng vectơ pháp tuyến của (Q) là gì?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai mặt phẳng song song có các vectơ pháp tuyến cùng phương.
Lời giải: (Q) có thể dùng n=(3;2;1).
Vì sao: Hệ số tự do không ảnh hưởng hướng pháp tuyến.
Sai ở đâu: Lấy một điểm trên mặt phẳng làm pháp tuyến.
Cách khác: Đọc ba hệ số của x,y,z.
B14-NB-06Lập mặt phẳng đi qua ba điểm (6;0;0), (0;6;0), (0;0;6).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng dạng đoạn chắn x/a+y/b+z/c=1.
Lời giải: Mặt phẳng có phương trình x+y+z−6=0.
Vì sao: Ba đoạn chắn bằng nhau tạo vectơ pháp tuyến (1;1;1).
Sai ở đâu: Viết x+y+z=1, quên độ dài đoạn chắn.
Cách khác: Thế lần lượt cả ba điểm để kiểm.
B14-NB-07Lập phương trình mặt phẳng qua A(1;-2;3) và có vectơ pháp tuyến n=(2;2;3).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng n·AM=0 hoặc ax+by+cz+d=0 rồi thế A.
Lời giải: Mặt phẳng là 2x+2y+3z−7=0.
Vì sao: Các hệ số của x,y,z chính là tọa độ một vectơ pháp tuyến.
Sai ở đâu: Dùng tọa độ điểm A làm vectơ pháp tuyến.
Cách khác: Thế tọa độ A vào phương trình để kiểm vế trái bằng 0.
B14-NB-08Kiểm tra B(5;-4;4) có thuộc mặt phẳng 3x+3y+1z−7=0 không.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thay tọa độ B vào vế trái.
Lời giải: Giá trị vế trái bằng 0; vì bằng 0 nên B thuộc mặt phẳng.
Vì sao: Điểm thuộc mặt phẳng khi tọa độ làm phương trình đúng.
Sai ở đâu: So sánh từng tọa độ với hệ số của phương trình.
Cách khác: Tính vectơ AB rồi kiểm n·AB=0.
B14-NB-09Tính khoảng cách từ M(4;2;4) đến mặt phẳng 1x+2y+2z−7=0.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thế M vào tử, lấy trị tuyệt đối rồi chia độ dài vectơ pháp tuyến.
Lời giải: d(M,(P))=3.
Vì sao: Công thức khoảng cách là độ dài hình chiếu của vectơ nối lên pháp tuyến đơn vị.
Sai ở đâu: Quên trị tuyệt đối hoặc chia cho bình phương độ dài pháp tuyến.
Cách khác: Vì M=A+n trong dữ kiện tạo, khoảng cách bằng |n|.
B14-NB-10Mặt phẳng (Q) song song với (P): 2x+3y+3z+1=0. Dạng vectơ pháp tuyến của (Q) là gì?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hai mặt phẳng song song có các vectơ pháp tuyến cùng phương.
Lời giải: (Q) có thể dùng n=(2;3;3).
Vì sao: Hệ số tự do không ảnh hưởng hướng pháp tuyến.
Sai ở đâu: Lấy một điểm trên mặt phẳng làm pháp tuyến.
Cách khác: Đọc ba hệ số của x,y,z.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
[B14-NB-01] Từ điểm A(3;4;-1), đi theo vectơ v=(0;-1;5) hai lần. Tìm điểm đến.
BA DẠNG TRẮC NGHIỆM HIỆN HÀNH
Cùng một bản chất, ba cách kiểm tra năng lực
Định dạng ôn tốt nghiệp gồm nhiều lựa chọn, đúng–sai bốn ý và trả lời ngắn; tự luận phía sau dùng để học sâu, không gắn sai nhãn thành cấu trúc đề thi.
Nhiều lựa chọn
50 câu tự chấm ngay phía trên; phương án nhiễu xuất phát từ lỗi điều kiện, dấu, thứ tự hoặc thiếu ứng viên.
Chọn đáp án rồi đọc giải thích và ghi lỗi.Đúng–sai bốn ý
Một cụm mẫu dùng chung bối cảnh “Phương trình mặt phẳng”:
- a) Mặt phẳng qua A(x₀;y₀;z₀), n=(a;b;c)≠0: a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Pháp tuyến là mũi tên vuông góc với mọi hướng nằm trên mặt phẳng. Ví dụ kiểm chứng: Qua (1;0;0), n=(1;2;3): x+2y+3z−1=0.
- b) Với A,B,C không thẳng hàng, n=AB×AC rồi lập mặt phẳng qua A.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Hai vectơ không cùng phương nằm trên mặt phẳng sẽ tạo được một pháp tuyến bằng tích có hướng. Ví dụ kiểm chứng: Ba điểm trên ba trục có thể dùng dạng đoạn chắn.
- c) n₁∥n₂: hai mặt phẳng song song hoặc trùng; n₁·n₂=0: vuông góc.
Đáp án và căn cứ
Đúng. So hướng pháp tuyến trước, rồi mới xét hệ số tự do để phân biệt song song và trùng. Ví dụ kiểm chứng: x+y+z=1 và 2x+2y+2z=3 song song, không trùng.
- d) d(M,(P))=|ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²).
Đáp án và căn cứ
Đúng. Đo độ dài hình chiếu vuông góc từ điểm tới mặt phẳng. Ví dụ kiểm chứng: M thuộc (P) thì khoảng cách bằng 0.
Trả lời ngắn
Tự lập mô hình và điền kết quả, không có phương án gợi ý:
- Từ điểm A(4;4;-2), đi theo vectơ v=(0;-2;4) hai lần. Tìm điểm đến.
Đáp án
(4;0;6)
- Tính tích vô hướng u·v với u=(1;2;-1), v=(2;-1;5).
Đáp án
-5
- Tính độ dài của u=(2;3;-2).
Đáp án
√17
- Lập phương trình mặt phẳng qua A(3;-2;3) và có vectơ pháp tuyến n=(2;2;3).
Đáp án
2x+2y+3z−11=0
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Từ điểm A(3;4;-1), đi theo vectơ v=(0;-1;5) hai lần. Tìm điểm đến.
Gợi ý: Tính A+2v theo từng tọa độ.
Lời giải: A+2v=(3;2;9).
Giải thích: Đây là cầu nối trực tiếp sang phương trình tham số đường thẳng.
Lỗi cần tránh: Nhân hệ số 2 cho điểm A thay vì vectơ v.
Cách khác: Thay t=2 vào A+tv.
TỰ LUẬN 2Lập mặt phẳng đi qua ba điểm (6;0;0), (0;6;0), (0;0;6).
Gợi ý: Dùng dạng đoạn chắn x/a+y/b+z/c=1.
Lời giải: Mặt phẳng có phương trình x+y+z−6=0.
Giải thích: Ba đoạn chắn bằng nhau tạo vectơ pháp tuyến (1;1;1).
Lỗi cần tránh: Viết x+y+z=1, quên độ dài đoạn chắn.
Cách khác: Thế lần lượt cả ba điểm để kiểm.
TỰ LUẬN 3Lập mặt phẳng đi qua ba điểm (6;0;0), (0;6;0), (0;0;6).
Gợi ý: Dùng dạng đoạn chắn x/a+y/b+z/c=1.
Lời giải: Mặt phẳng có phương trình x+y+z−6=0.
Giải thích: Ba đoạn chắn bằng nhau tạo vectơ pháp tuyến (1;1;1).
Lỗi cần tránh: Viết x+y+z=1, quên độ dài đoạn chắn.
Cách khác: Thế lần lượt cả ba điểm để kiểm.
TỰ LUẬN 4Lập mặt phẳng đi qua ba điểm (6;0;0), (0;6;0), (0;0;6).
Gợi ý: Dùng dạng đoạn chắn x/a+y/b+z/c=1.
Lời giải: Mặt phẳng có phương trình x+y+z−6=0.
Giải thích: Ba đoạn chắn bằng nhau tạo vectơ pháp tuyến (1;1;1).
Lỗi cần tránh: Viết x+y+z=1, quên độ dài đoạn chắn.
Cách khác: Thế lần lượt cả ba điểm để kiểm.
TỰ LUẬN 5Từ điểm A(2;4;-2), đi theo vectơ v=(0;-2;3) hai lần. Tìm điểm đến.
Gợi ý: Tính A+2v theo từng tọa độ.
Lời giải: A+2v=(2;0;4).
Giải thích: Đây là cầu nối trực tiếp sang phương trình tham số đường thẳng.
Lỗi cần tránh: Nhân hệ số 2 cho điểm A thay vì vectơ v.
Cách khác: Thay t=2 vào A+tv.
TỰ LUẬN 6Lập phương trình mặt phẳng qua A(3;-2;2) và có vectơ pháp tuyến n=(1;2;2).
Gợi ý: Dùng n·AM=0 hoặc ax+by+cz+d=0 rồi thế A.
Lời giải: Mặt phẳng là 1x+2y+2z−3=0.
Giải thích: Các hệ số của x,y,z chính là tọa độ một vectơ pháp tuyến.
Lỗi cần tránh: Dùng tọa độ điểm A làm vectơ pháp tuyến.
Cách khác: Thế tọa độ A vào phương trình để kiểm vế trái bằng 0.
TỰ LUẬN 7Lập phương trình mặt phẳng qua A(4;-2;4) và có vectơ pháp tuyến n=(3;3;1).
Gợi ý: Dùng n·AM=0 hoặc ax+by+cz+d=0 rồi thế A.
Lời giải: Mặt phẳng là 3x+3y+1z−10=0.
Giải thích: Các hệ số của x,y,z chính là tọa độ một vectơ pháp tuyến.
Lỗi cần tránh: Dùng tọa độ điểm A làm vectơ pháp tuyến.
Cách khác: Thế tọa độ A vào phương trình để kiểm vế trái bằng 0.
TỰ LUẬN 8Lập phương trình mặt phẳng qua A(1;-2;3) và có vectơ pháp tuyến n=(2;2;3).
Gợi ý: Dùng n·AM=0 hoặc ax+by+cz+d=0 rồi thế A.
Lời giải: Mặt phẳng là 2x+2y+3z−7=0.
Giải thích: Các hệ số của x,y,z chính là tọa độ một vectơ pháp tuyến.
Lỗi cần tránh: Dùng tọa độ điểm A làm vectơ pháp tuyến.
Cách khác: Thế tọa độ A vào phương trình để kiểm vế trái bằng 0.
TỰ LUẬN 9Từ điểm A(1;4;-1), đi theo vectơ v=(0;-1;1) hai lần. Tìm điểm đến.
Gợi ý: Tính A+2v theo từng tọa độ.
Lời giải: A+2v=(1;2;1).
Giải thích: Đây là cầu nối trực tiếp sang phương trình tham số đường thẳng.
Lỗi cần tránh: Nhân hệ số 2 cho điểm A thay vì vectơ v.
Cách khác: Thay t=2 vào A+tv.
TỰ LUẬN 10Kiểm tra B(5;-2;2) có thuộc mặt phẳng 1x+3y+2z−3=0 không.
Gợi ý: Thay tọa độ B vào vế trái.
Lời giải: Giá trị vế trái bằng 0; vì bằng 0 nên B thuộc mặt phẳng.
Giải thích: Điểm thuộc mặt phẳng khi tọa độ làm phương trình đúng.
Lỗi cần tránh: So sánh từng tọa độ với hệ số của phương trình.
Cách khác: Tính vectơ AB rồi kiểm n·AB=0.
TỰ LUẬN 11Kiểm tra B(5;-4;4) có thuộc mặt phẳng 3x+2y+1z−11=0 không.
Gợi ý: Thay tọa độ B vào vế trái.
Lời giải: Giá trị vế trái bằng 0; vì bằng 0 nên B thuộc mặt phẳng.
Giải thích: Điểm thuộc mặt phẳng khi tọa độ làm phương trình đúng.
Lỗi cần tránh: So sánh từng tọa độ với hệ số của phương trình.
Cách khác: Tính vectơ AB rồi kiểm n·AB=0.
TỰ LUẬN 12Kiểm tra B(7;-3;3) có thuộc mặt phẳng 2x+3y+3z−14=0 không.
Gợi ý: Thay tọa độ B vào vế trái.
Lời giải: Giá trị vế trái bằng 0; vì bằng 0 nên B thuộc mặt phẳng.
Giải thích: Điểm thuộc mặt phẳng khi tọa độ làm phương trình đúng.
Lỗi cần tránh: So sánh từng tọa độ với hệ số của phương trình.
Cách khác: Tính vectơ AB rồi kiểm n·AB=0.
TỰ LUẬN 13Từ điểm A(4;4;-2), đi theo vectơ v=(0;-2;4) hai lần. Tìm điểm đến.
Gợi ý: Tính A+2v theo từng tọa độ.
Lời giải: A+2v=(4;0;6).
Giải thích: Đây là cầu nối trực tiếp sang phương trình tham số đường thẳng.
Lỗi cần tránh: Nhân hệ số 2 cho điểm A thay vì vectơ v.
Cách khác: Thay t=2 vào A+tv.
TỰ LUẬN 14Tính khoảng cách từ M(2;2;4) đến mặt phẳng 1x+2y+2z−5=0.
Gợi ý: Thế M vào tử, lấy trị tuyệt đối rồi chia độ dài vectơ pháp tuyến.
Lời giải: d(M,(P))=3.
Giải thích: Công thức khoảng cách là độ dài hình chiếu của vectơ nối lên pháp tuyến đơn vị.
Lỗi cần tránh: Quên trị tuyệt đối hoặc chia cho bình phương độ dài pháp tuyến.
Cách khác: Vì M=A+n trong dữ kiện tạo, khoảng cách bằng |n|.
TỰ LUẬN 15Tính khoảng cách từ M(5;3;5) đến mặt phẳng 3x+3y+1z−10=0.
Gợi ý: Thế M vào tử, lấy trị tuyệt đối rồi chia độ dài vectơ pháp tuyến.
Lời giải: d(M,(P))=4,3589.
Giải thích: Công thức khoảng cách là độ dài hình chiếu của vectơ nối lên pháp tuyến đơn vị.
Lỗi cần tránh: Quên trị tuyệt đối hoặc chia cho bình phương độ dài pháp tuyến.
Cách khác: Vì M=A+n trong dữ kiện tạo, khoảng cách bằng |n|.
TỰ LUẬN 16Tính khoảng cách từ M(5;2;6) đến mặt phẳng 2x+2y+3z−15=0.
Gợi ý: Thế M vào tử, lấy trị tuyệt đối rồi chia độ dài vectơ pháp tuyến.
Lời giải: d(M,(P))=4,1231.
Giải thích: Công thức khoảng cách là độ dài hình chiếu của vectơ nối lên pháp tuyến đơn vị.
Lỗi cần tránh: Quên trị tuyệt đối hoặc chia cho bình phương độ dài pháp tuyến.
Cách khác: Vì M=A+n trong dữ kiện tạo, khoảng cách bằng |n|.
TỰ LUẬN 17Từ điểm A(3;4;-1), đi theo vectơ v=(0;-1;2) hai lần. Tìm điểm đến.
Gợi ý: Tính A+2v theo từng tọa độ.
Lời giải: A+2v=(3;2;3).
Giải thích: Đây là cầu nối trực tiếp sang phương trình tham số đường thẳng.
Lỗi cần tránh: Nhân hệ số 2 cho điểm A thay vì vectơ v.
Cách khác: Thay t=2 vào A+tv.
TỰ LUẬN 18Mặt phẳng (Q) song song với (P): 1x+3y+2z+1=0. Dạng vectơ pháp tuyến của (Q) là gì?
Gợi ý: Hai mặt phẳng song song có các vectơ pháp tuyến cùng phương.
Lời giải: (Q) có thể dùng n=(1;3;2).
Giải thích: Hệ số tự do không ảnh hưởng hướng pháp tuyến.
Lỗi cần tránh: Lấy một điểm trên mặt phẳng làm pháp tuyến.
Cách khác: Đọc ba hệ số của x,y,z.
TỰ LUẬN 19Mặt phẳng (Q) song song với (P): 3x+2y+1z+1=0. Dạng vectơ pháp tuyến của (Q) là gì?
Gợi ý: Hai mặt phẳng song song có các vectơ pháp tuyến cùng phương.
Lời giải: (Q) có thể dùng n=(3;2;1).
Giải thích: Hệ số tự do không ảnh hưởng hướng pháp tuyến.
Lỗi cần tránh: Lấy một điểm trên mặt phẳng làm pháp tuyến.
Cách khác: Đọc ba hệ số của x,y,z.
TỰ LUẬN 20Mặt phẳng (Q) song song với (P): 2x+3y+3z+1=0. Dạng vectơ pháp tuyến của (Q) là gì?
Gợi ý: Hai mặt phẳng song song có các vectơ pháp tuyến cùng phương.
Lời giải: (Q) có thể dùng n=(2;3;3).
Giải thích: Hệ số tự do không ảnh hưởng hướng pháp tuyến.
Lỗi cần tránh: Lấy một điểm trên mặt phẳng làm pháp tuyến.
Cách khác: Đọc ba hệ số của x,y,z.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B14-NB-01, B14-NB-02, B14-NB-03, B14-NB-04, B14-NB-05, B14-NB-06, B14-NB-07, B14-NB-08, B14-NB-09, B14-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B14-NB-01: (3;2;9)
- B14-NB-02: 2
- B14-NB-03: √11
- B14-NB-04: 4,6904
- B14-NB-05: (3;2;1)
- B14-NB-06: x+y+z−6=0
- B14-NB-07: 2x+2y+3z−7=0
- B14-NB-08: Có
- B14-NB-09: 3
- B14-NB-10: (2;3;3)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 5
10 câu đại diện: B14-NB-11, B14-NB-12, B14-NB-13, B14-NB-14, B14-NB-15, B14-NB-16, B14-NB-17, B14-NB-18, B14-NB-19, B14-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B14-NB-11: x+y+z−6=0
- B14-NB-12: 1x+3y+2z+0=0
- B14-NB-13: Có
- B14-NB-14: 4,3589
- B14-NB-15: (1;2;2)
- B14-NB-16: x+y+z−6=0
- B14-NB-17: 3x+2y+1z−9=0
- B14-NB-18: Có
- B14-NB-19: 4,1231
- B14-NB-20: (3;3;1)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B14-TH-01, B14-TH-02, B14-TH-03, B14-TH-04, B14-TH-05, B14-TH-06, B14-TH-07, B14-TH-08, B14-TH-09, B14-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B14-TH-01: (2;0;4)
- B14-TH-02: 0
- B14-TH-03: √29
- B14-TH-04: (2;2;3)
- B14-TH-05: x+y+z−6=0
- B14-TH-06: 1x+2y+2z−3=0
- B14-TH-07: Có
- B14-TH-08: 3,7417
- B14-TH-09: (1;3;2)
- B14-TH-10: x+y+z−6=0
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B14-TH-11, B14-TH-12, B14-TH-13, B14-TH-14, B14-TH-15, B14-TH-16, B14-TH-17, B14-TH-18, B14-TH-19, B14-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B14-TH-11: 3x+3y+1z−10=0
- B14-TH-12: Có
- B14-TH-13: 4,6904
- B14-TH-14: (3;2;1)
- B14-TH-15: x+y+z−6=0
- B14-TH-16: 2x+2y+3z−7=0
- B14-TH-17: Có
- B14-TH-18: 3
- B14-TH-19: (2;3;3)
- B14-TH-20: x+y+z−6=0
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề ôn tốt nghiệp tổng hợp
10 câu đại diện: B14-VD-01, B14-VD-02, B14-VD-03, B14-VD-04, B14-VD-05, B14-VD-06, B14-VD-07, B14-VD-08, B14-VD-09, B14-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B14-VD-01: (1;2;1)
- B14-VD-02: -4
- B14-VD-03: √19
- B14-VD-04: x+y+z−6=0
- B14-VD-05: 3x+2y+1z−3=0
- B14-VD-06: Có
- B14-VD-07: 4,1231
- B14-VD-08: (3;3;1)
- B14-VD-09: x+y+z−6=0
- B14-VD-10: 2x+3y+3z−7=0
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi phiên 40–55 phút; yêu cầu con nói điều kiện, dự đoán dấu hoặc miền giá trị trước khi tính.
- Không hỏi đáp số trước; hỏi vì sao chọn công cụ và kiểm kết quả bằng cách nào.
- Theo dõi ba lỗi lặp gần nhất, không gây áp lực bằng số câu đã làm.
- Mỗi tuần có một phiên 90 phút mô phỏng và một phiên chữa sâu theo sổ lỗi.
- Mở bài bằng một bối cảnh hoặc phản ví dụ có thể kiểm chứng.
- Chấm theo năm mốc: mô hình–điều kiện–công thức–tính toán–diễn giải.
- Trộn đúng 15% nền trực tiếp; không lấy câu cũ ngẫu nhiên chỉ để đủ tỉ lệ.
- Đề định hướng Hà Nội phải ghi là nội bộ tham khảo và có đủ ba dạng trắc nghiệm hiện hành.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.