Biến dữ kiện thành quyết định
Bài học giúp mô hình hóa quỹ đạo bay, tia sáng, robot, đường ống, tuyến cáp và chuyển động 3D bằng công cụ có thể kiểm chứng.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian
Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng, tìm vectơ chỉ phương, kiểm điểm thuộc đường và xét các quan hệ cơ bản bằng hệ phương trình cùng một tham số.
Cùng một tham số cho cả ba tọa độ; vectơ chỉ phương phải khác vectơ-không
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Biết đọc dữ kiện, nêu điều kiện, thực hiện và giải thích kết quả.
Gọi đúng nền
Kích hoạt bài 14, vectơ chỉ phương, phương trình tham số và hệ phương trình rồi chuẩn bị cho Bài 16. Công thức tính góc trong không gian.
Ba dạng, một bản chất
Luyện nhiều lựa chọn, đúng–sai và trả lời ngắn trên cùng một mạch suy luận.
- Lập phương trình đường thẳng từ một điểm và vectơ chỉ phương.
- Lập đường thẳng qua hai điểm.
- Kiểm tra điểm thuộc đường bằng một tham số thống nhất.
- Xét quan hệ đường–đường và đường–mặt ở mức chương trình.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Bài 14, vectơ chỉ phương, phương trình tham số và hệ phương trình.
- Viết miền xác định, đối tượng, phân hoạch hoặc đơn vị trước phép tính.
- Dự đoán dấu, độ lớn, vị trí hoặc miền giá trị của kết quả.
- Kiểm bằng đạo hàm, phép thế, hình học, bảng tần số hoặc công thức thứ hai.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Phương trình tham số
Hiểu đơn giản: Bắt đầu tại A rồi đi t lần theo hướng u.
d: x=x₀+at, y=y₀+bt, z=z₀+ct với u=(a;b;c)≠0.
Ví dụ: Qua (1;2;3), u=(2;−1;1).
Hình nên dùng: Điểm chạy trên đường theo thanh t.
Mô phỏng: Kéo t âm và dương.
Mẹo nhớ: Điểm + t lần hướng.
Sai lầm: Dùng ba tham số khác nhau.
Ghi chú: t=0 phải cho đúng điểm gốc A.
Dạng chính tắc
Hiểu đơn giản: Khi ba thành phần chỉ phương đều khác 0, ba tỉ số cùng bằng một tham số.
(x−x₀)/a=(y−y₀)/b=(z−z₀)/c, với abc≠0.
Ví dụ: Nếu một thành phần bằng 0 thì tọa độ tương ứng là hằng.
Hình nên dùng: Ba tỉ số nối bằng nhau.
Mô phỏng: Cho một thành phần tiến về 0.
Mẹo nhớ: Mẫu 0 thì chuyển sang tọa độ hằng.
Sai lầm: Viết phép chia cho 0.
Ghi chú: Dạng tham số luôn dùng được khi u≠0.
Đường qua hai điểm và điểm thuộc đường
Hiểu đơn giản: Hướng từ A đến B là B−A; điểm thuộc đường phải cho cùng một t.
u=AB; M∈d ⇔ tồn tại t sao cho M=A+tu.
Ví dụ: A+2AB luôn nằm trên đường AB.
Hình nên dùng: Ba phương trình cùng một thanh t.
Mô phỏng: Nhập tọa độ M và giải t.
Mẹo nhớ: Một t cho ba dòng.
Sai lầm: Mỗi dòng giải ra một t khác mà vẫn kết luận thuộc.
Ghi chú: Thế ngược t vào cả ba phương trình.
Vị trí tương đối
Hiểu đơn giản: So hướng trước, giải giao điểm sau.
u₁∥u₂: song song hoặc trùng; không cùng phương thì giải A₁+t u₁=A₂+s u₂ để xét cắt hay chéo.
Ví dụ: Hai đường không song song trong không gian vẫn có thể chéo nhau.
Hình nên dùng: Bốn trạng thái cắt–song song–trùng–chéo.
Mô phỏng: Kéo một đường ra khỏi mặt phẳng chung.
Mẹo nhớ: Không song song chưa chắc cắt.
Sai lầm: Dùng trực giác hình vẽ để kết luận giao.
Ghi chú: Hệ ba phương trình hai ẩn t,s phải nhất quán.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB TỌA ĐỘ OXYZ
Thế điểm, đọc pháp tuyến và tính khoảng cách
Nhập M(x,y,z) và mặt phẳng ax+by+cz+d=0, mỗi bộ cách nhau bằng dấu phẩy. Công cụ cho biết vị trí của M và khoảng cách vuông góc.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B15-NB-04
Đề bài: Đường d có vectơ chỉ phương u=(1;2;2). Mặt phẳng có pháp tuyến n=(2;-1;0). d song song với mặt phẳng không?
Phân tích: Đường song song hoặc nằm trong mặt phẳng khi u·n=0.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Đường song song hoặc nằm trong mặt phẳng khi u·n=0.
- Bước 2: u·n=0=0 nên hướng của d song song với mặt phẳng.
- Bước 3: Kết luận Hướng song song.
Vì sao: Tích vô hướng bằng 0 chỉ kết luận về hướng; muốn phân biệt song song và nằm trong còn phải xét một điểm.
Cách khác: Thế thêm một điểm của d vào phương trình mặt phẳng nếu cần phân loại đầy đủ.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Từ u·n=0 kết luận d không có điểm chung.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B15-NB-14
Đề bài: Đường d có vectơ chỉ phương u=(2;0;2). Mặt phẳng có pháp tuyến n=(0;-2;0). d song song với mặt phẳng không?
Phân tích: Đường song song hoặc nằm trong mặt phẳng khi u·n=0.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Đường song song hoặc nằm trong mặt phẳng khi u·n=0.
- Bước 2: u·n=0=0 nên hướng của d song song với mặt phẳng.
- Bước 3: Kết luận Hướng song song.
Vì sao: Tích vô hướng bằng 0 chỉ kết luận về hướng; muốn phân biệt song song và nằm trong còn phải xét một điểm.
Cách khác: Thế thêm một điểm của d vào phương trình mặt phẳng nếu cần phân loại đầy đủ.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Từ u·n=0 kết luận d không có điểm chung.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B15-TH-04
Đề bài: Một thiết bị chuyển động theo r(t)=(4;-1;6)+t(1;-1;1). Tìm vị trí tại t=-1.
Phân tích: Thay cùng một t vào cả ba tọa độ.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Thay cùng một t vào cả ba tọa độ.
- Bước 2: r(-1)=(3;0;5).
- Bước 3: Kết luận (3;0;5).
Vì sao: Phương trình tham số mô tả vị trí theo thời gian hoặc theo một tham số hình học.
Cách khác: Tính origin+t·direction theo vectơ.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Chỉ thay t vào một tọa độ.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B15-TH-14
Đề bài: Một thiết bị chuyển động theo r(t)=(2;-2;6)+t(2;1;1). Tìm vị trí tại t=-2.
Phân tích: Thay cùng một t vào cả ba tọa độ.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Thay cùng một t vào cả ba tọa độ.
- Bước 2: r(-2)=(-2;-4;4).
- Bước 3: Kết luận (-2;-4;4).
Vì sao: Phương trình tham số mô tả vị trí theo thời gian hoặc theo một tham số hình học.
Cách khác: Tính origin+t·direction theo vectơ.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Chỉ thay t vào một tọa độ.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B15-VD-04
Đề bài: Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A(3;-1;2) và có vectơ chỉ phương u=(1;0;2).
Phân tích: Dùng (x;y;z)=A+tu.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Dùng (x;y;z)=A+tu.
- Bước 2: x=3+1t; y=-1+0t; z=2+2t.
- Bước 3: Kết luận (x;y;z)=(3;-1;2)+t(1;0;2).
Vì sao: Một điểm và một vectơ chỉ phương khác 0 xác định một đường thẳng.
Cách khác: Thay t=0 phải thu được điểm A.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Dùng vectơ pháp tuyến như với mặt phẳng.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B15-VD-14
Đề bài: Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A(1;-2;2) và có vectơ chỉ phương u=(2;2;2).
Phân tích: Dùng (x;y;z)=A+tu.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Dùng (x;y;z)=A+tu.
- Bước 2: x=1+2t; y=-2+2t; z=2+2t.
- Bước 3: Kết luận (x;y;z)=(1;-2;2)+t(2;2;2).
Vì sao: Một điểm và một vectơ chỉ phương khác 0 xác định một đường thẳng.
Cách khác: Thay t=0 phải thu được điểm A.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Dùng vectơ pháp tuyến như với mặt phẳng.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B15-VDC-04
Đề bài: Đường d: (x;y;z)=(2;-1;3)+t(1;1;1). Kiểm tra M(5;2;6) có thuộc d không.
Phân tích: Giải cùng một tham số t từ ba tọa độ.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Giải cùng một tham số t từ ba tọa độ.
- Bước 2: Cả ba tọa độ đều cho t=3, nên M thuộc d.
- Bước 3: Kết luận Có.
Vì sao: Một điểm thuộc đường khi tồn tại duy nhất một giá trị t thỏa đồng thời ba phương trình.
Cách khác: Thế t đã tìm vào cả ba tọa độ.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Mỗi tọa độ dùng một tham số khác nhau.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • B15-VDC-14
Đề bài: Đường d: (x;y;z)=(4;-2;3)+t(2;-1;1). Kiểm tra M(14;-7;8) có thuộc d không.
Phân tích: Giải cùng một tham số t từ ba tọa độ.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Giải cùng một tham số t từ ba tọa độ.
- Bước 2: Cả ba tọa độ đều cho t=5, nên M thuộc d.
- Bước 3: Kết luận Có.
Vì sao: Một điểm thuộc đường khi tồn tại duy nhất một giá trị t thỏa đồng thời ba phương trình.
Cách khác: Thế t đã tìm vào cả ba tọa độ.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Mỗi tọa độ dùng một tham số khác nhau.
09 • Thực tếVí dụ 9 • B15-TT-04
Đề bài: Viết một vectơ chỉ phương của đường thẳng qua A(1;-1;4) và B(3;3;8).
Phân tích: Lấy AB=B−A.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Lấy AB=B−A.
- Bước 2: AB=(2;4;4), cùng phương với (1;2;2).
- Bước 3: Kết luận (1;2;2).
Vì sao: Mọi bội khác 0 của một vectơ chỉ phương vẫn là vectơ chỉ phương.
Cách khác: Có thể dùng BA, hướng ngược nhưng cùng phương.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy A+B hoặc đổi thứ tự từng tọa độ không nhất quán.
10 • Thực tếVí dụ 10 • B15-TT-14
Đề bài: Viết một vectơ chỉ phương của đường thẳng qua A(3;-2;4) và B(7;-2;8).
Phân tích: Lấy AB=B−A.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Lấy AB=B−A.
- Bước 2: AB=(4;0;4), cùng phương với (2;0;2).
- Bước 3: Kết luận (2;0;2).
Vì sao: Mọi bội khác 0 của một vectơ chỉ phương vẫn là vectơ chỉ phương.
Cách khác: Có thể dùng BA, hướng ngược nhưng cùng phương.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy A+B hoặc đổi thứ tự từng tọa độ không nhất quán.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua phương trình đường thẳng trong không gian
Tình huống 1 dùng quỹ đạo bay, tia sáng, robot, đường ống, tuyến cáp và chuyển động 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Trường học qua phương trình đường thẳng trong không gian
Tình huống 2 dùng quỹ đạo bay, tia sáng, robot, đường ống, tuyến cáp và chuyển động 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua phương trình đường thẳng trong không gian
Tình huống 3 dùng quỹ đạo bay, tia sáng, robot, đường ống, tuyến cáp và chuyển động 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua phương trình đường thẳng trong không gian
Tình huống 4 dùng quỹ đạo bay, tia sáng, robot, đường ống, tuyến cáp và chuyển động 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua phương trình đường thẳng trong không gian
Tình huống 5 dùng quỹ đạo bay, tia sáng, robot, đường ống, tuyến cáp và chuyển động 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua phương trình đường thẳng trong không gian
Tình huống 6 dùng quỹ đạo bay, tia sáng, robot, đường ống, tuyến cáp và chuyển động 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua phương trình đường thẳng trong không gian
Tình huống 7 dùng quỹ đạo bay, tia sáng, robot, đường ống, tuyến cáp và chuyển động 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua phương trình đường thẳng trong không gian
Tình huống 8 dùng quỹ đạo bay, tia sáng, robot, đường ống, tuyến cáp và chuyển động 3D; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Phương trình tham số theo cách trực quan?
Bắt đầu tại A rồi đi t lần theo hướng u. Phát biểu chính xác: d: x=x₀+at, y=y₀+bt, z=z₀+ct với u=(a;b;c)≠0. Ví dụ: Qua (1;2;3), u=(2;−1;1). Mẹo: Điểm + t lần hướng. Cần tránh: Dùng ba tham số khác nhau.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Mỗi tọa độ dùng một tham số khác nhau
Dùng ba tham số khác nhau. Sửa bằng: Điểm + t lần hướng. Kiểm cuối: t=0 phải cho đúng điểm gốc A.
Lấy A+B thay AB
Viết phép chia cho 0. Sửa bằng: Mẫu 0 thì chuyển sang tọa độ hằng. Kiểm cuối: Dạng tham số luôn dùng được khi u≠0.
Dùng vectơ-không làm chỉ phương
Mỗi dòng giải ra một t khác mà vẫn kết luận thuộc. Sửa bằng: Một t cho ba dòng. Kiểm cuối: Thế ngược t vào cả ba phương trình.
Nhầm chỉ phương với pháp tuyến
Dùng trực giác hình vẽ để kết luận giao. Sửa bằng: Không song song chưa chắc cắt. Kiểm cuối: Hệ ba phương trình hai ẩn t,s phải nhất quán.
Chỉ so vectơ mà không kiểm giao điểm
Dùng ba tham số khác nhau. Sửa bằng: Điểm + t lần hướng. Kiểm cuối: t=0 phải cho đúng điểm gốc A.
Mỗi tọa độ dùng một tham số khác nhau – tình huống 6
Viết phép chia cho 0. Sửa bằng: Mẫu 0 thì chuyển sang tọa độ hằng. Kiểm cuối: Dạng tham số luôn dùng được khi u≠0.
Lấy A+B thay AB – tình huống 7
Mỗi dòng giải ra một t khác mà vẫn kết luận thuộc. Sửa bằng: Một t cho ba dòng. Kiểm cuối: Thế ngược t vào cả ba phương trình.
Dùng vectơ-không làm chỉ phương – tình huống 8
Dùng trực giác hình vẽ để kết luận giao. Sửa bằng: Không song song chưa chắc cắt. Kiểm cuối: Hệ ba phương trình hai ẩn t,s phải nhất quán.
Nhầm chỉ phương với pháp tuyến – tình huống 9
Dùng ba tham số khác nhau. Sửa bằng: Điểm + t lần hướng. Kiểm cuối: t=0 phải cho đúng điểm gốc A.
Chỉ so vectơ mà không kiểm giao điểm – tình huống 10
Viết phép chia cho 0. Sửa bằng: Mẫu 0 thì chuyển sang tọa độ hằng. Kiểm cuối: Dạng tham số luôn dùng được khi u≠0.
Mỗi tọa độ dùng một tham số khác nhau – tình huống 11
Mỗi dòng giải ra một t khác mà vẫn kết luận thuộc. Sửa bằng: Một t cho ba dòng. Kiểm cuối: Thế ngược t vào cả ba phương trình.
Lấy A+B thay AB – tình huống 12
Dùng trực giác hình vẽ để kết luận giao. Sửa bằng: Không song song chưa chắc cắt. Kiểm cuối: Hệ ba phương trình hai ẩn t,s phải nhất quán.
Dùng vectơ-không làm chỉ phương – tình huống 13
Dùng ba tham số khác nhau. Sửa bằng: Điểm + t lần hướng. Kiểm cuối: t=0 phải cho đúng điểm gốc A.
Nhầm chỉ phương với pháp tuyến – tình huống 14
Viết phép chia cho 0. Sửa bằng: Mẫu 0 thì chuyển sang tọa độ hằng. Kiểm cuối: Dạng tham số luôn dùng được khi u≠0.
Chỉ so vectơ mà không kiểm giao điểm – tình huống 15
Mỗi dòng giải ra một t khác mà vẫn kết luận thuộc. Sửa bằng: Một t cho ba dòng. Kiểm cuối: Thế ngược t vào cả ba phương trình.
Mỗi tọa độ dùng một tham số khác nhau – tình huống 16
Dùng trực giác hình vẽ để kết luận giao. Sửa bằng: Không song song chưa chắc cắt. Kiểm cuối: Hệ ba phương trình hai ẩn t,s phải nhất quán.
Lấy A+B thay AB – tình huống 17
Dùng ba tham số khác nhau. Sửa bằng: Điểm + t lần hướng. Kiểm cuối: t=0 phải cho đúng điểm gốc A.
Dùng vectơ-không làm chỉ phương – tình huống 18
Viết phép chia cho 0. Sửa bằng: Mẫu 0 thì chuyển sang tọa độ hằng. Kiểm cuối: Dạng tham số luôn dùng được khi u≠0.
Nhầm chỉ phương với pháp tuyến – tình huống 19
Mỗi dòng giải ra một t khác mà vẫn kết luận thuộc. Sửa bằng: Một t cho ba dòng. Kiểm cuối: Thế ngược t vào cả ba phương trình.
Chỉ so vectơ mà không kiểm giao điểm – tình huống 20
Dùng trực giác hình vẽ để kết luận giao. Sửa bằng: Không song song chưa chắc cắt. Kiểm cuối: Hệ ba phương trình hai ẩn t,s phải nhất quán.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chẩn đoán 5 phút
Làm ba câu nền và nói thành lời điều kiện của công cụ trước khi học mới.
Chu trình 5–25–10
5 phút gọi nền, 25 phút học một nút, 10 phút làm lại không nhìn lời giải.
Hai biểu diễn
Kiểm công thức bằng đạo hàm, đồ thị, hình Oxyz, bảng xác suất hoặc đơn vị.
Phản ví dụ bắt buộc
Mỗi định lí đi cùng một trường hợp thiếu điều kiện để tránh học thuộc máy móc.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi lỗi, nguyên nhân và phép tự kiểm; không chép lại toàn bộ lời giải.
Ôn cách quãng 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và qua cổng lại sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Phương trình đường thẳng trong không gian1 2 3 4
Phương trình tham sốd: x=x₀+at, y=y₀+bt, z=z₀+ct với u=(a;b;c)≠0. Điểm + t lần hướng.
Dạng chính tắc(x−x₀)/a=(y−y₀)/b=(z−z₀)/c, với abc≠0. Mẫu 0 thì chuyển sang tọa độ hằng.
Đường qua hai điểm và điểm thuộc đườngu=AB; M∈d ⇔ tồn tại t sao cho M=A+tu. Một t cho ba dòng.
Vị trí tương đốiu₁∥u₂: song song hoặc trùng; không cùng phương thì giải A₁+t u₁=A₂+s u₂ để xét cắt hay chéo. Không song song chưa chắc cắt.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
B15-NB-01Tính tích vô hướng u·v với u=(4;2;-2), v=(2;-2;1).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhân các tọa độ cùng vị trí rồi cộng.
Lời giải: u·v=(4)·(2)+(2)·(-2)+(-2)·(1)=2.
Vì sao: Tích vô hướng tạo một số và là công cụ kiểm vuông góc.
Sai ở đâu: Nhân chéo tọa độ hoặc giữ kết quả là một vectơ.
Cách khác: Viết hai vectơ theo cột rồi nhân từng hàng.
B15-NB-02Tính độ dài của u=(1;3;-1).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy căn tổng bình phương ba tọa độ.
Lời giải: |u|=√((1)²+(3)²+(-1)²)=√11.
Vì sao: Độ dài vectơ luôn không âm.
Sai ở đâu: Cộng tọa độ rồi lấy trị tuyệt đối.
Cách khác: Kiểm bằng u·u=|u|².
B15-NB-03Từ điểm A(2;4;-2), đi theo vectơ v=(0;-2;3) hai lần. Tìm điểm đến.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính A+2v theo từng tọa độ.
Lời giải: A+2v=(2;0;4).
Vì sao: Đây là cầu nối trực tiếp sang phương trình tham số đường thẳng.
Sai ở đâu: Nhân hệ số 2 cho điểm A thay vì vectơ v.
Cách khác: Thay t=2 vào A+tv.
B15-NB-04Đường d có vectơ chỉ phương u=(1;2;2). Mặt phẳng có pháp tuyến n=(2;-1;0). d song song với mặt phẳng không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đường song song hoặc nằm trong mặt phẳng khi u·n=0.
Lời giải: u·n=0=0 nên hướng của d song song với mặt phẳng.
Vì sao: Tích vô hướng bằng 0 chỉ kết luận về hướng; muốn phân biệt song song và nằm trong còn phải xét một điểm.
Sai ở đâu: Từ u·n=0 kết luận d không có điểm chung.
Cách khác: Thế thêm một điểm của d vào phương trình mặt phẳng nếu cần phân loại đầy đủ.
B15-NB-05Một thiết bị chuyển động theo r(t)=(2;-2;6)+t(2;1;1). Tìm vị trí tại t=-2.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thay cùng một t vào cả ba tọa độ.
Lời giải: r(-2)=(-2;-4;4).
Vì sao: Phương trình tham số mô tả vị trí theo thời gian hoặc theo một tham số hình học.
Sai ở đâu: Chỉ thay t vào một tọa độ.
Cách khác: Tính origin+t·direction theo vectơ.
B15-NB-06Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A(3;-3;2) và có vectơ chỉ phương u=(3;0;2).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng (x;y;z)=A+tu.
Lời giải: x=3+3t; y=-3+0t; z=2+2t.
Vì sao: Một điểm và một vectơ chỉ phương khác 0 xác định một đường thẳng.
Sai ở đâu: Dùng vectơ pháp tuyến như với mặt phẳng.
Cách khác: Thay t=0 phải thu được điểm A.
B15-NB-07Đường d: (x;y;z)=(4;-1;3)+t(1;-1;1). Kiểm tra M(9;-6;8) có thuộc d không.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Giải cùng một tham số t từ ba tọa độ.
Lời giải: Cả ba tọa độ đều cho t=5, nên M thuộc d.
Vì sao: Một điểm thuộc đường khi tồn tại duy nhất một giá trị t thỏa đồng thời ba phương trình.
Sai ở đâu: Mỗi tọa độ dùng một tham số khác nhau.
Cách khác: Thế t đã tìm vào cả ba tọa độ.
B15-NB-08Viết một vectơ chỉ phương của đường thẳng qua A(1;-2;4) và B(5;2;8).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy AB=B−A.
Lời giải: AB=(4;4;4), cùng phương với (2;2;2).
Vì sao: Mọi bội khác 0 của một vectơ chỉ phương vẫn là vectơ chỉ phương.
Sai ở đâu: Lấy A+B hoặc đổi thứ tự từng tọa độ không nhất quán.
Cách khác: Có thể dùng BA, hướng ngược nhưng cùng phương.
B15-NB-09Đường d có vectơ chỉ phương u=(3;1;1). Mặt phẳng có pháp tuyến n=(1;-3;0). d song song với mặt phẳng không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Đường song song hoặc nằm trong mặt phẳng khi u·n=0.
Lời giải: u·n=0=0 nên hướng của d song song với mặt phẳng.
Vì sao: Tích vô hướng bằng 0 chỉ kết luận về hướng; muốn phân biệt song song và nằm trong còn phải xét một điểm.
Sai ở đâu: Từ u·n=0 kết luận d không có điểm chung.
Cách khác: Thế thêm một điểm của d vào phương trình mặt phẳng nếu cần phân loại đầy đủ.
B15-NB-10Một thiết bị chuyển động theo r(t)=(3;-1;6)+t(1;0;2). Tìm vị trí tại t=-1.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thay cùng một t vào cả ba tọa độ.
Lời giải: r(-1)=(2;-1;4).
Vì sao: Phương trình tham số mô tả vị trí theo thời gian hoặc theo một tham số hình học.
Sai ở đâu: Chỉ thay t vào một tọa độ.
Cách khác: Tính origin+t·direction theo vectơ.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
[B15-NB-01] Tính tích vô hướng u·v với u=(4;2;-2), v=(2;-2;1).
BA DẠNG TRẮC NGHIỆM HIỆN HÀNH
Cùng một bản chất, ba cách kiểm tra năng lực
Định dạng ôn tốt nghiệp gồm nhiều lựa chọn, đúng–sai bốn ý và trả lời ngắn; tự luận phía sau dùng để học sâu, không gắn sai nhãn thành cấu trúc đề thi.
Nhiều lựa chọn
50 câu tự chấm ngay phía trên; phương án nhiễu xuất phát từ lỗi điều kiện, dấu, thứ tự hoặc thiếu ứng viên.
Chọn đáp án rồi đọc giải thích và ghi lỗi.Đúng–sai bốn ý
Một cụm mẫu dùng chung bối cảnh “Phương trình đường thẳng trong không gian”:
- a) d: x=x₀+at, y=y₀+bt, z=z₀+ct với u=(a;b;c)≠0.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Bắt đầu tại A rồi đi t lần theo hướng u. Ví dụ kiểm chứng: Qua (1;2;3), u=(2;−1;1).
- b) (x−x₀)/a=(y−y₀)/b=(z−z₀)/c, với abc≠0.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Khi ba thành phần chỉ phương đều khác 0, ba tỉ số cùng bằng một tham số. Ví dụ kiểm chứng: Nếu một thành phần bằng 0 thì tọa độ tương ứng là hằng.
- c) u=AB; M∈d ⇔ tồn tại t sao cho M=A+tu.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Hướng từ A đến B là B−A; điểm thuộc đường phải cho cùng một t. Ví dụ kiểm chứng: A+2AB luôn nằm trên đường AB.
- d) u₁∥u₂: song song hoặc trùng; không cùng phương thì giải A₁+t u₁=A₂+s u₂ để xét cắt hay chéo.
Đáp án và căn cứ
Đúng. So hướng trước, giải giao điểm sau. Ví dụ kiểm chứng: Hai đường không song song trong không gian vẫn có thể chéo nhau.
Trả lời ngắn
Tự lập mô hình và điền kết quả, không có phương án gợi ý:
- Tính tích vô hướng u·v với u=(1;2;-1), v=(2;-1;5).
Đáp án
-5
- Tính độ dài của u=(2;3;-2).
Đáp án
√17
- Từ điểm A(3;4;-1), đi theo vectơ v=(0;-1;2) hai lần. Tìm điểm đến.
Đáp án
(3;2;3)
- Đường d: (x;y;z)=(2;-1;3)+t(1;1;1). Kiểm tra M(5;2;6) có thuộc d không.
Đáp án
Có
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Tính tích vô hướng u·v với u=(4;2;-2), v=(2;-2;1).
Gợi ý: Nhân các tọa độ cùng vị trí rồi cộng.
Lời giải: u·v=(4)·(2)+(2)·(-2)+(-2)·(1)=2.
Giải thích: Tích vô hướng tạo một số và là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: Nhân chéo tọa độ hoặc giữ kết quả là một vectơ.
Cách khác: Viết hai vectơ theo cột rồi nhân từng hàng.
TỰ LUẬN 2Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A(3;-3;2) và có vectơ chỉ phương u=(3;0;2).
Gợi ý: Dùng (x;y;z)=A+tu.
Lời giải: x=3+3t; y=-3+0t; z=2+2t.
Giải thích: Một điểm và một vectơ chỉ phương khác 0 xác định một đường thẳng.
Lỗi cần tránh: Dùng vectơ pháp tuyến như với mặt phẳng.
Cách khác: Thay t=0 phải thu được điểm A.
TỰ LUẬN 3Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A(4;-2;2) và có vectơ chỉ phương u=(2;-1;1).
Gợi ý: Dùng (x;y;z)=A+tu.
Lời giải: x=4+2t; y=-2−1t; z=2+1t.
Giải thích: Một điểm và một vectơ chỉ phương khác 0 xác định một đường thẳng.
Lỗi cần tránh: Dùng vectơ pháp tuyến như với mặt phẳng.
Cách khác: Thay t=0 phải thu được điểm A.
TỰ LUẬN 4Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A(1;-1;2) và có vectơ chỉ phương u=(1;2;2).
Gợi ý: Dùng (x;y;z)=A+tu.
Lời giải: x=1+1t; y=-1+2t; z=2+2t.
Giải thích: Một điểm và một vectơ chỉ phương khác 0 xác định một đường thẳng.
Lỗi cần tránh: Dùng vectơ pháp tuyến như với mặt phẳng.
Cách khác: Thay t=0 phải thu được điểm A.
TỰ LUẬN 5Tính tích vô hướng u·v với u=(3;2;-1), v=(2;-1;4).
Gợi ý: Nhân các tọa độ cùng vị trí rồi cộng.
Lời giải: u·v=(3)·(2)+(2)·(-1)+(-1)·(4)=0.
Giải thích: Tích vô hướng tạo một số và là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: Nhân chéo tọa độ hoặc giữ kết quả là một vectơ.
Cách khác: Viết hai vectơ theo cột rồi nhân từng hàng.
TỰ LUẬN 6Đường d: (x;y;z)=(2;-3;3)+t(3;1;1). Kiểm tra M(11;0;6) có thuộc d không.
Gợi ý: Giải cùng một tham số t từ ba tọa độ.
Lời giải: Cả ba tọa độ đều cho t=3, nên M thuộc d.
Giải thích: Một điểm thuộc đường khi tồn tại duy nhất một giá trị t thỏa đồng thời ba phương trình.
Lỗi cần tránh: Mỗi tọa độ dùng một tham số khác nhau.
Cách khác: Thế t đã tìm vào cả ba tọa độ.
TỰ LUẬN 7Đường d: (x;y;z)=(3;-2;3)+t(2;0;2). Kiểm tra M(11;-2;11) có thuộc d không.
Gợi ý: Giải cùng một tham số t từ ba tọa độ.
Lời giải: Cả ba tọa độ đều cho t=4, nên M thuộc d.
Giải thích: Một điểm thuộc đường khi tồn tại duy nhất một giá trị t thỏa đồng thời ba phương trình.
Lỗi cần tránh: Mỗi tọa độ dùng một tham số khác nhau.
Cách khác: Thế t đã tìm vào cả ba tọa độ.
TỰ LUẬN 8Đường d: (x;y;z)=(4;-1;3)+t(1;-1;1). Kiểm tra M(9;-6;8) có thuộc d không.
Gợi ý: Giải cùng một tham số t từ ba tọa độ.
Lời giải: Cả ba tọa độ đều cho t=5, nên M thuộc d.
Giải thích: Một điểm thuộc đường khi tồn tại duy nhất một giá trị t thỏa đồng thời ba phương trình.
Lỗi cần tránh: Mỗi tọa độ dùng một tham số khác nhau.
Cách khác: Thế t đã tìm vào cả ba tọa độ.
TỰ LUẬN 9Tính tích vô hướng u·v với u=(2;2;-2), v=(2;-2;2).
Gợi ý: Nhân các tọa độ cùng vị trí rồi cộng.
Lời giải: u·v=(2)·(2)+(2)·(-2)+(-2)·(2)=-4.
Giải thích: Tích vô hướng tạo một số và là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: Nhân chéo tọa độ hoặc giữ kết quả là một vectơ.
Cách khác: Viết hai vectơ theo cột rồi nhân từng hàng.
TỰ LUẬN 10Viết một vectơ chỉ phương của đường thẳng qua A(1;-3;4) và B(7;1;8).
Gợi ý: Lấy AB=B−A.
Lời giải: AB=(6;4;4), cùng phương với (3;2;2).
Giải thích: Mọi bội khác 0 của một vectơ chỉ phương vẫn là vectơ chỉ phương.
Lỗi cần tránh: Lấy A+B hoặc đổi thứ tự từng tọa độ không nhất quán.
Cách khác: Có thể dùng BA, hướng ngược nhưng cùng phương.
TỰ LUẬN 11Viết một vectơ chỉ phương của đường thẳng qua A(2;-2;4) và B(6;0;6).
Gợi ý: Lấy AB=B−A.
Lời giải: AB=(4;2;2), cùng phương với (2;1;1).
Giải thích: Mọi bội khác 0 của một vectơ chỉ phương vẫn là vectơ chỉ phương.
Lỗi cần tránh: Lấy A+B hoặc đổi thứ tự từng tọa độ không nhất quán.
Cách khác: Có thể dùng BA, hướng ngược nhưng cùng phương.
TỰ LUẬN 12Viết một vectơ chỉ phương của đường thẳng qua A(3;-1;4) và B(5;-1;8).
Gợi ý: Lấy AB=B−A.
Lời giải: AB=(2;0;4), cùng phương với (1;0;2).
Giải thích: Mọi bội khác 0 của một vectơ chỉ phương vẫn là vectơ chỉ phương.
Lỗi cần tránh: Lấy A+B hoặc đổi thứ tự từng tọa độ không nhất quán.
Cách khác: Có thể dùng BA, hướng ngược nhưng cùng phương.
TỰ LUẬN 13Tính tích vô hướng u·v với u=(1;2;-1), v=(2;-1;5).
Gợi ý: Nhân các tọa độ cùng vị trí rồi cộng.
Lời giải: u·v=(1)·(2)+(2)·(-1)+(-1)·(5)=-5.
Giải thích: Tích vô hướng tạo một số và là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: Nhân chéo tọa độ hoặc giữ kết quả là một vectơ.
Cách khác: Viết hai vectơ theo cột rồi nhân từng hàng.
TỰ LUẬN 14Đường d có vectơ chỉ phương u=(3;-1;1). Mặt phẳng có pháp tuyến n=(-1;-3;0). d song song với mặt phẳng không?
Gợi ý: Đường song song hoặc nằm trong mặt phẳng khi u·n=0.
Lời giải: u·n=0=0 nên hướng của d song song với mặt phẳng.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 chỉ kết luận về hướng; muốn phân biệt song song và nằm trong còn phải xét một điểm.
Lỗi cần tránh: Từ u·n=0 kết luận d không có điểm chung.
Cách khác: Thế thêm một điểm của d vào phương trình mặt phẳng nếu cần phân loại đầy đủ.
TỰ LUẬN 15Đường d có vectơ chỉ phương u=(2;2;2). Mặt phẳng có pháp tuyến n=(2;-2;0). d song song với mặt phẳng không?
Gợi ý: Đường song song hoặc nằm trong mặt phẳng khi u·n=0.
Lời giải: u·n=0=0 nên hướng của d song song với mặt phẳng.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 chỉ kết luận về hướng; muốn phân biệt song song và nằm trong còn phải xét một điểm.
Lỗi cần tránh: Từ u·n=0 kết luận d không có điểm chung.
Cách khác: Thế thêm một điểm của d vào phương trình mặt phẳng nếu cần phân loại đầy đủ.
TỰ LUẬN 16Đường d có vectơ chỉ phương u=(1;1;1). Mặt phẳng có pháp tuyến n=(1;-1;0). d song song với mặt phẳng không?
Gợi ý: Đường song song hoặc nằm trong mặt phẳng khi u·n=0.
Lời giải: u·n=0=0 nên hướng của d song song với mặt phẳng.
Giải thích: Tích vô hướng bằng 0 chỉ kết luận về hướng; muốn phân biệt song song và nằm trong còn phải xét một điểm.
Lỗi cần tránh: Từ u·n=0 kết luận d không có điểm chung.
Cách khác: Thế thêm một điểm của d vào phương trình mặt phẳng nếu cần phân loại đầy đủ.
TỰ LUẬN 17Tính tích vô hướng u·v với u=(4;2;-2), v=(2;-2;3).
Gợi ý: Nhân các tọa độ cùng vị trí rồi cộng.
Lời giải: u·v=(4)·(2)+(2)·(-2)+(-2)·(3)=-2.
Giải thích: Tích vô hướng tạo một số và là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: Nhân chéo tọa độ hoặc giữ kết quả là một vectơ.
Cách khác: Viết hai vectơ theo cột rồi nhân từng hàng.
TỰ LUẬN 18Một thiết bị chuyển động theo r(t)=(3;-3;6)+t(3;0;2). Tìm vị trí tại t=-3.
Gợi ý: Thay cùng một t vào cả ba tọa độ.
Lời giải: r(-3)=(-6;-3;0).
Giải thích: Phương trình tham số mô tả vị trí theo thời gian hoặc theo một tham số hình học.
Lỗi cần tránh: Chỉ thay t vào một tọa độ.
Cách khác: Tính origin+t·direction theo vectơ.
TỰ LUẬN 19Một thiết bị chuyển động theo r(t)=(4;-2;6)+t(2;-1;1). Tìm vị trí tại t=-2.
Gợi ý: Thay cùng một t vào cả ba tọa độ.
Lời giải: r(-2)=(0;0;4).
Giải thích: Phương trình tham số mô tả vị trí theo thời gian hoặc theo một tham số hình học.
Lỗi cần tránh: Chỉ thay t vào một tọa độ.
Cách khác: Tính origin+t·direction theo vectơ.
TỰ LUẬN 20Một thiết bị chuyển động theo r(t)=(1;-1;6)+t(1;2;2). Tìm vị trí tại t=-1.
Gợi ý: Thay cùng một t vào cả ba tọa độ.
Lời giải: r(-1)=(0;-3;4).
Giải thích: Phương trình tham số mô tả vị trí theo thời gian hoặc theo một tham số hình học.
Lỗi cần tránh: Chỉ thay t vào một tọa độ.
Cách khác: Tính origin+t·direction theo vectơ.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B15-NB-01, B15-NB-02, B15-NB-03, B15-NB-04, B15-NB-05, B15-NB-06, B15-NB-07, B15-NB-08, B15-NB-09, B15-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B15-NB-01: 2
- B15-NB-02: √11
- B15-NB-03: (2;0;4)
- B15-NB-04: Hướng song song
- B15-NB-05: (-2;-4;4)
- B15-NB-06: (x;y;z)=(3;-3;2)+t(3;0;2)
- B15-NB-07: Có
- B15-NB-08: (2;2;2)
- B15-NB-09: Hướng song song
- B15-NB-10: (2;-1;4)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 5
10 câu đại diện: B15-NB-11, B15-NB-12, B15-NB-13, B15-NB-14, B15-NB-15, B15-NB-16, B15-NB-17, B15-NB-18, B15-NB-19, B15-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B15-NB-11: (x;y;z)=(4;-2;2)+t(2;-1;1)
- B15-NB-12: Có
- B15-NB-13: (1;1;1)
- B15-NB-14: Hướng song song
- B15-NB-15: (-5;0;3)
- B15-NB-16: (x;y;z)=(1;-1;2)+t(1;2;2)
- B15-NB-17: Có
- B15-NB-18: (3;0;2)
- B15-NB-19: Hướng song song
- B15-NB-20: (-3;-6;2)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B15-TH-01, B15-TH-02, B15-TH-03, B15-TH-04, B15-TH-05, B15-TH-06, B15-TH-07, B15-TH-08, B15-TH-09, B15-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B15-TH-01: 0
- B15-TH-02: √29
- B15-TH-03: (1;2;1)
- B15-TH-04: (3;0;5)
- B15-TH-05: (x;y;z)=(1;-2;2)+t(2;2;2)
- B15-TH-06: Có
- B15-TH-07: (1;0;2)
- B15-TH-08: Hướng song song
- B15-TH-09: (-8;-9;0)
- B15-TH-10: (x;y;z)=(2;-1;2)+t(1;1;1)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B15-TH-11, B15-TH-12, B15-TH-13, B15-TH-14, B15-TH-15, B15-TH-16, B15-TH-17, B15-TH-18, B15-TH-19, B15-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B15-TH-11: Có
- B15-TH-12: (3;-1;1)
- B15-TH-13: Hướng song song
- B15-TH-14: (-2;-4;4)
- B15-TH-15: (x;y;z)=(3;-3;2)+t(3;0;2)
- B15-TH-16: Có
- B15-TH-17: (2;2;2)
- B15-TH-18: Hướng song song
- B15-TH-19: (2;-1;4)
- B15-TH-20: (x;y;z)=(4;-2;2)+t(2;-1;1)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề ôn tốt nghiệp tổng hợp
10 câu đại diện: B15-VD-01, B15-VD-02, B15-VD-03, B15-VD-04, B15-VD-05, B15-VD-06, B15-VD-07, B15-VD-08, B15-VD-09, B15-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B15-VD-01: -4
- B15-VD-02: √19
- B15-VD-03: (4;0;6)
- B15-VD-04: (x;y;z)=(3;-1;2)+t(1;0;2)
- B15-VD-05: Có
- B15-VD-06: (3;2;2)
- B15-VD-07: Hướng song song
- B15-VD-08: (-1;-2;2)
- B15-VD-09: (x;y;z)=(4;-3;2)+t(3;-1;1)
- B15-VD-10: Có
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi phiên 40–55 phút; yêu cầu con nói điều kiện, dự đoán dấu hoặc miền giá trị trước khi tính.
- Không hỏi đáp số trước; hỏi vì sao chọn công cụ và kiểm kết quả bằng cách nào.
- Theo dõi ba lỗi lặp gần nhất, không gây áp lực bằng số câu đã làm.
- Mỗi tuần có một phiên 90 phút mô phỏng và một phiên chữa sâu theo sổ lỗi.
- Mở bài bằng một bối cảnh hoặc phản ví dụ có thể kiểm chứng.
- Chấm theo năm mốc: mô hình–điều kiện–công thức–tính toán–diễn giải.
- Trộn đúng 15% nền trực tiếp; không lấy câu cũ ngẫu nhiên chỉ để đủ tỉ lệ.
- Đề định hướng Hà Nội phải ghi là nội bộ tham khảo và có đủ ba dạng trắc nghiệm hiện hành.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.