Biến dữ kiện thành quyết định
Bài học giúp mô hình hóa độ dốc, hướng camera, robot, kiến trúc, hàng không và đo đạc bằng công cụ có thể kiểm chứng.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- Hai đường: cosφ=|u·v|/(|u||v|).
- Đường–mặt: sinα=|u·n|/(|u||n|).
- Hai mặt: cosβ=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|).
Bài 16. Công thức tính góc trong không gian
Tính góc giữa hai đường, giữa đường và mặt, giữa hai mặt phẳng bằng vectơ chỉ phương–pháp tuyến; kiểm miền giá trị và loại ảnh hưởng của hướng vectơ.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Biết đọc dữ kiện, nêu điều kiện, thực hiện và giải thích kết quả.
Gọi đúng nền
Kích hoạt bài 14–15, tích vô hướng, độ dài vectơ và góc không gian lớp 11 rồi chuẩn bị cho Bài 17. Phương trình mặt cầu.
Ba dạng, một bản chất
Luyện nhiều lựa chọn, đúng–sai và trả lời ngắn trên cùng một mạch suy luận.
- Tính góc giữa hai đường bằng vectơ chỉ phương.
- Tính góc giữa đường và mặt bằng chỉ phương–pháp tuyến.
- Tính góc giữa hai mặt phẳng bằng hai pháp tuyến.
- Chọn đúng sin/cos và tự kiểm kết quả.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Bài 14–15, tích vô hướng, độ dài vectơ và góc không gian lớp 11.
- Viết miền xác định, đối tượng, phân hoạch hoặc đơn vị trước phép tính.
- Dự đoán dấu, độ lớn, vị trí hoặc miền giá trị của kết quả.
- Kiểm bằng đạo hàm, phép thế, hình học, bảng tần số hoặc công thức thứ hai.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Góc giữa hai đường
Hiểu đơn giản: Dùng hai mũi tên theo hướng hai đường rồi lấy góc nhọn giữa chúng.
cosφ=|u₁·u₂|/(|u₁||u₂|), 0°≤φ≤90°.
Ví dụ: u₁·u₂=0 ⇒ hai đường vuông góc.
Hình nên dùng: Hai đường và hai vectơ chỉ phương.
Mô phỏng: Đảo hướng một vectơ.
Mẹo nhớ: Đường–đường: cos chỉ phương.
Sai lầm: Không lấy trị tuyệt đối nên cos âm.
Ghi chú: Hai đường chéo nhau vẫn có góc được định nghĩa qua hướng.
Góc giữa đường và mặt
Hiểu đơn giản: Góc đường–mặt là góc giữa đường và hình chiếu của nó lên mặt, bù phụ với góc đường–pháp tuyến.
sinα=|u·n|/(|u||n|), 0°≤α≤90°.
Ví dụ: u·n=0 ⇒ đường song song mặt, α=0°.
Hình nên dùng: Tam giác góc α và 90°−α.
Mô phỏng: Xoay đường từ song song đến vuông góc.
Mẹo nhớ: Đường–mặt: sin chỉ phương–pháp tuyến.
Sai lầm: Dùng cos rồi kết luận trực tiếp α.
Ghi chú: u∥n ⇒ đường vuông góc mặt, α=90°.
Góc giữa hai mặt
Hiểu đơn giản: Đo góc giữa hai mặt bằng góc nhọn giữa hai pháp tuyến.
cosβ=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|).
Ví dụ: n₁·n₂=0 ⇒ hai mặt phẳng vuông góc.
Hình nên dùng: Hai mặt và hai pháp tuyến.
Mô phỏng: Đổi hệ số tự do d.
Mẹo nhớ: Mặt–mặt: cos pháp tuyến.
Sai lầm: Đưa d₁,d₂ vào tích vô hướng.
Ghi chú: Nhân phương trình với số khác 0 không làm góc đổi.
Máy tính và tự kiểm
Hiểu đơn giản: Tính tỉ số trước, chặn miền rồi mới dùng hàm lượng giác ngược.
0≤|dot|/(norms)≤1; góc hình học dùng đơn vị độ nếu đề yêu cầu.
Ví dụ: cosφ=1/2 ⇒ φ=60°.
Hình nên dùng: Đồng hồ DEG/RAD và thanh miền [0;1].
Mô phỏng: Thay nhiễu làm tròn.
Mẹo nhớ: Tỉ số trước, góc sau.
Sai lầm: Làm tròn trung gian quá sớm.
Ghi chú: Giữ giá trị chính xác đến bước cuối.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB TỌA ĐỘ OXYZ
Thế điểm, đọc pháp tuyến và tính khoảng cách
Nhập M(x,y,z) và mặt phẳng ax+by+cz+d=0, mỗi bộ cách nhau bằng dấu phẩy. Công cụ cho biết vị trí của M và khoảng cách vuông góc.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B16-NB-04
Đề bài: Trong công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, vì sao dùng trị tuyệt đối của tích vô hướng?
Phân tích: Góc hình học được lấy trong khoảng từ 0° đến 90°.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Góc hình học được lấy trong khoảng từ 0° đến 90°.
- Bước 2: Trị tuyệt đối loại ảnh hưởng của việc chọn vectơ cùng hướng hay ngược hướng.
- Bước 3: Kết luận Để góc không phụ thuộc hướng chọn vectơ.
Vì sao: Đổi một vectơ thành vectơ đối không làm thay đổi đường hoặc mặt phẳng.
Cách khác: So sánh u với −u.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Giữ dấu âm rồi kết luận góc âm.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B16-NB-01
Đề bài: Tính độ dài của u=(1;3;-1).
Phân tích: Lấy căn tổng bình phương ba tọa độ.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- |u|=√((1)²+(3)²+(-1)²)=√11.
Vì sao: Độ dài vectơ luôn không âm.
Cách khác: Kiểm bằng u·u=|u|².
Tự kiểm: Kết quả: √11. Cộng tọa độ rồi lấy trị tuyệt đối.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B16-TH-04
Đề bài: Tính cosin góc nhọn giữa hai đường có vectơ chỉ phương u=(3;2;0), v=(0;1;4). Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.
Phân tích: Dùng |u·v|/(|u||v|).
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Dùng |u·v|/(|u||v|).
- Bước 2: cosφ=|2|/14,8661=0,1345.
- Bước 3: Kết luận 0,1345.
Vì sao: Góc giữa hai đường được quy ước là góc không tù nên dùng trị tuyệt đối.
Cách khác: Kiểm kết quả phải nằm trong [0;1].
Tự kiểm: Chặn lỗi: Bỏ mẫu độ dài hoặc không lấy trị tuyệt đối.
04 • Vận dụngVí dụ 4 • B16-TH-14
Đề bài: Hình chữ nhật nội tiếp tam giác vuông có hai cạnh góc vuông dài 6 m và 8 m, hai cạnh hình chữ nhật nằm trên hai cạnh đó. Diện tích lớn nhất là bao nhiêu m²?
Phân tích: Gọi cạnh đáy x∈[0;6], chiều cao theo đường huyền y=8−4x/3. S=x(8−4x/3) lớn nhất tại x=3, y=4, bằng 12.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Gọi cạnh đáy x∈[0;6], chiều cao theo đường huyền y=8−4x/3. S=x(8−4x/3) lớn nhất tại x=3, y=4, bằng 12. Vậy kết quả cần chọn là 12.
Vì sao: Gọi cạnh đáy x∈[0;6], chiều cao theo đường huyền y=8−4x/3. S=x(8−4x/3) lớn nhất tại x=3, y=4, bằng 12. Vậy kết quả cần chọn là 12.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 12. Không xét điều kiện miền hoặc không so sánh các điểm biên khi tối ưu.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B16-VD-04
Đề bài: Cho A(1;−1;2), B(4;1;1), C(0;3;3). H là hình chiếu vuông góc của C lên đường thẳng AB. Tính CH².
Phân tích: AB=(3;2;−1), AC=(−1;4;1), |AB|²=14, |AC|²=18, AC·AB=4. Vì vậy CH²=18−4²/14=118/7.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- AB=(3;2;−1), AC=(−1;4;1), |AB|²=14, |AC|²=18, AC·AB=4. Vì vậy CH²=18−4²/14=118/7. Vậy kết quả cần chọn là 118/7.
Vì sao: AB=(3;2;−1), AC=(−1;4;1), |AB|²=14, |AC|²=18, AC·AB=4. Vì vậy CH²=18−4²/14=118/7. Vậy kết quả cần chọn là 118/7.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 118/7. Nhầm tích vô hướng với tích độ dài hoặc bỏ qua tọa độ có dấu âm.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B16-VD-14
Đề bài: Chọn mô hình phù hợp rồi tính. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương u = (2; 0; 2); mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = (1; 0; 0). Tính góc giữa đường thẳng và (P).
Phân tích: Gọi α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Khi đó sinα = |u·n|/(|u||n|) = 2/(2√2) = 1/√2.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Gọi α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Khi đó sinα = |u·n|/(|u||n|) = 2/(2√2) = 1/√2. Vì 0° ≤ α ≤ 90°, suy ra α = 45°.
Vì sao: Gọi α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Khi đó sinα = |u·n|/(|u||n|) = 2/(2√2) = 1/√2. Vì 0° ≤ α ≤ 90°, suy ra α = 45°.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 45°. Dùng cos trực tiếp rồi lấy góc giữa đường thẳng và pháp tuyến làm đáp án.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B16-VDC-04
Đề bài: Đường thẳng d có chỉ phương u=(1;m;0), mặt phẳng (P):x+3y=0. Có bao nhiêu giá trị thực m để góc giữa d và (P) bằng 30°? Phân biệt góc với pháp tuyến và kiểm nghiệm sau bình phương.
Phân tích: sin30°=|1+3m|/[√10√(1+m²)]=1/2
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- sin30°=|1+3m|/[√10√(1+m²)]=1/2. Bình phương cho 4(1+3m)²=10(1+m²), hay 26m²+24m−6=0. Biệt thức bằng 1200>0, hệ số bậc hai khác 0, nên có hai nghiệm. Thay lại được tỉ số không âm đúng bằng 1/2; u luôn khác vectơ-không nên không mất điều kiện.
Vì sao: sin30°=|1+3m|/[√10√(1+m²)]=1/2. Bình phương cho 4(1+3m)²=10(1+m²), hay 26m²+24m−6=0. Biệt thức bằng 1200>0, hệ số bậc hai khác 0, nên có hai nghiệm. Thay lại được tỉ số không âm đúng bằng 1/2; u luôn khác vectơ-không nên không mất điều kiện.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 2. Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
08 • Vận dụngVí dụ 8 • B16-VDC-14
Đề bài: Một đoạn AB dài 13, độ dài hình chiếu vuông góc lên (P) là 12. Độ dài thành phần vuông góc với (P) bằng bao nhiêu?
Phân tích: Đoạn AB, hình chiếu trên (P) và thành phần vuông góc lập tam giác vuông.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Đoạn AB, hình chiếu trên (P) và thành phần vuông góc lập tam giác vuông. Theo Pythagoras, thành phần vuông góc dài √(13²−12²)=5.
Vì sao: Đoạn AB, hình chiếu trên (P) và thành phần vuông góc lập tam giác vuông. Theo Pythagoras, thành phần vuông góc dài √(13²−12²)=5.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 5. Lấy 13−12 thay vì định lý Pythagoras.
09 • Vận dụngVí dụ 9 • B16-TT-04
Đề bài: Đường thẳng có chỉ phương u=(1;0;0), (P): x+2y+2z=0. Sin của góc giữa đường và (P) bằng bao nhiêu?
Phân tích: Pháp tuyến của (P) là n=(1;2;2), có độ dài 3; |u|=1.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Pháp tuyến của (P) là n=(1;2;2), có độ dài 3; |u|=1. sin góc đường–mặt bằng |u·n|/(|u||n|)=1/3.
Vì sao: Pháp tuyến của (P) là n=(1;2;2), có độ dài 3; |u|=1. sin góc đường–mặt bằng |u·n|/(|u||n|)=1/3.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 1/3. Dùng cos góc với pháp tuyến làm cos góc với mặt phẳng.
10 • Vận dụngVí dụ 10 • B16-TT-14
Đề bài: Trong Oxyz, góc giữa u=(1;0;0) và v=(0;1;0) bằng Các lựa chọn: A. 90° ; B. 45° ; C. 180° ; D. 0°
Phân tích: u·v=0, hai vectơ khác không nên góc giữa chúng là 90°.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- u·v=0, hai vectơ khác không nên góc giữa chúng là 90°.
Vì sao: u·v=0, hai vectơ khác không nên góc giữa chúng là 90°.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 90°. Lấy căn khi đề bài hỏi bình phương độ dài.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua công thức tính góc trong không gian
Tình huống 1 dùng độ dốc, hướng camera, robot, kiến trúc, hàng không và đo đạc; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Trường học qua công thức tính góc trong không gian
Tình huống 2 dùng độ dốc, hướng camera, robot, kiến trúc, hàng không và đo đạc; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua công thức tính góc trong không gian
Tình huống 3 dùng độ dốc, hướng camera, robot, kiến trúc, hàng không và đo đạc; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua công thức tính góc trong không gian
Tình huống 4 dùng độ dốc, hướng camera, robot, kiến trúc, hàng không và đo đạc; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua công thức tính góc trong không gian
Tình huống 5 dùng độ dốc, hướng camera, robot, kiến trúc, hàng không và đo đạc; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua công thức tính góc trong không gian
Tình huống 6 dùng độ dốc, hướng camera, robot, kiến trúc, hàng không và đo đạc; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua công thức tính góc trong không gian
Tình huống 7 dùng độ dốc, hướng camera, robot, kiến trúc, hàng không và đo đạc; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua công thức tính góc trong không gian
Tình huống 8 dùng độ dốc, hướng camera, robot, kiến trúc, hàng không và đo đạc; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Góc giữa hai đường theo cách trực quan?
Dùng hai mũi tên theo hướng hai đường rồi lấy góc nhọn giữa chúng. Phát biểu chính xác: cosφ=|u₁·u₂|/(|u₁||u₂|), 0°≤φ≤90°. Ví dụ: u₁·u₂=0 ⇒ hai đường vuông góc. Mẹo: Đường–đường: cos chỉ phương. Cần tránh: Không lấy trị tuyệt đối nên cos âm.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Đường–mặt dùng cos thay sin
Không lấy trị tuyệt đối nên cos âm. Sửa bằng: Đường–đường: cos chỉ phương. Kiểm cuối: Hai đường chéo nhau vẫn có góc được định nghĩa qua hướng.
Bỏ trị tuyệt đối
Dùng cos rồi kết luận trực tiếp α. Sửa bằng: Đường–mặt: sin chỉ phương–pháp tuyến. Kiểm cuối: u∥n ⇒ đường vuông góc mặt, α=90°.
Dùng hệ số tự do của mặt phẳng
Đưa d₁,d₂ vào tích vô hướng. Sửa bằng: Mặt–mặt: cos pháp tuyến. Kiểm cuối: Nhân phương trình với số khác 0 không làm góc đổi.
Quên độ dài hai vectơ
Làm tròn trung gian quá sớm. Sửa bằng: Tỉ số trước, góc sau. Kiểm cuối: Giữ giá trị chính xác đến bước cuối.
Bấm máy sai chế độ độ–radian
Không lấy trị tuyệt đối nên cos âm. Sửa bằng: Đường–đường: cos chỉ phương. Kiểm cuối: Hai đường chéo nhau vẫn có góc được định nghĩa qua hướng.
Đường–mặt dùng cos thay sin – tình huống 6
Dùng cos rồi kết luận trực tiếp α. Sửa bằng: Đường–mặt: sin chỉ phương–pháp tuyến. Kiểm cuối: u∥n ⇒ đường vuông góc mặt, α=90°.
Bỏ trị tuyệt đối – tình huống 7
Đưa d₁,d₂ vào tích vô hướng. Sửa bằng: Mặt–mặt: cos pháp tuyến. Kiểm cuối: Nhân phương trình với số khác 0 không làm góc đổi.
Dùng hệ số tự do của mặt phẳng – tình huống 8
Làm tròn trung gian quá sớm. Sửa bằng: Tỉ số trước, góc sau. Kiểm cuối: Giữ giá trị chính xác đến bước cuối.
Quên độ dài hai vectơ – tình huống 9
Không lấy trị tuyệt đối nên cos âm. Sửa bằng: Đường–đường: cos chỉ phương. Kiểm cuối: Hai đường chéo nhau vẫn có góc được định nghĩa qua hướng.
Bấm máy sai chế độ độ–radian – tình huống 10
Dùng cos rồi kết luận trực tiếp α. Sửa bằng: Đường–mặt: sin chỉ phương–pháp tuyến. Kiểm cuối: u∥n ⇒ đường vuông góc mặt, α=90°.
Đường–mặt dùng cos thay sin – tình huống 11
Đưa d₁,d₂ vào tích vô hướng. Sửa bằng: Mặt–mặt: cos pháp tuyến. Kiểm cuối: Nhân phương trình với số khác 0 không làm góc đổi.
Bỏ trị tuyệt đối – tình huống 12
Làm tròn trung gian quá sớm. Sửa bằng: Tỉ số trước, góc sau. Kiểm cuối: Giữ giá trị chính xác đến bước cuối.
Dùng hệ số tự do của mặt phẳng – tình huống 13
Không lấy trị tuyệt đối nên cos âm. Sửa bằng: Đường–đường: cos chỉ phương. Kiểm cuối: Hai đường chéo nhau vẫn có góc được định nghĩa qua hướng.
Quên độ dài hai vectơ – tình huống 14
Dùng cos rồi kết luận trực tiếp α. Sửa bằng: Đường–mặt: sin chỉ phương–pháp tuyến. Kiểm cuối: u∥n ⇒ đường vuông góc mặt, α=90°.
Bấm máy sai chế độ độ–radian – tình huống 15
Đưa d₁,d₂ vào tích vô hướng. Sửa bằng: Mặt–mặt: cos pháp tuyến. Kiểm cuối: Nhân phương trình với số khác 0 không làm góc đổi.
Đường–mặt dùng cos thay sin – tình huống 16
Làm tròn trung gian quá sớm. Sửa bằng: Tỉ số trước, góc sau. Kiểm cuối: Giữ giá trị chính xác đến bước cuối.
Bỏ trị tuyệt đối – tình huống 17
Không lấy trị tuyệt đối nên cos âm. Sửa bằng: Đường–đường: cos chỉ phương. Kiểm cuối: Hai đường chéo nhau vẫn có góc được định nghĩa qua hướng.
Dùng hệ số tự do của mặt phẳng – tình huống 18
Dùng cos rồi kết luận trực tiếp α. Sửa bằng: Đường–mặt: sin chỉ phương–pháp tuyến. Kiểm cuối: u∥n ⇒ đường vuông góc mặt, α=90°.
Quên độ dài hai vectơ – tình huống 19
Đưa d₁,d₂ vào tích vô hướng. Sửa bằng: Mặt–mặt: cos pháp tuyến. Kiểm cuối: Nhân phương trình với số khác 0 không làm góc đổi.
Bấm máy sai chế độ độ–radian – tình huống 20
Làm tròn trung gian quá sớm. Sửa bằng: Tỉ số trước, góc sau. Kiểm cuối: Giữ giá trị chính xác đến bước cuối.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chẩn đoán 5 phút
Làm ba câu nền và nói thành lời điều kiện của công cụ trước khi học mới.
Chu trình 5–25–10
5 phút gọi nền, 25 phút học một nút, 10 phút làm lại không nhìn lời giải.
Hai biểu diễn
Kiểm công thức bằng đạo hàm, đồ thị, hình Oxyz, bảng xác suất hoặc đơn vị.
Phản ví dụ bắt buộc
Mỗi định lí đi cùng một trường hợp thiếu điều kiện để tránh học thuộc máy móc.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi lỗi, nguyên nhân và phép tự kiểm; không chép lại toàn bộ lời giải.
Ôn cách quãng 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và qua cổng lại sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Công thức tính góc trong không gian1 2 3 4
Góc giữa hai đườngcosφ=|u₁·u₂|/(|u₁||u₂|), 0°≤φ≤90°. Đường–đường: cos chỉ phương.
Góc giữa đường và mặtsinα=|u·n|/(|u||n|), 0°≤α≤90°. Đường–mặt: sin chỉ phương–pháp tuyến.
Góc giữa hai mặtcosβ=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|). Mặt–mặt: cos pháp tuyến.
Máy tính và tự kiểm0≤|dot|/(norms)≤1; góc hình học dùng đơn vị độ nếu đề yêu cầu. Tỉ số trước, góc sau.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
B16-NB-01Tính độ dài của u=(1;3;-1).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy căn tổng bình phương ba tọa độ.
Lời giải: |u|=√((1)²+(3)²+(-1)²)=√11.
Vì sao: Độ dài vectơ luôn không âm.
Sai ở đâu: Cộng tọa độ rồi lấy trị tuyệt đối.
Cách khác: Kiểm bằng u·u=|u|².
B16-NB-02Từ điểm A(2;4;-2), đi theo vectơ v=(0;-2;3) hai lần. Tìm điểm đến.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính A+2v theo từng tọa độ.
Lời giải: A+2v=(2;0;4).
Vì sao: Đây là cầu nối trực tiếp sang phương trình tham số đường thẳng.
Sai ở đâu: Nhân hệ số 2 cho điểm A thay vì vectơ v.
Cách khác: Thay t=2 vào A+tv.
B16-NB-03Tính tích vô hướng u·v với u=(3;2;-1), v=(2;-1;4).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhân các tọa độ cùng vị trí rồi cộng.
Lời giải: u·v=(3)·(2)+(2)·(-1)+(-1)·(4)=0.
Vì sao: Tích vô hướng tạo một số và là công cụ kiểm vuông góc.
Sai ở đâu: Nhân chéo tọa độ hoặc giữ kết quả là một vectơ.
Cách khác: Viết hai vectơ theo cột rồi nhân từng hàng.
B16-NB-04Trong công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, vì sao dùng trị tuyệt đối của tích vô hướng?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Góc hình học được lấy trong khoảng từ 0° đến 90°.
Lời giải: Trị tuyệt đối loại ảnh hưởng của việc chọn vectơ cùng hướng hay ngược hướng.
Vì sao: Đổi một vectơ thành vectơ đối không làm thay đổi đường hoặc mặt phẳng.
Sai ở đâu: Giữ dấu âm rồi kết luận góc âm.
Cách khác: So sánh u với −u.
B16-NB-05Tính cosin góc nhọn giữa hai đường có vectơ chỉ phương u=(1;2;0), v=(0;1;2).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng |u·v|/(|u||v|).
Lời giải: cosφ=|2|/5=0,4.
Vì sao: Góc giữa hai đường được quy ước là góc không tù nên dùng trị tuyệt đối.
Sai ở đâu: Bỏ mẫu độ dài hoặc không lấy trị tuyệt đối.
Cách khác: Kiểm kết quả phải nằm trong [0;1].
B16-NB-06Một đường có vectơ chỉ phương u=(2;3;0), mặt phẳng có pháp tuyến n=(0;2;3). Tính sin góc giữa đường và mặt phẳng. Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Góc đường–mặt bù phụ với góc đường–pháp tuyến.
Lời giải: sinα=|u·n|/(|u||n|)=0,4615.
Vì sao: Dùng sin cho góc đường–mặt, trong khi cos dùng cho góc đường–pháp tuyến.
Sai ở đâu: Dùng cos rồi gọi đó là góc đường–mặt.
Cách khác: Nếu u·n=0 thì đường song song mặt phẳng và α=0.
B16-NB-07Hai mặt phẳng có pháp tuyến n₁=(3;2;0), n₂=(0;1;4). Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng. Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc nhọn giữa hai pháp tuyến.
Lời giải: cosβ=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|)=0,1345.
Vì sao: Phương trình mặt phẳng chỉ cần ba hệ số của x,y,z để tính góc.
Sai ở đâu: Dùng hệ số tự do d trong tích vô hướng.
Cách khác: Nhân một phương trình với số khác 0 không làm góc đổi.
B16-NB-08Kiểm tra hai vectơ u=(1;3;0), v=(0;2;2) có vuông góc không.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v=6, nên hai vectơ không vuông góc.
Vì sao: Hai vectơ khác 0 vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng bằng 0.
Sai ở đâu: So sánh độ dài thay vì tích vô hướng.
Cách khác: Tính lại theo từng tọa độ.
B16-NB-09Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n₁=(1;1;0), n₂=(1;−1;2). Quan hệ giữa chúng là: Đọc đúng vectơ pháp tuyến từ phương trình mặt phẳng. Các lựa chọn: A. Không xác định ; B. Vuông góc ; C. Song song ; D. Trùng nhau
Mục tiêu: Vận dụng — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tích vô hướng n₁·n₂=1−1+0=0.
Lời giải: Tích vô hướng n₁·n₂=1−1+0=0. Hai vectơ pháp tuyến vuông góc nên hai mặt phẳng vuông góc.
Vì sao: Tích vô hướng n₁·n₂=1−1+0=0. Hai vectơ pháp tuyến vuông góc nên hai mặt phẳng vuông góc.
Sai ở đâu: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
B16-NB-10Tính cosin góc nhọn giữa hai đường có vectơ chỉ phương u=(3;3;0), v=(0;2;4). Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng |u·v|/(|u||v|).
Lời giải: cosφ=|6|/18,9737=0,3162.
Vì sao: Góc giữa hai đường được quy ước là góc không tù nên dùng trị tuyệt đối.
Sai ở đâu: Bỏ mẫu độ dài hoặc không lấy trị tuyệt đối.
Cách khác: Kiểm kết quả phải nằm trong [0;1].
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n₁=(1;1;0), n₂=(1;−1;2). Quan hệ giữa chúng là: Đọc đúng vectơ pháp tuyến từ phương trình mặt phẳng.
BA DẠNG TRẮC NGHIỆM HIỆN HÀNH
Cùng một bản chất, ba cách kiểm tra năng lực
Định dạng ôn tốt nghiệp gồm nhiều lựa chọn, đúng–sai bốn ý và trả lời ngắn; tự luận phía sau dùng để học sâu, không gắn sai nhãn thành cấu trúc đề thi.
Nhiều lựa chọn
50 câu tự chấm ngay phía trên; phương án nhiễu xuất phát từ lỗi điều kiện, dấu, thứ tự hoặc thiếu ứng viên.
Chọn đáp án rồi đọc giải thích và ghi lỗi.Đúng–sai bốn ý
Một cụm mẫu dùng chung bối cảnh “Công thức tính góc trong không gian”:
- a) cosφ=|u₁·u₂|/(|u₁||u₂|), 0°≤φ≤90°.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Dùng hai mũi tên theo hướng hai đường rồi lấy góc nhọn giữa chúng. Ví dụ kiểm chứng: u₁·u₂=0 ⇒ hai đường vuông góc.
- b) sinα=|u·n|/(|u||n|), 0°≤α≤90°.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Góc đường–mặt là góc giữa đường và hình chiếu của nó lên mặt, bù phụ với góc đường–pháp tuyến. Ví dụ kiểm chứng: u·n=0 ⇒ đường song song mặt, α=0°.
- c) cosβ=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|).
Đáp án và căn cứ
Đúng. Đo góc giữa hai mặt bằng góc nhọn giữa hai pháp tuyến. Ví dụ kiểm chứng: n₁·n₂=0 ⇒ hai mặt phẳng vuông góc.
- d) 0≤|dot|/(norms)≤1; góc hình học dùng đơn vị độ nếu đề yêu cầu.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Tính tỉ số trước, chặn miền rồi mới dùng hàm lượng giác ngược. Ví dụ kiểm chứng: cosφ=1/2 ⇒ φ=60°.
Trả lời ngắn
Tự lập mô hình và điền kết quả, không có phương án gợi ý:
- Tính độ dài của u=(2;3;-2).
Đáp án
√17
- Từ điểm A(3;4;-1), đi theo vectơ v=(0;-1;2) hai lần. Tìm điểm đến.
Đáp án
(3;2;3)
- Tính tích vô hướng u·v với u=(4;2;-2), v=(2;-2;3).
Đáp án
-2
- Đường thẳng d có chỉ phương u=(1;m;0), mặt phẳng (P):x+3y=0. Có bao nhiêu giá trị thực m để góc giữa d và (P) bằng 30°? Phân biệt góc với pháp tuyến và kiểm nghiệm sau bình phương.
Đáp án
2
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Tính độ dài của u=(1;3;-1).
Gợi ý: Lấy căn tổng bình phương ba tọa độ.
Lời giải: |u|=√((1)²+(3)²+(-1)²)=√11.
Giải thích: Độ dài vectơ luôn không âm.
Lỗi cần tránh: Cộng tọa độ rồi lấy trị tuyệt đối.
Cách khác: Kiểm bằng u·u=|u|².
TỰ LUẬN 2Một đường có vectơ chỉ phương u=(2;3;0), mặt phẳng có pháp tuyến n=(0;2;3). Tính sin góc giữa đường và mặt phẳng. Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.
Gợi ý: Góc đường–mặt bù phụ với góc đường–pháp tuyến.
Lời giải: sinα=|u·n|/(|u||n|)=0,4615.
Giải thích: Dùng sin cho góc đường–mặt, trong khi cos dùng cho góc đường–pháp tuyến.
Lỗi cần tránh: Dùng cos rồi gọi đó là góc đường–mặt.
Cách khác: Nếu u·n=0 thì đường song song mặt phẳng và α=0.
TỰ LUẬN 3Một đường có vectơ chỉ phương u=(1;2;0), mặt phẳng có pháp tuyến n=(0;1;2). Tính sin góc giữa đường và mặt phẳng.
Gợi ý: Góc đường–mặt bù phụ với góc đường–pháp tuyến.
Lời giải: sinα=|u·n|/(|u||n|)=0,4.
Giải thích: Dùng sin cho góc đường–mặt, trong khi cos dùng cho góc đường–pháp tuyến.
Lỗi cần tránh: Dùng cos rồi gọi đó là góc đường–mặt.
Cách khác: Nếu u·n=0 thì đường song song mặt phẳng và α=0.
TỰ LUẬN 4Một đường có vectơ chỉ phương u=(3;3;0), mặt phẳng có pháp tuyến n=(0;2;4). Tính sin góc giữa đường và mặt phẳng. Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.
Gợi ý: Góc đường–mặt bù phụ với góc đường–pháp tuyến.
Lời giải: sinα=|u·n|/(|u||n|)=0,3162.
Giải thích: Dùng sin cho góc đường–mặt, trong khi cos dùng cho góc đường–pháp tuyến.
Lỗi cần tránh: Dùng cos rồi gọi đó là góc đường–mặt.
Cách khác: Nếu u·n=0 thì đường song song mặt phẳng và α=0.
TỰ LUẬN 5Tính độ dài của u=(4;3;-2).
Gợi ý: Lấy căn tổng bình phương ba tọa độ.
Lời giải: |u|=√((4)²+(3)²+(-2)²)=√29.
Giải thích: Độ dài vectơ luôn không âm.
Lỗi cần tránh: Cộng tọa độ rồi lấy trị tuyệt đối.
Cách khác: Kiểm bằng u·u=|u|².
TỰ LUẬN 6Hai mặt phẳng có pháp tuyến n₁=(2;2;0), n₂=(0;1;3). Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng. Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.
Gợi ý: Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc nhọn giữa hai pháp tuyến.
Lời giải: cosβ=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|)=0,2236.
Giải thích: Phương trình mặt phẳng chỉ cần ba hệ số của x,y,z để tính góc.
Lỗi cần tránh: Dùng hệ số tự do d trong tích vô hướng.
Cách khác: Nhân một phương trình với số khác 0 không làm góc đổi.
TỰ LUẬN 7Hai mặt phẳng có pháp tuyến n₁=(1;3;0), n₂=(0;2;2). Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng. Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.
Gợi ý: Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc nhọn giữa hai pháp tuyến.
Lời giải: cosβ=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|)=0,6708.
Giải thích: Phương trình mặt phẳng chỉ cần ba hệ số của x,y,z để tính góc.
Lỗi cần tránh: Dùng hệ số tự do d trong tích vô hướng.
Cách khác: Nhân một phương trình với số khác 0 không làm góc đổi.
TỰ LUẬN 8Hai vectơ có độ dài 3 và 4, góc giữa chúng bằng 60°. Tích vô hướng là bao nhiêu?
Gợi ý: u·v=|u||v|cos60°=3·4·1/2=6.
Lời giải: u·v=|u||v|cos60°=3·4·1/2=6. Vậy kết quả cần chọn là 6.
Giải thích: u·v=|u||v|cos60°=3·4·1/2=6. Vậy kết quả cần chọn là 6.
Lỗi cần tránh: Nhầm tích vô hướng với tích độ dài hoặc bỏ qua tọa độ có dấu âm.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 9Tính độ dài của u=(3;3;-1).
Gợi ý: Lấy căn tổng bình phương ba tọa độ.
Lời giải: |u|=√((3)²+(3)²+(-1)²)=√19.
Giải thích: Độ dài vectơ luôn không âm.
Lỗi cần tránh: Cộng tọa độ rồi lấy trị tuyệt đối.
Cách khác: Kiểm bằng u·u=|u|².
TỰ LUẬN 10A(2;1;0), B(0;3;2), M là trung điểm AB. Hình chiếu vuông góc của M lên (Oyz) là điểm nào? Các lựa chọn: A. (1; 2; 1) ; B. (0; 1; 2) ; C. (0; 2; 0) ; D. (0; 2; 1)
Gợi ý: M=(1;2;1); chiếu lên (Oyz), giữ y,z và đặt x=0, được (0;2;1).
Lời giải: M=(1;2;1); chiếu lên (Oyz), giữ y,z và đặt x=0, được (0;2;1). Vậy kết quả cần chọn là (0; 2; 1).
Giải thích: M=(1;2;1); chiếu lên (Oyz), giữ y,z và đặt x=0, được (0;2;1). Vậy kết quả cần chọn là (0; 2; 1).
Lỗi cần tránh: Quên hệ số 2/3 của trọng tâm hoặc đổi nhầm dấu khi lấy tọa độ điểm.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 11Kiểm tra hai vectơ u=(1;2;0), v=(0;1;2) có vuông góc không.
Gợi ý: Tính tích vô hướng.
Lời giải: u·v=2, nên hai vectơ không vuông góc.
Giải thích: Hai vectơ khác 0 vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng bằng 0.
Lỗi cần tránh: So sánh độ dài thay vì tích vô hướng.
Cách khác: Tính lại theo từng tọa độ.
TỰ LUẬN 12Đường thẳng d tạo với pháp tuyến của mặt phẳng (P) góc 20°. Góc giữa d và (P) là bao nhiêu?
Gợi ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bù phụ với góc nhọn giữa đường thẳng và pháp tuyến.
Lời giải: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bù phụ với góc nhọn giữa đường thẳng và pháp tuyến. Góc cần tìm bằng 90°−20°=70°.
Giải thích: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bù phụ với góc nhọn giữa đường thẳng và pháp tuyến. Góc cần tìm bằng 90°−20°=70°.
Lỗi cần tránh: Lấy luôn góc với pháp tuyến làm góc với mặt phẳng.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 13Tính độ dài của u=(2;3;-2).
Gợi ý: Lấy căn tổng bình phương ba tọa độ.
Lời giải: |u|=√((2)²+(3)²+(-2)²)=√17.
Giải thích: Độ dài vectơ luôn không âm.
Lỗi cần tránh: Cộng tọa độ rồi lấy trị tuyệt đối.
Cách khác: Kiểm bằng u·u=|u|².
TỰ LUẬN 14Đường thẳng d có chỉ phương u=(1;m;0), mặt phẳng (P):x+5y=0. Có bao nhiêu giá trị thực m để góc giữa d và (P) bằng 30°? Phân biệt góc với pháp tuyến và kiểm nghiệm sau bình phương.
Gợi ý: sin30°=|1+5m|/[√26√(1+m²)]=1/2
Lời giải: sin30°=|1+5m|/[√26√(1+m²)]=1/2. Bình phương cho 4(1+5m)²=26(1+m²), hay 74m²+40m−22=0. Biệt thức bằng 8112>0, hệ số bậc hai khác 0, nên có hai nghiệm. Thay lại được tỉ số không âm đúng bằng 1/2; u luôn khác vectơ-không nên không mất điều kiện.
Giải thích: sin30°=|1+5m|/[√26√(1+m²)]=1/2. Bình phương cho 4(1+5m)²=26(1+m²), hay 74m²+40m−22=0. Biệt thức bằng 8112>0, hệ số bậc hai khác 0, nên có hai nghiệm. Thay lại được tỉ số không âm đúng bằng 1/2; u luôn khác vectơ-không nên không mất điều kiện.
Lỗi cần tránh: Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
TỰ LUẬN 15Hai mặt phẳng (P): x+y+z=1 và (Q): x−y=0 có quan hệ gì?
Gợi ý: Pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là (1;1;1) và (1;−1;0).
Lời giải: Pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là (1;1;1) và (1;−1;0). Tích vô hướng 1−1+0=0, nên (P) vuông góc (Q).
Giải thích: Pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là (1;1;1) và (1;−1;0). Tích vô hướng 1−1+0=0, nên (P) vuông góc (Q).
Lỗi cần tránh: Chỉ nhìn các hệ số mà không tính tích vô hướng.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 16Đường thẳng có vectơ chỉ phương u=(1;2;2), mặt phẳng (Oxy). Cos của góc giữa đường thẳng và (Oxy) bằng bao nhiêu?
Gợi ý: Hình chiếu của u lên (Oxy) là (1;2;0), có độ dài √5.
Lời giải: Hình chiếu của u lên (Oxy) là (1;2;0), có độ dài √5. |u|=3 nên cos của góc đường–mặt bằng √5/3.
Giải thích: Hình chiếu của u lên (Oxy) là (1;2;0), có độ dài √5. |u|=3 nên cos của góc đường–mặt bằng √5/3.
Lỗi cần tránh: Dùng thành phần pháp tuyến 2/3 làm cos thay vì sin.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 17Từ điểm A(3;4;-1), đi theo vectơ v=(0;-1;5) hai lần. Tìm điểm đến.
Gợi ý: Tính A+2v theo từng tọa độ.
Lời giải: A+2v=(3;2;9).
Giải thích: Đây là cầu nối trực tiếp sang phương trình tham số đường thẳng.
Lỗi cần tránh: Nhân hệ số 2 cho điểm A thay vì vectơ v.
Cách khác: Thay t=2 vào A+tv.
TỰ LUẬN 18Trong Oxyz, u = (3; 1; 0) vuông góc với v = (1; m; 0). Giá trị m là Các lựa chọn: A. 0 ; B. -0.3333333333333333 ; C. 3 ; D. -3
Gợi ý: u ⟂ v ⇔ u·v = 0.
Lời giải: u ⟂ v ⇔ u·v = 0. 3·1 + 1·m = 0 ⇔ m = -3.
Giải thích: u ⟂ v ⇔ u·v = 0. 3·1 + 1·m = 0 ⇔ m = -3.
Lỗi cần tránh: Đặt tích các độ dài bằng 0 thay vì tích vô hướng.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 19Trong Oxyz, u = (2; 1; −1), v = (1; 5; 2). Góc giữa u và v thuộc loại nào? Các lựa chọn: A. Góc nhọn ; B. Góc tù ; C. Hai vectơ cùng phương ; D. Góc vuông
Gợi ý: u·v=2+5−2=5>0 nên cos góc dương.
Lời giải: u·v=2+5−2=5>0 nên cos góc dương. Hai vectơ khác 0 và không cùng phương, vậy góc giữa chúng là góc nhọn.
Giải thích: u·v=2+5−2=5>0 nên cos góc dương. Hai vectơ khác 0 và không cùng phương, vậy góc giữa chúng là góc nhọn.
Lỗi cần tránh: Nhầm dấu tích vô hướng và loại góc.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 20Cho u = (3; 4; 2) và v = (1; −1; m). Tìm m để u vuông góc với v.
Gợi ý: u ⟂ v khi u·v = 0: 3 − 4 + 2m = 0.
Lời giải: u ⟂ v khi u·v = 0: 3 − 4 + 2m = 0. Suy ra m = (4 − 3)/2 = 1/2.
Giải thích: u ⟂ v khi u·v = 0: 3 − 4 + 2m = 0. Suy ra m = (4 − 3)/2 = 1/2.
Lỗi cần tránh: Quên hệ số của m hoặc chuyển vế sai dấu.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B16-NB-01, B16-NB-02, B16-NB-03, B16-NB-04, B16-NB-05, B16-NB-06, B16-NB-07, B16-NB-08, B16-NB-09, B16-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B16-NB-01: √11
- B16-NB-02: (2;0;4)
- B16-NB-03: 0
- B16-NB-04: Để góc không phụ thuộc hướng chọn vectơ
- B16-NB-05: 0,4
- B16-NB-06: 0,4615
- B16-NB-07: 0,1345
- B16-NB-08: Không
- B16-NB-09: Vuông góc
- B16-NB-10: 0,3162
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 5
10 câu đại diện: B16-NB-11, B16-NB-12, B16-NB-13, B16-NB-14, B16-NB-15, B16-NB-16, B16-NB-17, B16-NB-18, B16-NB-19, B16-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B16-NB-11: 0,4
- B16-NB-12: 0,4615
- B16-NB-13: Không
- B16-NB-14: -1/2
- B16-NB-15: 0,2236
- B16-NB-16: 0,3162
- B16-NB-17: 0,4
- B16-NB-18: Không
- B16-NB-19: 60°
- B16-NB-20: 0,6708
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B16-TH-01, B16-TH-02, B16-TH-03, B16-TH-04, B16-TH-05, B16-TH-06, B16-TH-07, B16-TH-08, B16-TH-09, B16-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B16-TH-01: √29
- B16-TH-02: (1;2;1)
- B16-TH-03: -4
- B16-TH-04: 0,1345
- B16-TH-05: 0,6708
- B16-TH-06: 0,2236
- B16-TH-07: Không
- B16-TH-08: 5
- B16-TH-09: 0,4615
- B16-TH-10: 0,1345
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B16-TH-11, B16-TH-12, B16-TH-13, B16-TH-14, B16-TH-15, B16-TH-16, B16-TH-17, B16-TH-18, B16-TH-19, B16-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B16-TH-11: 0,6708
- B16-TH-12: Không
- B16-TH-13: −5
- B16-TH-14: 12
- B16-TH-15: 5
- B16-TH-16: 6
- B16-TH-17: 18
- B16-TH-18: (0; 3; 0)
- B16-TH-19: 14
- B16-TH-20: −3/8
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề ôn tốt nghiệp tổng hợp
10 câu đại diện: B16-VD-01, B16-VD-02, B16-VD-03, B16-VD-04, B16-VD-05, B16-VD-06, B16-VD-07, B16-VD-08, B16-VD-09, B16-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B16-VD-01: √19
- B16-VD-02: (4;0;6)
- B16-VD-03: -5
- B16-VD-04: 118/7
- B16-VD-05: −4/9
- B16-VD-06: (0; 2; 1)
- B16-VD-07: 3
- B16-VD-08: 45°
- B16-VD-09: 0,2236
- B16-VD-10: 0,3162
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.