Biến dữ kiện thành quyết định
Bài học giúp mô hình hóa vùng phủ sóng, radar, bể cầu, vùng an toàn, thiên văn và cảm biến bằng công cụ có thể kiểm chứng.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài 17. Phương trình mặt cầu
Viết và đọc phương trình mặt cầu, hoàn thành bình phương, xét vị trí điểm–mặt phẳng với mặt cầu và vận dụng khoảng cách trong mô hình vùng phủ.
Dấu trong ngoặc ngược tọa độ tâm; vế phải là bình phương bán kính
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Biết đọc dữ kiện, nêu điều kiện, thực hiện và giải thích kết quả.
Gọi đúng nền
Kích hoạt bài 14–16, khoảng cách hai điểm và hoàn thành bình phương rồi chuẩn bị cho Cổng cuối Chương 5.
Ba dạng, một bản chất
Luyện nhiều lựa chọn, đúng–sai và trả lời ngắn trên cùng một mạch suy luận.
- Viết phương trình mặt cầu từ tâm và bán kính.
- Tìm tâm, bán kính từ phương trình khai triển.
- Xét vị trí điểm và mặt phẳng đối với mặt cầu.
- Giải bài toán vùng phủ và tiếp xúc cơ bản.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Bài 14–16, khoảng cách hai điểm và hoàn thành bình phương.
- Viết miền xác định, đối tượng, phân hoạch hoặc đơn vị trước phép tính.
- Dự đoán dấu, độ lớn, vị trí hoặc miền giá trị của kết quả.
- Kiểm bằng đạo hàm, phép thế, hình học, bảng tần số hoặc công thức thứ hai.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Phương trình tâm–bán kính
Hiểu đơn giản: Mọi điểm trên mặt cầu cách tâm đúng một bán kính.
(S):(x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R², R>0.
Ví dụ: Tâm (1;−2;3), R=4 ⇒ (x−1)²+(y+2)²+(z−3)²=16.
Hình nên dùng: Tâm và bán kính quay trong không gian.
Mô phỏng: Kéo tâm và R.
Mẹo nhớ: Ngoặc ngược dấu, vế phải bình phương.
Sai lầm: Đọc tâm (1;2;3) từ (y+2)².
Ghi chú: Mặt cầu là bề mặt; khối cầu gồm cả phần trong.
Dạng khai triển
Hiểu đơn giản: Hoàn thành bình phương để lộ tâm và bán kính.
x²+y²+z²−2ax−2by−2cz+d=0 ⇒ I(a;b;c), R²=a²+b²+c²−d.
Ví dụ: x²−2x=(x−1)²−1.
Hình nên dùng: Ba ô hoàn thành bình phương.
Mô phỏng: Điều chỉnh hệ số tự do.
Mẹo nhớ: Nửa hệ số tuyến tính, đổi dấu.
Sai lầm: Quên cộng bù ở vế còn lại.
Ghi chú: Phải có R²>0 để là mặt cầu thực.
Vị trí điểm và mặt phẳng
Hiểu đơn giản: So khoảng cách với bán kính thay vì giải hệ dài.
IM<R: trong; IM=R: trên; IM>R: ngoài. Với mặt phẳng, so d(I,(P)) với R.
Ví dụ: d(I,(P))=R ⇒ mặt phẳng tiếp xúc.
Hình nên dùng: Ba trạng thái cắt–tiếp xúc–không giao.
Mô phỏng: Kéo mặt phẳng qua mặt cầu.
Mẹo nhớ: Khoảng cách so bán kính.
Sai lầm: Chỉ nhìn hình vẽ để đoán.
Ghi chú: Nếu d<R, giao tuyến là một đường tròn.
Mô hình vùng phủ
Hiểu đơn giản: Khoảng cách 3D giúp quyết định điểm có nằm trong vùng bán kính cho trước.
M thuộc khối cầu khi IM≤R.
Ví dụ: Trạm phát tại I, điểm nhận M dùng khoảng cách IM.
Hình nên dùng: Bản đồ vùng phủ dạng cầu.
Mô phỏng: Di chuyển điểm M.
Mẹo nhớ: Vùng phủ dùng ≤, bề mặt dùng =.
Sai lầm: Dùng đúng phương trình mặt cầu nên bỏ các điểm bên trong.
Ghi chú: Luôn đọc đơn vị và hệ trục thực tế.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB TỌA ĐỘ OXYZ
Thế điểm, đọc pháp tuyến và tính khoảng cách
Nhập M(x,y,z) và mặt phẳng ax+by+cz+d=0, mỗi bộ cách nhau bằng dấu phẩy. Công cụ cho biết vị trí của M và khoảng cách vuông góc.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B17-NB-04
Đề bài: Viết phương trình mặt cầu tâm I(3;-2;2), bán kính R=2.
Phân tích: Dùng (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R².
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Dùng (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R².
- Bước 2: (x−3)²+(y+2)²+(z−2)²=4.
- Bước 3: Kết luận Tâm (3;-2;2), R=2.
Vì sao: Mặt cầu là tập hợp điểm cách tâm một khoảng không đổi R.
Cách khác: Thế điểm I vào vế trái phải được 0.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Vế phải dùng R thay vì R² hoặc sai dấu tọa độ tâm.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B17-NB-14
Đề bài: Viết phương trình mặt cầu tâm I(1;-2;3), bán kính R=2.
Phân tích: Dùng (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R².
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Dùng (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R².
- Bước 2: (x−1)²+(y+2)²+(z−3)²=4.
- Bước 3: Kết luận Tâm (1;-2;3), R=2.
Vì sao: Mặt cầu là tập hợp điểm cách tâm một khoảng không đổi R.
Cách khác: Thế điểm I vào vế trái phải được 0.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Vế phải dùng R thay vì R² hoặc sai dấu tọa độ tâm.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • B17-TH-04
Đề bài: Điểm M(5;-1;2) nằm ở đâu so với mặt cầu tâm I(2;-1;2), bán kính 3?
Phân tích: So sánh IM² với R².
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: So sánh IM² với R².
- Bước 2: IM²=9=R², nên M nằm trên mặt cầu.
- Bước 3: Kết luận Trên mặt cầu.
Vì sao: Dùng bình phương khoảng cách tránh lấy căn không cần thiết.
Cách khác: Thế M vào phương trình mặt cầu.
Tự kiểm: Chặn lỗi: So sánh từng tọa độ riêng lẻ với bán kính.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B17-TH-14
Đề bài: Điểm M(7;-1;3) nằm ở đâu so với mặt cầu tâm I(4;-1;3), bán kính 3?
Phân tích: So sánh IM² với R².
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: So sánh IM² với R².
- Bước 2: IM²=9=R², nên M nằm trên mặt cầu.
- Bước 3: Kết luận Trên mặt cầu.
Vì sao: Dùng bình phương khoảng cách tránh lấy căn không cần thiết.
Cách khác: Thế M vào phương trình mặt cầu.
Tự kiểm: Chặn lỗi: So sánh từng tọa độ riêng lẻ với bán kính.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B17-VD-04
Đề bài: Xác định tâm, bán kính của x²+y²+z²−2x+0y−4z−11=0.
Phân tích: Hoàn thành bình phương theo x,y,z.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Hoàn thành bình phương theo x,y,z.
- Bước 2: Tâm I(1;0;2), bán kính R=4.
- Bước 3: Kết luận I(1;0;2), R=4.
Vì sao: Hệ số tuyến tính bằng −2 lần tọa độ tâm.
Cách khác: Khai triển phương trình tâm–bán kính để kiểm.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy trực tiếp hệ số x,y,z làm tọa độ tâm.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • B17-VD-14
Đề bài: Xác định tâm, bán kính của x²+y²+z²−6x+0y−6z+2=0.
Phân tích: Hoàn thành bình phương theo x,y,z.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Hoàn thành bình phương theo x,y,z.
- Bước 2: Tâm I(3;0;3), bán kính R=4.
- Bước 3: Kết luận I(3;0;3), R=4.
Vì sao: Hệ số tuyến tính bằng −2 lần tọa độ tâm.
Cách khác: Khai triển phương trình tâm–bán kính để kiểm.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Lấy trực tiếp hệ số x,y,z làm tọa độ tâm.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B17-VDC-04
Đề bài: Mặt phẳng x−9=0 có tiếp xúc mặt cầu tâm I(4;1;2), bán kính 5 không?
Phân tích: So sánh khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng với bán kính.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: So sánh khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng với bán kính.
- Bước 2: d(I,(P))=5=R nên mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu.
- Bước 3: Kết luận Có.
Vì sao: Mặt phẳng tiếp xúc khi khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng đúng bằng bán kính.
Cách khác: Tìm tiếp điểm trên đường vuông góc từ tâm.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Chỉ kiểm một điểm bất kì của mặt phẳng.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • B17-VDC-14
Đề bài: Mặt phẳng x−7=0 có tiếp xúc mặt cầu tâm I(2;1;3), bán kính 5 không?
Phân tích: So sánh khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng với bán kính.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: So sánh khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng với bán kính.
- Bước 2: d(I,(P))=5=R nên mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu.
- Bước 3: Kết luận Có.
Vì sao: Mặt phẳng tiếp xúc khi khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng đúng bằng bán kính.
Cách khác: Tìm tiếp điểm trên đường vuông góc từ tâm.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Chỉ kiểm một điểm bất kì của mặt phẳng.
09 • Thực tếVí dụ 9 • B17-TT-04
Đề bài: Một vùng phủ sóng là khối cầu tâm I(3;2;2), bán kính 6 km. Điểm M(10;2;2) có thuộc vùng phủ không?
Phân tích: Điểm thuộc khối cầu khi IM≤R.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Điểm thuộc khối cầu khi IM≤R.
- Bước 2: IM=7>6, nên M ở ngoài vùng phủ.
- Bước 3: Kết luận Không.
Vì sao: Bài toán vùng phủ dùng cả bên trong và mặt cầu, không chỉ bề mặt.
Cách khác: So sánh IM² với R².
Tự kiểm: Chặn lỗi: Chỉ xét phương trình mặt cầu bằng dấu bằng.
10 • Thực tếVí dụ 10 • B17-TT-14
Đề bài: Một vùng phủ sóng là khối cầu tâm I(1;2;3), bán kính 6 km. Điểm M(8;2;3) có thuộc vùng phủ không?
Phân tích: Điểm thuộc khối cầu khi IM≤R.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Điểm thuộc khối cầu khi IM≤R.
- Bước 2: IM=7>6, nên M ở ngoài vùng phủ.
- Bước 3: Kết luận Không.
Vì sao: Bài toán vùng phủ dùng cả bên trong và mặt cầu, không chỉ bề mặt.
Cách khác: So sánh IM² với R².
Tự kiểm: Chặn lỗi: Chỉ xét phương trình mặt cầu bằng dấu bằng.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua phương trình mặt cầu
Tình huống 1 dùng vùng phủ sóng, radar, bể cầu, vùng an toàn, thiên văn và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Trường học qua phương trình mặt cầu
Tình huống 2 dùng vùng phủ sóng, radar, bể cầu, vùng an toàn, thiên văn và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua phương trình mặt cầu
Tình huống 3 dùng vùng phủ sóng, radar, bể cầu, vùng an toàn, thiên văn và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua phương trình mặt cầu
Tình huống 4 dùng vùng phủ sóng, radar, bể cầu, vùng an toàn, thiên văn và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua phương trình mặt cầu
Tình huống 5 dùng vùng phủ sóng, radar, bể cầu, vùng an toàn, thiên văn và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua phương trình mặt cầu
Tình huống 6 dùng vùng phủ sóng, radar, bể cầu, vùng an toàn, thiên văn và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua phương trình mặt cầu
Tình huống 7 dùng vùng phủ sóng, radar, bể cầu, vùng an toàn, thiên văn và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua phương trình mặt cầu
Tình huống 8 dùng vùng phủ sóng, radar, bể cầu, vùng an toàn, thiên văn và cảm biến; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Phương trình tâm–bán kính theo cách trực quan?
Mọi điểm trên mặt cầu cách tâm đúng một bán kính. Phát biểu chính xác: (S):(x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R², R>0. Ví dụ: Tâm (1;−2;3), R=4 ⇒ (x−1)²+(y+2)²+(z−3)²=16. Mẹo: Ngoặc ngược dấu, vế phải bình phương. Cần tránh: Đọc tâm (1;2;3) từ (y+2)².
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Đọc sai dấu tọa độ tâm
Đọc tâm (1;2;3) từ (y+2)². Sửa bằng: Ngoặc ngược dấu, vế phải bình phương. Kiểm cuối: Mặt cầu là bề mặt; khối cầu gồm cả phần trong.
Lấy vế phải làm bán kính thay vì R²
Quên cộng bù ở vế còn lại. Sửa bằng: Nửa hệ số tuyến tính, đổi dấu. Kiểm cuối: Phải có R²>0 để là mặt cầu thực.
Hoàn thành bình phương thiếu số bù
Chỉ nhìn hình vẽ để đoán. Sửa bằng: Khoảng cách so bán kính. Kiểm cuối: Nếu d<R, giao tuyến là một đường tròn.
Nhầm mặt cầu với khối cầu
Dùng đúng phương trình mặt cầu nên bỏ các điểm bên trong. Sửa bằng: Vùng phủ dùng ≤, bề mặt dùng =. Kiểm cuối: Luôn đọc đơn vị và hệ trục thực tế.
Xét tiếp xúc không dùng khoảng cách từ tâm
Đọc tâm (1;2;3) từ (y+2)². Sửa bằng: Ngoặc ngược dấu, vế phải bình phương. Kiểm cuối: Mặt cầu là bề mặt; khối cầu gồm cả phần trong.
Đọc sai dấu tọa độ tâm – tình huống 6
Quên cộng bù ở vế còn lại. Sửa bằng: Nửa hệ số tuyến tính, đổi dấu. Kiểm cuối: Phải có R²>0 để là mặt cầu thực.
Lấy vế phải làm bán kính thay vì R² – tình huống 7
Chỉ nhìn hình vẽ để đoán. Sửa bằng: Khoảng cách so bán kính. Kiểm cuối: Nếu d<R, giao tuyến là một đường tròn.
Hoàn thành bình phương thiếu số bù – tình huống 8
Dùng đúng phương trình mặt cầu nên bỏ các điểm bên trong. Sửa bằng: Vùng phủ dùng ≤, bề mặt dùng =. Kiểm cuối: Luôn đọc đơn vị và hệ trục thực tế.
Nhầm mặt cầu với khối cầu – tình huống 9
Đọc tâm (1;2;3) từ (y+2)². Sửa bằng: Ngoặc ngược dấu, vế phải bình phương. Kiểm cuối: Mặt cầu là bề mặt; khối cầu gồm cả phần trong.
Xét tiếp xúc không dùng khoảng cách từ tâm – tình huống 10
Quên cộng bù ở vế còn lại. Sửa bằng: Nửa hệ số tuyến tính, đổi dấu. Kiểm cuối: Phải có R²>0 để là mặt cầu thực.
Đọc sai dấu tọa độ tâm – tình huống 11
Chỉ nhìn hình vẽ để đoán. Sửa bằng: Khoảng cách so bán kính. Kiểm cuối: Nếu d<R, giao tuyến là một đường tròn.
Lấy vế phải làm bán kính thay vì R² – tình huống 12
Dùng đúng phương trình mặt cầu nên bỏ các điểm bên trong. Sửa bằng: Vùng phủ dùng ≤, bề mặt dùng =. Kiểm cuối: Luôn đọc đơn vị và hệ trục thực tế.
Hoàn thành bình phương thiếu số bù – tình huống 13
Đọc tâm (1;2;3) từ (y+2)². Sửa bằng: Ngoặc ngược dấu, vế phải bình phương. Kiểm cuối: Mặt cầu là bề mặt; khối cầu gồm cả phần trong.
Nhầm mặt cầu với khối cầu – tình huống 14
Quên cộng bù ở vế còn lại. Sửa bằng: Nửa hệ số tuyến tính, đổi dấu. Kiểm cuối: Phải có R²>0 để là mặt cầu thực.
Xét tiếp xúc không dùng khoảng cách từ tâm – tình huống 15
Chỉ nhìn hình vẽ để đoán. Sửa bằng: Khoảng cách so bán kính. Kiểm cuối: Nếu d<R, giao tuyến là một đường tròn.
Đọc sai dấu tọa độ tâm – tình huống 16
Dùng đúng phương trình mặt cầu nên bỏ các điểm bên trong. Sửa bằng: Vùng phủ dùng ≤, bề mặt dùng =. Kiểm cuối: Luôn đọc đơn vị và hệ trục thực tế.
Lấy vế phải làm bán kính thay vì R² – tình huống 17
Đọc tâm (1;2;3) từ (y+2)². Sửa bằng: Ngoặc ngược dấu, vế phải bình phương. Kiểm cuối: Mặt cầu là bề mặt; khối cầu gồm cả phần trong.
Hoàn thành bình phương thiếu số bù – tình huống 18
Quên cộng bù ở vế còn lại. Sửa bằng: Nửa hệ số tuyến tính, đổi dấu. Kiểm cuối: Phải có R²>0 để là mặt cầu thực.
Nhầm mặt cầu với khối cầu – tình huống 19
Chỉ nhìn hình vẽ để đoán. Sửa bằng: Khoảng cách so bán kính. Kiểm cuối: Nếu d<R, giao tuyến là một đường tròn.
Xét tiếp xúc không dùng khoảng cách từ tâm – tình huống 20
Dùng đúng phương trình mặt cầu nên bỏ các điểm bên trong. Sửa bằng: Vùng phủ dùng ≤, bề mặt dùng =. Kiểm cuối: Luôn đọc đơn vị và hệ trục thực tế.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chẩn đoán 5 phút
Làm ba câu nền và nói thành lời điều kiện của công cụ trước khi học mới.
Chu trình 5–25–10
5 phút gọi nền, 25 phút học một nút, 10 phút làm lại không nhìn lời giải.
Hai biểu diễn
Kiểm công thức bằng đạo hàm, đồ thị, hình Oxyz, bảng xác suất hoặc đơn vị.
Phản ví dụ bắt buộc
Mỗi định lí đi cùng một trường hợp thiếu điều kiện để tránh học thuộc máy móc.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi lỗi, nguyên nhân và phép tự kiểm; không chép lại toàn bộ lời giải.
Ôn cách quãng 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và qua cổng lại sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Phương trình mặt cầu1 2 3 4
Phương trình tâm–bán kính(S):(x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R², R>0. Ngoặc ngược dấu, vế phải bình phương.
Dạng khai triểnx²+y²+z²−2ax−2by−2cz+d=0 ⇒ I(a;b;c), R²=a²+b²+c²−d. Nửa hệ số tuyến tính, đổi dấu.
Vị trí điểm và mặt phẳngIM<R: trong; IM=R: trên; IM>R: ngoài. Với mặt phẳng, so d(I,(P)) với R. Khoảng cách so bán kính.
Mô hình vùng phủM thuộc khối cầu khi IM≤R. Vùng phủ dùng ≤, bề mặt dùng =.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
B17-NB-01Từ điểm A(2;4;-2), đi theo vectơ v=(0;-2;3) hai lần. Tìm điểm đến.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính A+2v theo từng tọa độ.
Lời giải: A+2v=(2;0;4).
Vì sao: Đây là cầu nối trực tiếp sang phương trình tham số đường thẳng.
Sai ở đâu: Nhân hệ số 2 cho điểm A thay vì vectơ v.
Cách khác: Thay t=2 vào A+tv.
B17-NB-02Tính tích vô hướng u·v với u=(3;2;-1), v=(2;-1;4).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhân các tọa độ cùng vị trí rồi cộng.
Lời giải: u·v=(3)·(2)+(2)·(-1)+(-1)·(4)=0.
Vì sao: Tích vô hướng tạo một số và là công cụ kiểm vuông góc.
Sai ở đâu: Nhân chéo tọa độ hoặc giữ kết quả là một vectơ.
Cách khác: Viết hai vectơ theo cột rồi nhân từng hàng.
B17-NB-03Tính độ dài của u=(4;3;-2).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy căn tổng bình phương ba tọa độ.
Lời giải: |u|=√((4)²+(3)²+(-2)²)=√29.
Vì sao: Độ dài vectơ luôn không âm.
Sai ở đâu: Cộng tọa độ rồi lấy trị tuyệt đối.
Cách khác: Kiểm bằng u·u=|u|².
B17-NB-04Viết phương trình mặt cầu tâm I(3;-2;2), bán kính R=2.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R².
Lời giải: (x−3)²+(y+2)²+(z−2)²=4.
Vì sao: Mặt cầu là tập hợp điểm cách tâm một khoảng không đổi R.
Sai ở đâu: Vế phải dùng R thay vì R² hoặc sai dấu tọa độ tâm.
Cách khác: Thế điểm I vào vế trái phải được 0.
B17-NB-05Điểm M(7;-1;3) nằm ở đâu so với mặt cầu tâm I(4;-1;3), bán kính 3?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: So sánh IM² với R².
Lời giải: IM²=9=R², nên M nằm trên mặt cầu.
Vì sao: Dùng bình phương khoảng cách tránh lấy căn không cần thiết.
Sai ở đâu: So sánh từng tọa độ riêng lẻ với bán kính.
Cách khác: Thế M vào phương trình mặt cầu.
B17-NB-06Xác định tâm, bán kính của x²+y²+z²−2x+0y−2z−14=0.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Hoàn thành bình phương theo x,y,z.
Lời giải: Tâm I(1;0;1), bán kính R=4.
Vì sao: Hệ số tuyến tính bằng −2 lần tọa độ tâm.
Sai ở đâu: Lấy trực tiếp hệ số x,y,z làm tọa độ tâm.
Cách khác: Khai triển phương trình tâm–bán kính để kiểm.
B17-NB-07Mặt phẳng x−7=0 có tiếp xúc mặt cầu tâm I(2;1;2), bán kính 5 không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: So sánh khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng với bán kính.
Lời giải: d(I,(P))=5=R nên mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu.
Vì sao: Mặt phẳng tiếp xúc khi khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng đúng bằng bán kính.
Sai ở đâu: Chỉ kiểm một điểm bất kì của mặt phẳng.
Cách khác: Tìm tiếp điểm trên đường vuông góc từ tâm.
B17-NB-08Một vùng phủ sóng là khối cầu tâm I(3;2;3), bán kính 6 km. Điểm M(10;2;3) có thuộc vùng phủ không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Điểm thuộc khối cầu khi IM≤R.
Lời giải: IM=7>6, nên M ở ngoài vùng phủ.
Vì sao: Bài toán vùng phủ dùng cả bên trong và mặt cầu, không chỉ bề mặt.
Sai ở đâu: Chỉ xét phương trình mặt cầu bằng dấu bằng.
Cách khác: So sánh IM² với R².
B17-NB-09Viết phương trình mặt cầu tâm I(4;-2;1), bán kính R=2.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R².
Lời giải: (x−4)²+(y+2)²+(z−1)²=4.
Vì sao: Mặt cầu là tập hợp điểm cách tâm một khoảng không đổi R.
Sai ở đâu: Vế phải dùng R thay vì R² hoặc sai dấu tọa độ tâm.
Cách khác: Thế điểm I vào vế trái phải được 0.
B17-NB-10Điểm M(4;-1;2) nằm ở đâu so với mặt cầu tâm I(1;-1;2), bán kính 3?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: So sánh IM² với R².
Lời giải: IM²=9=R², nên M nằm trên mặt cầu.
Vì sao: Dùng bình phương khoảng cách tránh lấy căn không cần thiết.
Sai ở đâu: So sánh từng tọa độ riêng lẻ với bán kính.
Cách khác: Thế M vào phương trình mặt cầu.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
[B17-NB-01] Từ điểm A(2;4;-2), đi theo vectơ v=(0;-2;3) hai lần. Tìm điểm đến.
BA DẠNG TRẮC NGHIỆM HIỆN HÀNH
Cùng một bản chất, ba cách kiểm tra năng lực
Định dạng ôn tốt nghiệp gồm nhiều lựa chọn, đúng–sai bốn ý và trả lời ngắn; tự luận phía sau dùng để học sâu, không gắn sai nhãn thành cấu trúc đề thi.
Nhiều lựa chọn
50 câu tự chấm ngay phía trên; phương án nhiễu xuất phát từ lỗi điều kiện, dấu, thứ tự hoặc thiếu ứng viên.
Chọn đáp án rồi đọc giải thích và ghi lỗi.Đúng–sai bốn ý
Một cụm mẫu dùng chung bối cảnh “Phương trình mặt cầu”:
- a) (S):(x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R², R>0.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Mọi điểm trên mặt cầu cách tâm đúng một bán kính. Ví dụ kiểm chứng: Tâm (1;−2;3), R=4 ⇒ (x−1)²+(y+2)²+(z−3)²=16.
- b) x²+y²+z²−2ax−2by−2cz+d=0 ⇒ I(a;b;c), R²=a²+b²+c²−d.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Hoàn thành bình phương để lộ tâm và bán kính. Ví dụ kiểm chứng: x²−2x=(x−1)²−1.
- c) IM<R: trong; IM=R: trên; IM>R: ngoài. Với mặt phẳng, so d(I,(P)) với R.
Đáp án và căn cứ
Đúng. So khoảng cách với bán kính thay vì giải hệ dài. Ví dụ kiểm chứng: d(I,(P))=R ⇒ mặt phẳng tiếp xúc.
- d) M thuộc khối cầu khi IM≤R.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Khoảng cách 3D giúp quyết định điểm có nằm trong vùng bán kính cho trước. Ví dụ kiểm chứng: Trạm phát tại I, điểm nhận M dùng khoảng cách IM.
Trả lời ngắn
Tự lập mô hình và điền kết quả, không có phương án gợi ý:
- Từ điểm A(3;4;-1), đi theo vectơ v=(0;-1;2) hai lần. Tìm điểm đến.
Đáp án
(3;2;3)
- Tính tích vô hướng u·v với u=(4;2;-2), v=(2;-2;3).
Đáp án
-2
- Tính độ dài của u=(1;3;-1).
Đáp án
√11
- Mặt phẳng x−9=0 có tiếp xúc mặt cầu tâm I(4;1;2), bán kính 5 không?
Đáp án
Có
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Từ điểm A(2;4;-2), đi theo vectơ v=(0;-2;3) hai lần. Tìm điểm đến.
Gợi ý: Tính A+2v theo từng tọa độ.
Lời giải: A+2v=(2;0;4).
Giải thích: Đây là cầu nối trực tiếp sang phương trình tham số đường thẳng.
Lỗi cần tránh: Nhân hệ số 2 cho điểm A thay vì vectơ v.
Cách khác: Thay t=2 vào A+tv.
TỰ LUẬN 2Xác định tâm, bán kính của x²+y²+z²−2x+0y−2z−14=0.
Gợi ý: Hoàn thành bình phương theo x,y,z.
Lời giải: Tâm I(1;0;1), bán kính R=4.
Giải thích: Hệ số tuyến tính bằng −2 lần tọa độ tâm.
Lỗi cần tránh: Lấy trực tiếp hệ số x,y,z làm tọa độ tâm.
Cách khác: Khai triển phương trình tâm–bán kính để kiểm.
TỰ LUẬN 3Xác định tâm, bán kính của x²+y²+z²−4x+0y−6z−3=0.
Gợi ý: Hoàn thành bình phương theo x,y,z.
Lời giải: Tâm I(2;0;3), bán kính R=4.
Giải thích: Hệ số tuyến tính bằng −2 lần tọa độ tâm.
Lỗi cần tránh: Lấy trực tiếp hệ số x,y,z làm tọa độ tâm.
Cách khác: Khai triển phương trình tâm–bán kính để kiểm.
TỰ LUẬN 4Xác định tâm, bán kính của x²+y²+z²−6x+0y−4z−3=0.
Gợi ý: Hoàn thành bình phương theo x,y,z.
Lời giải: Tâm I(3;0;2), bán kính R=4.
Giải thích: Hệ số tuyến tính bằng −2 lần tọa độ tâm.
Lỗi cần tránh: Lấy trực tiếp hệ số x,y,z làm tọa độ tâm.
Cách khác: Khai triển phương trình tâm–bán kính để kiểm.
TỰ LUẬN 5Từ điểm A(1;4;-1), đi theo vectơ v=(0;-1;1) hai lần. Tìm điểm đến.
Gợi ý: Tính A+2v theo từng tọa độ.
Lời giải: A+2v=(1;2;1).
Giải thích: Đây là cầu nối trực tiếp sang phương trình tham số đường thẳng.
Lỗi cần tránh: Nhân hệ số 2 cho điểm A thay vì vectơ v.
Cách khác: Thay t=2 vào A+tv.
TỰ LUẬN 6Mặt phẳng x−9=0 có tiếp xúc mặt cầu tâm I(4;1;1), bán kính 5 không?
Gợi ý: So sánh khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng với bán kính.
Lời giải: d(I,(P))=5=R nên mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu.
Giải thích: Mặt phẳng tiếp xúc khi khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng đúng bằng bán kính.
Lỗi cần tránh: Chỉ kiểm một điểm bất kì của mặt phẳng.
Cách khác: Tìm tiếp điểm trên đường vuông góc từ tâm.
TỰ LUẬN 7Mặt phẳng x−6=0 có tiếp xúc mặt cầu tâm I(1;1;3), bán kính 5 không?
Gợi ý: So sánh khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng với bán kính.
Lời giải: d(I,(P))=5=R nên mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu.
Giải thích: Mặt phẳng tiếp xúc khi khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng đúng bằng bán kính.
Lỗi cần tránh: Chỉ kiểm một điểm bất kì của mặt phẳng.
Cách khác: Tìm tiếp điểm trên đường vuông góc từ tâm.
TỰ LUẬN 8Mặt phẳng x−7=0 có tiếp xúc mặt cầu tâm I(2;1;2), bán kính 5 không?
Gợi ý: So sánh khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng với bán kính.
Lời giải: d(I,(P))=5=R nên mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu.
Giải thích: Mặt phẳng tiếp xúc khi khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng đúng bằng bán kính.
Lỗi cần tránh: Chỉ kiểm một điểm bất kì của mặt phẳng.
Cách khác: Tìm tiếp điểm trên đường vuông góc từ tâm.
TỰ LUẬN 9Từ điểm A(4;4;-2), đi theo vectơ v=(0;-2;4) hai lần. Tìm điểm đến.
Gợi ý: Tính A+2v theo từng tọa độ.
Lời giải: A+2v=(4;0;6).
Giải thích: Đây là cầu nối trực tiếp sang phương trình tham số đường thẳng.
Lỗi cần tránh: Nhân hệ số 2 cho điểm A thay vì vectơ v.
Cách khác: Thay t=2 vào A+tv.
TỰ LUẬN 10Một vùng phủ sóng là khối cầu tâm I(3;2;1), bán kính 6 km. Điểm M(10;2;1) có thuộc vùng phủ không?
Gợi ý: Điểm thuộc khối cầu khi IM≤R.
Lời giải: IM=7>6, nên M ở ngoài vùng phủ.
Giải thích: Bài toán vùng phủ dùng cả bên trong và mặt cầu, không chỉ bề mặt.
Lỗi cần tránh: Chỉ xét phương trình mặt cầu bằng dấu bằng.
Cách khác: So sánh IM² với R².
TỰ LUẬN 11Một vùng phủ sóng là khối cầu tâm I(4;2;3), bán kính 6 km. Điểm M(11;2;3) có thuộc vùng phủ không?
Gợi ý: Điểm thuộc khối cầu khi IM≤R.
Lời giải: IM=7>6, nên M ở ngoài vùng phủ.
Giải thích: Bài toán vùng phủ dùng cả bên trong và mặt cầu, không chỉ bề mặt.
Lỗi cần tránh: Chỉ xét phương trình mặt cầu bằng dấu bằng.
Cách khác: So sánh IM² với R².
TỰ LUẬN 12Một vùng phủ sóng là khối cầu tâm I(1;2;2), bán kính 6 km. Điểm M(8;2;2) có thuộc vùng phủ không?
Gợi ý: Điểm thuộc khối cầu khi IM≤R.
Lời giải: IM=7>6, nên M ở ngoài vùng phủ.
Giải thích: Bài toán vùng phủ dùng cả bên trong và mặt cầu, không chỉ bề mặt.
Lỗi cần tránh: Chỉ xét phương trình mặt cầu bằng dấu bằng.
Cách khác: So sánh IM² với R².
TỰ LUẬN 13Từ điểm A(3;4;-1), đi theo vectơ v=(0;-1;2) hai lần. Tìm điểm đến.
Gợi ý: Tính A+2v theo từng tọa độ.
Lời giải: A+2v=(3;2;3).
Giải thích: Đây là cầu nối trực tiếp sang phương trình tham số đường thẳng.
Lỗi cần tránh: Nhân hệ số 2 cho điểm A thay vì vectơ v.
Cách khác: Thay t=2 vào A+tv.
TỰ LUẬN 14Viết phương trình mặt cầu tâm I(2;-2;1), bán kính R=2.
Gợi ý: Dùng (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R².
Lời giải: (x−2)²+(y+2)²+(z−1)²=4.
Giải thích: Mặt cầu là tập hợp điểm cách tâm một khoảng không đổi R.
Lỗi cần tránh: Vế phải dùng R thay vì R² hoặc sai dấu tọa độ tâm.
Cách khác: Thế điểm I vào vế trái phải được 0.
TỰ LUẬN 15Viết phương trình mặt cầu tâm I(3;-2;3), bán kính R=2.
Gợi ý: Dùng (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R².
Lời giải: (x−3)²+(y+2)²+(z−3)²=4.
Giải thích: Mặt cầu là tập hợp điểm cách tâm một khoảng không đổi R.
Lỗi cần tránh: Vế phải dùng R thay vì R² hoặc sai dấu tọa độ tâm.
Cách khác: Thế điểm I vào vế trái phải được 0.
TỰ LUẬN 16Viết phương trình mặt cầu tâm I(4;-2;2), bán kính R=2.
Gợi ý: Dùng (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R².
Lời giải: (x−4)²+(y+2)²+(z−2)²=4.
Giải thích: Mặt cầu là tập hợp điểm cách tâm một khoảng không đổi R.
Lỗi cần tránh: Vế phải dùng R thay vì R² hoặc sai dấu tọa độ tâm.
Cách khác: Thế điểm I vào vế trái phải được 0.
TỰ LUẬN 17Từ điểm A(2;4;-2), đi theo vectơ v=(0;-2;5) hai lần. Tìm điểm đến.
Gợi ý: Tính A+2v theo từng tọa độ.
Lời giải: A+2v=(2;0;8).
Giải thích: Đây là cầu nối trực tiếp sang phương trình tham số đường thẳng.
Lỗi cần tránh: Nhân hệ số 2 cho điểm A thay vì vectơ v.
Cách khác: Thay t=2 vào A+tv.
TỰ LUẬN 18Điểm M(4;-1;1) nằm ở đâu so với mặt cầu tâm I(1;-1;1), bán kính 3?
Gợi ý: So sánh IM² với R².
Lời giải: IM²=9=R², nên M nằm trên mặt cầu.
Giải thích: Dùng bình phương khoảng cách tránh lấy căn không cần thiết.
Lỗi cần tránh: So sánh từng tọa độ riêng lẻ với bán kính.
Cách khác: Thế M vào phương trình mặt cầu.
TỰ LUẬN 19Điểm M(5;-1;3) nằm ở đâu so với mặt cầu tâm I(2;-1;3), bán kính 3?
Gợi ý: So sánh IM² với R².
Lời giải: IM²=9=R², nên M nằm trên mặt cầu.
Giải thích: Dùng bình phương khoảng cách tránh lấy căn không cần thiết.
Lỗi cần tránh: So sánh từng tọa độ riêng lẻ với bán kính.
Cách khác: Thế M vào phương trình mặt cầu.
TỰ LUẬN 20Điểm M(6;-1;2) nằm ở đâu so với mặt cầu tâm I(3;-1;2), bán kính 3?
Gợi ý: So sánh IM² với R².
Lời giải: IM²=9=R², nên M nằm trên mặt cầu.
Giải thích: Dùng bình phương khoảng cách tránh lấy căn không cần thiết.
Lỗi cần tránh: So sánh từng tọa độ riêng lẻ với bán kính.
Cách khác: Thế M vào phương trình mặt cầu.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B17-NB-01, B17-NB-02, B17-NB-03, B17-NB-04, B17-NB-05, B17-NB-06, B17-NB-07, B17-NB-08, B17-NB-09, B17-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B17-NB-01: (2;0;4)
- B17-NB-02: 0
- B17-NB-03: √29
- B17-NB-04: Tâm (3;-2;2), R=2
- B17-NB-05: Trên mặt cầu
- B17-NB-06: I(1;0;1), R=4
- B17-NB-07: Có
- B17-NB-08: Không
- B17-NB-09: Tâm (4;-2;1), R=2
- B17-NB-10: Trên mặt cầu
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 5
10 câu đại diện: B17-NB-11, B17-NB-12, B17-NB-13, B17-NB-14, B17-NB-15, B17-NB-16, B17-NB-17, B17-NB-18, B17-NB-19, B17-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B17-NB-11: I(2;0;3), R=4
- B17-NB-12: Có
- B17-NB-13: Không
- B17-NB-14: Tâm (1;-2;3), R=2
- B17-NB-15: Trên mặt cầu
- B17-NB-16: I(3;0;2), R=4
- B17-NB-17: Có
- B17-NB-18: Không
- B17-NB-19: Tâm (2;-2;2), R=2
- B17-NB-20: Trên mặt cầu
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B17-TH-01, B17-TH-02, B17-TH-03, B17-TH-04, B17-TH-05, B17-TH-06, B17-TH-07, B17-TH-08, B17-TH-09, B17-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B17-TH-01: (1;2;1)
- B17-TH-02: -4
- B17-TH-03: √19
- B17-TH-04: Trên mặt cầu
- B17-TH-05: I(3;0;3), R=4
- B17-TH-06: Có
- B17-TH-07: Không
- B17-TH-08: Tâm (2;-2;3), R=2
- B17-TH-09: Trên mặt cầu
- B17-TH-10: I(4;0;2), R=4
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B17-TH-11, B17-TH-12, B17-TH-13, B17-TH-14, B17-TH-15, B17-TH-16, B17-TH-17, B17-TH-18, B17-TH-19, B17-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B17-TH-11: Có
- B17-TH-12: Không
- B17-TH-13: Tâm (3;-2;2), R=2
- B17-TH-14: Trên mặt cầu
- B17-TH-15: I(1;0;1), R=4
- B17-TH-16: Có
- B17-TH-17: Không
- B17-TH-18: Tâm (4;-2;1), R=2
- B17-TH-19: Trên mặt cầu
- B17-TH-20: I(2;0;3), R=4
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề ôn tốt nghiệp tổng hợp
10 câu đại diện: B17-VD-01, B17-VD-02, B17-VD-03, B17-VD-04, B17-VD-05, B17-VD-06, B17-VD-07, B17-VD-08, B17-VD-09, B17-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B17-VD-01: (4;0;6)
- B17-VD-02: -5
- B17-VD-03: √17
- B17-VD-04: I(1;0;2), R=4
- B17-VD-05: Có
- B17-VD-06: Không
- B17-VD-07: Tâm (4;-2;2), R=2
- B17-VD-08: Trên mặt cầu
- B17-VD-09: I(2;0;1), R=4
- B17-VD-10: Có
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi phiên 40–55 phút; yêu cầu con nói điều kiện, dự đoán dấu hoặc miền giá trị trước khi tính.
- Không hỏi đáp số trước; hỏi vì sao chọn công cụ và kiểm kết quả bằng cách nào.
- Theo dõi ba lỗi lặp gần nhất, không gây áp lực bằng số câu đã làm.
- Mỗi tuần có một phiên 90 phút mô phỏng và một phiên chữa sâu theo sổ lỗi.
- Mở bài bằng một bối cảnh hoặc phản ví dụ có thể kiểm chứng.
- Chấm theo năm mốc: mô hình–điều kiện–công thức–tính toán–diễn giải.
- Trộn đúng 15% nền trực tiếp; không lấy câu cũ ngẫu nhiên chỉ để đủ tỉ lệ.
- Đề định hướng Hà Nội phải ghi là nội bộ tham khảo và có đủ ba dạng trắc nghiệm hiện hành.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.