Tách đúng nguyên nhân
Phân biệt lỗi mô hình, điều kiện, công thức, tính toán và diễn giải.
TOÁN THPT • CỐT LÕI + CHUYÊN ĐỀ LỰA CHỌN GDPT 2018HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủBài tập cuối Chương 5
Kiểm định trọn mạch mặt phẳng → đường thẳng → góc → mặt cầu; phân biệt đúng điểm, vectơ chỉ phương, pháp tuyến và đại lượng khoảng cách.
Qua cổng bằng mô hình, điều kiện, kết quả và phép tự kiểm; không qua bằng học thuộc đáp án
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Nhìn mạch cả chương
Câu tổng hợp buộc gọi các nút theo đúng thứ tự thay vì nhận dạng mẹo.
Ba dạng trắc nghiệm
Nhiều lựa chọn, đúng–sai bốn ý và trả lời ngắn cùng kiểm một năng lực.
Sửa lỗi rồi mới đi tiếp
Đạt điểm, giải thích được ba lỗi gần nhất và làm lại sau 7 ngày.
- Nhận biết vectơ pháp tuyến từ phương trình mặt phẳng.
- Lập phương trình mặt phẳng từ dữ kiện hình học.
- Xét song song, vuông góc và vị trí điểm.
- Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
- Lập phương trình đường thẳng từ một điểm và vectơ chỉ phương.
- Lập đường thẳng qua hai điểm.
- Kiểm tra điểm thuộc đường bằng một tham số thống nhất.
- Xét quan hệ đường–đường và đường–mặt ở mức chương trình.
- Tính góc giữa hai đường bằng vectơ chỉ phương.
- Tính góc giữa đường và mặt bằng chỉ phương–pháp tuyến.
- Tính góc giữa hai mặt phẳng bằng hai pháp tuyến.
- Chọn đúng sin/cos và tự kiểm kết quả.
- Viết phương trình mặt cầu từ tâm và bán kính.
- Tìm tâm, bán kính từ phương trình khai triển.
- Xét vị trí điểm và mặt phẳng đối với mặt cầu.
- 15% ôn nối từ chương hoặc lớp trước có quan hệ trực tiếp.
- Toán 12 Chương 2, tích vô hướng và quan hệ vuông góc không gian
- Bài 14, vectơ chỉ phương, phương trình tham số và hệ phương trình
- Bài 14–15, tích vô hướng, độ dài vectơ và góc không gian lớp 11
- Bài 14–16, khoảng cách hai điểm và hoàn thành bình phương
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Mỗi khối có khái niệm, ví dụ, gợi ý hình ảnh–mô phỏng, mẹo nhớ và cảnh báo lỗi.
Vectơ pháp tuyến và phương trình
Hiểu đơn giản: Pháp tuyến là mũi tên vuông góc với mọi hướng nằm trên mặt phẳng.
Mặt phẳng qua A(x₀;y₀;z₀), n=(a;b;c)≠0: a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0.
Ví dụ: Qua (1;0;0), n=(1;2;3): x+2y+3z−1=0.
Hình nên dùng: Mặt phẳng và mũi tên pháp tuyến.
Mô phỏng: Kéo điểm và pháp tuyến.
Mẹo nhớ: Điểm khóa d, pháp tuyến khóa a,b,c.
Sai lầm: Dùng tọa độ A làm a,b,c.
Ghi chú: Thế A vào phương trình phải được 0.
Mặt phẳng qua ba điểm
Hiểu đơn giản: Hai vectơ không cùng phương nằm trên mặt phẳng sẽ tạo được một pháp tuyến bằng tích có hướng.
Với A,B,C không thẳng hàng, n=AB×AC rồi lập mặt phẳng qua A.
Ví dụ: Ba điểm trên ba trục có thể dùng dạng đoạn chắn.
Hình nên dùng: Tam giác ABC và pháp tuyến.
Mô phỏng: Di chuyển C đến gần đường AB.
Mẹo nhớ: Hai hướng trong mặt → tích có hướng ra pháp tuyến.
Sai lầm: Không kiểm ba điểm thẳng hàng.
Ghi chú: Pháp tuyến tìm được phải vuông góc cả AB và AC.
Vị trí tương đối hai mặt phẳng
Hiểu đơn giản: So hướng pháp tuyến trước, rồi mới xét hệ số tự do để phân biệt song song và trùng.
n₁∥n₂: hai mặt phẳng song song hoặc trùng; n₁·n₂=0: vuông góc.
Ví dụ: x+y+z=1 và 2x+2y+2z=3 song song, không trùng.
Hình nên dùng: Ba trạng thái cắt–song song–trùng.
Mô phỏng: Nhân toàn phương trình.
Mẹo nhớ: So pháp tuyến trước, so d sau.
Sai lầm: Thấy hệ số x,y,z tỉ lệ là kết luận trùng.
Ghi chú: Hai mặt không song song thì cắt nhau theo một đường.
Khoảng cách điểm–mặt
Hiểu đơn giản: Đo độ dài hình chiếu vuông góc từ điểm tới mặt phẳng.
d(M,(P))=|ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²).
Ví dụ: M thuộc (P) thì khoảng cách bằng 0.
Hình nên dùng: Đoạn vuông góc từ M xuống mặt.
Mô phỏng: Nhân phương trình với k.
Mẹo nhớ: Tử trị tuyệt đối, mẫu độ dài pháp tuyến.
Sai lầm: Mẫu là a²+b²+c² mà không lấy căn.
Ghi chú: Nhân phương trình với số khác 0 không làm khoảng cách đổi.
Phương trình tham số
Hiểu đơn giản: Bắt đầu tại A rồi đi t lần theo hướng u.
d: x=x₀+at, y=y₀+bt, z=z₀+ct với u=(a;b;c)≠0.
Ví dụ: Qua (1;2;3), u=(2;−1;1).
Hình nên dùng: Điểm chạy trên đường theo thanh t.
Mô phỏng: Kéo t âm và dương.
Mẹo nhớ: Điểm + t lần hướng.
Sai lầm: Dùng ba tham số khác nhau.
Ghi chú: t=0 phải cho đúng điểm gốc A.
Dạng chính tắc
Hiểu đơn giản: Khi ba thành phần chỉ phương đều khác 0, ba tỉ số cùng bằng một tham số.
(x−x₀)/a=(y−y₀)/b=(z−z₀)/c, với abc≠0.
Ví dụ: Nếu một thành phần bằng 0 thì tọa độ tương ứng là hằng.
Hình nên dùng: Ba tỉ số nối bằng nhau.
Mô phỏng: Cho một thành phần tiến về 0.
Mẹo nhớ: Mẫu 0 thì chuyển sang tọa độ hằng.
Sai lầm: Viết phép chia cho 0.
Ghi chú: Dạng tham số luôn dùng được khi u≠0.
Đường qua hai điểm và điểm thuộc đường
Hiểu đơn giản: Hướng từ A đến B là B−A; điểm thuộc đường phải cho cùng một t.
u=AB; M∈d ⇔ tồn tại t sao cho M=A+tu.
Ví dụ: A+2AB luôn nằm trên đường AB.
Hình nên dùng: Ba phương trình cùng một thanh t.
Mô phỏng: Nhập tọa độ M và giải t.
Mẹo nhớ: Một t cho ba dòng.
Sai lầm: Mỗi dòng giải ra một t khác mà vẫn kết luận thuộc.
Ghi chú: Thế ngược t vào cả ba phương trình.
Vị trí tương đối
Hiểu đơn giản: So hướng trước, giải giao điểm sau.
u₁∥u₂: song song hoặc trùng; không cùng phương thì giải A₁+t u₁=A₂+s u₂ để xét cắt hay chéo.
Ví dụ: Hai đường không song song trong không gian vẫn có thể chéo nhau.
Hình nên dùng: Bốn trạng thái cắt–song song–trùng–chéo.
Mô phỏng: Kéo một đường ra khỏi mặt phẳng chung.
Mẹo nhớ: Không song song chưa chắc cắt.
Sai lầm: Dùng trực giác hình vẽ để kết luận giao.
Ghi chú: Hệ ba phương trình hai ẩn t,s phải nhất quán.
Góc giữa hai đường
Hiểu đơn giản: Dùng hai mũi tên theo hướng hai đường rồi lấy góc nhọn giữa chúng.
cosφ=|u₁·u₂|/(|u₁||u₂|), 0°≤φ≤90°.
Ví dụ: u₁·u₂=0 ⇒ hai đường vuông góc.
Hình nên dùng: Hai đường và hai vectơ chỉ phương.
Mô phỏng: Đảo hướng một vectơ.
Mẹo nhớ: Đường–đường: cos chỉ phương.
Sai lầm: Không lấy trị tuyệt đối nên cos âm.
Ghi chú: Hai đường chéo nhau vẫn có góc được định nghĩa qua hướng.
Góc giữa đường và mặt
Hiểu đơn giản: Góc đường–mặt là góc giữa đường và hình chiếu của nó lên mặt, bù phụ với góc đường–pháp tuyến.
sinα=|u·n|/(|u||n|), 0°≤α≤90°.
Ví dụ: u·n=0 ⇒ đường song song mặt, α=0°.
Hình nên dùng: Tam giác góc α và 90°−α.
Mô phỏng: Xoay đường từ song song đến vuông góc.
Mẹo nhớ: Đường–mặt: sin chỉ phương–pháp tuyến.
Sai lầm: Dùng cos rồi kết luận trực tiếp α.
Ghi chú: u∥n ⇒ đường vuông góc mặt, α=90°.
Góc giữa hai mặt
Hiểu đơn giản: Đo góc giữa hai mặt bằng góc nhọn giữa hai pháp tuyến.
cosβ=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|).
Ví dụ: n₁·n₂=0 ⇒ hai mặt phẳng vuông góc.
Hình nên dùng: Hai mặt và hai pháp tuyến.
Mô phỏng: Đổi hệ số tự do d.
Mẹo nhớ: Mặt–mặt: cos pháp tuyến.
Sai lầm: Đưa d₁,d₂ vào tích vô hướng.
Ghi chú: Nhân phương trình với số khác 0 không làm góc đổi.
Máy tính và tự kiểm
Hiểu đơn giản: Tính tỉ số trước, chặn miền rồi mới dùng hàm lượng giác ngược.
0≤|dot|/(norms)≤1; góc hình học dùng đơn vị độ nếu đề yêu cầu.
Ví dụ: cosφ=1/2 ⇒ φ=60°.
Hình nên dùng: Đồng hồ DEG/RAD và thanh miền [0;1].
Mô phỏng: Thay nhiễu làm tròn.
Mẹo nhớ: Tỉ số trước, góc sau.
Sai lầm: Làm tròn trung gian quá sớm.
Ghi chú: Giữ giá trị chính xác đến bước cuối.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB TỌA ĐỘ OXYZ
Thế điểm, đọc pháp tuyến và tính khoảng cách
Nhập M(x,y,z) và mặt phẳng ax+by+cz+d=0, mỗi bộ cách nhau bằng dấu phẩy. Công cụ cho biết vị trí của M và khoảng cách vuông góc.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • C5-NB-04
Đề bài: Một vùng phủ sóng là khối cầu tâm I(3;2;2), bán kính 6 km. Điểm M(10;2;2) có thuộc vùng phủ không?
Phân tích: Điểm thuộc khối cầu khi IM≤R.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Điểm thuộc khối cầu khi IM≤R.
- Bước 2: IM=7>6, nên M ở ngoài vùng phủ.
- Bước 3: Kết luận Không.
Vì sao: Bài toán vùng phủ dùng cả bên trong và mặt cầu, không chỉ bề mặt.
Cách khác: So sánh IM² với R².
Tự kiểm: Chặn lỗi: Chỉ xét phương trình mặt cầu bằng dấu bằng.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • C5-NB-14
Đề bài: Một thiết bị chuyển động theo r(t)=(1;-3;6)+t(3;2;2). Tìm vị trí tại t=-3.
Phân tích: Thay cùng một t vào cả ba tọa độ.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Thay cùng một t vào cả ba tọa độ.
- Bước 2: r(-3)=(-8;-9;0).
- Bước 3: Kết luận (-8;-9;0).
Vì sao: Phương trình tham số mô tả vị trí theo thời gian hoặc theo một tham số hình học.
Cách khác: Tính origin+t·direction theo vectơ.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Chỉ thay t vào một tọa độ.
03 • Thông hiểuVí dụ 3 • C5-TH-04
Đề bài: Lập mặt phẳng đi qua ba điểm (6;0;0), (0;6;0), (0;0;6).
Phân tích: Dùng dạng đoạn chắn x/a+y/b+z/c=1.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Dùng dạng đoạn chắn x/a+y/b+z/c=1.
- Bước 2: Mặt phẳng có phương trình x+y+z−6=0.
- Bước 3: Kết luận x+y+z−6=0.
Vì sao: Ba đoạn chắn bằng nhau tạo vectơ pháp tuyến (1;1;1).
Cách khác: Thế lần lượt cả ba điểm để kiểm.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Viết x+y+z=1, quên độ dài đoạn chắn.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • C5-TH-14
Đề bài: Trong công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, vì sao dùng trị tuyệt đối của tích vô hướng?
Phân tích: Góc hình học được lấy trong khoảng từ 0° đến 90°.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Góc hình học được lấy trong khoảng từ 0° đến 90°.
- Bước 2: Trị tuyệt đối loại ảnh hưởng của việc chọn vectơ cùng hướng hay ngược hướng.
- Bước 3: Kết luận Để góc không phụ thuộc hướng chọn vectơ.
Vì sao: Đổi một vectơ thành vectơ đối không làm thay đổi đường hoặc mặt phẳng.
Cách khác: So sánh u với −u.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Giữ dấu âm rồi kết luận góc âm.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • C5-VD-04
Đề bài: Một thiết bị chuyển động theo r(t)=(3;-3;6)+t(3;0;2). Tìm vị trí tại t=-3.
Phân tích: Thay cùng một t vào cả ba tọa độ.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Thay cùng một t vào cả ba tọa độ.
- Bước 2: r(-3)=(-6;-3;0).
- Bước 3: Kết luận (-6;-3;0).
Vì sao: Phương trình tham số mô tả vị trí theo thời gian hoặc theo một tham số hình học.
Cách khác: Tính origin+t·direction theo vectơ.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Chỉ thay t vào một tọa độ.
06 • Vận dụngVí dụ 6 • C5-VD-14
Đề bài: Một vùng phủ sóng là khối cầu tâm I(1;2;1), bán kính 6 km. Điểm M(8;2;1) có thuộc vùng phủ không?
Phân tích: Điểm thuộc khối cầu khi IM≤R.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Điểm thuộc khối cầu khi IM≤R.
- Bước 2: IM=7>6, nên M ở ngoài vùng phủ.
- Bước 3: Kết luận Không.
Vì sao: Bài toán vùng phủ dùng cả bên trong và mặt cầu, không chỉ bề mặt.
Cách khác: So sánh IM² với R².
Tự kiểm: Chặn lỗi: Chỉ xét phương trình mặt cầu bằng dấu bằng.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • C5-VDC-04
Đề bài: Trong công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, vì sao dùng trị tuyệt đối của tích vô hướng?
Phân tích: Góc hình học được lấy trong khoảng từ 0° đến 90°.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Góc hình học được lấy trong khoảng từ 0° đến 90°.
- Bước 2: Trị tuyệt đối loại ảnh hưởng của việc chọn vectơ cùng hướng hay ngược hướng.
- Bước 3: Kết luận Để góc không phụ thuộc hướng chọn vectơ.
Vì sao: Đổi một vectơ thành vectơ đối không làm thay đổi đường hoặc mặt phẳng.
Cách khác: So sánh u với −u.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Giữ dấu âm rồi kết luận góc âm.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • C5-VDC-14
Đề bài: Lập mặt phẳng đi qua ba điểm (6;0;0), (0;6;0), (0;0;6).
Phân tích: Dùng dạng đoạn chắn x/a+y/b+z/c=1.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Dùng dạng đoạn chắn x/a+y/b+z/c=1.
- Bước 2: Mặt phẳng có phương trình x+y+z−6=0.
- Bước 3: Kết luận x+y+z−6=0.
Vì sao: Ba đoạn chắn bằng nhau tạo vectơ pháp tuyến (1;1;1).
Cách khác: Thế lần lượt cả ba điểm để kiểm.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Viết x+y+z=1, quên độ dài đoạn chắn.
09 • Thực tếVí dụ 9 • C5-TT-04
Đề bài: Một vùng phủ sóng là khối cầu tâm I(3;2;1), bán kính 6 km. Điểm M(10;2;1) có thuộc vùng phủ không?
Phân tích: Điểm thuộc khối cầu khi IM≤R.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Điểm thuộc khối cầu khi IM≤R.
- Bước 2: IM=7>6, nên M ở ngoài vùng phủ.
- Bước 3: Kết luận Không.
Vì sao: Bài toán vùng phủ dùng cả bên trong và mặt cầu, không chỉ bề mặt.
Cách khác: So sánh IM² với R².
Tự kiểm: Chặn lỗi: Chỉ xét phương trình mặt cầu bằng dấu bằng.
10 • Thực tếVí dụ 10 • C5-TT-14
Đề bài: Một thiết bị chuyển động theo r(t)=(1;-2;6)+t(2;2;2). Tìm vị trí tại t=-2.
Phân tích: Thay cùng một t vào cả ba tọa độ.
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Thay cùng một t vào cả ba tọa độ.
- Bước 2: r(-2)=(-3;-6;2).
- Bước 3: Kết luận (-3;-6;2).
Vì sao: Phương trình tham số mô tả vị trí theo thời gian hoặc theo một tham số hình học.
Cách khác: Tính origin+t·direction theo vectơ.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Chỉ thay t vào một tọa độ.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Phương trình mặt phẳng trong gia đình
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh mặt sàn, tường, địa hình, mặt cắt kỹ thuật, vùng an toàn và thiết kế 3D.
Phương trình đường thẳng trong không gian trong trường học
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh quỹ đạo bay, tia sáng, robot, đường ống, tuyến cáp và chuyển động 3D.
Công thức tính góc trong không gian trong đời sống
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh độ dốc, hướng camera, robot, kiến trúc, hàng không và đo đạc.
Phương trình mặt cầu trong khoa học
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh vùng phủ sóng, radar, bể cầu, vùng an toàn, thiên văn và cảm biến.
Phương trình mặt phẳng trong kỹ thuật
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh mặt sàn, tường, địa hình, mặt cắt kỹ thuật, vùng an toàn và thiết kế 3D.
Phương trình đường thẳng trong không gian trong sản xuất
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh quỹ đạo bay, tia sáng, robot, đường ống, tuyến cáp và chuyển động 3D.
Công thức tính góc trong không gian trong thiên nhiên
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh độ dốc, hướng camera, robot, kiến trúc, hàng không và đo đạc.
Phương trình mặt cầu trong nghề nghiệp
Chọn mô hình, kiểm điều kiện, đơn vị và diễn giải kết quả trong bối cảnh vùng phủ sóng, radar, bể cầu, vùng an toàn, thiên văn và cảm biến.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Vectơ pháp tuyến và phương trình theo cách trực quan?
Pháp tuyến là mũi tên vuông góc với mọi hướng nằm trên mặt phẳng. Phát biểu chính xác: Mặt phẳng qua A(x₀;y₀;z₀), n=(a;b;c)≠0: a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0. Ví dụ: Qua (1;0;0), n=(1;2;3): x+2y+3z−1=0. Mẹo: Điểm khóa d, pháp tuyến khóa a,b,c. Cần tránh: Dùng tọa độ A làm a,b,c.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Nhầm pháp tuyến với tọa độ điểm
Dùng tọa độ A làm a,b,c. Sửa bằng: Điểm khóa d, pháp tuyến khóa a,b,c. Kiểm cuối: Thế A vào phương trình phải được 0.
Sai dấu khi thế điểm
Không kiểm ba điểm thẳng hàng. Sửa bằng: Hai hướng trong mặt → tích có hướng ra pháp tuyến. Kiểm cuối: Pháp tuyến tìm được phải vuông góc cả AB và AC.
Kết luận song song mà không loại trùng
Thấy hệ số x,y,z tỉ lệ là kết luận trùng. Sửa bằng: So pháp tuyến trước, so d sau. Kiểm cuối: Hai mặt không song song thì cắt nhau theo một đường.
Quên trị tuyệt đối trong khoảng cách
Mẫu là a²+b²+c² mà không lấy căn. Sửa bằng: Tử trị tuyệt đối, mẫu độ dài pháp tuyến. Kiểm cuối: Nhân phương trình với số khác 0 không làm khoảng cách đổi.
Dùng vectơ-không làm pháp tuyến
Dùng tọa độ A làm a,b,c. Sửa bằng: Điểm khóa d, pháp tuyến khóa a,b,c. Kiểm cuối: Thế A vào phương trình phải được 0.
Nhầm pháp tuyến với tọa độ điểm – tình huống 6
Không kiểm ba điểm thẳng hàng. Sửa bằng: Hai hướng trong mặt → tích có hướng ra pháp tuyến. Kiểm cuối: Pháp tuyến tìm được phải vuông góc cả AB và AC.
Sai dấu khi thế điểm – tình huống 7
Thấy hệ số x,y,z tỉ lệ là kết luận trùng. Sửa bằng: So pháp tuyến trước, so d sau. Kiểm cuối: Hai mặt không song song thì cắt nhau theo một đường.
Kết luận song song mà không loại trùng – tình huống 8
Mẫu là a²+b²+c² mà không lấy căn. Sửa bằng: Tử trị tuyệt đối, mẫu độ dài pháp tuyến. Kiểm cuối: Nhân phương trình với số khác 0 không làm khoảng cách đổi.
Quên trị tuyệt đối trong khoảng cách – tình huống 9
Dùng tọa độ A làm a,b,c. Sửa bằng: Điểm khóa d, pháp tuyến khóa a,b,c. Kiểm cuối: Thế A vào phương trình phải được 0.
Dùng vectơ-không làm pháp tuyến – tình huống 10
Không kiểm ba điểm thẳng hàng. Sửa bằng: Hai hướng trong mặt → tích có hướng ra pháp tuyến. Kiểm cuối: Pháp tuyến tìm được phải vuông góc cả AB và AC.
Nhầm pháp tuyến với tọa độ điểm – tình huống 11
Thấy hệ số x,y,z tỉ lệ là kết luận trùng. Sửa bằng: So pháp tuyến trước, so d sau. Kiểm cuối: Hai mặt không song song thì cắt nhau theo một đường.
Sai dấu khi thế điểm – tình huống 12
Mẫu là a²+b²+c² mà không lấy căn. Sửa bằng: Tử trị tuyệt đối, mẫu độ dài pháp tuyến. Kiểm cuối: Nhân phương trình với số khác 0 không làm khoảng cách đổi.
Kết luận song song mà không loại trùng – tình huống 13
Dùng tọa độ A làm a,b,c. Sửa bằng: Điểm khóa d, pháp tuyến khóa a,b,c. Kiểm cuối: Thế A vào phương trình phải được 0.
Quên trị tuyệt đối trong khoảng cách – tình huống 14
Không kiểm ba điểm thẳng hàng. Sửa bằng: Hai hướng trong mặt → tích có hướng ra pháp tuyến. Kiểm cuối: Pháp tuyến tìm được phải vuông góc cả AB và AC.
Dùng vectơ-không làm pháp tuyến – tình huống 15
Thấy hệ số x,y,z tỉ lệ là kết luận trùng. Sửa bằng: So pháp tuyến trước, so d sau. Kiểm cuối: Hai mặt không song song thì cắt nhau theo một đường.
Nhầm pháp tuyến với tọa độ điểm – tình huống 16
Mẫu là a²+b²+c² mà không lấy căn. Sửa bằng: Tử trị tuyệt đối, mẫu độ dài pháp tuyến. Kiểm cuối: Nhân phương trình với số khác 0 không làm khoảng cách đổi.
Sai dấu khi thế điểm – tình huống 17
Dùng tọa độ A làm a,b,c. Sửa bằng: Điểm khóa d, pháp tuyến khóa a,b,c. Kiểm cuối: Thế A vào phương trình phải được 0.
Kết luận song song mà không loại trùng – tình huống 18
Không kiểm ba điểm thẳng hàng. Sửa bằng: Hai hướng trong mặt → tích có hướng ra pháp tuyến. Kiểm cuối: Pháp tuyến tìm được phải vuông góc cả AB và AC.
Quên trị tuyệt đối trong khoảng cách – tình huống 19
Thấy hệ số x,y,z tỉ lệ là kết luận trùng. Sửa bằng: So pháp tuyến trước, so d sau. Kiểm cuối: Hai mặt không song song thì cắt nhau theo một đường.
Dùng vectơ-không làm pháp tuyến – tình huống 20
Mẫu là a²+b²+c² mà không lấy căn. Sửa bằng: Tử trị tuyệt đối, mẫu độ dài pháp tuyến. Kiểm cuối: Nhân phương trình với số khác 0 không làm khoảng cách đổi.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chẩn đoán 5 phút
Làm ba câu nền và nói thành lời điều kiện của công cụ trước khi học mới.
Chu trình 5–25–10
5 phút gọi nền, 25 phút học một nút, 10 phút làm lại không nhìn lời giải.
Hai biểu diễn
Kiểm công thức bằng đạo hàm, đồ thị, hình Oxyz, bảng xác suất hoặc đơn vị.
Phản ví dụ bắt buộc
Mỗi định lí đi cùng một trường hợp thiếu điều kiện để tránh học thuộc máy móc.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi lỗi, nguyên nhân và phép tự kiểm; không chép lại toàn bộ lời giải.
Ôn cách quãng 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và qua cổng lại sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Bài tập cuối Chương 51 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Vectơ pháp tuyến và phương trìnhMặt phẳng qua A(x₀;y₀;z₀), n=(a;b;c)≠0: a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0. Điểm khóa d, pháp tuyến khóa a,b,c.
Mặt phẳng qua ba điểmVới A,B,C không thẳng hàng, n=AB×AC rồi lập mặt phẳng qua A. Hai hướng trong mặt → tích có hướng ra pháp tuyến.
Vị trí tương đối hai mặt phẳngn₁∥n₂: hai mặt phẳng song song hoặc trùng; n₁·n₂=0: vuông góc. So pháp tuyến trước, so d sau.
Khoảng cách điểm–mặtd(M,(P))=|ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²). Tử trị tuyệt đối, mẫu độ dài pháp tuyến.
Phương trình tham sốd: x=x₀+at, y=y₀+bt, z=z₀+ct với u=(a;b;c)≠0. Điểm + t lần hướng.
Dạng chính tắc(x−x₀)/a=(y−y₀)/b=(z−z₀)/c, với abc≠0. Mẫu 0 thì chuyển sang tọa độ hằng.
Đường qua hai điểm và điểm thuộc đườngu=AB; M∈d ⇔ tồn tại t sao cho M=A+tu. Một t cho ba dòng.
Vị trí tương đốiu₁∥u₂: song song hoặc trùng; không cùng phương thì giải A₁+t u₁=A₂+s u₂ để xét cắt hay chéo. Không song song chưa chắc cắt.
Góc giữa hai đườngcosφ=|u₁·u₂|/(|u₁||u₂|), 0°≤φ≤90°. Đường–đường: cos chỉ phương.
Góc giữa đường và mặtsinα=|u·n|/(|u||n|), 0°≤α≤90°. Đường–mặt: sin chỉ phương–pháp tuyến.
THẺ 1/20
100 BÀI • 5 MỨC • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
Mỗi mức đúng 20 câu: 3 câu ôn nền và 17 câu kiến thức trọng tâm.
100 câu phù hợp
C5-NB-01Từ điểm A(4;4;-2), đi theo vectơ v=(0;-2;4) hai lần. Tìm điểm đến.ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Tính A+2v theo từng tọa độ.
Lời giải: A+2v=(4;0;6).
Vì sao: Đây là cầu nối trực tiếp sang phương trình tham số đường thẳng.
Sai ở đâu: Nhân hệ số 2 cho điểm A thay vì vectơ v.
Cách khác: Thay t=2 vào A+tv.
C5-NB-02Tính tích vô hướng u·v với u=(1;2;-1), v=(2;-1;5).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nhân các tọa độ cùng vị trí rồi cộng.
Lời giải: u·v=(1)·(2)+(2)·(-1)+(-1)·(5)=-5.
Vì sao: Tích vô hướng tạo một số và là công cụ kiểm vuông góc.
Sai ở đâu: Nhân chéo tọa độ hoặc giữ kết quả là một vectơ.
Cách khác: Viết hai vectơ theo cột rồi nhân từng hàng.
C5-NB-03Tính độ dài của u=(2;3;-2).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Lấy căn tổng bình phương ba tọa độ.
Lời giải: |u|=√((2)²+(3)²+(-2)²)=√17.
Vì sao: Độ dài vectơ luôn không âm.
Sai ở đâu: Cộng tọa độ rồi lấy trị tuyệt đối.
Cách khác: Kiểm bằng u·u=|u|².
C5-NB-04Một vùng phủ sóng là khối cầu tâm I(3;2;2), bán kính 6 km. Điểm M(10;2;2) có thuộc vùng phủ không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Điểm thuộc khối cầu khi IM≤R.
Lời giải: IM=7>6, nên M ở ngoài vùng phủ.
Vì sao: Bài toán vùng phủ dùng cả bên trong và mặt cầu, không chỉ bề mặt.
Sai ở đâu: Chỉ xét phương trình mặt cầu bằng dấu bằng.
Cách khác: So sánh IM² với R².
C5-NB-05Lập phương trình mặt phẳng qua A(4;-2;4) và có vectơ pháp tuyến n=(3;3;1).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng n·AM=0 hoặc ax+by+cz+d=0 rồi thế A.
Lời giải: Mặt phẳng là 3x+3y+1z−10=0.
Vì sao: Các hệ số của x,y,z chính là tọa độ một vectơ pháp tuyến.
Sai ở đâu: Dùng tọa độ điểm A làm vectơ pháp tuyến.
Cách khác: Thế tọa độ A vào phương trình để kiểm vế trái bằng 0.
C5-NB-06Đường d: (x;y;z)=(1;-1;3)+t(1;2;2). Kiểm tra M(3;3;7) có thuộc d không.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Giải cùng một tham số t từ ba tọa độ.
Lời giải: Cả ba tọa độ đều cho t=2, nên M thuộc d.
Vì sao: Một điểm thuộc đường khi tồn tại duy nhất một giá trị t thỏa đồng thời ba phương trình.
Sai ở đâu: Mỗi tọa độ dùng một tham số khác nhau.
Cách khác: Thế t đã tìm vào cả ba tọa độ.
C5-NB-07Hai mặt phẳng có pháp tuyến n₁=(2;3;0), n₂=(0;2;3). Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng.
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc nhọn giữa hai pháp tuyến.
Lời giải: cosβ=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|)=0,4615.
Vì sao: Phương trình mặt phẳng chỉ cần ba hệ số của x,y,z để tính góc.
Sai ở đâu: Dùng hệ số tự do d trong tích vô hướng.
Cách khác: Nhân một phương trình với số khác 0 không làm góc đổi.
C5-NB-08Mặt phẳng x−8=0 có tiếp xúc mặt cầu tâm I(3;1;3), bán kính 5 không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: So sánh khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng với bán kính.
Lời giải: d(I,(P))=5=R nên mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu.
Vì sao: Mặt phẳng tiếp xúc khi khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng đúng bằng bán kính.
Sai ở đâu: Chỉ kiểm một điểm bất kì của mặt phẳng.
Cách khác: Tìm tiếp điểm trên đường vuông góc từ tâm.
C5-NB-09Lập mặt phẳng đi qua ba điểm (6;0;0), (0;6;0), (0;0;6).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng dạng đoạn chắn x/a+y/b+z/c=1.
Lời giải: Mặt phẳng có phương trình x+y+z−6=0.
Vì sao: Ba đoạn chắn bằng nhau tạo vectơ pháp tuyến (1;1;1).
Sai ở đâu: Viết x+y+z=1, quên độ dài đoạn chắn.
Cách khác: Thế lần lượt cả ba điểm để kiểm.
C5-NB-10Viết phương trình tham số của đường thẳng qua A(1;-2;2) và có vectơ chỉ phương u=(2;2;2).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng (x;y;z)=A+tu.
Lời giải: x=1+2t; y=-2+2t; z=2+2t.
Vì sao: Một điểm và một vectơ chỉ phương khác 0 xác định một đường thẳng.
Sai ở đâu: Dùng vectơ pháp tuyến như với mặt phẳng.
Cách khác: Thay t=0 phải thu được điểm A.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
[C5-NB-01] Từ điểm A(4;4;-2), đi theo vectơ v=(0;-2;4) hai lần. Tìm điểm đến.
BA DẠNG TRẮC NGHIỆM HIỆN HÀNH
Cùng một bản chất, ba cách kiểm tra năng lực
Định dạng ôn tốt nghiệp gồm nhiều lựa chọn, đúng–sai bốn ý và trả lời ngắn; tự luận phía sau dùng để học sâu, không gắn sai nhãn thành cấu trúc đề thi.
Nhiều lựa chọn
50 câu tự chấm ngay phía trên; phương án nhiễu xuất phát từ lỗi điều kiện, dấu, thứ tự hoặc thiếu ứng viên.
Chọn đáp án rồi đọc giải thích và ghi lỗi.Đúng–sai bốn ý
Một cụm mẫu dùng chung bối cảnh “Bài tập cuối Chương 5”:
- a) Mặt phẳng qua A(x₀;y₀;z₀), n=(a;b;c)≠0: a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Pháp tuyến là mũi tên vuông góc với mọi hướng nằm trên mặt phẳng. Ví dụ kiểm chứng: Qua (1;0;0), n=(1;2;3): x+2y+3z−1=0.
- b) Với A,B,C không thẳng hàng, n=AB×AC rồi lập mặt phẳng qua A.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Hai vectơ không cùng phương nằm trên mặt phẳng sẽ tạo được một pháp tuyến bằng tích có hướng. Ví dụ kiểm chứng: Ba điểm trên ba trục có thể dùng dạng đoạn chắn.
- c) n₁∥n₂: hai mặt phẳng song song hoặc trùng; n₁·n₂=0: vuông góc.
Đáp án và căn cứ
Đúng. So hướng pháp tuyến trước, rồi mới xét hệ số tự do để phân biệt song song và trùng. Ví dụ kiểm chứng: x+y+z=1 và 2x+2y+2z=3 song song, không trùng.
- d) d(M,(P))=|ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²).
Đáp án và căn cứ
Đúng. Đo độ dài hình chiếu vuông góc từ điểm tới mặt phẳng. Ví dụ kiểm chứng: M thuộc (P) thì khoảng cách bằng 0.
Trả lời ngắn
Tự lập mô hình và điền kết quả, không có phương án gợi ý:
- Từ điểm A(4;4;-2), đi theo vectơ v=(0;-2;4) hai lần. Tìm điểm đến.
Đáp án
(4;0;6)
- Tính tích vô hướng u·v với u=(1;2;-1), v=(2;-1;5).
Đáp án
-5
- Tính độ dài của u=(2;3;-2).
Đáp án
√17
- Trong công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, vì sao dùng trị tuyệt đối của tích vô hướng?
Đáp án
Để góc không phụ thuộc hướng chọn vectơ
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Từ điểm A(4;4;-2), đi theo vectơ v=(0;-2;4) hai lần. Tìm điểm đến.
Gợi ý: Tính A+2v theo từng tọa độ.
Lời giải: A+2v=(4;0;6).
Giải thích: Đây là cầu nối trực tiếp sang phương trình tham số đường thẳng.
Lỗi cần tránh: Nhân hệ số 2 cho điểm A thay vì vectơ v.
Cách khác: Thay t=2 vào A+tv.
TỰ LUẬN 2Đường d: (x;y;z)=(1;-1;3)+t(1;2;2). Kiểm tra M(3;3;7) có thuộc d không.
Gợi ý: Giải cùng một tham số t từ ba tọa độ.
Lời giải: Cả ba tọa độ đều cho t=2, nên M thuộc d.
Giải thích: Một điểm thuộc đường khi tồn tại duy nhất một giá trị t thỏa đồng thời ba phương trình.
Lỗi cần tránh: Mỗi tọa độ dùng một tham số khác nhau.
Cách khác: Thế t đã tìm vào cả ba tọa độ.
TỰ LUẬN 3Một đường có vectơ chỉ phương u=(3;3;0), mặt phẳng có pháp tuyến n=(0;2;4). Tính sin góc giữa đường và mặt phẳng.
Gợi ý: Góc đường–mặt bù phụ với góc đường–pháp tuyến.
Lời giải: sinα=|u·n|/(|u||n|)=0,3162.
Giải thích: Dùng sin cho góc đường–mặt, trong khi cos dùng cho góc đường–pháp tuyến.
Lỗi cần tránh: Dùng cos rồi gọi đó là góc đường–mặt.
Cách khác: Nếu u·n=0 thì đường song song mặt phẳng và α=0.
TỰ LUẬN 4Điểm M(6;-1;2) nằm ở đâu so với mặt cầu tâm I(3;-1;2), bán kính 3?
Gợi ý: So sánh IM² với R².
Lời giải: IM²=9=R², nên M nằm trên mặt cầu.
Giải thích: Dùng bình phương khoảng cách tránh lấy căn không cần thiết.
Lỗi cần tránh: So sánh từng tọa độ riêng lẻ với bán kính.
Cách khác: Thế M vào phương trình mặt cầu.
TỰ LUẬN 5Tính độ dài của u=(4;3;-2).
Gợi ý: Lấy căn tổng bình phương ba tọa độ.
Lời giải: |u|=√((4)²+(3)²+(-2)²)=√29.
Giải thích: Độ dài vectơ luôn không âm.
Lỗi cần tránh: Cộng tọa độ rồi lấy trị tuyệt đối.
Cách khác: Kiểm bằng u·u=|u|².
TỰ LUẬN 6Một đường có vectơ chỉ phương u=(3;2;0), mặt phẳng có pháp tuyến n=(0;1;4). Tính sin góc giữa đường và mặt phẳng.
Gợi ý: Góc đường–mặt bù phụ với góc đường–pháp tuyến.
Lời giải: sinα=|u·n|/(|u||n|)=0,1345.
Giải thích: Dùng sin cho góc đường–mặt, trong khi cos dùng cho góc đường–pháp tuyến.
Lỗi cần tránh: Dùng cos rồi gọi đó là góc đường–mặt.
Cách khác: Nếu u·n=0 thì đường song song mặt phẳng và α=0.
TỰ LUẬN 7Điểm M(5;-1;2) nằm ở đâu so với mặt cầu tâm I(2;-1;2), bán kính 3?
Gợi ý: So sánh IM² với R².
Lời giải: IM²=9=R², nên M nằm trên mặt cầu.
Giải thích: Dùng bình phương khoảng cách tránh lấy căn không cần thiết.
Lỗi cần tránh: So sánh từng tọa độ riêng lẻ với bán kính.
Cách khác: Thế M vào phương trình mặt cầu.
TỰ LUẬN 8Kiểm tra B(5;-2;2) có thuộc mặt phẳng 1x+2y+2z−5=0 không.
Gợi ý: Thay tọa độ B vào vế trái.
Lời giải: Giá trị vế trái bằng 0; vì bằng 0 nên B thuộc mặt phẳng.
Giải thích: Điểm thuộc mặt phẳng khi tọa độ làm phương trình đúng.
Lỗi cần tránh: So sánh từng tọa độ với hệ số của phương trình.
Cách khác: Tính vectơ AB rồi kiểm n·AB=0.
TỰ LUẬN 9Tính tích vô hướng u·v với u=(4;2;-2), v=(2;-2;4).
Gợi ý: Nhân các tọa độ cùng vị trí rồi cộng.
Lời giải: u·v=(4)·(2)+(2)·(-2)+(-2)·(4)=-4.
Giải thích: Tích vô hướng tạo một số và là công cụ kiểm vuông góc.
Lỗi cần tránh: Nhân chéo tọa độ hoặc giữ kết quả là một vectơ.
Cách khác: Viết hai vectơ theo cột rồi nhân từng hàng.
TỰ LUẬN 10Điểm M(4;-1;2) nằm ở đâu so với mặt cầu tâm I(1;-1;2), bán kính 3?
Gợi ý: So sánh IM² với R².
Lời giải: IM²=9=R², nên M nằm trên mặt cầu.
Giải thích: Dùng bình phương khoảng cách tránh lấy căn không cần thiết.
Lỗi cần tránh: So sánh từng tọa độ riêng lẻ với bán kính.
Cách khác: Thế M vào phương trình mặt cầu.
TỰ LUẬN 11Kiểm tra B(5;-2;2) có thuộc mặt phẳng 1x+3y+2z−3=0 không.
Gợi ý: Thay tọa độ B vào vế trái.
Lời giải: Giá trị vế trái bằng 0; vì bằng 0 nên B thuộc mặt phẳng.
Giải thích: Điểm thuộc mặt phẳng khi tọa độ làm phương trình đúng.
Lỗi cần tránh: So sánh từng tọa độ với hệ số của phương trình.
Cách khác: Tính vectơ AB rồi kiểm n·AB=0.
TỰ LUẬN 12Đường d: (x;y;z)=(3;-3;3)+t(3;0;2). Kiểm tra M(15;-3;11) có thuộc d không.
Gợi ý: Giải cùng một tham số t từ ba tọa độ.
Lời giải: Cả ba tọa độ đều cho t=4, nên M thuộc d.
Giải thích: Một điểm thuộc đường khi tồn tại duy nhất một giá trị t thỏa đồng thời ba phương trình.
Lỗi cần tránh: Mỗi tọa độ dùng một tham số khác nhau.
Cách khác: Thế t đã tìm vào cả ba tọa độ.
TỰ LUẬN 13Từ điểm A(4;4;-2), đi theo vectơ v=(0;-2;4) hai lần. Tìm điểm đến.
Gợi ý: Tính A+2v theo từng tọa độ.
Lời giải: A+2v=(4;0;6).
Giải thích: Đây là cầu nối trực tiếp sang phương trình tham số đường thẳng.
Lỗi cần tránh: Nhân hệ số 2 cho điểm A thay vì vectơ v.
Cách khác: Thay t=2 vào A+tv.
TỰ LUẬN 14Kiểm tra B(3;-2;2) có thuộc mặt phẳng 1x+2y+2z−3=0 không.
Gợi ý: Thay tọa độ B vào vế trái.
Lời giải: Giá trị vế trái bằng 0; vì bằng 0 nên B thuộc mặt phẳng.
Giải thích: Điểm thuộc mặt phẳng khi tọa độ làm phương trình đúng.
Lỗi cần tránh: So sánh từng tọa độ với hệ số của phương trình.
Cách khác: Tính vectơ AB rồi kiểm n·AB=0.
TỰ LUẬN 15Đường d: (x;y;z)=(2;-3;3)+t(3;1;1). Kiểm tra M(11;0;6) có thuộc d không.
Gợi ý: Giải cùng một tham số t từ ba tọa độ.
Lời giải: Cả ba tọa độ đều cho t=3, nên M thuộc d.
Giải thích: Một điểm thuộc đường khi tồn tại duy nhất một giá trị t thỏa đồng thời ba phương trình.
Lỗi cần tránh: Mỗi tọa độ dùng một tham số khác nhau.
Cách khác: Thế t đã tìm vào cả ba tọa độ.
TỰ LUẬN 16Một đường có vectơ chỉ phương u=(2;2;0), mặt phẳng có pháp tuyến n=(0;1;3). Tính sin góc giữa đường và mặt phẳng.
Gợi ý: Góc đường–mặt bù phụ với góc đường–pháp tuyến.
Lời giải: sinα=|u·n|/(|u||n|)=0,2236.
Giải thích: Dùng sin cho góc đường–mặt, trong khi cos dùng cho góc đường–pháp tuyến.
Lỗi cần tránh: Dùng cos rồi gọi đó là góc đường–mặt.
Cách khác: Nếu u·n=0 thì đường song song mặt phẳng và α=0.
TỰ LUẬN 17Tính độ dài của u=(4;3;-2).
Gợi ý: Lấy căn tổng bình phương ba tọa độ.
Lời giải: |u|=√((4)²+(3)²+(-2)²)=√29.
Giải thích: Độ dài vectơ luôn không âm.
Lỗi cần tránh: Cộng tọa độ rồi lấy trị tuyệt đối.
Cách khác: Kiểm bằng u·u=|u|².
TỰ LUẬN 18Đường d: (x;y;z)=(1;-3;3)+t(3;2;2). Kiểm tra M(7;1;7) có thuộc d không.
Gợi ý: Giải cùng một tham số t từ ba tọa độ.
Lời giải: Cả ba tọa độ đều cho t=2, nên M thuộc d.
Giải thích: Một điểm thuộc đường khi tồn tại duy nhất một giá trị t thỏa đồng thời ba phương trình.
Lỗi cần tránh: Mỗi tọa độ dùng một tham số khác nhau.
Cách khác: Thế t đã tìm vào cả ba tọa độ.
TỰ LUẬN 19Một đường có vectơ chỉ phương u=(2;3;0), mặt phẳng có pháp tuyến n=(0;2;3). Tính sin góc giữa đường và mặt phẳng.
Gợi ý: Góc đường–mặt bù phụ với góc đường–pháp tuyến.
Lời giải: sinα=|u·n|/(|u||n|)=0,4615.
Giải thích: Dùng sin cho góc đường–mặt, trong khi cos dùng cho góc đường–pháp tuyến.
Lỗi cần tránh: Dùng cos rồi gọi đó là góc đường–mặt.
Cách khác: Nếu u·n=0 thì đường song song mặt phẳng và α=0.
TỰ LUẬN 20Điểm M(6;-1;1) nằm ở đâu so với mặt cầu tâm I(3;-1;1), bán kính 3?
Gợi ý: So sánh IM² với R².
Lời giải: IM²=9=R², nên M nằm trên mặt cầu.
Giải thích: Dùng bình phương khoảng cách tránh lấy căn không cần thiết.
Lỗi cần tránh: So sánh từng tọa độ riêng lẻ với bán kính.
Cách khác: Thế M vào phương trình mặt cầu.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: C5-NB-01, C5-NB-02, C5-NB-03, C5-NB-04, C5-NB-05, C5-NB-06, C5-NB-07, C5-NB-08, C5-NB-09, C5-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- C5-NB-01: (4;0;6)
- C5-NB-02: -5
- C5-NB-03: √17
- C5-NB-04: Không
- C5-NB-05: 3x+3y+1z−10=0
- C5-NB-06: Có
- C5-NB-07: 0,4615
- C5-NB-08: Có
- C5-NB-09: x+y+z−6=0
- C5-NB-10: (x;y;z)=(1;-2;2)+t(2;2;2)
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 5
10 câu đại diện: C5-NB-11, C5-NB-12, C5-NB-13, C5-NB-14, C5-NB-15, C5-NB-16, C5-NB-17, C5-NB-18, C5-NB-19, C5-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- C5-NB-11: 0,3162
- C5-NB-12: I(3;0;1), R=4
- C5-NB-13: (2;3;3)
- C5-NB-14: (-8;-9;0)
- C5-NB-15: 0,6708
- C5-NB-16: Trên mặt cầu
- C5-NB-17: 4,3589
- C5-NB-18: Hướng song song
- C5-NB-19: Để góc không phụ thuộc hướng chọn vectơ
- C5-NB-20: Tâm (3;-2;3), R=2
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: C5-TH-01, C5-TH-02, C5-TH-03, C5-TH-04, C5-TH-05, C5-TH-06, C5-TH-07, C5-TH-08, C5-TH-09, C5-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- C5-TH-01: √29
- C5-TH-02: (1;2;9)
- C5-TH-03: -2
- C5-TH-04: x+y+z−6=0
- C5-TH-05: (x;y;z)=(4;-2;2)+t(2;-1;1)
- C5-TH-06: 0,1345
- C5-TH-07: I(2;0;1), R=4
- C5-TH-08: (2;2;3)
- C5-TH-09: (-5;0;3)
- C5-TH-10: 0,4
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: C5-TH-11, C5-TH-12, C5-TH-13, C5-TH-14, C5-TH-15, C5-TH-16, C5-TH-17, C5-TH-18, C5-TH-19, C5-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- C5-TH-11: Trên mặt cầu
- C5-TH-12: 3,7417
- C5-TH-13: Hướng song song
- C5-TH-14: Để góc không phụ thuộc hướng chọn vectơ
- C5-TH-15: Tâm (2;-2;3), R=2
- C5-TH-16: Có
- C5-TH-17: (2;-1;1)
- C5-TH-18: Không
- C5-TH-19: Không
- C5-TH-20: 2x+2y+3z−11=0
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề ôn tốt nghiệp tổng hợp
10 câu đại diện: C5-VD-01, C5-VD-02, C5-VD-03, C5-VD-04, C5-VD-05, C5-VD-06, C5-VD-07, C5-VD-08, C5-VD-09, C5-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- C5-VD-01: -4
- C5-VD-02: √11
- C5-VD-03: (2;0;0)
- C5-VD-04: (-6;-3;0)
- C5-VD-05: 0,6708
- C5-VD-06: Trên mặt cầu
- C5-VD-07: 4,3589
- C5-VD-08: Hướng song song
- C5-VD-09: Để góc không phụ thuộc hướng chọn vectơ
- C5-VD-10: Tâm (1;-2;3), R=2
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
GÓC PHỤ HUYNH & GIÁO VIÊN
Đồng hành đúng vai
- Mỗi phiên 40–55 phút; yêu cầu con nói điều kiện, dự đoán dấu hoặc miền giá trị trước khi tính.
- Không hỏi đáp số trước; hỏi vì sao chọn công cụ và kiểm kết quả bằng cách nào.
- Theo dõi ba lỗi lặp gần nhất, không gây áp lực bằng số câu đã làm.
- Mỗi tuần có một phiên 90 phút mô phỏng và một phiên chữa sâu theo sổ lỗi.
- Mở bài bằng một bối cảnh hoặc phản ví dụ có thể kiểm chứng.
- Chấm theo năm mốc: mô hình–điều kiện–công thức–tính toán–diễn giải.
- Trộn đúng 15% nền trực tiếp; không lấy câu cũ ngẫu nhiên chỉ để đủ tỉ lệ.
- Đề định hướng Hà Nội phải ghi là nội bộ tham khảo và có đủ ba dạng trắc nghiệm hiện hành.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
In bài học
Dùng nút “In bài học” để lưu PDF theo thiết bị.
20 câu có đáp án
Dùng nút “Tải worksheet” ở đầu bài.
20 thẻ tương tác
Lật thẻ trực tiếp, học theo cách quãng.
Sơ đồ mạch kiến thức
Dùng để kể lại bài trong 2 phút.
5 đề có hướng chấm
Đề Hà Nội chỉ ghi là nội bộ tham khảo cấu trúc.
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — dovansoan1989@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.