Biến dữ kiện thành quyết định
Bài học giúp mô hình hóa chẩn đoán, kiểm định, tuyển chọn, hành vi khách hàng, chất lượng và dự báo bằng công cụ có thể kiểm chứng.
TOÁN THPT • CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10–12HÀ NỘI: ĐỊNH HƯỚNG THAM KHẢO • KHÔNG GIẢ DANH ĐỀ CHÍNH THỨC
ƯỚC MƠ LỚNHỌC CÓ CHIẾN LƯỢC • TIẾN BỘ THẬT
Trang chủCHỐT BÀI TRONG 1 PHÚT
Cần nhớ
- P(A|B)=P(A∩B)/P(B), với P(B)>0.
- P(A∩B)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A).
- A,B độc lập khi P(A|B)=P(A) nếu P(B)>0.
Bài 18. Xác suất có điều kiện
Hiểu, tính và diễn giải xác suất có điều kiện bằng công thức, bảng hai chiều và sơ đồ cây; dùng quy tắc nhân và phân biệt rõ độc lập với xung khắc.
VÌ SAO HỌC • HỌC ĐỂ LÀM GÌ?
Đầu vào rõ, đích đến đo được
Mỗi mục tiêu đều được nối với ví dụ, bài tập và phép tự kiểm phía sau.
Chọn đúng công cụ
Biết đọc dữ kiện, nêu điều kiện, thực hiện và giải thích kết quả.
Gọi đúng nền
Kích hoạt xác suất cổ điển, biến cố hợp–giao, quy tắc cộng–nhân và độc lập rồi chuẩn bị cho Bài 19. Xác suất toàn phần và Bayes.
Ba dạng, một bản chất
Luyện nhiều lựa chọn, đúng–sai và trả lời ngắn trên cùng một mạch suy luận.
- Tính và diễn giải P(A|B).
- Dùng quy tắc nhân theo đúng thứ tự điều kiện.
- Đọc bảng hai chiều và sơ đồ cây.
- Phân biệt độc lập với xung khắc.
- 15% bài tập gọi lại trực tiếp: Xác suất cổ điển, biến cố hợp–giao, quy tắc cộng–nhân và độc lập.
- Viết miền xác định, đối tượng, phân hoạch hoặc đơn vị trước phép tính.
- Dự đoán dấu, độ lớn, vị trí hoặc miền giá trị của kết quả.
- Kiểm bằng đạo hàm, phép thế, hình học, bảng tần số hoặc công thức thứ hai.
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dễ hiểu trước, chính xác ngay sau
Khái niệm xác suất có điều kiện
Hiểu đơn giản: Khi biết B đã xảy ra, chỉ xét các kết quả nằm trong B.
P(A|B)=P(A∩B)/P(B), P(B)>0.
Ví dụ: Trong nhóm đã mua hàng, tỉ lệ quay lại là số vừa mua vừa quay lại chia số đã mua.
Hình nên dùng: Khung Ω thu nhỏ thành B.
Mô phỏng: Bật/tắt điều kiện B.
Mẹo nhớ: Sau dấu | là mẫu số mới.
Sai lầm: Đọc A|B thành B khi biết A.
Ghi chú: P(A|B) và P(B|A) thường khác nhau.
Quy tắc nhân
Hiểu đơn giản: Xác suất đi hết một nhánh bằng xác suất bước đầu nhân xác suất bước sau có điều kiện.
P(A∩B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B).
Ví dụ: Chọn loại hàng A rồi gặp lỗi B.
Hình nên dùng: Sơ đồ cây hai tầng.
Mô phỏng: Thay xác suất nhánh.
Mẹo nhớ: Dọc nhánh nhân.
Sai lầm: Cộng các xác suất dọc một nhánh.
Ghi chú: Thứ tự sự kiện có thể đổi nhưng điều kiện phải đổi theo.
Bảng hai chiều
Hiểu đơn giản: Bảng đếm giúp thấy rõ tử là ô giao và mẫu là tổng hàng hoặc cột điều kiện.
P(A|B)=n(A∩B)/n(B) khi lấy ngẫu nhiên đều từ bảng.
Ví dụ: 12 trong 40 người thuộc B cũng thuộc A ⇒ P(A|B)=12/40.
Hình nên dùng: Ô giao được tô trong hàng B.
Mô phỏng: Chọn hàng/cột điều kiện.
Mẹo nhớ: Ô giao chia biên điều kiện.
Sai lầm: Chia ô giao cho tổng toàn bảng.
Ghi chú: Luôn ghi bằng lời nhóm điều kiện là ai.
Độc lập và xung khắc
Hiểu đơn giản: Độc lập: biết biến cố này không đổi xác suất biến cố kia; xung khắc: hai biến cố không thể cùng xảy ra.
Độc lập ⇔ P(A∩B)=P(A)P(B); xung khắc ⇔ A∩B=∅.
Ví dụ: Hai lần tung đồng xu độc lập; ra ngửa và ra sấp trong cùng một lần là xung khắc.
Hình nên dùng: Hai sơ đồ Venn đối lập.
Mô phỏng: Thay P(A),P(B).
Mẹo nhớ: Độc lập vẫn có thể cùng xảy ra.
Sai lầm: Cho rằng không ảnh hưởng nghĩa là không giao nhau.
Ghi chú: Hai biến cố xung khắc có xác suất dương không độc lập.
MÔ PHỎNG TƯƠNG TÁC
Thay dữ kiện và tự quan sát quy tắc
Các nút, ô nhập và kết quả đều hoạt động trực tiếp, có phản hồi bằng lời.
PHÒNG LAB XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
Thay xác suất nền và quan sát Bayes cập nhật
A là giả thuyết, “+” là bằng chứng. Nhập P(A), P(+|A) và P(+|Ā); công cụ tính P(+) theo toàn phần rồi tính P(A|+) theo Bayes.
10 VÍ DỤ TĂNG NẤC
Nghĩ trước khi giải
Từ cơ bản đến thực tế; mỗi ví dụ có phân tích, hướng đi, lời giải, cách khác và phép kiểm.
01 • Nhận biếtVí dụ 1 • B18-NB-04
Đề bài: Biết P(B)=0,6 và P(A|B)=0,3. Tính P(A∩B).
Phân tích: Dùng quy tắc nhân P(A∩B)=P(B)P(A|B).
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Dùng quy tắc nhân P(A∩B)=P(B)P(A|B).
- Bước 2: P(A∩B)=0,6·0,3=0,18.
- Bước 3: Kết luận 0,18.
Vì sao: Quy tắc nhân luôn đúng khi xác suất có điều kiện được xác định.
Cách khác: Thay vào định nghĩa P(A|B) rồi chuyển vế.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cộng hai xác suất.
02 • Nhận biếtVí dụ 2 • B18-NB-14
Đề bài: Biết P(B)=0,8 và P(A|B)=0,3. Tính P(A∩B).
Phân tích: Dùng quy tắc nhân P(A∩B)=P(B)P(A|B).
Hướng làm: Khóa đối tượng và điều kiện, chọn công cụ, thực hiện rồi kiểm bằng biểu diễn hoặc công thức thứ hai.
- Bước 1: Dùng quy tắc nhân P(A∩B)=P(B)P(A|B).
- Bước 2: P(A∩B)=0,8·0,3=0,24.
- Bước 3: Kết luận 0,24.
Vì sao: Quy tắc nhân luôn đúng khi xác suất có điều kiện được xác định.
Cách khác: Thay vào định nghĩa P(A|B) rồi chuyển vế.
Tự kiểm: Chặn lỗi: Cộng hai xác suất.
03 • Vận dụngVí dụ 3 • B18-TH-04
Đề bài: Biết F'(x)=e^x và F(0)=6. Tính F(ln2). Cần giữ đúng hằng số và điều kiện đã cho.
Phân tích: F(x)=e^x+C; F(0)=1+C=6 nên C=5.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- F(x)=e^x+C; F(0)=1+C=6 nên C=5. F(ln2)=2+5=7.
Vì sao: F(x)=e^x+C; F(0)=1+C=6 nên C=5. F(ln2)=2+5=7.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 7. Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
04 • Thông hiểuVí dụ 4 • B18-TH-01
Đề bài: Cho P(A)=0,3, P(B)=0,3, P(A∩B)=0,15. Tính P(A∪B).
Phân tích: Dùng công thức cộng tổng quát.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- P(A∪B)=0,3+0,3−0,15=0,45.
Vì sao: Phần giao bị đếm hai lần nên phải trừ một lần.
Cách khác: Vẽ sơ đồ Venn để thấy phần giao.
Tự kiểm: Kết quả: 0,45. Cộng P(A)+P(B) mà không trừ giao.
05 • Vận dụngVí dụ 5 • B18-VD-04
Đề bài: Cho P(A∩B)=0,4104 và P(B)=0,72. Tính P(A|B).
Phân tích: P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=0,4104/0,72=0,57.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=0,4104/0,72=0,57.
Vì sao: P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=0,4104/0,72=0,57.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 0,57. Nhầm giao/hợp, biến cố đối, hoặc không phân biệt xác suất có điều kiện.
06 • Thực tếVí dụ 6 • B18-VD-14
Đề bài: Thực hiện phép tính có kiểm tra điều kiện. Hộp có 7 bi đỏ và 5 bi xanh. Rút liên tiếp hai bi không hoàn lại. Biết bi đầu đỏ, xác suất bi thứ hai đỏ là bao nhiêu?
Phân tích: Sau khi biết bi đầu đỏ, hộp còn 6 bi đỏ trong tổng 11 bi.
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Sau khi biết bi đầu đỏ, hộp còn 6 bi đỏ trong tổng 11 bi. Vì vậy xác suất cần tìm là 6/11 = 6/11.
Vì sao: Sau khi biết bi đầu đỏ, hộp còn 6 bi đỏ trong tổng 11 bi. Vì vậy xác suất cần tìm là 6/11 = 6/11.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 6/11. Giữ nguyên cả tử lẫn mẫu như trước lần rút thứ nhất.
07 • Vận dụng caoVí dụ 7 • B18-VDC-04
Đề bài: Chọn ngẫu nhiên một trong hai hộp với xác suất bằng nhau. Hộp A có 3 bi đỏ và 2 bi xanh; hộp B có 2 bi đỏ và 4 bi xanh. Rút hai bi không hoàn lại từ hộp đã chọn. Biết cả hai đều đỏ, tính xác suất đã chọn hộp A. Trả lời bằng phân số.
Phân tích: P(ĐĐ|A)=3(3−1)/[5(4)], P(ĐĐ|B)=2/[6(5)]
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- P(ĐĐ|A)=3(3−1)/[5(4)], P(ĐĐ|B)=2/[6(5)]. Hai xác suất chọn hộp đều 1/2 nên Bayes cho thương P(ĐĐ|A)/[P(ĐĐ|A)+P(ĐĐ|B)]=9/11. Hai lần rút trong cùng hộp không độc lập; không được bình phương tỉ lệ đỏ.
Vì sao: P(ĐĐ|A)=3(3−1)/[5(4)], P(ĐĐ|B)=2/[6(5)]. Hai xác suất chọn hộp đều 1/2 nên Bayes cho thương P(ĐĐ|A)/[P(ĐĐ|A)+P(ĐĐ|B)]=9/11. Hai lần rút trong cùng hộp không độc lập; không được bình phương tỉ lệ đỏ.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 9/11. Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
08 • Vận dụng caoVí dụ 8 • B18-VDC-05
Đề bài: Xưởng A cung cấp 3 lô, xưởng B cung cấp 4 lô, mỗi lô có cùng số sản phẩm. Tỉ lệ lỗi của A là 1/10, của B là 1/5. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ toàn bộ, biết không lỗi. Xác suất sản phẩm từ A bằng bao nhiêu?
Phân tích: Tỉ trọng A=3/7, B=4/7
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Tỉ trọng A=3/7, B=4/7. Xác suất tốt trong mỗi nguồn lần lượt 9/10 và 4/5. Theo Bayes, P(A|tốt)=(93)/[93+8(4)]=27/59. Phải dùng biến cố đối của lỗi và trọng số sản lượng, không lấy trung bình hai tỉ lệ.
Vì sao: Tỉ trọng A=3/7, B=4/7. Xác suất tốt trong mỗi nguồn lần lượt 9/10 và 4/5. Theo Bayes, P(A|tốt)=(93)/[93+8(4)]=27/59. Phải dùng biến cố đối của lỗi và trọng số sản lượng, không lấy trung bình hai tỉ lệ.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 27/59. Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
09 • Vận dụng caoVí dụ 9 • B18-TT-04
Đề bài: Hộp có 6 thẻ đỏ và 7 thẻ xanh. Rút hai thẻ không hoàn lại. Biết hai thẻ khác màu, xác suất thẻ thứ nhất đỏ bằng bao nhiêu? Chứng minh bằng hai thứ tự rút thay vì giả định độc lập.
Phân tích: P(đỏ,xanh)=6/13·7/12; P(xanh,đỏ)=7/13·6/12, hai tích bằng nhau
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- P(đỏ,xanh)=6/13·7/12; P(xanh,đỏ)=7/13·6/12, hai tích bằng nhau. Điều kiện khác màu gồm đúng hai thứ tự xung khắc, nên tỉ số là 1/2 dù ban đầu hai màu có số thẻ khác nhau.
Vì sao: P(đỏ,xanh)=6/13·7/12; P(xanh,đỏ)=7/13·6/12, hai tích bằng nhau. Điều kiện khác màu gồm đúng hai thứ tự xung khắc, nên tỉ số là 1/2 dù ban đầu hai màu có số thẻ khác nhau.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 1/2. Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
10 • Vận dụng caoVí dụ 10 • B18-TT-14
Đề bài: Xưởng A cung cấp 9 lô, xưởng B cung cấp 10 lô, mỗi lô có cùng số sản phẩm. Tỉ lệ lỗi của A là 1/10, của B là 1/5. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ toàn bộ, biết không lỗi. Xác suất sản phẩm từ A bằng bao nhiêu?
Phân tích: Tỉ trọng A=9/19, B=10/19
Hướng làm: Xác định điều kiện, lập biểu thức, giải rồi kiểm lại đại lượng được hỏi.
- Tỉ trọng A=9/19, B=10/19. Xác suất tốt trong mỗi nguồn lần lượt 9/10 và 4/5. Theo Bayes, P(A|tốt)=(99)/[99+8(10)]=81/161. Phải dùng biến cố đối của lỗi và trọng số sản lượng, không lấy trung bình hai tỉ lệ.
Vì sao: Tỉ trọng A=9/19, B=10/19. Xác suất tốt trong mỗi nguồn lần lượt 9/10 và 4/5. Theo Bayes, P(A|tốt)=(99)/[99+8(10)]=81/161. Phải dùng biến cố đối của lỗi và trọng số sản lượng, không lấy trung bình hai tỉ lệ.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
Tự kiểm: Kết quả: 81/161. Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Toán đi qua tám bối cảnh
Gia đình qua xác suất có điều kiện
Tình huống 1 dùng chẩn đoán, kiểm định, tuyển chọn, hành vi khách hàng, chất lượng và dự báo; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Trường học qua xác suất có điều kiện
Tình huống 2 dùng chẩn đoán, kiểm định, tuyển chọn, hành vi khách hàng, chất lượng và dự báo; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Đời sống qua xác suất có điều kiện
Tình huống 3 dùng chẩn đoán, kiểm định, tuyển chọn, hành vi khách hàng, chất lượng và dự báo; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Khoa học qua xác suất có điều kiện
Tình huống 4 dùng chẩn đoán, kiểm định, tuyển chọn, hành vi khách hàng, chất lượng và dự báo; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Kỹ thuật qua xác suất có điều kiện
Tình huống 5 dùng chẩn đoán, kiểm định, tuyển chọn, hành vi khách hàng, chất lượng và dự báo; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Sản xuất qua xác suất có điều kiện
Tình huống 6 dùng chẩn đoán, kiểm định, tuyển chọn, hành vi khách hàng, chất lượng và dự báo; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Thiên nhiên qua xác suất có điều kiện
Tình huống 7 dùng chẩn đoán, kiểm định, tuyển chọn, hành vi khách hàng, chất lượng và dự báo; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
Nghề nghiệp qua xác suất có điều kiện
Tình huống 8 dùng chẩn đoán, kiểm định, tuyển chọn, hành vi khách hàng, chất lượng và dự báo; người học phải nêu mô hình, điều kiện, đơn vị và giới hạn diễn giải.
AI GIA SƯ • 30 TÌNH HUỐNG
Gợi đúng bước, không đưa đáp án tắt
Bấm câu hỏi hoặc nhập chỗ đang vướng; công cụ sẽ ghép với hướng dẫn phù hợp trong bài.
TRỢ LÝ THEO NỘI DUNG BÀI
1. Em chưa hiểu Khái niệm xác suất có điều kiện theo cách trực quan?
Khi biết B đã xảy ra, chỉ xét các kết quả nằm trong B. Phát biểu chính xác: P(A|B)=P(A∩B)/P(B), P(B)>0. Ví dụ: Trong nhóm đã mua hàng, tỉ lệ quay lại là số vừa mua vừa quay lại chia số đã mua. Mẹo: Sau dấu | là mẫu số mới. Cần tránh: Đọc A|B thành B khi biết A.
20 SAI LẦM THƯỜNG GẶP
Biết lỗi trước khi mất điểm
Đảo P(A|B) thành P(B|A)
Đọc A|B thành B khi biết A. Sửa bằng: Sau dấu | là mẫu số mới. Kiểm cuối: P(A|B) và P(B|A) thường khác nhau.
Chia cho tổng toàn bộ thay vì nhóm B
Cộng các xác suất dọc một nhánh. Sửa bằng: Dọc nhánh nhân. Kiểm cuối: Thứ tự sự kiện có thể đổi nhưng điều kiện phải đổi theo.
Nhầm độc lập với xung khắc
Chia ô giao cho tổng toàn bảng. Sửa bằng: Ô giao chia biên điều kiện. Kiểm cuối: Luôn ghi bằng lời nhóm điều kiện là ai.
Dùng điều kiện có xác suất bằng 0
Cho rằng không ảnh hưởng nghĩa là không giao nhau. Sửa bằng: Độc lập vẫn có thể cùng xảy ra. Kiểm cuối: Hai biến cố xung khắc có xác suất dương không độc lập.
Sai thứ tự nhánh sơ đồ cây
Đọc A|B thành B khi biết A. Sửa bằng: Sau dấu | là mẫu số mới. Kiểm cuối: P(A|B) và P(B|A) thường khác nhau.
Đảo P(A|B) thành P(B|A) – tình huống 6
Cộng các xác suất dọc một nhánh. Sửa bằng: Dọc nhánh nhân. Kiểm cuối: Thứ tự sự kiện có thể đổi nhưng điều kiện phải đổi theo.
Chia cho tổng toàn bộ thay vì nhóm B – tình huống 7
Chia ô giao cho tổng toàn bảng. Sửa bằng: Ô giao chia biên điều kiện. Kiểm cuối: Luôn ghi bằng lời nhóm điều kiện là ai.
Nhầm độc lập với xung khắc – tình huống 8
Cho rằng không ảnh hưởng nghĩa là không giao nhau. Sửa bằng: Độc lập vẫn có thể cùng xảy ra. Kiểm cuối: Hai biến cố xung khắc có xác suất dương không độc lập.
Dùng điều kiện có xác suất bằng 0 – tình huống 9
Đọc A|B thành B khi biết A. Sửa bằng: Sau dấu | là mẫu số mới. Kiểm cuối: P(A|B) và P(B|A) thường khác nhau.
Sai thứ tự nhánh sơ đồ cây – tình huống 10
Cộng các xác suất dọc một nhánh. Sửa bằng: Dọc nhánh nhân. Kiểm cuối: Thứ tự sự kiện có thể đổi nhưng điều kiện phải đổi theo.
Đảo P(A|B) thành P(B|A) – tình huống 11
Chia ô giao cho tổng toàn bảng. Sửa bằng: Ô giao chia biên điều kiện. Kiểm cuối: Luôn ghi bằng lời nhóm điều kiện là ai.
Chia cho tổng toàn bộ thay vì nhóm B – tình huống 12
Cho rằng không ảnh hưởng nghĩa là không giao nhau. Sửa bằng: Độc lập vẫn có thể cùng xảy ra. Kiểm cuối: Hai biến cố xung khắc có xác suất dương không độc lập.
Nhầm độc lập với xung khắc – tình huống 13
Đọc A|B thành B khi biết A. Sửa bằng: Sau dấu | là mẫu số mới. Kiểm cuối: P(A|B) và P(B|A) thường khác nhau.
Dùng điều kiện có xác suất bằng 0 – tình huống 14
Cộng các xác suất dọc một nhánh. Sửa bằng: Dọc nhánh nhân. Kiểm cuối: Thứ tự sự kiện có thể đổi nhưng điều kiện phải đổi theo.
Sai thứ tự nhánh sơ đồ cây – tình huống 15
Chia ô giao cho tổng toàn bảng. Sửa bằng: Ô giao chia biên điều kiện. Kiểm cuối: Luôn ghi bằng lời nhóm điều kiện là ai.
Đảo P(A|B) thành P(B|A) – tình huống 16
Cho rằng không ảnh hưởng nghĩa là không giao nhau. Sửa bằng: Độc lập vẫn có thể cùng xảy ra. Kiểm cuối: Hai biến cố xung khắc có xác suất dương không độc lập.
Chia cho tổng toàn bộ thay vì nhóm B – tình huống 17
Đọc A|B thành B khi biết A. Sửa bằng: Sau dấu | là mẫu số mới. Kiểm cuối: P(A|B) và P(B|A) thường khác nhau.
Nhầm độc lập với xung khắc – tình huống 18
Cộng các xác suất dọc một nhánh. Sửa bằng: Dọc nhánh nhân. Kiểm cuối: Thứ tự sự kiện có thể đổi nhưng điều kiện phải đổi theo.
Dùng điều kiện có xác suất bằng 0 – tình huống 19
Chia ô giao cho tổng toàn bảng. Sửa bằng: Ô giao chia biên điều kiện. Kiểm cuối: Luôn ghi bằng lời nhóm điều kiện là ai.
Sai thứ tự nhánh sơ đồ cây – tình huống 20
Cho rằng không ảnh hưởng nghĩa là không giao nhau. Sửa bằng: Độc lập vẫn có thể cùng xảy ra. Kiểm cuối: Hai biến cố xung khắc có xác suất dương không độc lập.
CÁCH HỌC THÔNG MINH
Không học vẹt, không dùng mẹo sai bản chất
Chẩn đoán 5 phút
Làm ba câu nền và nói thành lời điều kiện của công cụ trước khi học mới.
Chu trình 5–25–10
5 phút gọi nền, 25 phút học một nút, 10 phút làm lại không nhìn lời giải.
Hai biểu diễn
Kiểm công thức bằng đạo hàm, đồ thị, hình Oxyz, bảng xác suất hoặc đơn vị.
Phản ví dụ bắt buộc
Mỗi định lí đi cùng một trường hợp thiếu điều kiện để tránh học thuộc máy móc.
Sổ lỗi ba dòng
Ghi lỗi, nguyên nhân và phép tự kiểm; không chép lại toàn bộ lời giải.
Ôn cách quãng 1–7–30
Gọi lại sau 1 ngày, trộn sau 7 ngày và qua cổng lại sau 30 ngày.
SƠ ĐỒ TƯ DUY & 20 FLASHCARD
Nhìn mạch trước, nhớ chi tiết sau
Xác suất có điều kiện1 2 3 4
Khái niệm xác suất có điều kiệnP(A|B)=P(A∩B)/P(B), P(B)>0. Sau dấu | là mẫu số mới.
Quy tắc nhânP(A∩B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B). Dọc nhánh nhân.
Bảng hai chiềuP(A|B)=n(A∩B)/n(B) khi lấy ngẫu nhiên đều từ bảng. Ô giao chia biên điều kiện.
Độc lập và xung khắcĐộc lập ⇔ P(A∩B)=P(A)P(B); xung khắc ⇔ A∩B=∅. Độc lập vẫn có thể cùng xảy ra.
THẺ 1/20
100 BÀI • PHÂN LOẠI THEO MỨC ĐỘ • 15% ÔN NỐI
Ngân hàng bài tập có đủ năm lớp hỗ trợ
100 câu được phân loại theo độ khó và bài toán ứng dụng; giữ 15 câu ôn nền liên quan.
100 câu phù hợp
B18-NB-01Cho P(A)=0,4, P(B)=0,3, P(A∩B)=0,15. Tính P(A∪B).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng công thức cộng tổng quát.
Lời giải: P(A∪B)=0,4+0,3−0,15=0,55.
Vì sao: Phần giao bị đếm hai lần nên phải trừ một lần.
Sai ở đâu: Cộng P(A)+P(B) mà không trừ giao.
Cách khác: Vẽ sơ đồ Venn để thấy phần giao.
B18-NB-02Hai biến cố A, B độc lập với P(A)=0,5, P(B)=0,4. Tính P(A∩B).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Với hai biến cố độc lập, xác suất giao bằng tích.
Lời giải: P(A∩B)=P(A)P(B)=0,2.
Vì sao: Độc lập là điều kiện cho phép nhân trực tiếp hai xác suất không điều kiện.
Sai ở đâu: Cộng hai xác suất hoặc mặc định mọi biến cố đều độc lập.
Cách khác: Kiểm P(A|B)=P(A).
B18-NB-03Cho P(A)=0,2. Tính P(Ā).ÔN NỐI
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Biến cố đối có tổng xác suất bằng 1 với A.
Lời giải: P(Ā)=1−0,2=0,8.
Vì sao: A và Ā xung khắc và hợp thành toàn bộ không gian mẫu.
Sai ở đâu: Lấy −P(A) hoặc 1+P(A).
Cách khác: Dùng P(A∪Ā)=1.
B18-NB-04Biết P(B)=0,6 và P(A|B)=0,3. Tính P(A∩B).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng quy tắc nhân P(A∩B)=P(B)P(A|B).
Lời giải: P(A∩B)=0,6·0,3=0,18.
Vì sao: Quy tắc nhân luôn đúng khi xác suất có điều kiện được xác định.
Sai ở đâu: Cộng hai xác suất.
Cách khác: Thay vào định nghĩa P(A|B) rồi chuyển vế.
B18-NB-05Cho P(A)=0,4 và P(A|B)=0,4, với P(B)>0. A và B có độc lập không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: So sánh P(A|B) với P(A).
Lời giải: Hai giá trị bằng nhau nên A và B độc lập.
Vì sao: Khi biết B không làm thay đổi xác suất của A, hai biến cố độc lập.
Sai ở đâu: Nhầm độc lập với xung khắc.
Cách khác: Có thể kiểm tương đương P(A∩B)=P(A)P(B).
B18-NB-06Trong 130 hồ sơ có 104 hồ sơ thuộc B và 52 hồ sơ đồng thời thuộc A, B. Ước lượng P(A|B).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Trong nhóm B, đếm tỉ lệ hồ sơ cũng thuộc A.
Lời giải: P(A|B)≈52/104=0,5.
Vì sao: Bảng tần số hai chiều là phiên bản đếm của xác suất có điều kiện.
Sai ở đâu: Chia 52 cho tổng 130 thay vì cho số hồ sơ thuộc B.
Cách khác: Khoanh riêng hàng/cột B rồi tính tỉ lệ.
B18-NB-07Hai biến cố xung khắc A, B đều có xác suất dương. Chúng có độc lập không?
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Nếu xung khắc thì P(A∩B)=0; nếu độc lập thì giao phải bằng P(A)P(B)>0.
Lời giải: Không. Hai điều kiện mâu thuẫn khi P(A),P(B)>0.
Vì sao: Xung khắc nói không thể cùng xảy ra; độc lập nói việc biết biến cố này không đổi xác suất biến cố kia.
Sai ở đâu: Đồng nhất xung khắc với độc lập.
Cách khác: So sánh hai công thức của P(A∩B).
B18-NB-08Cho P(B)=0,6, P(A∩B)=0,12. Tính P(A|B).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Thu hẹp không gian xét vào B rồi lấy phần A∩B chia cho B.
Lời giải: P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=0,2.
Vì sao: Điều kiện B làm thay đổi mẫu số của phép đo xác suất.
Sai ở đâu: Đảo thành P(B|A) hoặc chia cho P(A).
Cách khác: Vẽ B thành toàn bộ khung mới.
B18-NB-09Biết P(B)=0,7 và P(A|B)=0,3. Tính P(A∩B).
Mục tiêu: Nhận biết — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: Dùng quy tắc nhân P(A∩B)=P(B)P(A|B).
Lời giải: P(A∩B)=0,7·0,3=0,21.
Vì sao: Quy tắc nhân luôn đúng khi xác suất có điều kiện được xác định.
Sai ở đâu: Cộng hai xác suất.
Cách khác: Thay vào định nghĩa P(A|B) rồi chuyển vế.
B18-NB-10Biết F'(x)=2x+3, F(0)=2. Tính F(1). Cần giữ đúng hằng số và điều kiện đã cho.
Mục tiêu: Vận dụng — chọn đúng công cụ trước khi tính.
Gợi ý: F(x)=x²+3x+C; từ F(0)=2 suy ra C=2.
Lời giải: F(x)=x²+3x+C; từ F(0)=2 suy ra C=2. F(1)=1+3+2=6.
Vì sao: F(x)=x²+3x+C; từ F(0)=2 suy ra C=2. F(1)=1+3+2=6.
Sai ở đâu: Kiểm tra miền và đại lượng được hỏi trước khi tính.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
50 CÂU TỰ CHẤM
Phản hồi ngay sau mỗi lựa chọn
Cổng đạt đề xuất là 80%; câu sai phải được ghi vào sổ lỗi trước khi làm lại.
CÂU 1/50 • ĐÚNG 0
Biết F'(x)=2x+3, F(0)=2. Tính F(1). Cần giữ đúng hằng số và điều kiện đã cho.
BA DẠNG TRẮC NGHIỆM HIỆN HÀNH
Cùng một bản chất, ba cách kiểm tra năng lực
Định dạng ôn tốt nghiệp gồm nhiều lựa chọn, đúng–sai bốn ý và trả lời ngắn; tự luận phía sau dùng để học sâu, không gắn sai nhãn thành cấu trúc đề thi.
Nhiều lựa chọn
50 câu tự chấm ngay phía trên; phương án nhiễu xuất phát từ lỗi điều kiện, dấu, thứ tự hoặc thiếu ứng viên.
Chọn đáp án rồi đọc giải thích và ghi lỗi.Đúng–sai bốn ý
Một cụm mẫu dùng chung bối cảnh “Xác suất có điều kiện”:
- a) P(A|B)=P(A∩B)/P(B), P(B)>0.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Khi biết B đã xảy ra, chỉ xét các kết quả nằm trong B. Ví dụ kiểm chứng: Trong nhóm đã mua hàng, tỉ lệ quay lại là số vừa mua vừa quay lại chia số đã mua.
- b) P(A∩B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B).
Đáp án và căn cứ
Đúng. Xác suất đi hết một nhánh bằng xác suất bước đầu nhân xác suất bước sau có điều kiện. Ví dụ kiểm chứng: Chọn loại hàng A rồi gặp lỗi B.
- c) P(A|B)=n(A∩B)/n(B) khi lấy ngẫu nhiên đều từ bảng.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Bảng đếm giúp thấy rõ tử là ô giao và mẫu là tổng hàng hoặc cột điều kiện. Ví dụ kiểm chứng: 12 trong 40 người thuộc B cũng thuộc A ⇒ P(A|B)=12/40.
- d) Độc lập ⇔ P(A∩B)=P(A)P(B); xung khắc ⇔ A∩B=∅.
Đáp án và căn cứ
Đúng. Độc lập: biết biến cố này không đổi xác suất biến cố kia; xung khắc: hai biến cố không thể cùng xảy ra. Ví dụ kiểm chứng: Hai lần tung đồng xu độc lập; ra ngửa và ra sấp trong cùng một lần là xung khắc.
Trả lời ngắn
Tự lập mô hình và điền kết quả, không có phương án gợi ý:
- Cho P(A)=0,5, P(B)=0,3, P(A∩B)=0,15. Tính P(A∪B).
Đáp án
0,65
- Hai biến cố A, B độc lập với P(A)=0,2, P(B)=0,4. Tính P(A∩B).
Đáp án
0,08
- Cho P(A)=0,3. Tính P(Ā).
Đáp án
0,7
- Chọn ngẫu nhiên một trong hai hộp với xác suất bằng nhau. Hộp A có 3 bi đỏ và 2 bi xanh; hộp B có 2 bi đỏ và 4 bi xanh. Rút hai bi không hoàn lại từ hộp đã chọn. Biết cả hai đều đỏ, tính xác suất đã chọn hộp A. Trả lời bằng phân số.
Đáp án
9/11
20 BÀI TỰ LUẬN
Lập luận được chấm cùng kết quả
Mỗi bài có gợi ý, lời giải, giải thích, lỗi sai và cách khác như ngân hàng chính.
TỰ LUẬN 1Cho P(A)=0,4, P(B)=0,3, P(A∩B)=0,15. Tính P(A∪B).
Gợi ý: Dùng công thức cộng tổng quát.
Lời giải: P(A∪B)=0,4+0,3−0,15=0,55.
Giải thích: Phần giao bị đếm hai lần nên phải trừ một lần.
Lỗi cần tránh: Cộng P(A)+P(B) mà không trừ giao.
Cách khác: Vẽ sơ đồ Venn để thấy phần giao.
TỰ LUẬN 2Trong 130 hồ sơ có 104 hồ sơ thuộc B và 52 hồ sơ đồng thời thuộc A, B. Ước lượng P(A|B).
Gợi ý: Trong nhóm B, đếm tỉ lệ hồ sơ cũng thuộc A.
Lời giải: P(A|B)≈52/104=0,5.
Giải thích: Bảng tần số hai chiều là phiên bản đếm của xác suất có điều kiện.
Lỗi cần tránh: Chia 52 cho tổng 130 thay vì cho số hồ sơ thuộc B.
Cách khác: Khoanh riêng hàng/cột B rồi tính tỉ lệ.
TỰ LUẬN 3Trong 130 hồ sơ có 65 hồ sơ thuộc B và 33 hồ sơ đồng thời thuộc A, B. Ước lượng P(A|B). Làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân.
Gợi ý: Trong nhóm B, đếm tỉ lệ hồ sơ cũng thuộc A.
Lời giải: P(A|B)≈33/65=0,5077.
Giải thích: Bảng tần số hai chiều là phiên bản đếm của xác suất có điều kiện.
Lỗi cần tránh: Chia 33 cho tổng 130 thay vì cho số hồ sơ thuộc B.
Cách khác: Khoanh riêng hàng/cột B rồi tính tỉ lệ.
TỰ LUẬN 4Trong 130 hồ sơ có 78 hồ sơ thuộc B và 39 hồ sơ đồng thời thuộc A, B. Ước lượng P(A|B).
Gợi ý: Trong nhóm B, đếm tỉ lệ hồ sơ cũng thuộc A.
Lời giải: P(A|B)≈39/78=0,5.
Giải thích: Bảng tần số hai chiều là phiên bản đếm của xác suất có điều kiện.
Lỗi cần tránh: Chia 39 cho tổng 130 thay vì cho số hồ sơ thuộc B.
Cách khác: Khoanh riêng hàng/cột B rồi tính tỉ lệ.
TỰ LUẬN 5Cho P(A)=0,3, P(B)=0,3, P(A∩B)=0,15. Tính P(A∪B).
Gợi ý: Dùng công thức cộng tổng quát.
Lời giải: P(A∪B)=0,3+0,3−0,15=0,45.
Giải thích: Phần giao bị đếm hai lần nên phải trừ một lần.
Lỗi cần tránh: Cộng P(A)+P(B) mà không trừ giao.
Cách khác: Vẽ sơ đồ Venn để thấy phần giao.
TỰ LUẬN 6Dùng kiến thức Toán 12 để xử lí. Hộp có 4 bi đỏ và 3 bi xanh. Rút liên tiếp hai bi không hoàn lại. Biết bi đầu đỏ, xác suất bi thứ hai đỏ là bao nhiêu?
Gợi ý: Sau khi biết bi đầu đỏ, hộp còn 3 bi đỏ trong tổng 6 bi.
Lời giải: Sau khi biết bi đầu đỏ, hộp còn 3 bi đỏ trong tổng 6 bi. Vì vậy xác suất cần tìm là 3/6 = 1/2.
Giải thích: Sau khi biết bi đầu đỏ, hộp còn 3 bi đỏ trong tổng 6 bi. Vì vậy xác suất cần tìm là 3/6 = 1/2.
Lỗi cần tránh: Giữ nguyên cả tử lẫn mẫu như trước lần rút thứ nhất.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 7Cho P(B)=0,46, P(A|B)=0,51. Tính P(A∩B).
Gợi ý: P(A∩B)=P(B)P(A|B)=0,46·0,51=0,2346.
Lời giải: P(A∩B)=P(B)P(A|B)=0,46·0,51=0,2346.
Giải thích: P(A∩B)=P(B)P(A|B)=0,46·0,51=0,2346.
Lỗi cần tránh: Nhầm giao/hợp, biến cố đối, hoặc không phân biệt xác suất có điều kiện.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 8Dùng kiến thức Toán 12 để xử lí. Hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Rút liên tiếp hai bi không hoàn lại. Biết bi đầu đỏ, xác suất bi thứ hai đỏ là bao nhiêu?
Gợi ý: Sau khi biết bi đầu đỏ, hộp còn 4 bi đỏ trong tổng 7 bi.
Lời giải: Sau khi biết bi đầu đỏ, hộp còn 4 bi đỏ trong tổng 7 bi. Vì vậy xác suất cần tìm là 4/7 = 4/7.
Giải thích: Sau khi biết bi đầu đỏ, hộp còn 4 bi đỏ trong tổng 7 bi. Vì vậy xác suất cần tìm là 4/7 = 4/7.
Lỗi cần tránh: Giữ nguyên cả tử lẫn mẫu như trước lần rút thứ nhất.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 9Cho P(A)=0,2, P(B)=0,3, P(A∩B)=0,1. Tính P(A∪B).
Gợi ý: Dùng công thức cộng tổng quát.
Lời giải: P(A∪B)=0,2+0,3−0,1=0,4.
Giải thích: Phần giao bị đếm hai lần nên phải trừ một lần.
Lỗi cần tránh: Cộng P(A)+P(B) mà không trừ giao.
Cách khác: Vẽ sơ đồ Venn để thấy phần giao.
TỰ LUẬN 10Dùng kiến thức Toán 12 để xử lí. Hộp có 7 bi đỏ và 4 bi xanh. Rút liên tiếp hai bi không hoàn lại. Biết bi đầu đỏ, xác suất bi thứ hai đỏ là bao nhiêu?
Gợi ý: Sau khi biết bi đầu đỏ, hộp còn 6 bi đỏ trong tổng 10 bi.
Lời giải: Sau khi biết bi đầu đỏ, hộp còn 6 bi đỏ trong tổng 10 bi. Vì vậy xác suất cần tìm là 6/10 = 3/5.
Giải thích: Sau khi biết bi đầu đỏ, hộp còn 6 bi đỏ trong tổng 10 bi. Vì vậy xác suất cần tìm là 6/10 = 3/5.
Lỗi cần tránh: Giữ nguyên cả tử lẫn mẫu như trước lần rút thứ nhất.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 11Cho P(A∩B)=0,4234 và P(B)=0,73. Tính P(A|B).
Gợi ý: P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=0,4234/0,73=0,58.
Lời giải: P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=0,4234/0,73=0,58.
Giải thích: P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=0,4234/0,73=0,58.
Lỗi cần tránh: Nhầm giao/hợp, biến cố đối, hoặc không phân biệt xác suất có điều kiện.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 12Cho P(B)=0,49, P(A|B)=0,54. Tính P(A∩B).
Gợi ý: P(A∩B)=P(B)P(A|B)=0,49·0,54=0,2646.
Lời giải: P(A∩B)=P(B)P(A|B)=0,49·0,54=0,2646.
Giải thích: P(A∩B)=P(B)P(A|B)=0,49·0,54=0,2646.
Lỗi cần tránh: Nhầm giao/hợp, biến cố đối, hoặc không phân biệt xác suất có điều kiện.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 13Cho P(A)=0,5, P(B)=0,3, P(A∩B)=0,15. Tính P(A∪B).
Gợi ý: Dùng công thức cộng tổng quát.
Lời giải: P(A∪B)=0,5+0,3−0,15=0,65.
Giải thích: Phần giao bị đếm hai lần nên phải trừ một lần.
Lỗi cần tránh: Cộng P(A)+P(B) mà không trừ giao.
Cách khác: Vẽ sơ đồ Venn để thấy phần giao.
TỰ LUẬN 14Một phép thử cho hai biến cố A,B: P(A)=1/2, P(B|A)=1/3, P(B|Ā)=1/6. Tính P(Ā|B̄) bằng phân số, vẽ đủ bốn nhánh của cây xác suất.
Gợi ý: P(A∩B̄)=1/2·2/3; P(Ā∩B̄)=1/2·(5/6)
Lời giải: P(A∩B̄)=1/2·2/3; P(Ā∩B̄)=1/2·(5/6). Lấy nhánh thứ hai chia tổng hai nhánh B̄ được 5/9. Điều kiện là B̄ nên không thể dùng mẫu số P(B).
Giải thích: P(A∩B̄)=1/2·2/3; P(Ā∩B̄)=1/2·(5/6). Lấy nhánh thứ hai chia tổng hai nhánh B̄ được 5/9. Điều kiện là B̄ nên không thể dùng mẫu số P(B).
Lỗi cần tránh: Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
TỰ LUẬN 15Cho P(B)=0,5, P(A|B)=0,55. Tính P(A∩B).
Gợi ý: P(A∩B)=P(B)P(A|B)=0,5·0,55=0,275.
Lời giải: P(A∩B)=P(B)P(A|B)=0,5·0,55=0,275.
Giải thích: P(A∩B)=P(B)P(A|B)=0,5·0,55=0,275.
Lỗi cần tránh: Nhầm giao/hợp, biến cố đối, hoặc không phân biệt xác suất có điều kiện.
Cách khác: Kiểm ngược kết quả bằng điều kiện và cách giải trong lời giải.
TỰ LUẬN 16Hộp có 4 thẻ đỏ và 5 thẻ xanh. Rút hai thẻ không hoàn lại. Biết hai thẻ khác màu, xác suất thẻ thứ nhất đỏ bằng bao nhiêu? Chứng minh bằng hai thứ tự rút thay vì giả định độc lập.
Gợi ý: P(đỏ,xanh)=4/9·5/8; P(xanh,đỏ)=5/9·4/8, hai tích bằng nhau
Lời giải: P(đỏ,xanh)=4/9·5/8; P(xanh,đỏ)=5/9·4/8, hai tích bằng nhau. Điều kiện khác màu gồm đúng hai thứ tự xung khắc, nên tỉ số là 1/2 dù ban đầu hai màu có số thẻ khác nhau.
Giải thích: P(đỏ,xanh)=4/9·5/8; P(xanh,đỏ)=5/9·4/8, hai tích bằng nhau. Điều kiện khác màu gồm đúng hai thứ tự xung khắc, nên tỉ số là 1/2 dù ban đầu hai màu có số thẻ khác nhau.
Lỗi cần tránh: Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
TỰ LUẬN 17Chọn ngẫu nhiên một trong hai hộp với xác suất bằng nhau. Hộp A có 6 bi đỏ và 2 bi xanh; hộp B có 2 bi đỏ và 7 bi xanh. Rút hai bi không hoàn lại từ hộp đã chọn. Biết cả hai đều đỏ, tính xác suất đã chọn hộp A. Trả lời bằng phân số.
Gợi ý: P(ĐĐ|A)=6(6−1)/[8(7)], P(ĐĐ|B)=2/[9(8)]
Lời giải: P(ĐĐ|A)=6(6−1)/[8(7)], P(ĐĐ|B)=2/[9(8)]. Hai xác suất chọn hộp đều 1/2 nên Bayes cho thương P(ĐĐ|A)/[P(ĐĐ|A)+P(ĐĐ|B)]=135/142. Hai lần rút trong cùng hộp không độc lập; không được bình phương tỉ lệ đỏ.
Giải thích: P(ĐĐ|A)=6(6−1)/[8(7)], P(ĐĐ|B)=2/[9(8)]. Hai xác suất chọn hộp đều 1/2 nên Bayes cho thương P(ĐĐ|A)/[P(ĐĐ|A)+P(ĐĐ|B)]=135/142. Hai lần rút trong cùng hộp không độc lập; không được bình phương tỉ lệ đỏ.
Lỗi cần tránh: Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
TỰ LUẬN 18Xưởng A cung cấp 7 lô, xưởng B cung cấp 8 lô, mỗi lô có cùng số sản phẩm. Tỉ lệ lỗi của A là 1/10, của B là 1/5. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ toàn bộ, biết không lỗi. Xác suất sản phẩm từ A bằng bao nhiêu?
Gợi ý: Tỉ trọng A=7/15, B=8/15
Lời giải: Tỉ trọng A=7/15, B=8/15. Xác suất tốt trong mỗi nguồn lần lượt 9/10 và 4/5. Theo Bayes, P(A|tốt)=(97)/[97+8(8)]=63/127. Phải dùng biến cố đối của lỗi và trọng số sản lượng, không lấy trung bình hai tỉ lệ.
Giải thích: Tỉ trọng A=7/15, B=8/15. Xác suất tốt trong mỗi nguồn lần lượt 9/10 và 4/5. Theo Bayes, P(A|tốt)=(97)/[97+8(8)]=63/127. Phải dùng biến cố đối của lỗi và trọng số sản lượng, không lấy trung bình hai tỉ lệ.
Lỗi cần tránh: Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
TỰ LUẬN 19Một phép thử cho hai biến cố A,B: P(A)=1/2, P(B|A)=1/3, P(B|Ā)=1/11. Tính P(Ā|B̄) bằng phân số, vẽ đủ bốn nhánh của cây xác suất.
Gợi ý: P(A∩B̄)=1/2·2/3; P(Ā∩B̄)=1/2·(10/11)
Lời giải: P(A∩B̄)=1/2·2/3; P(Ā∩B̄)=1/2·(10/11). Lấy nhánh thứ hai chia tổng hai nhánh B̄ được 15/26. Điều kiện là B̄ nên không thể dùng mẫu số P(B).
Giải thích: P(A∩B̄)=1/2·2/3; P(Ā∩B̄)=1/2·(10/11). Lấy nhánh thứ hai chia tổng hai nhánh B̄ được 15/26. Điều kiện là B̄ nên không thể dùng mẫu số P(B).
Lỗi cần tránh: Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
TỰ LUẬN 20Hộp có 9 thẻ đỏ và 10 thẻ xanh. Rút hai thẻ không hoàn lại. Biết hai thẻ khác màu, xác suất thẻ thứ nhất đỏ bằng bao nhiêu? Chứng minh bằng hai thứ tự rút thay vì giả định độc lập.
Gợi ý: P(đỏ,xanh)=9/19·10/18; P(xanh,đỏ)=10/19·9/18, hai tích bằng nhau
Lời giải: P(đỏ,xanh)=9/19·10/18; P(xanh,đỏ)=10/19·9/18, hai tích bằng nhau. Điều kiện khác màu gồm đúng hai thứ tự xung khắc, nên tỉ số là 1/2 dù ban đầu hai màu có số thẻ khác nhau.
Giải thích: P(đỏ,xanh)=9/19·10/18; P(xanh,đỏ)=10/19·9/18, hai tích bằng nhau. Điều kiện khác màu gồm đúng hai thứ tự xung khắc, nên tỉ số là 1/2 dù ban đầu hai màu có số thẻ khác nhau.
Lỗi cần tránh: Bỏ điều kiện miền, đảo điều kiện hoặc dùng công thức trước khi xác định đại lượng cần tìm.
Cách khác: Đối chiếu điều kiện và kiểm lại bằng công thức hoặc biểu diễn thứ hai trong lời giải.
5 ĐỀ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN
Từ theo bài đến đề thời gian thật
“Tham khảo cấu trúc Hà Nội” là nhãn định hướng nội bộ, không phải đề chính thức của Sở.
Đề theo bài
10 câu đại diện: B18-NB-01, B18-NB-02, B18-NB-03, B18-NB-04, B18-NB-05, B18-NB-06, B18-NB-07, B18-NB-08, B18-NB-09, B18-NB-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B18-NB-01: 0,55
- B18-NB-02: 0,2
- B18-NB-03: 0,8
- B18-NB-04: 0,18
- B18-NB-05: Có
- B18-NB-06: 0,5
- B18-NB-07: Không
- B18-NB-08: 0,2
- B18-NB-09: 0,21
- B18-NB-10: 6
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề tổng hợp Chương 6
10 câu đại diện: B18-NB-11, B18-NB-12, B18-NB-13, B18-NB-14, B18-NB-15, B18-NB-16, B18-NB-17, B18-NB-18, B18-NB-19, B18-NB-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B18-NB-11: 0,5077
- B18-NB-12: -3
- B18-NB-13: 0,2
- B18-NB-14: 0,24
- B18-NB-15: 6
- B18-NB-16: 0,5
- B18-NB-17: 7
- B18-NB-18: 0,2
- B18-NB-19: 0,15
- B18-NB-20: 4
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề giữa học kì – phần liên quan
10 câu đại diện: B18-TH-01, B18-TH-02, B18-TH-03, B18-TH-04, B18-TH-05, B18-TH-06, B18-TH-07, B18-TH-08, B18-TH-09, B18-TH-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B18-TH-01: 0,45
- B18-TH-02: 0,16
- B18-TH-03: 0,5
- B18-TH-04: 7
- B18-TH-05: -1
- B18-TH-06: 1/2
- B18-TH-07: 2/3
- B18-TH-08: 3/4
- B18-TH-09: 0,2296
- B18-TH-10: 0,5055
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề nội bộ tham khảo cấu trúc Hà Nội
10 câu đại diện: B18-TH-11, B18-TH-12, B18-TH-13, B18-TH-14, B18-TH-15, B18-TH-16, B18-TH-17, B18-TH-18, B18-TH-19, B18-TH-20.
Xem đáp án và hướng chấm
- B18-TH-11: 0,2346
- B18-TH-12: 0,2
- B18-TH-13: 0,51
- B18-TH-14: 0,56
- B18-TH-15: 6
- B18-TH-16: 4/7
- B18-TH-17: 3/7
- B18-TH-18: 0,2394
- B18-TH-19: 0,2444
- B18-TH-20: 0,52
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
Đề ôn tốt nghiệp tổng hợp
10 câu đại diện: B18-VD-01, B18-VD-02, B18-VD-03, B18-VD-04, B18-VD-05, B18-VD-06, B18-VD-07, B18-VD-08, B18-VD-09, B18-VD-10.
Xem đáp án và hướng chấm
- B18-VD-01: 0,4
- B18-VD-02: 0,12
- B18-VD-03: 0,6
- B18-VD-04: 0,57
- B18-VD-05: 6
- B18-VD-06: 3/5
- B18-VD-07: 1/2
- B18-VD-08: 0,2494
- B18-VD-09: 0,2544
- B18-VD-10: 0,53
Chấm 40% chọn đúng mô hình, 40% thực hiện chính xác, 20% kết luận và tự kiểm.
TÀI LIỆU • SEO • MINH BẠCH BIÊN TẬP
Dùng ngay, dẫn nguồn rõ
Báo lỗi công khai
Gửi lỗi toán, đáp án hoặc trải nghiệm — trolyuocmolon@gmail.com.
Nội dung được tự biên soạn, không sao chép nguyên văn sách giáo khoa. Phạm vi được đối chiếu theo chương trình hiện hành và mục lục Kết nối tri thức.